精品解析：天津市南仓中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷

天津市南仓中学2024至2025学年度第一学期 高二年级12月过程性检测（数学学科） 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷两部分，共120分，考试用时100分钟.第I卷1至1页，第II卷2至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，，，，是的中点，用、、表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 5. 经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0平行的直线l的方程为 A. 3x－4y＋8＝0 B. 3x－4y＋6＝0 C. 4x＋3y－6＝0 D. 4x＋3y＋6＝0 6. 已知，则直线通过（ ）象限 A. 第一、二、三 B. 第一、二、四 C. 第一、三、四 D. 第二、三、四 7. 抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为 A. B. C. D. 8. 若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为________． 11. 已知圆过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为___________. 12. 已知数列的通项，，则数列的最大项与最小项之和为______. 13. 已知空间三点，，，则点到直线的距离是______. 14. 过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为___________. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，则该双曲线的标准方程为______；若为坐标原点，点为双曲线上一点，且在第一象限，，则______． 三、解答题 16. 已知表示圆的方程． （1）求实数的取值范围； （2）若直线被圆截得的弦长为4，求实数的值． 17. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于，两点，若的面积为(为坐标原点)，求椭圆的标准方程. 19. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式及数列的前项和； （2）设，求数列的前项和. 20. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为，短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限），此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点，且，求直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南仓中学2024至2025学年度第一学期 高二年级12月过程性检测（数学学科） 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷两部分，共120分，考试用时100分钟.第I卷1至1页，第II卷2至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角得斜率，再由点斜式直线方程可得. 【详解】由直线倾斜角为，则斜率， 又直线过， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：B 3. 在平行六面体中，，，，是的中点，用、、表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】， 故选：B 4. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】由题可得：,,,, 所以， 所以，故这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 5. 经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0平行的直线l的方程为 A. 3x－4y＋8＝0 B. 3x－4y＋6＝0 C. 4x＋3y－6＝0 D. 4x＋3y＋6＝0 【答案】A 【解析】 【分析】联立l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0，求出交点P，代入3x－4y＋c＝0中即可求出. 【详解】设所求直线方程为3x－4y＋c＝0， 联立 解得，代入3x－4y＋c＝0， 解得，故所求直线为：3x－4y＋8＝0 故选A. 【点睛】本题主要考查了两直线的交点，直线的平行，属于中档题. 6. 已知，则直线通过（ ）象限 A. 第一、二、三 B. 第一、二、四 C. 第一、三、四 D. 第二、三、四 【答案】A 【解析】 【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限. 【详解】由题意，直线，因为，所以， 所以直线过第一、二、三象限. 故选：A. 7. 抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D， 根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|， 因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值. 根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小， 因此最小值为xA﹣（﹣1）=5+1=6， ∵|AF|==5， ∴△MAF周长的最小值为11， 故答案为：C． 8. 若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率以及实轴可得双曲线方程，进而根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由于的实轴长为2，离心率为， 故，解得， 渐近线方程为， 故到的距离为， 故选：A 9. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程得出焦点坐标和准线方程，联立直线与渐近线方程得出的坐标，联立直线与准线方程得出的坐标，根据三角形的面积得出，再结合，，可解得结果. 【详解】由得，所以， 所以直线，抛物线的准线为：， 联立可得，所以， 联立可得，所以， 所以， 所以，所以，即， 又，， 所以，所以，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的几何性质，考查了三角形的面积，考查了运算求解能力，属于基础题. 第II卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题可得，由两点间的斜率公式求解即可. 【详解】设,且为直角，则直线的斜率存在， 则，所以,解得：或, 所以点的坐标为或， 故答案为：或 11. 已知圆过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求得线段的中垂线，圆心在中垂线上，联立两直线可求得圆心坐标，进而求得，可得圆方程. 【详解】由已知，，则其中点为，， 所以线段中垂线的斜率为，则线段中垂线的方程为， 所以圆心在上，又圆心在直线上， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 12. 已知数列的通项，，则数列的最大项与最小项之和为______. 【答案】2 【解析】 【分析】通过研究通项的单调性，即可求出数列中的最大项与最小项之和. 【详解】， 当时，，且单调递减； 当时，，且单调递减， 所以列的最大项为，最小值为， 所以数列的最大项与最小项之和为. 故答案为：2 13. 已知空间三点，，，则点到直线的距离是______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先表示出，再根据点到直线的距离计算可得. 【详解】因为， 所以，， 则，， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 14. 过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解． 【详解】如图， 过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中，，， 又C(2,0)，，又， 则，即，则p＝4． 故答案为：4． 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，则该双曲线的标准方程为______；若为坐标原点，点为双曲线上一点，且在第一象限，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知和双曲线的离心率公式可求得双曲线的标准方程；再根据双曲线的定义和余弦定理可得答案. 【详解】解：由双曲线的方程及其离心率为得得， 故双曲线的标准方程为． 由题意知所以 在中，， 在中，，则，得． 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． （2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量． 三、解答题 16. 已知表示圆的方程． （1）求实数的取值范围； （2）若直线被圆截得的弦长为4，求实数的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得，解可得的取值范围； （2）根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系分析可得，解可得的值，即可得答案. 【详解】解：（1）配方得： 由， 解得：； （2）由题意可得：圆心为，半径 则， 解得. 【点睛】本题考查圆的一般方程以及直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题. 17. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，得， 而平面APC，平面APC，所以平面APC. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果. （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面与平面的法向量，利用空间向量法即可求出结果. （3）由（2）中信息，利用空间向量求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直线平面ABCD，平面ABCD，得， 由矩形ABCD，得，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面BCF的法向量，则，令，得， 设平面APC的法向量为，则，令，得， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，平面APC的法向量，而， 所以点F到平面ACP的距离. 18. 已知椭圆：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于，两点，若的面积为(为坐标原点)，求椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由条件可得，再根据, 求出，可得答案； (2)联立直线与椭圆方程可得，，，可得AB弦长，求出原点到直线的距离，代入面积公式即可求解. 【小问1详解】 椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为，， 所以，即.则，又，， ； 【小问2详解】 设，， 由得：， ，，， ， 又原点到直线的距离，， 即，解得，满足，， 故椭圆的方程为. 19. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式及数列的前项和； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列基本量法建立方程组并求解，进而求出通项公式可得； （2）两两并项应用平方差公式化简后再根据等差数列求和公式可求. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，则. 依题意，，即， 解得，，所以. 故. 【小问2详解】 由（1）得，， . 20. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为，短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限），此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点，且，求直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及即可求解，得解， （2）根据截距式得直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据相切可得判别式为0得，即可联立直线与的方程得坐标，即可根据面积关系求解. 【小问1详解】 由题意，则， 又，，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图所示： 直线的斜率存在且为负数，不妨设直线的方程为， 则由题意有，， 所以直线的方程为， 将与椭圆方程联立， 消去并整理得，， 由题意直线与椭圆相切与点， 则，即， 所以，， 即点的坐标为， 所以直线的方程为， 将其与直线的方程联立，解得，， 即点的坐标为， 由题意，整理得， 结合以及，，解得，， 综上所述，满足题意的直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $