精品解析：四川省泸县第五中学2025届高三上学期第二次诊断性模拟数学试题

泸县五中高2022级第二次诊断性模拟考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1，答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念可求得的值，进而根据复数的乘法运算即可求得结果. 【详解】由已知可得，所以. 故选：C. 3. 已知正三角形的边长为2，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】如图(1)为的实际图形，图（2）为的直观图. 由斜二测画法得： ， 作， 则， 所以. 故选：D 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得. 【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是， 得，解得， 该物体的温度降至需要冷却的时间为，则， 于是，两边取对数得， 所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为. 故选：D 7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（ ） A. 6 B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】在几何体中，作FN//AE，FM//ED，将多面体被分割为三棱柱与四棱锥两部分求解. 【详解】如图，作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分， 因为EF与平面ABCD的距离为2， 所以四棱锥F-NBCM的高为2， 所以V四棱锥F-NBCM=SNBCM V棱柱ADE-NMF=S直截面 所以该刍甍的体积为V=V四棱锥F-NBCM+V棱柱ADE-NMF=. 故选：B 【点睛】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题. 8. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ∵函数是区间上的双中值函数， ∴区间上存在 ， 满足 ∴方程在区间有两个不相等的解， 令， 则， 解得 ∴实数的取值范围是. 故选:A． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.07 B. 这100名学生中体重低于60kg的人数为60 C. 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62 D. 据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5 【答案】AC 【解析】 【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及频数、百分位数、平均数计算公式计算即可. 【详解】对于A项，因为，解得：，故A项正确； 对于B项，人，故B项错误； 对于C项，因为，，，所以第78百分位数位于之间， 设第78百分位数为x，则，解得：，故C项正确； 对于D项，因为，即：估计该校学生体重的平均数约为，故D项错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以， 解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，， 所以，即函数的值域为，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，，其图象的对称轴为直线，且，， 所以函数在上的值域为，故D不正确． 故选：AC． 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可. 【详解】令，得，因为， 所以，所以A错误； 令，得①，所以， 因为是奇函数，所以是偶函数， 所以②，由①②， 得， 即， 所以， 所以，是周期为3的函数，所以， ， 所以B正确，C错误； 因为， 在①中令得， 所以， ，所以D正确． 故选：BD． 【点睛】对于可导函数有： 奇函数的导数为偶函数 偶函数的导数为奇函数 若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】欲求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决． 【详解】解：依题意得y′＝ex+1， 因此曲线在点处的切线的斜率等于， 相应的切线方程是y﹣3＝2（x﹣0）， 当x＝0时，y＝3 即y＝0时，x＝， ∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： S3×＝． 故答案为． 【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 13. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为，则双曲线的焦距为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由准线上的点得准线方程和抛物线焦点坐标，得到双曲线左顶点坐标可求，由双曲线的一条渐近线上的点得渐近线方程，可求出，从而可求双曲线的焦距. 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为， 即点在抛物线的准线上，故，得 则抛物线的焦点坐标为，双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4， 得双曲线的左顶点为，即， 又点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为， 则有，进而，得焦距为. 故答案为： 14. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用平移变换得到，然后根据，满足，利用正弦函数的性质得到或，即或求解. 【详解】函数的图象向右平移个单位后得到函数， 因为，由， 得或， 当时， ， 当时， 当，， 当时， 综上：的最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换以及正弦函数性质的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图为函数（，，，）的部分图象. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象依次求得的值. （2）根据三角函数图象变换的知识求得，根据在区间上的单调性求得的取值范围. 【小问1详解】 由图可知，， 所以， 由， 得， 由于，所以，所以 【小问2详解】 的图象向右平移个单位长度， 得到， 当时，， 所以当，即时，递增， 当，即时，递减， ， ， 由于方程在上有两个不相等的实数根， 所以的取值范围是. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱的中点，为棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：取BC中点E，连AE，如图， 因，则，而，有，又平面， 以点A为原点，射线AE，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系， 则， ，显然， 则， 而，因此有，即平面， 又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC中点E，连AE，以点A为原点，建立空间直角坐标系，探讨与平面的关系即可推理作答. （2）利用（1）中相关信息，求出平面的法向量，借助空间向量即可计算作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，由（1）知，令，得， 而平面的一个法向量是，则，显然二面角是锐角， 所以二面角的余弦值. 17. 已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 18. 已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. （1）若的离心率为2，求. （2）若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. （3）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】（1）； （2）当时，； （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【小问1详解】 由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. 【小问2详解】 当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. 【小问3详解】 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 19. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）数列的前 项和为，且； （ⅰ）求； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）证明：证明：令，其中， 则， 因为，则， 又因为，则，所以，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递减， 当时，，即. （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：令，其中且， 则， 因为，则， 又因为，则，所以，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增， 当时，，即，当且仅当时，等号成立， 因为， 令，则， 当时，则有， 当时，，即，此时数列从第二项开始单调递减， 所以，对任意的，， 所以，， 所以，当时，， 设数列的前 项和为，则， 所以，， 上述两个等式作差可得， 所以，，所以，， 所以，， 当时，则，所以，，则， 所以，， 当时，， 当时，，即， 当时，，因为，所以，， 综上所述，对任意的，. 【解析】 【分析】（1）令，利用导数分析函数在上的单调性，即可证得结论成立； （2）（i）令可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式； （ii）利用导数证明出当且时，，可得出，验证当时，结论成立；当时，利用错位相减法求出数列的前 项和，利用放缩法证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（i）对任意的，， 当时，则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，所以，， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故； （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2022级第二次诊断性模拟考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1，答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知正三角形的边长为2，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（ ） A. 6 B. C. D. 12 8. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.07 B. 这100名学生中体重低于60kg的人数为60 C. 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62 D. 据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________. 13. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为，则双曲线的焦距为_______________. 14. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，满足，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图为函数（，，，）的部分图象. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱的中点，为棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 18. 已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. （1）若的离心率为2，求. （2）若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. （3）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 19. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）数列的前 项和为，且； （ⅰ）求； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $