精品解析：福建省漳州市漳浦道周中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年道周中学高二数学上学期 数学第一次月考卷 第I卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（ ） A. B. C. 7 D. 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 3. 记为等差数列前项和．若，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 32 D. 64 5. 过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知等差数列中，，，则数列前2023项和为（ ） A. 1012 B. 1011 C. 2023 D. 7. 已知，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知公比为正数的等比数列的前n项积为，且满足，，若对任意的，恒成立，则k的值为（ ） A. 50 B. 49 C. 100 D. 99 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ） A B. C. D. 11. 已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线的一个方向向量是，则实数k的值为______． 13. 若直线与直线平行，则直线与的距离为__________. 14. 已知数列的前项和为满足.则__________；设，求数列的前项和__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知为等差数列的前项和，且. （1）求的通项公式; （2）求的最大值. 16. 已知直线经过点. （1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； （2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为. （1）求边所在直线方程； （2）求点到边的距离. 18 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 19. 如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”. （1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项； （2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年道周中学高二数学上学期 数学第一次月考卷 第I卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列前的几项归纳出，即可求出结果. 【详解】由题知，所以， 故选：B. 2. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 3. 记为等差数列的前项和．若，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出首项和公差，利用等差数列求和公式求出答案. 【详解】由等差数列的性质得①， ②， 由①得，代入②得，解得， 故， 故. 故选：C 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 5. 过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求解即可. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等 得，解得或，即直线方程为或. 故选：C. 6. 已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（ ） A. 1012 B. 1011 C. 2023 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等差数列的基本量运算求出，然后利用并项求和法求解即可. 【详解】设数列的公差为d，则解得， 所以，设， 所以，，…， 所以数列的前2023项和为. 故选：D 7. 已知，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为， 故选：C. 8. 已知公比为正数的等比数列的前n项积为，且满足，，若对任意的，恒成立，则k的值为（ ） A. 50 B. 49 C. 100 D. 99 【答案】B 【解析】 【分析】由，公比为正数，按照与的大小分类讨论，先排除.当时，由得，从而求得的最小值. 【详解】设等比数列的公比为， 若，由，则恒成立， 由，得，即， 这与矛盾，所以. 由，又，则恒成立， 得，即. 则等比数列为递增数列， 则，又， 所以， 则且 所以是的最小值，即对任意的，恒成立， 所以k的值为49． 故选：B． 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，利用求解即可. 【详解】设数列的公比为q， 则， 所以，解得或，即或． 故选：BC． 10. 若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意可分截距为0和不为0两种情形讨论即可求解． 【详解】当截距为0时， 则l过点和原点， 所以l的方程为，即； 当截距不为0时， 由直线l过在两坐标轴上的截距互为相反数， 则设l的方程为， 又l过点，得，解得， 所以l的方程为． 故选：BD． 11. 已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推公式一一列举可推出A项，并推出数列的周期性，从而可判定B项、C项，对递推公式变形化简可判定D项. 【详解】由，，得，，故A正确； 又，所以数列是以3为周期的周期数列， 所以，故B正确； ， 故C错误； 因，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 第II卷 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线的一个方向向量是，则实数k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把直线的方程化为斜截式，然后根据方向向量的定义进行求解即可. 【详解】因为直线的斜率为， 所以，解得． 故答案为： 13. 若直线与直线平行，则直线与的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线平行求得，进而结合两平行线间距离公式分析求解. 【详解】由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为满足.则__________；设，求数列的前项和__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“当时，”变形构造数列求；求出，利用等差数列前项和求. 【详解】当时，，当时，由有：， 所以， 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列. 即； ，所以数列为等差数列， 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知为等差数列的前项和，且. （1）求的通项公式; （2）求的最大值. 【答案】（1）； （2）100 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质及求和公式先求出，进而求出公差d即可求出通项. （2）由（1）的信息，判断数列的单调性，进而求出最大值． 【小问1详解】 在等差数列中，由，得，解得， 而，因此数列的公差， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此数列的前8项都为正，从第9项起为负，则数列的前8项和最大， 而，所以. 16. 已知直线经过点. （1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求点斜式方程； （2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的点斜式方程，利用截距和为零建立斜率的方程，求解斜率即可写出点斜式方程； （2）先利用截距表示的面积，然后利用基本不等式求解最值，即可得到所求直线的方程. 【小问1详解】 由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，即， 所以的斜截式方程为. 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求点到边的距离. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出点坐标，由两点式求出直线方程，得到答案； （2）根据垂直关系得到设出方程为，将点代入直线方程，得到直线的方程，联立直线与直线，得到点的坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【小问1详解】 因为点C是直线与直线的交点， 由， 得， 即点坐标为， 所以边所在直线的方程为， 即. 故边所在直线的方程为. 【小问2详解】 因为边上的高线所在直线方程为， 可设直线方程为， 因为点在直线上，所以，解得. 所以直线的方程为. 因为边上的中线所在直线方程为， 由， 得，即点D坐标为. 由（1）知，边所在直线方程为， 所以点D到直线的距离. 18. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）在数列中，，，求的通项公式； （3）记数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解； （2）累加法求数列通项公式； （3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算. 【小问1详解】 ， 变形得：， 又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列. 从而，即. 【小问2详解】 由题意可得， 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， 又，所以， 当时，满足上式， 所以 【小问3详解】 由（1）、（2）知， 则在前项中， , , 作差得 . 从而. 19. 如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”. （1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项； （2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）或 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用“归化数列”的条件可得，从而，以后各项依次可写出； （2）由13阶“归化数列”得，当时，，当时，，由此可得的通项公式； （3）根据数列为“阶可控摇摆数列”求得，再利用数列的前项和得，然后推得与不能同时成立，即可判断. 【小问1详解】 设成公比为的等比数列，显然， 则有， 得，解得，由， 得，解得， 所以数列或为所求6阶“归化数列”； 【小问2详解】 设等差数列的公差为，由， 所以，所以，即， 当时，与归化数列的条件相矛盾， 当时，则， 所以，即， 所以， 当时，由， 所以，即， 所以， 故或； 【小问3详解】 不能，理由如下： 记中所有非负项之和为，负项之和为， 因为数列为“阶可控摇摆数列”，则，得， 故，所以， 若存在，使得，即， 则， 且， 假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为， 则， 因为，所以， 所以； 又，则， 所以； 即与不能同时成立. 故数列不为“阶可控摇摆数列”. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义问题，应根据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项公式求法（如公式法、累加法、待定系数法等）求得数列通项公式和前项和，最后在通项和前项和的基础上讨论数列的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$