6.1 圆的基本概念与性质-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

∵ BC= 2,∴ OB= 2 , ∴ PF=OB= 2 . ∴ 点 P 在运动过程中,PF 的长度不变,值为 2 . 图① 　 图② 第 3 题解图 第六章　 圆 命题点 1　 圆的基本概念与性质 要点归纳 ①相等　 ②圆心　 ③直径　 ④相等　 ⑤相等　 ⑥∠COD　 ⑦CD　 ⑧相等　 ⑨∠COD　 􀃊􀁉􀁒垂直　 􀃊􀁉􀁓平分　 􀃊􀁉􀁔垂直 􀃊􀁉􀁕平分　 􀃊􀁉􀁖平行　 􀃊􀁉􀁗一半　 􀃊􀁉􀁘相等　 􀃊􀁉􀁙直径　 􀃊􀁉􀁚 1 2 　 􀃊􀁉􀁛 = 􀃊􀁊􀁒90　 􀃊􀁊􀁓 α 2 　 􀃊􀁊􀁔180°- α 2 　 􀃊􀁊􀁕互补　 􀃊􀁊􀁖180°　 􀃊􀁊􀁗∠ABC 􀃊􀁊􀁘△BCF　 􀃊􀁊􀁙△DCF 对点练习 1. (1)40°　 (2)1　 (3)2 2 2. (1)4　 (2)3,4 5 ;(3) 1 2 或 7 2 3. 70　 4. (1)110　 (2)90　 (3)5　 (4)75°或 105° 命题点 2　 与圆有关的位置关系 要点归纳 ①>　 ② = 　 ③<　 ④>　 ⑤ = 　 ⑥<　 ⑦垂直　 ⑧等于 ⑨平分线　 􀃊􀁉􀁒垂直平分线 例 1 证明:如解图,连接 OD, ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ AD⊥BC, ∵ AB=AC,∴ BD=DC, ∵ BO=OA,∴ OD∥AC, ∵ DE⊥AC,∴ OD⊥DE, ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 是☉O 的切线. 例 1 题解图 例 2 证明:如解图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F, 例 2 题解图 ∵ ∠BAD = 90°, BD 平 分∠ABC, ∴ AD=DF, ∴ DF 是☉D 的半径, ∵ DF⊥BC, ∴ BC 是☉D 的切线. 对点练习 1. C　 拓展 1-1　 >　 拓展 1-2　 ☉O2 、☉O3 ;☉O4 2. (1)证明:∵ 四边形 ACBD 是☉O 的内接四边形,∴ ∠CAD +∠CBD= 180°, ∵ ∠CBD+∠CBE= 180°,∴ ∠CAD= ∠CBE, ∵ AC ( =CD ( ,∴ ∠ABC= ∠CAD, ∴ ∠ABC= ∠CBE,∴ BC 平分∠ABE; (2)解:如解图,连接 OC,∵ ∠ACB = 90°,∴ AB 是☉O 的 直径, ∵ AC= 8,BC= 6,∴ AB= 　 AC2 +BC2 = 　 82 +62 = 10, ∵ CE 与 ☉O 相切于点 E, ∴ ∠OCE = 90°, ∴ ∠ACB = ∠OCE= 90°, ∴ ∠ACB-∠OCB= ∠OCE-∠OCB,∴ ∠ACO= ∠BCE, ∵ OA=OC,∴ ∠OAC= ∠OCA,∴ ∠OAC= ∠BCE, ∵ ∠ABC= ∠CBE,∴ △ABC∽△CBE,∴ CE CA = CB AB ,∴ CE 8 = 6 10 ,∴ CE= 4. 8. 第 2 题解图 3. 40　 4. 1 命题点 3　 弧长、扇形面积有关的计算 要点归纳 ①2πr　 ② nπr 180 　 ③πr2 　 ④ nπr2 360 对点练习 1. 10 3 π　 2. 1 000π 3 　 3. 120°　 4. 40　 5. 10π 6. 6 - 25π 16 ,2+ 5π 4 第七章　 图形的变化 命题点 1　 尺规作图 要点归纳 ① 1 2 MN　 ② 1 2 AB　 ③ 1 2 AB　 ④ 1 2 AB 对点练习 1. (1)B　 (2)如解图,点 P 即为所求. 第 1 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 321 基础夯实练·陕西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第六章　 圆 (每年 2 ~ 4 道,11 ~ 21 分) 第 六 章 　 圆 命题点 1　 圆的基本概念与性质(必考) 要点 1 圆的基本概念与性质(必考,不单独设题考查) 圆 第一种定义:平面内,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一 周,另一个端点形成的图形叫作圆. 如图,固定的 端点 O 称为圆心,线段 OA 称为半径; 第二种定义:圆还可以看成是平面上到定点的距离等于定长的 所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆,同圆或等圆的半径①　 相等　 弦 (1)连接圆上任意两点的线段叫作弦. 如图,线段 AB,AC; (2) 经过 ② 　 圆心 　 的弦叫作直径,在圆的所有弦中, ③　 直径　 是最长的弦. 如图,线段 AB 弧 圆上任意两点 间的部分叫作 圆弧,简称弧 (1)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两 条弧,每一条弧都叫作半圆.如图,半圆 AB; (2)大于半圆的弧叫作优弧. 如图,ABC ( ; (3)小于半圆的弧叫作劣弧. 如图,AC ( ; (4)在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫 作等弧 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角. 如图,∠AOC,∠BOC 圆周角 顶点在圆上 ,两边分别与圆还有另一个交点,这样的角叫作 圆周角. 如图,∠BAC 圆的 对称性 (1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线; (2)圆是中心对称图形,它的对称中心为圆心 圆的旋 转不变性 圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合 易错警示:(1)同一圆中任意一条弦对应两条弧; (2)直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径,一个圆有无数条直径和半径; (3)半圆是弧(注意一定不能带直径),但弧不一定是半圆; (4)等弧只存在于同圆或等圆中,指的是能够完全重合的弧; (5)直径平分圆,但圆的对称轴不是直径,而是直径所在的直线. 98 基础夯实练·陕西数学 第 六 章 　 圆 要点 2 弦、弧、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧④　 相等　 ,所对的 弦⑤　 相等　 . 如图,若∠AOB= ⑥　 ∠COD　 ,则 AB ( =CD ( ,AB= ⑦　 CD　 推论 在同圆或等圆中􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别⑧　 相等　 . 如图,若 AB ( =CD ( ,则∠AOB= ⑨　 ∠COD　 ,AB=CD 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 　 第 1 题图 对 点练 习 1. (人教九上 P85 第 2 题改编)如图,AB 是☉O 的直径,BC ( =CD ( =DE ( . (1)∠AOE= 60°,则∠BOC= 　 40°　 ; (2)若 OE 平分∠AOC,AE= 1,则 BD= 　 1　 ; (3)若∠AOE= ∠BOC,AB= 4,则 BD= 　 2 　 2 　 . 要点 3 垂径定理及其推论(8 年 3 考) 定理 􀃊􀁉􀁒　 垂直　 于弦的直径􀃊􀁉􀁓　 平分　 弦以及弦所对的两条弧 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径􀃊􀁉􀁔垂直　 于弦,并且􀃊􀁉􀁕平分弦所对的两条弧; (2)圆的两条􀃊􀁉􀁖　 平行　 弦所夹的弧相等 应用 (1)如图,已知 AB 不是☉O 的直径,则对于结论:①AB⊥CD, ②AE=BE(或 CD 平分 AB),③AD ( = BD ( ,④AC ( = BC ( ,⑤CD 是☉O 的直径,知道其中两个,可以得出其他三个; (2)如图,AB=a,OA= r,OE = d,DE = h,当 OD⊥AB(或点 D 是 AB ( 的中点)时,满足 r=d+h,( 1 2 a) 2 +d2 = r2 拓展 如图,确定 AB ( 所在圆的圆心的作图方法如下: 作法:①在 AB ( 上取一点 C,连接 AC,BC; ②作 AC,BC 的垂直平分线; ③两条垂直平分线的交点即为 AB ( 所在圆的圆心. 09 基础夯实练·陕西数学 第 六 章 　 圆 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 已知 AB 是☉O 的直径,CD 是☉O 的弦(非直径),CD⊥AB 于点 E. (1)如图①,连接 AC,OC,AD,OD. 下列结论正确的有　 4　 个; ①CE=DE;②BC ( =BD ( ;③AC=AD;④∠COE= ∠DOE;⑤∠OCD= ∠CAD 图① 　 　 图② 第 2 题图 (2)如图②,连接 AC. 若 AB= 10,CD= 8,则 OE= 　 3　 ;AC= 　 4 　 5 　 ; (3)易错 ∙∙ 　 若☉O 的另一条弦 MN∥CD,且 AB= 5,CD= 4,MN= 3,则 CD 和 MN 之间的 距离为　 　 　 　 　 . 【思维模型】求圆内两条平行弦间的距离时,需要分情况讨论 已知弦 AB、弦 CD、☉O 的半径长,若 AB∥CD,求两条弦之间的距离 d 情况一:当两条弦位于圆心同侧时 情况二:当两条弦位于圆心异侧时 利用勾股定理,在 Rt△OBE 中求出 OE,在 Rt△ODF 中求出 OF,d=OF-OE 利用勾股定理,在 Rt △OBE 中求出 OE,在 Rt△ODF 中求出 OF,d=OF+OE 要点 4 圆周角定理及其推论(必考) (1)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的􀃊􀁉􀁗　 一半　 . (2)圆周角定理的推论 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角􀃊􀁉􀁘　 相等　 ; 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是􀃊􀁉􀁙　 直径　 . 圆周角定理 圆周角定理的推论 图形 表示 结论 ∠APB= 􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 ∠AOB ∠1􀃊􀁉􀁛=∠2 ∠ACB= 􀃊􀁊􀁒　90　 ° 19 基础夯实练·陕西数学 第 六 章 　 圆 易错警示:已知圆内一条弦和其对应的圆心角,求其对应的圆周角时要分情况讨论􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍: 情况一:弦所对圆周角和圆心角在弦的同侧 情况二:弦所对圆周角和圆心角在弦的异侧 β= 􀃊􀁊􀁓　 　 　 　 β= 􀃊􀁊􀁔　 　 　 　 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 3 题图 对 点练 习 3. (2023 宁夏)如图,四边形 ABCD 内接于☉O,延长 AD 至点 E,已知 ∠AOC= 140° ,那么∠CDE= 　 70　 °. 4. 已知 AB 是☉O 的弦 ( 非直径),点 C 是☉O 上一动点,连接 OA,OB. (1 ) 如图 ①, 点 C 在优弧 AB 上, 若 ∠C = 55°, 则 ∠AOB = 　 110　 °; (2)如图②,点 C 在 AO 的延长线上,∠A+∠C= 　 90°　 ; (3)如图③,∠BAC= 90°,AC= 6,AB= 8,则 OA= 　 5　 ; (4)易错 ∙∙ 　 如图④,延长 AO 交☉O 于点 D,连接 BD. 若∠ADC = 15°,则∠DBC 的度数 为　 75°或 105 °　 . 图① 　 　 图② 　 　 图③ 　 　 图④ 第 4 题图 要点 5 圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的对角􀃊􀁊􀁕　 互补　 ,如图 1,∠B+∠ADC= 􀃊􀁊􀁖　 180°　 ; (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角),如图 2, ∠ADE= 􀃊􀁊􀁗　 ∠B　 ; (3)连接圆内接四边形的两条对角线,则必然存在两组相似三角形,如图 2,△ADF∽ 􀃊􀁊􀁘　 △BCF　 ,△ABF∽􀃊􀁊􀁙　 △DCF　 . 图 1 　 　 　 　 　 　 图 2 温馨提示:请完成分层作业本 P71-74 习题 29