4.1 线段、角、相交线与平行线-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

∵ - 1 4 < 0,∴ 当 x = 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD = 9 m. 例 2　 D 例 3　 y= - 1 2 x2 +5x 例 4　 解:设 y 与 x 之间的函数关系式 y= kx+b, 把(40,80),(50,60)分别代入 y= kx+b, 得 40k+b= 80, 50k+b= 60,{ 解得 k= -2, b= 160,{ ∴ y= -2x+160(x≤60); 设该超市日获利润为 W 元, W = (x-30)( -2x+160) = -2x2 +220x-4 800 = -2(x-55) 2 +1 250, ∵ -2<0, ∴ 抛物线开口向下,W 有最大值, 当 x= 55 时,W最大 = 1 250, 答:当销售单价为 55 元时,该超市日获利最大,最大获利 1250 元. 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 要点归纳 ①图 1,图 2,图 3　 ②图 4　 ③60　 ④60　 ⑤90° 　 ⑥相等　 ⑦180°　 ⑧相等　 ⑨相等　 􀃊􀁉􀁒PN　 􀃊􀁉􀁓相等　 􀃊􀁉􀁔90　 􀃊􀁉􀁕相等 􀃊􀁉􀁖相等　 􀃊􀁉􀁗∠3　 􀃊􀁉􀁘∠8　 􀃊􀁉􀁙∠8　 􀃊􀁉􀁚∠5　 􀃊􀁉􀁛∠8　 􀃊􀁊􀁒∠7 􀃊􀁊􀁓∠8　 􀃊􀁊􀁔相等　 􀃊􀁊􀁕相等　 􀃊􀁊􀁖互补 对点练习 1. (1)24°20′;(2)114°20′;(3)32°50′　 2. D 3. PB　 拓展　 CP 4. (1)20;(2)130° 命题点 2　 三角形及其重要线段 要点归纳 ①大于　 ②>　 ③小于　 ④<　 ⑤180°　 ⑥360°　 ⑦∠3 ⑧>　 ⑨>　 􀃊􀁉􀁒>　 􀃊􀁉􀁓内部　 􀃊􀁉􀁔内部　 􀃊􀁉􀁕外部　 􀃊􀁉􀁖内部 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 1 2 　 􀃊􀁉􀁙 1 4 　 􀃊􀁉􀁚90°+ 1 2 ∠A　 􀃊􀁉􀁛 1 2 ∠A 􀃊􀁊􀁒90°- 1 2 ∠A 对点练习 1. D 第 2 题解图 2. 证明: 如 解 图, 过 点 A 作 MN ∥BC. ∴ ∠MAB= ∠B,∠NAC= ∠C. ∵ ∠MAB + ∠BAC + ∠CAN = ∠MAN= 180°, ∴ ∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180°, 即三角形的内角和为 180°. 变式 1　 45　 变式 2　 95 3. (1)①60　 ②1　 (2)①4　 ②5 4. 9 或 1 画图区 第 4 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 命题点 3　 等腰(边)三角形的性质与判定 要点归纳 ①相等　 ②相等　 ③相等　 ④60°　 ⑤ 1 2 (180°-α)　 ⑥45° ⑦ 1 2 (180°-α)　 ⑧180°-2α　 ⑨2a+b　 􀃊􀁉􀁒2b+a 对点练习 1. (1)①24　 ②4　 (2)①30　 ②2　 (3)3　 2. C　 3. C 变式　 4 4.解:(1)25,115,小; (2)当 DC= 2 时,△ABD≌△DCE, 理由:∵ ∠C= 40°,∴ ∠DEC+∠EDC = 140°,又∵ ∠ADE = 40°,∴ ∠ADB+∠EDC= 140°,∴ ∠ADB = ∠DEC,又∵ AB = DC= 2,∴ △ABD≌△DCE(AAS), (3)当∠BDA 的度数为 110°或 80°时,△ADE 的形状是等 腰三角形;理由略. 5.证明:图 1:∵ OC 平分∠AOB,∴ ∠AOC= ∠BOC, 又∵ CD∥OB,∴ ∠OCD= ∠BOC, ∴ ∠AOC= ∠OCD, ∴ OD=CD, ∴ △ODC 为等腰三角形. 图 8:∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB= 90° = ∠BAC, ∴ ∠DBE+∠BFD= 90°,∠ABE+∠AEB= 90°, 又∵ BE 平分∠ABC, ∴ ∠ABE= ∠CBE, ∴ ∠BFD= ∠AEB, ∵ ∠BFD= ∠AFE, ∴ ∠AFE= ∠AEB, ∴ AE=AF, ∴ △AEF 为等腰三角形. 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 要点归纳 ①互余　 ②斜边的一半　 ③平方和　 ④平方　 ⑤a2 +b2 = c2 ⑥互余　 ⑦c　 ⑧相等　 ⑨相等　 􀃊􀁉􀁒45　 􀃊􀁉􀁓1 ∶ 2 　 􀃊􀁉􀁔45° 􀃊􀁉􀁕60°　 􀃊􀁉􀁖一半　 􀃊􀁉􀁗30°　 􀃊􀁉􀁘1 ∶ 3 ∶ 2　 􀃊􀁉􀁙S1 +S2 =S3 􀃊􀁉􀁚S1 +S2 =S3 例 1　 7或 5 例 2　 5 3 或 4 3 ;3-x 对点练习 1. (1)70°;5　 (2)2;2　 (3)30°;1 ∶ 3 　 2. 3 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 基础夯实练·陕西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第四章　 三角形 (每年 3 ~ 6 道,13 ~ 23 分) 第 四 章 　 三 角 形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线(必考) 要点 1 线段与直线 两个基本 事实 (1)两点确定一条直线. 生活中的应用如下图中的①　 图 1,图 2,图 3　 ; (2)两点之间,线段最短. 生活中的应用如下图中的②　 图 4　 　 　 　 　 　 　 两点间 的距离 连接两点之间的线段的长度 ∙∙ 线段的 和差 如图,AB+BC=AC;AB=AC-BC;BC=AC-AB 线段的 中点 点 M 是线段 AB 的中点,AM=BM= 1 2 AB 线段的三 等分点 点M,N 是线段 AB 的三等分点,AM=MN=NB= 1 3 AB 易错警示:一条线段的三等分点有 2 个,遇到三等分点时要注意分类讨论. 拓展 (1)经过平面上 n 个点中的任意两点画直线,最多可画 n(n-1) 2 条; (2)n 条直线,两两相交,交点最多有n(n -1) 2 个,最少是 1 个. 要点 2 角与角平分线(必考,2020. 2 单独考查,其余均是涉及考查) 角的分类 锐角:小于 90°;直角:等于 90°;钝角:大于 90°;平角:等于 180°;周角:等 于 360° 度、分、秒 的换算 1°= ③　 60　 ′,1′= ④　 60　 ″ 余角 α,β 互为余角⇔α+β= ⑤　 90°　 ;同角(等角)的余角⑥　 相等　 补角 α,β 互为补角⇔α+β= ⑦　 相等　 ; 同角(等角)的补角⑧　 相等　 55 基础夯实练·陕西数学 第 四 章 　 三 角 形 续表 角 平 分 线 概念 定理 逆定理 从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线叫 作这个角的平分线 角平分线上的点到角的两边距离⑨　 相等　 . 如图,OP 平分 ∠AOB,PM⊥OA 于点M,PN⊥OB 于点 N,则 PM=􀃊􀁉􀁒　 PN　 在角的内部,到角的两边距离􀃊􀁉􀁓　 相等　 的点在这个角的平分线上 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 已知∠AOB= 65°40′. (1)若∠DOC 与∠AOB 互余,则∠DOC= 　 24°20′　 ; (2)若∠MON 与∠AOB 互补,则∠MON= 　 114°20′　 ; (3)若 OP 平分∠AOB,则∠BOP= 　 32°50′　 . 要点 3 相交线 (1)垂线与垂线段 垂线 如图,当直线m 和 n 相交所成的∠AOB=􀃊􀁉􀁔　 90　 °时,m⊥n 基本事实: 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 点到直 线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 (2)线段的垂直平分线 定义 经过一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离􀃊􀁉􀁕　 相等　 . 逆定理 到线段两端点距离􀃊􀁉􀁖　 相等　 的点在这条线段的垂直 平分线上 (3)三线八角 对顶角 ∠1 与􀃊􀁉􀁗　 ∠3　 ,∠2 与∠4,∠5 与∠7,∠6 与􀃊􀁉􀁘　 ∠8　 ; 对顶角的性质:对顶角相等 邻补角 ∠1 和∠3 都与∠2,∠4 互为邻补角;∠5 和∠7 都与∠6,∠8 互为邻补角;互为邻补角的两个角之和等于 180° 同旁内角 ∠2 与∠5,∠3 与􀃊􀁉􀁙　 ∠8　 ,结构特征:形如“U” 同位角 ∠1 与 􀃊􀁉􀁚 　 ∠5 　 , ∠2 与 ∠6, ∠4 与 􀃊􀁉􀁛 　 ∠8 　 , ∠3 与 􀃊􀁊􀁒　 ∠7　 ,结构特征:形如“F” 内错角 ∠2 与􀃊􀁊􀁓　 ∠8　 ,∠3 与∠5,结构特征:形如“Z” 65 基础夯实练·陕西数学 第 四 章 　 三 角 形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. 如图,直线 AD,BE 被直线 BF 和 AC 所截,则下列说法错误的是 ( D ) A. ∠1 与∠2 是同位角　 　 　 　 　 　 B. ∠3 与∠4 是内错角 C. ∠4 与∠5 是同旁内角 D. ∠1,∠5,∠3 互为邻补角 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,点 P 是直线 a 外一点,A,B,C,D 都在直线 a 上,PB⊥a 于 B,则线段 PA,PB, PC,PD 中最短的是　 PB　 . 拓展　 若点 B 是 AC 的中点,请写出图中与 AP 相等的线段:　 CP　 . 要点 4 平行线(6 次在选择题考查求角度,3 次在解答题考查平行线判定) 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 推论 平行于同一直线的两条直线平行,即若 a∥c,b∥c,则 a∥b 性质与判定 同位角􀃊􀁊􀁔相等 判定 性质 􀜩 􀜨􀜑􀜑 两直线平行; 内错角􀃊􀁊􀁕相等 判定 性质 􀜩 􀜨􀜑􀜑 两直线平行; 同旁内角􀃊􀁊􀁖互补 判定 性质 􀜩 􀜨􀜑􀜑 两直线平行 → ∠1 = ∠2⇔a∥b ∠1 = ∠3⇔a∥b ∠1+∠4 = 180°⇔a∥b ì î í ï ï ï ï 平行 线之 间的 距离 概念 性质 两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫作这两条平 行线之间的距离 两条平行线间的距离处处相等 →a∥b⇒MN=PQ 要点 5 拐点平行线求角度的两种辅助线作法 作法一: 作平 行线 作法二: 延长 相交 角度关系 ∠ABE+∠DCE =∠BEC ∠ABE+∠DCE +∠BEC= 360° ∠ABE-∠DCE =∠BEC ∠ABE-∠DCE =∠BEC ∠ABE + ∠DCE - 180°= ∠BEC 75 基础夯实练·陕西数学 第 四 章 　 三 角 形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 4. 如图,AB∥FG,点 C,E 分别为直线 AB,GF 上的点,点 D 为平面内任意一点. (1)(北师八上 P186 第 15(2)题改编)如图①,点 D 在 AB 上方,若∠ACD= 30°,∠FED= 50°,则∠D= 　 20　 °; (2)如图②,点 D 在 AB 与 FG 之间,且∠CDE = 90°,若∠ACD = 40°,则∠DEG = 　 130°　 . 图① 　 　 　 　 图② 第 4 题图 要点 6 定义、命题与定理 定义 对名称和术语的含义加以描述,并作出明确的规定,也就是给出它们的 定义 命 题 概念 判断一件事情的句子叫作命题. 一般地,命题都是由条件和结论组成的 真命题 如果条件成立,那么结论一定成立的命题叫作真命题 假命题 如果条件成立,不能保证结论一定成立的命题叫作假命题 互逆 命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命 题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题 定理 有些命题,它们的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题叫定理 反例 要说明一个命题是假命题,可以举出一个例子,使其具备命题的条件,而不 具备命题的结论,这样的例子称为反例 证明 实验、观察、归纳得出的结论可能正确也可能不正确,因此,一个数学结论 是否正确必须进行推理并作出判断,这个推理过程就叫作证明 反证法 适用于直接证明比较困难,情况多而复杂,但是否定比较简单的命题. 用反 证法证明的步骤为: (1)反设:假定要证的结论不成立,而设结论的反面成立; (2)归谬:将“反设”作为条件,经过正确推理,导出与定义、基本事实、定理 或已知条件产生矛盾的结论; (3)因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反 面不成立,那么结论一定成立 温馨提示:请完成分层作业本 P45-46 习题 85