专题2-3 平行线与相交线中的4大动态问题与探究性问题-【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练

1 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 专题 2- 3 平行线与相交线中的 4大动态问题与探究性问题 行与相交 问题与综 探 问题 七下期中压轴题的热门题 ，关系 面几 证 的学习，本 针对 行线与相交线相关的 问题与综 探 问题进行探 ，其 中涉及 几种解题 路，具 方 想，整 与 部 想， 类讨论 想。 知识点一 方程思想 要点诠释：方 想 计算角 中 见， 连比的角 或者倍数、 差关系，可以用方 的 想解 题。 解题的过 中，找 有关未知量的等量关系， 出方 或方 组从而 解。 题 1：直线 l1∥ l2，l3∥ l4，∠1比∠2的 3倍 20°， ∠1、∠2的 数 多 ？ 析：直接 用 行线的 质， 出∠1=∠3，∠2+∠3= 180°，进而 出答案。 ∴设∠2= x， ∠1= 3x- 20°，故 x+ 3x- 20° = 180°， 解 ：x= 50°，故∠1= 130°，∠2= 50°． 知识点二 分类讨论思想 题 2：如果两个角的两边 行，而其中一个角比另一个角的 4倍 30°， 么这两个 角 多 ？ 析：如果两个角的两边 行， 么这两个角相等或互补．设一个角为   x   ． 另一个角为 (4 x- 30) ． 据上面的 质 出方 ， 出方 的解即可。 解：设一个角为   x   ， 另一个角为 (4 x- 30) ， ∵如果两个角的两边 行， 么这两个角相等或互补 ∴ 4x- 30= x  或 4x- 30+ x= 180， 解 ：x= 10或   x= 42，   x= 42时，4x- 30= 138， 即这两个角 10°、10°或 42°、138° 知识点三 三角形的外角 要点诠释：三角 的一个外角 指三角 的一边与 边的延长线组成的角。具 来说，对于三角 ABC，如果延长边BC至点D， 角ACD 三角 ABC 点C的一个外角。 1、三角 外角等于不相 两内角之 ： 这 三角 外角的一个基本 质。对于△ABC，如果角∠ACD 角C的外角， 么有 ∠ACD=∠A+∠B。 2 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 这个 质可以 过 行线的 质 角、内错角等概念来证 。 2、三角 外角大于任 一个与它不相 的内角： 由于外角等于不相 两内角之 ，因此外角 大于其中任 一个内角。 这个 质 解决三角 角 问题时非 有用。 2、三角 外角 定理： 三角 的三个外角之 等于 360°。 这个定理可以 过 三角 的三个外角相 用外角等于不相 两内角之 的 质来证 核心考点一 平行线中的动点问题 1 如图，已知AM⎳BN，∠A= 64°．点P 线AM上一 点 (与点A不 )，BC、BD ∠ABP ∠PBN， 交 线AM于点C，D． (1)∠ABN的 数 ，∠CBD的 数 ； (2) 点P运 时，∠APB与∠ADB之间的数 关系 之发生变化？若不变化，请写出它们之间 的关系， 说 理由；若变化，请写出变化规 ； (3) 点P运 ∠ACB=∠ABD时，∠ABC的 数 多 ？ 3 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 (23- 24七 级下·四川成都·期中)如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD 交于点G， H，∠EHD= α 0°<α<90° ． 一个 45°角的直角三角板PMN 如图①放 ， 点N、 M 直线AB，CD上，∠P= 90°，∠PMN= 45°． (1) ：∠PNB+∠PMD ∠P( “>”“<”或“=”)； (2)若PN⊥EF， 线NO ∠MNG内交直线CD于点O，如图②． N，M 点G，H的右 ， 且∠GNO:∠MNO= 3:2，PM∥NO时， α的 数； (3) 三角板PMN 直线AB左右移 ，保 PM∥EF， 线NO ∠MNG，点N，M 直线AB 直线CD上移 ，请直 写出∠MON的 数 (用 α的 子表示)． 4 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 1 如图， 线AM∥BN，连 AB，点P 线AM上的一个 点 (与点A不 )，BC，BD ∠ABP ∠PBN， 交 线AM于点C，D． (1) ∠A= 60°时， 证：∠CBD=∠A； (2)用 ∠A的 子表示∠CBD为 (直 写出 )； ： (3) 点P 线AM上运 时，∠APB与∠ADB之间的数 关系始终保 不变，请写出它们的关 系， 说 理由； (4)点P运 ∠ACB=∠ABD时， 2∠ABC+ 12 ∠A的 数． 5 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 如图，已知 AM ⎳ BN，点 P 线 AM上一 点 (与点 A不 )，BC、BD ∠ABP ∠PBN， 交 线AM于点C，D． (1)① ∠A= 50°时，∠ABN的 数 130° ； ②∵AM⎳BN， ∴∠ACB=∠ ； (2) ∠A= x°， ∠CBD的 数 (用 x的代数 表示)； (3) 点P运 时，∠ADB与∠APB的 数之比 点P的运 而发生变化？若不变化，请 出 这个比 ；若变化，请写出变化规 ． (4) 点P运 ∠ACB=∠ABD时，请直 写出 2∠DBN+ 12 ∠A的 数． 6 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 3 如图，已知直线 AB ⎳ 线 CD，∠CEB = 100 °，P 线 EB 上一 点，过点 P PQ ⎳ EC交 线 CD于点 Q，连 CP， ∠PCF = ∠PCQ，交直线 AB于点 F，CG ∠ECF，交直线AB于点G． 若点P，F，G都 点E的右 ， ∠PCG的 数； (1)的条件下，若∠EGC-∠ECG= 40°， ∠CPQ的 数； 点P的运 过 中， 存 这 的 ， ∠EGC∠EFC = 3 2 ？若存 ， 出∠CPQ的 数；若不存 ，请说 理由． 7 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 核心考点二 平行线中的旋转问题 1 (23 - 24七 级下·四川成都·期中)如图，AB ∥ CD，点 E 直线 BC左 ，∠BEC = 90°， ∠ABE= 60°， 线 BM从 线 BE出发，绕点 B以每秒 3°的 顺时针方 旋转， 时 线 CN从 线CE出发，绕点C以每秒 1°的 顺时针方 旋转， 线BM旋转 240°时两条 线都 止旋转． 线BM与 线CN交于点P，若∠BPC= 40°， 线BM旋转了 秒．    8 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 1 (23- 24七 级下·四川成都·期中)长 期即 来临， 部 一危 两 安 了一 照灯， 于夜间查 及两 提的 况，如图， 定这一 长 两 行 的，即PQ∥MN，灯A 线自AM 时针旋转至AN 即回转，灯B 线自BP 时针旋转 至BQ 即回转，两灯不 交叉照 巡视．灯A转 的 4°/秒，灯B转 的 1°/ 秒，若灯B 线先转 20秒，灯A 线才 始转 ， 灯B 线首次 达BQ之 ， A灯转 秒时，两灯的光束互相 行． 9 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 如图 1，直线AB∥CD，另一直线 EF⊥AB 交AB、CD于M、N， 线MA绕点M 以每秒 2°的 时针旋转 MA， 时 线NC绕点N以每秒 3°的 顺时针旋转 NC， 旋转的时间为 t(0< t< 60)秒． (1)如图 2， t= 12秒时， 线MA与NC相交于点P， ∠MPN的 数； (2)如图 3， 线MA与NC 行时， t的 ； (3) 线MA与NC互相 直时， t的 ． 10 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 3 如图①，点A、点B 直线 EF 直线MN上，EF∥MN，∠ABN= 45°， 线AC从 线AF的 始，绕点A以每秒 2°的 顺时针旋转， 时 线 BD从 线 BM的 始，绕点B以每秒 6°的 顺时针旋转， 线BD旋转 BN的 时，两者 止运 ．设旋 转时间为 t秒． (1)∠BAF= °； (2) 转 过 中， 线AC与 线BD所 直线的夹角为 80°，直 写出 t的 ． (3) 转 过 中，若 线AC与 线BD交于点H，过点H HK⊥BD交直线AF于点K， ∠AHK ∠ABH 的 发生改变？如果不变，请 出这个定 ：如果改变，请说 理由． 11 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 核心考点三 利用平行线性质求角度之间的数量关系 1 如图，已知直线 l1⎳ l2，直线 l与直线 l1、l2 交于点C 点D，点P 直线 l上一 点，点A 直线 l1上，点B 直线 l2上，且点A 点B 于直线 l 一 ． 如图 (1)， P点 线段CD(不 端点C D)上运 时， 证：∠APB=∠PAC+∠PBD． 如图 (2)， 点P运 直线 l1上方时，试写出∠PAC、∠APB ∠PBD三个角的数 关系， 证 ． 如图 (3)， 点P运 直线 l2下方时，直 写出∠PAC、∠APB ∠PBD三个角的数 关系． 12 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 (23- 24七 级下·四川成都·期中)已知AB ∥CD，点P 面内一点，过点P 线PM、 PN，PM与AB相交于点E，PN与CD相交于点F． (1)如图 1，若点P为直线AB、CD之间区域的一点，∠AEP= 40°，∠CFP= 30°， ∠MPN的 数； (2)如图 2，若点P为直线AB、CD之间区域的一点，∠BEM ∠DFP的角 线交于点Q．请说 ：2∠EQF+∠MPN= 180°； (3)如图 3，若点P、H 直线CD上的点，连 EH，直线EH交∠MPN的角 线于点Q， 线PN 交AB于点G，设∠DPG= α． ∠PHE=∠PEH时， ∠PQH(用 α的代数 表示)． 13 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 1 如图，已知直线EF与直线AB交于点E，直线EF与直线CD交于点F，EM ∠AEF交 直线CD与点M，且∠FEM=∠FME．点G 线MD上的一个 点 (不与点M、F )， EH ∠FEG交直线CD于点H，过H HN∥EM交AB于点N，设∠EHN= α，∠EGF= β． (1) 证：AB∥CD； (2) 点G 点F的右 时， ① 题 图 1中补全图 ； ②若 β= 80°， α= ； (3) 点G 运 过 中，α β之间有 的数 关系？请写出 的猜想， 以证 ． 14 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 (23- 24七 级下·四川成都·期中)已知：直线PQ∥MN，点A为直线PQ上的一个定点， 过点A的直线交MN于点B，点C 线段BA的延长线上，D，E为直线MN上的两个 点 (点 D 点E的左 ).连 AD，AE，且∠ADE=∠DAE． (1)如图 1，若∠BAE= 25°，∠ADE= 50°， ∠ABN= ； (2) 线AF为∠CAE的角 线． ①如图 2， 点E 点B左 时，若∠FAD= 20°， ∠ABD的 数； ② 点D与点B不 ，且∠ABN+∠FAD=m°时，试用 m的代数 表示∠FAD的 数． 15 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 3 已知AB⎳CD，线段EF 与AB、CD相交于点E、F． (1)如图①， ∠A= 20°，∠APC= 70°时， ∠C的 数； (2)如图②， 点P 线段EF上运 时 (不包括E、F两点)，∠A、∠APC与∠C之间有 的数 ？ 试证 的结论； (3)如图③， 点P 直线EF上运 时，(2)中的结论还成 ？如果成 ，说 理由；如果不成 ， 直 写出它们之间的数 关系． 16 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 核心考点四 平行线中的综合探究类问题 1 (23- 24七 级下· 东深 ·期中) 读理解：如图 1，已知点A BC外一点，连 AB，AC． ∠BAC+∠B+∠C的 数． (1) 读 补充下面 理过 ． 解：过点A ED∥BC，∴∠B= ，∠C=∠DAC． ∵∠EAB+∠BAC+ = 180°． ∴∠B+∠BAC+∠C= 180°． 解题反 ：从上面的 理过 中，我们发现 行线具有“ 角转化”的 能， ∠BAC，∠B，∠C“凑” 一起， 出角之间的关系， 问题 以解决． 方法运用：(2)如图 2，已知AB∥ED， ∠B+∠BCD+∠D的 数． 深化拓 ：(3)如图 3，已知AB∥CD，点C 点D的右 ，∠ADC= 60°，DE ∠ADC，点B 直 线AB上的一个 点 (不与点A )，AB<CD，BE ∠ABC，BE，DE所 的直线交于点E，点 E AB与CD两条 行线之间．若∠ABC=n°，请 出∠BED的 数． (用 n的代数 表示) 17 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 (23- 24七 级下· 东深 ·期中)【问题背 】光线照 镜面 产生反 现 ， 镜 面反 实验时发现： 光线经过镜面反 时，入 光线、反 光线与镜面所夹的角对 相 ， 如： 图 1中，有∠1=∠2． 【 步 】(1)如图 2，设镜子AB与BC的夹角∠ABC= α． α= 时， 发现入 光线 EF与反 光线GH 好 行， 【深入 】(2)如图 3， 改变两镜面之间夹角， α 一个锐角，从F点发出一条光线EF 经过 2次反 又回 了点F，入 光线EF与 2次反 光线GF的夹角为∠EFG，用 α的 子表 示∠EFG． 【拓 用】(3)如图 4， 继续改变两镜面之间夹角， α= 110°，若∠BCD也 一个钝角，入 光线EF与镜面AB的夹角∠1= 30°，已知入 光线EF从镜面AB 始反 ，经过 3次反 ， 3次 反 光线与入 光线EF 行时， 出∠BCD的 数． 18 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 1 (23- 24七 级下· 东深 ·期中)【 知】(1)如图 1，AB∥CD,E为AB,CD之间的一点， 连 BE,DE， ∠BED． 证：∠BED=∠ABE+∠EDC． 想 以下的方法，请 忙完成 理过 ． 证 ：如图①，过点E EF∥AB． AB∥CD,EF∥AB(已知)， ∴CD∥ ( ) ∴∠BEF=∠B,∠FED=∠D( ) ∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D( 质)， ∴∠BED=∠B+∠D (2)【类比 】请 用上述【 知】中的结论进行，证 下面的问题： 如图 2，已知MN∥PQ,CD∥AB，点E PQ上，∠ECN=∠CAB， 请 说 ∠ABP+∠DCE=∠CAB； (3)【拓 延 】如图 3，BF ∠ABP,CG ∠ACN ,AF∥CG．若∠CAB= 68°，请直 写出 ∠AFB的 数为 ． 19 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 (23- 24七 级下· 东深 ·期中)【基 】 (1)如图 1，AB∥CD，点E CD上的点，点P AB CD之间的一点，连 PB、PE．若∠B= 25°，∠PEC= 32°，请 出∠P的 数； (2)如图 2，BE∥DF，∠DBE的 线与∠CDF的 线交于点G， ∠BGD= 65°时， ∠BDC的 数为 ； (3)如图 3，DH∥EG，点A、点C DH、EG上的点，点B 点F DH EG之间的点，连 AB、AF、CB、CF．若∠B= 94°，∠F= 92°，AF、CB ∠HAB、∠GCF， ∠BAH的 数为 ； 【问题迁移】 (4)如图 4， △ABC中，∠A= 60°，BO、CO ∠ABC、∠ACB． ∠BOC= ； 【拓 深化】 如图， △ABC中，D、E AB、AC上的点，设∠AED=m°，∠C=n° m<n ． (5)如图 5，BO、DO ∠ABC、∠BDE．用 m、n的 子表示∠BOD的 数为 20 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 3 (2023七 级下· 东深 ·期中)【学习新知】： 面镜上的光线 (入 光线) 反 的光线 (反 光线)与 面镜所夹的角相 ．如图 1，AB 面镜，若入 光线与 镜面夹角为∠1，反 光线与 镜面夹角为∠2， ∠1=∠2． (1)【 步 用】： 生 中我们可以运用“激光” 两 相交的 面镜进行 距．如图 2 一束“激光”DO1 入 面 镜AB上、被 面镜AB反 面镜BC上，又被 面镜BC反 反 光线O2E．回 下 问题： DO1∥EO2，∠EO2C= 60° (即∠4= 60°)时， ∠DO1O2的 数． ∠B= 90°时，任 入 面镜AB上的光线DO1经过 面镜AB BC的两次反 ，入 光线 DO1与反 光线O2E 行的．请 所学过的知识及新知说 ． (提示：三角 的内角 于 180°) (2)【拓 】： 如图 3，有三 面镜AB，BC，CD，入 光线EO1经过三次反 ， 反 光线O3F，已知∠1= 36°，∠B= 120°，若要 EO1∥O3F， ∠C的 数． 21 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 巩固训练 1.如图，已知AM⎳BN，∠A= 60°，点P 线AM上一 点 (与点A不 )，BC，BD ∠ABP ∠PBN， 交 线AM于点C，D． ∠CBD的 数； 点P运 时，∠APB:∠ADB的比 之变化？若不变，请 出这个比 ；若变化，请找出变化 规 ； 点P运 某处时，∠ACB=∠ABD， 此时∠ABC的 数． 22 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2.已知直线AB∥CD，P为 面内一点，连 PA、PD． 如图 1，已知∠A= 50°，∠D= 150°， ∠APD的 数； (2)如图 2， 断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数 关系为 ． 如图 3， (2)的条件下，AP⊥PD，DN ∠PDC，若∠PAN+ 12 ∠PAB=∠APD， ∠AND的 数． 23 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 3.已知AB⎳CD，点E为直线AB、CD所 定的 面内一点． 如图 1，若AE⊥AB， 证：∠C+∠E= 90°； 如图 2，点 F BA的延长线上，连 BE、EF，若 CE⊥ CD，EF ∠AEC，∠B = ∠AEB， ∠BEF的 数为 45° ． (2)的条件下，如图 3，过点 F ∠BFG=∠BFE交EC的延长线于点G，连 DF， ∠DFG的 线交CD于点H， FD⎳BE时， ∠CHF的 数． 24 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 4. (1)【猜想】如图①，AB∥CD，点E 直线AB、CD之间，连结EB、ED．若∠B= 25°，∠D= 40°， ∠BED的大 为 ． (2)【 】如图②，AB∥CD、BE、CE交于点E， ∠E 、∠B、∠C之间的数 关系． (3)【拓 】如图③，AB∥CD，BF、CG ∠ABE ∠DCE，且BF、CG所 直线交于点F，过 点F FH∥AB，若∠BEC= 104°， ∠BFC= ．    25 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 5.【数学抽 】 实验证 ： 面镜反 光线的规 面镜上的光线 被反 出的光线与 面镜所夹的锐角相 ．如图 1，一束光线m 面镜 a上，被 a反 的光线为n， 入 光线m，反 光线n与 面 镜 a所夹的锐角相 ，即∠1=∠2． 【问题解决】 用上面的规 人们 了潜望镜，图 2 潜望镜工 原理示 图，AB,CD 行放 的两面 面 镜．已知光线经过 面镜反 时，有∠1=∠2,∠3=∠4， 进入潜望镜的光线EF 离 潜望镜的光 线GH 行， 说 理由； 【 试 】 如图 3，已知两 面镜AB与BC的夹角∠ABC= α，若入 光线FE经过两次反 ， 的反 光 线GH与入 光线FE 行， 方 相反， α的 数； 【拓 用】 如图 4，已知两 面镜AB与BC的夹角∠ABC= α，入 光线EF经过两次反 ， 反 光线GH， 光线EF与GH相交于点O， ∠FOG的 数． (结果用 α的 子表示) 26 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 6.已知：如图 (1)直线AB、CD被直线MN所截，∠1=∠2． 证：AB⎳CD； 如图 (2)，点E AB，CD之间的直线MN上，P、Q 直线AB、CD上，连 PE、EQ，PF ∠BPE，QF ∠EQD， ∠PEQ ∠PFQ之间有什么数 关系，请直 写出 的结论； 如图 (3)， (2)的条件下，过P点 PH⎳ EQ交CD于点H，连 PQ，若PQ ∠EPH，∠QPF : ∠EQF= 1:5， ∠PHQ的 数． 27 寒假衔接 宝 锋从磨 出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 7.已知直线AM、CN 点B 一 面内，且AM⎳CN，AB⊥BC． 如图 1， ∠A ∠C之间的数 关系； 如图 2，若BD⊥AM， 足为D， 证：∠ABD=∠C； 如图 3，已知点D、E、F都 直线AM上，且∠ABD=∠NCB，BF ∠DBC，BE ∠ABD．若 ∠FCB+∠NCF= 180°，∠BFC= 3∠DBE，请直 写出∠EBC的 数． 【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题2-3 平行线与相交线中的4大动态问题与探究性问题 平行与相交动态问题与综合探究性问题是七下期中压轴题的热门题型，关系到后面几何证明的学习，本节针对平行线与相交线相关的动态问题与综合探究性问题进行探究，其中涉及到几种解题思路，具体是方程思想，整体与局部思想，分类讨论思想。 模块一 题型·解读 【题型1】平行线中的动点问题 2 【题型2】平行线中的旋转问题 12 【题型3】利用平行线性质求角度之间的数量关系 19 【题型4】平行线中的综合探究类问题 31 【巩固训练】 43 模块二 基础知识·梳理 知识点01 方程思想 要点诠释：方程思想在计算角度中常见，遇到连比的角度或者倍数、和差关系，可以用方程的思想解题。在解题的过程中，找到有关未知量的等量关系，列出方程或方程组从而求解。 例题1：直线l1∥l2，l3∥l4，∠1比∠2的3倍少20°，则∠1、∠2的度数是多少？ 分析：直接利用平行线的性质，得出∠1＝∠3，∠2＋∠3＝180°，进而求出答案。 ∴设∠2＝x，则∠1＝3x－20°，故x＋3x－20°＝180°， 解得：x＝50°，故∠1＝130°，∠2＝50°． 知识点02 分类讨论思想 例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是多少度？ 分析：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．设一个角为 x 度．则另一个角为（4 x－30）度．依据上面的性质得出方程，求出方程的解即可。 解：设一个角为 x 度，则另一个角为（4 x－30）度， ∵如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ∴4x－30＝x 或4x－30＋x＝180， 解得：x＝10或 x＝42， 当 x＝42时，4x－30＝138， 即这两个角是10°、10°或42°、138° 知识点03 三角形的外角 要点诠释：三角形的一个外角是指三角形的一边与邻边的延长线组成的角。具体来说，对于三角形ABC，如果延长边BC至点D，则角ACD就是三角形ABC在点C的一个外角。 1、三角形外角等于不相邻两内角之和： 这是三角形外角的一个基本性质。对于，如果角是角C的外角，那么有 。 这个性质可以通过平行线的性质和同位角、内错角等概念来证明。 2、三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角： 由于外角等于不相邻两内角之和，因此外角必然大于其中任何一个内角。 这个性质在解决三角形角度问题时非常有用。 2、三角形外角和定理： 三角形的三个外角之和等于360°。 这个定理可以通过将三角形的三个外角相加并利用外角等于不相邻两内角之和的性质来证 模块三 核心题型·训练 【题型1】平行线中的动点问题 【例题1】如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，． （1）的度数是　　，的度数是　　； （2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； （3）当点运动到使时，的度数是多少？ 【解答】解：（1），， ， ； 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：，； （2）不变， ， ， ，， 平分， ， ； （3）， ， 当时， 则有， ， 由（1），， ， ， 故答案为：． 【例题2】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直线与，分别交于点，，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线，上，，． (1)填空： （填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若，射线在内交直线于点，如图②．当，分别在点，的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点，分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的性质，学会分类讨论的解题方法． （1）过点作直线，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，即可； （2）延长交于点，根据，，则，再根据平行公理，得，根据平行线的性质，则，，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可； （3）根据平移三角形分类讨论：当，分别在点，的右侧；当点，分别在点，的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可． 【详解】（1）过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）当，分别在点，的右侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； 当点，分别在点，的左侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 【巩固练习1】如图，射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D． （1）当时，求证：； （2）用含的式子表示为______（直接写出答案）； 操作探究： （3）当点P在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点P运动到使时，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义； 由角平分线的定义得，，从而可得，由平行线的性质得，即可得证； 解：由（1）同理可得，，代入即可求解； 由平行线的性质得，，再由角平分线的定义得 ，即可求解； 由平行线的性质得，从而可得，则有，结合角平分线的定义得，由平行线的性质即可求解； 理解角平分线的定义，能灵活应用平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ， ， ， ， ， ； ， ； （2）解：由（1）同理可得 ， ， ； 故答案：； （3）解：，理由如下： ， ， ， 平分， ， ； 解：， ， 当时， 有， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， ， ． 【巩固练习2】如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，． （1）①当时，的度数是 　　； ②， 　　； （2）当，求的度数（用含的代数式表示）； （3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律． （4）当点运动到使时，请直接写出的度数． 【解答】解：（1）①，， ， ； ②， ； 故答案为：130度，； （2）， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）不变，． ， ，， 平分， ， ； （4）， ， 当时，则有， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 即． 【巩固练习3】如图，已知直线射线，，是射线上一动点，过点作交射线于点，连接，作，交直线于点，平分，交直线于点． 若点，，都在点的右侧，求的度数； 在（1）的条件下，若，求的度数； 在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1），， ， ，平分， ； （2）， ，， ， 又， ，， 平分， ，， ， ， ； 设，，则， 当点、在点的右侧时， 则， ， ， 解得， ； 当点、在点的左侧时， 则， ，， ， 解得， ， ， ． 综上所述：在点的运动过程中，存在，度数为或． 【题型2】平行线中的旋转问题 【例题1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    【答案】25或65 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，过点E作，延长，先求出，设运动时间为t，则，，分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：过点E作，延长，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设运动时间为t，则，， 当点P在点B的左侧时，如图所示：   ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点P在点B的右侧时，如图所示：    此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：射线旋转了25秒或65秒． 【例题2】 【巩固练习1】（23-24七年级下·四川成都·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河提的情况，如图，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达之前，当A灯转动 秒时，两灯的光束互相平行． 【答案】或68或或140 【分析】本题考查了平行线的性质，设秒后两灯的光束互相平行，表示出和，证明出，列等式解答即可．依题意得出等式并计算是本题的解题关键． 【详解】解：设t秒后两灯的光束互相平行， ∵灯A转动的速度是秒， ∴灯A转动了， ∵灯B转动的速度是秒， ∴灯B转动了， 当时， 如图， ∴，， ∵光束互相平行， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 如图， ∴，， ∵光束互相平行， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 如图， ∴，， ∵光束互相平行， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 如图， ∴，， ∵光束互相平行， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或68或或140． 【巩固练习2】如图1，直线，另一直线分别交AB、CD于M、N，将射线MA绕点M以每秒2°的速度逆时针旋转到，同时射线NC绕点N以每秒3°的速度顺时针旋转到，旋转的时间为t（）秒． (1)如图2，当秒时，射线与相交于点P，求的度数； (2)如图3，当射线与平行时，求t的值； (3)当射线与互相垂直时，求t的值． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或54秒 【分析】（1）过点P作，则，利用平行线的性质得，，再利用角的和差关系可得答案； （2）根据平行线的性质得，则，解方程即可； （3）分两种情形：或，分别解答即可． 【详解】（1）解：过点P作，如下图． ∵， ∴， ∴，． ∵当秒时， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴（秒）； （3）解：①， ∴（秒）； ②， ∴（秒）． 综上所述，t的值为18秒或54秒． 【巩固练习3】如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1)______； (2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会发生改变， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，作辅助线构造平行是解题的关键． （1）运用平行线的性质直接解题即可； （2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可； （3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为135； （2）解：设射线与射线所在直线的交点为点， 旋转时间为秒时，，， 即， ①如图，当时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，    ②如上图，当时，则， 由①可知，即， 解得， 综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为， （3）的值不变，理由为： 解：如图，由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 【题型3】利用平行线性质求角度之间的数量关系 【例题1】如图，已知直线，直线与直线、分别交于点和点，点是直线上一动点，点在直线上，点在直线上，且点和点位于直线同一侧． 如图（1），当点在线段（不含端点和上运动时，求证：． 如图（2），当点运动到直线上方时，试写出、和三个角的数量关系，并证明． 如图（3），当点运动到直线下方时，直接写出、和三个角的数量关系． 【解答】（1）证明：如图（1），过点作， ， 又， ， ， ， 即； （2）解：如图（2），， 理由是：过点作， ， 又，， ， ， 即； 解：如图（3），， 理由如下：过点作， ， 又，， ， ， ． 【例题2】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知，点是平面内一点，过点作射线、，与相交于点，与相交于点． (1)如图1，若点为直线、之间区域的一点，，，求的度数； (2)如图2，若点为直线、之间区域的一点，和的角平分线交于点．请说明：； (3)如图3，若点、是直线上的点，连接，直线交的角平分线于点，射线交于点，设．当时，求（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质得出，，然后求出结果即可． （2）延长交于点G，根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出即可． （3）分点P在H的左侧和右侧，画出图形，根据三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）证明：如图，延长交于点G， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ． （3）解：当点P在点H的左侧时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 即； 当点P在点H的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 综上所述，或． 【巩固练习1】如图，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线与点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过H作交于点N，设，． (1)求证：； (2)当点G在点F的右侧时， ①依据题意在图1中补全图形； ②若，则 度； (3)当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②50 (3)或；证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识，并熟练利用角的和差关系进行运算是解题的关键． （1）根据平分和，可证明，即可解答． （2）①根据题意画图即可；②依据平行线的性质可得，再根据平分，，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答； （3）分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）可得结果；当点G在点F的左侧时，进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图1， ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ 解得； 故答案为：50； （3）α和β之间的数量关系为或． 理由如下： 当点G在点F的右侧，由（2）得， 当点G在点F的左侧时，如图2， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 综上所述，α和β之间的数量关系为或． 【巩固练习2】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：直线，点为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上，，为直线上的两个动点点在点的左侧连接，，且． (1)如图，若，，则 ； (2)射线为的角平分线． 如图，当点在点左侧时，若，求的度数； 当点与点不重合，且时，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识： （1）根据平行线的性质以及题干中即可推出的度数． （2）①设，则，，由角平分线性质得，再由即可求得答案． 设，，分三种情况：当点在点右侧时，当点在点左侧，点在点右侧时，当、均在点左侧时，分别求出的度数． 解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图， ， ，， ，， ． 故答案为： （2）①如图， ， ，， ， ， 设， ， ，， 射线平分， ， ， ； 设，， 当点在点右侧时， 如图，此时有， 则， ， 射线平分， ， ， ， ， ， ； 当点在点左侧，点在点右侧时，如图， 则，， ，， 射线平分， ， ， ， ， ， ； 当、均在点左侧时，如图， 则，， ，， 射线平分， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或． 【巩固练习3】已知，线段分别与、相交于点、． （1）如图①，当，时，求的度数； （2）如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），、与之间有怎样的数量？试证明你的结论； （3）如图③，当点在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系． 【解答】（1）解：过作， ， ， ，当点在线段上运动时， ，， ， ； （2）， 证明：过作， ， ， ，， ； 解：①当在线段的延长线上运动时，不成立，关系式是：， 理由是：过作， ， ， ，， ， 即； 当点在线段的延长线上运动时，新的相等关系为． 理由：设与相交于，则． ， ， ． 当点在线段上运动时，成立，关系式为， 证明：过作， ， ， ，， ； 综上所述，当点在直线上运动时，（2）中的结论不一定成立． 【题型4】平行线中的综合探究类问题 【例题1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作，∴ ，． ∵ ． ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：（2）如图2，已知，求的度数． 深化拓展：（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，平分，点B是直线上的一个动点（不与点A重合），，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．若，请你求出的度数．（用含n的代数式表示） 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）根据平行线的性质，得到．结合平角的定义，得到．等量代换解答即可． （2）延长，交的延长线于点G，根据平行线的性质，三角形外角性质，平角的定义计算即可． （3）分点B在点A的左侧和右侧，两种情况，利用平行线的性质，三角形外角性质，平角定义解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，分类思想，角的平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，． ∵． ∴． 故答案为：；． （2）如图，延长，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． （3）如图，当点B在点A的左边时， 延长，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴． 如图，当点B在点A的右边时， 延长，交于点N， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 【例题2】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小圳在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，例如：在图1中，有． 【初步探究】（1）如图2，设镜子与的夹角．当______时，小圳发现入射光线与反射光线恰好平行， 【深入探究】（2）如图3，小圳渐渐改变两镜面之间夹角，使得是一个锐角，从F点发出一条光线经过2次反射又回到了点F，入射光线与第2次反射光线的夹角为，用含的式子表示． 【拓展应用】（3）如图4，小圳继续改变两镜面之间夹角，使得，若也是一个钝角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过3次反射，当第3次反射光线与入射光线平行时，求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）根据，得出，再根据，得出，列方程即可解答； （2）根据，得出，再根据三角形内角和定理即可解答； （3）过点作，得出，根据三角形内角和以及平行线的性质得出，即可解答； 【详解】（1）由题意得，， ， ， 当时，， ∴， ∴； （2）由题意得，， ， ， ． （3）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【巩固练习1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【感知】（1）如图1，为之间的一点，连接，得到．求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点作． （已知）， ______（______） （______） （等式性质）， （2）【类比探究】请你利用上述【感知】中的结论进行，证明下面的问题： 如图2，已知，点在上，， 请你说明； （3）【拓展延伸】如图3，平分平分．若，请直接写出的度数为______． 【答案】（1）；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质， （1）利用平行线的性质和判定可得结论； （2）利用平行线的性质、平角的定义及等角的补角相等即可证明； （3）先利用（1）的结论用表示出，再利用平行线的性质用表示出即可求解． 【详解】解：（1）；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等； 故答案为：；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）解：因为， 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为（平角的定义）， 又因为， 所以（等角的补角相等）， 即． 所以． 由（1）知， ． （3）平分，平分， ，． ， 由（1）知，即． ， ，即． ． ， ，即． ． ． 故答案为：． 【巩固练习2】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为 ； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，，、分别平分、．则 ； 【拓展深化】 如图，在中，D、E是、上的点，设，． （5）如图5，、分别平分、．用含m、n的式子表示的度数为 ； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）设，由（1）可知：，再根据，即可得出答案； （3）设，由（1）可知：，，根据角平分线的定义，进行求解即可； （4）根据三角形内角和定理和角平分线的定义进行求解即可； （5）延长与的延长线交于点，求出，由（4）可知：，然后求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ， ， ， 即， ， ； 故答案为：． （2）设，如图2所示： 的平分线与的平分线交于点， ， ，由（1）可知：， ， ， ， 由三角形的内角和定理得：， ， ， ； 故答案为：． （3）设，如图3所示： 、分别平分、， ，，，， ，由（1）可知：，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． （4），， ， 、分别平分、， ， ， ， ； （5）延长与的延长线交于点，如图5所示： ， ， ， ， 、分别平分、， 由（4）可知：， ； 故答案为：． 【巩固练习3】（2023七年级下·广东深圳·期中）【学习新知】： 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）【初步应用】： 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射入到平面镜上、被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．回答下列问题： 当，（即）时，求的度数． 当时，任何射入平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明． （提示：三角形的内角和等于） （2）【拓展探究】： 如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，求的度数． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①先求出的度数，再利用平行线的性质求解即可； 由求出，结合题意可得，，可求，进而求出，最后利用平行线的判定即可得证； （2）过点作，则，利用平行线的性质、三角形内角和等于可求，，，，，，最后在中求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴， 又， ∴； 由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【巩固训练】 1． 如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． 求的度数； 当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； 当点运动到某处时，，求此时的度数． 【解答】解：（1）， ， 又，分别平分和， ． （2）不变．理由如下： ， ，， 又平分， ，即． （3）， ， 又， ， ， ， ． 2． 已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． 如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　． 如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 【答案】（1）∠APD＝80°；（2）∠PAB+∠CDP－∠APD＝180°；（3）∠AND＝45°． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； 作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP－∠APD＝180°； 先证明∠NOD＝∠PAB，∠ODN＝∠PDC，利用（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1）∵∠A＝50°，∠D＝150°， 过点P作PQ∥AB， ∴∠A＝∠APQ＝50°， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠D+∠DPQ＝180°，则∠DPQ＝180°－150°＝30°， ∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝50°+30°＝80°； （2）∠PAB+∠CDP－∠APD＝180°， 如图，作PQ∥AB， ∴∠PAB＝∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CDP+∠DPQ＝180°，即∠DPQ＝180°－∠CDP， ∵∠APD＝∠APQ－∠DPQ， ∴∠APD＝∠PAB－(180°－∠CDP)＝∠PAB+∠CDP－180°； ∴∠PAB+∠CDP－∠APD＝180°； 设PD交AN于O，如图， ∵AP⊥PD， ∴∠APO＝90°， 由题知∠PAN+∠PAB＝∠APD，即∠PAN+∠PAB＝90°， 又∵∠POA+∠PAN＝180°－∠APO＝90°， ∴∠POA＝∠PAB， ∵∠POA＝∠NOD， ∴∠NOD＝∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN＝∠PDC， ∴∠AND＝180°－∠NOD－∠ODN＝180°－(∠PAB+∠PDC)， 由(2)得∠PAB+∠CDP－∠APD＝180°， ∴∠PAB+∠PDC＝180°+∠APD， ∴∠AND＝180°－(∠PAB+∠PDC)＝180°－(180°+∠APD)＝180°－(180°+90°)＝45°，即∠AND＝45°． 3． 已知，点为直线、所确定的平面内一点． 如图1，若，求证：； 如图2，点在的延长线上，连接、，若，平分，，则的度数为　　． 在（2）的条件下，如图3，过点作交的延长线于点，连接，作的平分线交于点，当时，求的度数． 【解答】解：（1）证明：延长，交与，如图 ， ， ， ， ； （2）解：延长，交与，如图 ，， ， ， ，， ， ， 即， 故答案为． 如图3，，， ， ，， ， ， ， ， ． 4． （1）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，、、交于点，探究 、、之间的数量关系． （3）【拓展】如图③，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，则 度．    【答案】（1）65 （2） （3）38 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算，平行公理及推论，平行线的性质． 过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解； 过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解； 过点作，设，，进而根据角平分线的性质得到，，再结合题意运用平行公理推论得到，从而根据平行线的性质得到，，，，进而结合题意进行角的运算即可求解． 【详解】解：（1）过点作，如图所示：    ，， ， ，， ， 即， ，， ． （2）过点作，如图所示：    ，， ， ，， ， ， 即． 过点作，如图所示：    设，， 平分， ，， 平分， ， ，，， ， ，，，， ， ， ， 即， ． 5． 【数学抽象】 实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． 【问题解决】 利用上面的规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，则进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是否平行，并说明理由； 【尝试探究】 如图3，已知两平面镜与的夹角，若入射光线经过两次反射后，得到的反射光线与入射光线平行，但方向相反，求α的度数； 【拓展应用】 如图4，已知两平面镜与的夹角，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点O，求的度数．（结果用含α的式子表示） 【答案】（1）平行，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； 先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； 先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）平行．理由如下： 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 6． 已知：如图（1）直线、被直线所截，． 求证：； 如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论； 如图（3），在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数． 【解答】解：（1）如图1中， ，， ， ． （2）结论：如图2中，． 理由：作． ，， ， ，， ， ， 同法可证：， ，，，， ． 如图3中，设，．，则， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 7． 已知直线、和点在同一平面内，且，． 如图1，求和之间的数量关系； 如图2，若，垂足为，求证：； 如图3，已知点、、都在直线上，且，平分，平分．若，，请直接写出的度数． 【解答】解：（1）如图1， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图3，过点作， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 设，， 则，， ， ， ， ， ， ，， ， 中，由得： ， ， ， ， ， ． 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题2-3 平行线与相交线中的4大动态问题与探究性问题 平行与相交动态问题与综合探究性问题是七下期中压轴题的热门题型，关系到后面几何证明的学习，本节针对平行线与相交线相关的动态问题与综合探究性问题进行探究，其中涉及到几种解题思路，具体是方程思想，整体与局部思想，分类讨论思想。 模块一 题型·解读 【题型1】平行线中的动点问题 【题型2】平行线中的旋转问题 【题型3】利用平行线性质求角度之间的数量关系 【题型4】平行线中的综合探究类问题 【巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 方程思想 要点诠释：方程思想在计算角度中常见，遇到连比的角度或者倍数、和差关系，可以用方程的思想解题。在解题的过程中，找到有关未知量的等量关系，列出方程或方程组从而求解。 例题1：直线l1∥l2，l3∥l4，∠1比∠2的3倍少20°，则∠1、∠2的度数是多少？ 分析：直接利用平行线的性质，得出∠1＝∠3，∠2＋∠3＝180°，进而求出答案。 ∴设∠2＝x，则∠1＝3x－20°，故x＋3x－20°＝180°， 解得：x＝50°，故∠1＝130°，∠2＝50°． 知识点02 分类讨论思想 例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是多少度？ 分析：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．设一个角为 x 度．则另一个角为（4 x－30）度．依据上面的性质得出方程，求出方程的解即可。 解：设一个角为 x 度，则另一个角为（4 x－30）度， ∵如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ∴4x－30＝x 或4x－30＋x＝180， 解得：x＝10或 x＝42， 当 x＝42时，4x－30＝138， 即这两个角是10°、10°或42°、138° 知识点03 三角形的外角 要点诠释：三角形的一个外角是指三角形的一边与邻边的延长线组成的角。具体来说，对于三角形ABC，如果延长边BC至点D，则角ACD就是三角形ABC在点C的一个外角。 1、三角形外角等于不相邻两内角之和： 这是三角形外角的一个基本性质。对于，如果角是角C的外角，那么有 。 这个性质可以通过平行线的性质和同位角、内错角等概念来证明。 2、三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角： 由于外角等于不相邻两内角之和，因此外角必然大于其中任何一个内角。 这个性质在解决三角形角度问题时非常有用。 2、三角形外角和定理： 三角形的三个外角之和等于360°。 这个定理可以通过将三角形的三个外角相加并利用外角等于不相邻两内角之和的性质来证 模块三 核心题型·训练 【题型1】平行线中的动点问题 【例题1】如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，． （1）的度数是　　，的度数是　　； （2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律； （3）当点运动到使时，的度数是多少？ 【例题2】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直线与，分别交于点，，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线，上，，． (1)填空： （填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若，射线在内交直线于点，如图②．当，分别在点，的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点，分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【巩固练习1】如图，射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D． （1）当时，求证：； （2）用含的式子表示为______（直接写出答案）； 操作探究： （3）当点P在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点P运动到使时，求的度数． 【巩固练习2】如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，． （1）①当时，的度数是 　　； ②， 　　； （2）当，求的度数（用含的代数式表示）； （3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律． （4）当点运动到使时，请直接写出的度数． 【巩固练习3】如图，已知直线射线，，是射线上一动点，过点作交射线于点，连接，作，交直线于点，平分，交直线于点． 若点，，都在点的右侧，求的度数； 在（1）的条件下，若，求的度数； 在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【题型2】平行线中的旋转问题 【例题1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    【巩固练习1】（23-24七年级下·四川成都·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河提的情况，如图，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达之前，当A灯转动 秒时，两灯的光束互相平行． 【巩固练习2】如图1，直线，另一直线分别交AB、CD于M、N，将射线MA绕点M以每秒2°的速度逆时针旋转到，同时射线NC绕点N以每秒3°的速度顺时针旋转到，旋转的时间为t（）秒． (1)如图2，当秒时，射线与相交于点P，求的度数； (2)如图3，当射线与平行时，求t的值； (3)当射线与互相垂直时，求t的值． 【巩固练习3】如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒． (1)______； (2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由． 【题型3】利用平行线性质求角度之间的数量关系 【例题1】如图，已知直线，直线与直线、分别交于点和点，点是直线上一动点，点在直线上，点在直线上，且点和点位于直线同一侧． 如图（1），当点在线段（不含端点和上运动时，求证：． 如图（2），当点运动到直线上方时，试写出、和三个角的数量关系，并证明． 如图（3），当点运动到直线下方时，直接写出、和三个角的数量关系． 【例题2】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知，点是平面内一点，过点作射线、，与相交于点，与相交于点． (1)如图1，若点为直线、之间区域的一点，，，求的度数； (2)如图2，若点为直线、之间区域的一点，和的角平分线交于点．请说明：； (3)如图3，若点、是直线上的点，连接，直线交的角平分线于点，射线交于点，设．当时，求（用含的代数式表示）． 【巩固练习1】如图，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线与点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过H作交于点N，设，． (1)求证：； (2)当点G在点F的右侧时， ①依据题意在图1中补全图形； ②若，则 度； (3)当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【巩固练习2】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：直线，点为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上，，为直线上的两个动点点在点的左侧连接，，且． (1)如图，若，，则 ； (2)射线为的角平分线． 如图，当点在点左侧时，若，求的度数； 当点与点不重合，且时，试用含的代数式表示的度数． 【巩固练习3】已知，线段分别与、相交于点、． （1）如图①，当，时，求的度数； （2）如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），、与之间有怎样的数量？试证明你的结论； （3）如图③，当点在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系． 【题型4】平行线中的综合探究类问题 【例题1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作，∴ ，． ∵ ． ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：（2）如图2，已知，求的度数． 深化拓展：（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，平分，点B是直线上的一个动点（不与点A重合），，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．若，请你求出的度数．（用含n的代数式表示） 【例题2】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小圳在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，例如：在图1中，有． 【初步探究】（1）如图2，设镜子与的夹角．当______时，小圳发现入射光线与反射光线恰好平行， 【深入探究】（2）如图3，小圳渐渐改变两镜面之间夹角，使得是一个锐角，从F点发出一条光线经过2次反射又回到了点F，入射光线与第2次反射光线的夹角为，用含的式子表示． 【拓展应用】（3）如图4，小圳继续改变两镜面之间夹角，使得，若也是一个钝角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过3次反射，当第3次反射光线与入射光线平行时，求出的度数． 【巩固练习1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【感知】（1）如图1，为之间的一点，连接，得到．求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点作． （已知）， ______（______） （______） （等式性质）， （2）【类比探究】请你利用上述【感知】中的结论进行，证明下面的问题： 如图2，已知，点在上，， 请你说明； （3）【拓展延伸】如图3，平分平分．若，请直接写出的度数为______． 【巩固练习2】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为 ； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，，、分别平分、．则 ； 【拓展深化】 如图，在中，D、E是、上的点，设，． （5）如图5，、分别平分、．用含m、n的式子表示的度数为 ； 【巩固练习3】（2023七年级下·广东深圳·期中）【学习新知】： 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）【初步应用】： 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射入到平面镜上、被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．回答下列问题： 当，（即）时，求的度数． 当时，任何射入平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明． （提示：三角形的内角和等于） （2）【拓展探究】： 如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，求的度数． 【巩固训练】 1． 如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． 求的度数； 当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； 当点运动到某处时，，求此时的度数． 2． 已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． 如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　． 如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 3． 已知，点为直线、所确定的平面内一点． 如图1，若，求证：； 如图2，点在的延长线上，连接、，若，平分，，则的度数为　　． 在（2）的条件下，如图3，过点作交的延长线于点，连接，作的平分线交于点，当时，求的度数． 4． （1）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，、、交于点，探究 、、之间的数量关系． （3）【拓展】如图③，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，则 度．    5． 【数学抽象】 实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． 【问题解决】 利用上面的规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，则进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是否平行，并说明理由； 【尝试探究】 如图3，已知两平面镜与的夹角，若入射光线经过两次反射后，得到的反射光线与入射光线平行，但方向相反，求α的度数； 【拓展应用】 如图4，已知两平面镜与的夹角，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点O，求的度数．（结果用含α的式子表示） 6． 已知：如图（1）直线、被直线所截，． 求证：； 如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论； 如图（3），在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数． 7． 已知直线、和点在同一平面内，且，． 如图1，求和之间的数量关系； 如图2，若，垂足为，求证：； 如图3，已知点、、都在直线上，且，平分，平分．若，，请直接写出的度数． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$