精品解析：黑龙江省哈尔滨市阿城区第一中学校2024-2025学年高一上学期第三次月考考试（12月）数学试题

2024~2025阿城一中高一第三次月考考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A B. C. D. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A B. C. 2 D. 4 7. 函数的图象与的图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各项中，与表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知命题，，则命题的否定为______． 14. 函数，则________. 15. 若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______． 16. 已知函数是定义在上奇函数，若，不等式恒成立，且，则不等式的解集为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知，求的值； （2）计算：. 18. （1）化简：； （2）已知，求的值. 19. 已知二次函数，且，. （1）求的解析式； （2）求在区间上的最大值. 20. 已知定义在上的偶函数，当时，，且. （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）解不等式：. 21. 为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完. （1）求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） （2）求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 22 已知函数，，. （1）解不等式； （2）设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025阿城一中高一第三次月考考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，所以与的终边相同，易知的终边在第三象限． 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求出集合，再利用集合的基本运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，则， 所以. 故选：B. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的求法列式求解即可. 【详解】由题意可知解得且， 故的定义域是. 故选:D. 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出扇形的半径，结合扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】圆心角，由弧长，得，所以该扇形的面积为. 故选：D. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为，在上单调递减，所以在上单调递减， 又，，， ，，所以， 根据函数零点存在定理可知，函数在区间上有零点. 故选：B. 6. 已知常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可确定，进而计算可得结果. 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得， 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，符合题意， 所以. 故选：A. 7. 函数的图象与的图象的交点个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数图像即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象， 由图可知，两函数的图象的交点个数为4. 故选：C. 8. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知和为方程的两个实数根，由此求出的解析式，即可求出函数的值域. 【详解】的定义域为， 因为关于的不等式的解集为， 所以和为方程的两个实数根， 即， 整理得， 所以函数的值域为. 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各项中，与表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案. 【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不同，故两函数不相等，故A错误； 对于B，由得，故的定义域为， 由得，故的定义域为， 又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确； 对于C, 因为，的定义域均为R，且对应关系相同，故两函数相等，故C正确； 对于D，，， 两个函数的定义域均为，对应关系相同，所以两函数相等，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，，则下列等式正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】把两边平方，可得的值，即可判断A；把平方后，结合题中条件即可求得的值，判断B；结合所得结论可求得，的值，即可求得的值，判断选项C及D. 【详解】因为，则，对于A，， 可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合对数与指数运算和指对函数性质即可计算判断各选项. 【详解】A选项，依题意，，，且， 所以，当且仅当时等号成立.A选项正确. B选项，由A选项分析可知， 所以， 当且仅当时等号成立.B选项正确. C选项，， 当且仅当时等号成立.C选项错误. D选项，， 当且仅当时等号成立.D选项正确. 故选：ABD 12. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B，由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D． 【详解】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知命题，，则命题的否定为______． 【答案】， 【解析】 【分析】由存在量词的否定为全称量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定为“，”． 故答案为：，. 14. 函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法即可求解 【详解】令，则，所以，所以. 故答案为： 15. 若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据底数大于1的对数函数图象，得出满足条件的图象只需满足即可得解. 【详解】根据对数函数的图象可知， 要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则，即，所以， 故实数的取值范围为． 故答案为： 16. 已知函数是定义在上的奇函数，若，不等式恒成立，且，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件构造函数，并判断函数的单调性和奇偶性，以及零点，根据函数的性质，解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以.当时， 不等式可化为， 则函数在区间上单调递增，又， 所以函数为偶函数，且， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 即时，；时，. 当时，； 当时，由，得，即； 当时，由，得，即， 故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合完全平方公式，代入即可求解； （2）根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）由，得， 由， 由于， 所以，故. （2） . 18. （1）化简：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值； （2）利用诱导公式化简可得出所求代数式的值. 【详解】（1）原式； （2）因为，， 所以， . 19. 已知是二次函数，且，. （1）求的解析式； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设，由，求得，再由，列出方程组，求得，即可求得函数的解析式； （2）由（1）知，结合二次函数的性质，即可求解. 小问1详解】 解：根据题意，设， 因为，可得，即， 又由， 且， 又因为，即， 所以， 可得，解得，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知， 可得函数的图象开口向上，且对称轴为，所以， 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为， 综上可得，当时，的最大值为；当时，的最大值为. 20. 已知定义在上的偶函数，当时，，且. （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）设，则，再根据为偶函数即可求解； （3）根据为偶函数，将转化为求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的偶函数，且， 所以，即，解得； 【小问2详解】 当时，， 设，则，则， 所以； 【小问3详解】 由题意，， 得，得，解得或， 故的解集是. 21. 为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工水果箱能全部售完. （1）求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本） （2）求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值. 【答案】（1） （2）年产量为万件时，年利润取得最大值万元 【解析】 【分析】(1)根据年利润年销售额固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可； (2)当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，最后综合即可． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 此时，； 当时，， 当且仅当，即时，取得等号． 因为，所以年产量为万件时，年利润取得最大值万元． 22. 已知函数，，. （1）解不等式； （2）设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可得，再结合对数型函数的单调性，可解不等式； （2）由（1）可得集合，设在上的值域为，易知，进而列不等式，解不等式组可得解. 【小问1详解】 由已知， 则， 解得， 所以， 且，即， 所以，即， 即，解得， 综上所述不等式的解集为； 【小问2详解】 由（1）得， 又， 设函数在的值域为， 又若对任意，存，使得， 则， 设，，则， 又函数在上单调递增， 即， 此时函数即为，，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，即，即， 又，所以，解得； 当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为， 即，由， 可得，解得，不满足，所以不成立； 当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为， 即，由， 可得，解得，不满足，所以不成立； 当，即时，在上单调递减， 即，由， 可得，不等式无解，所以不成立； 综上所述，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$