1.4.3二次函数的应用 课件 2025-2026学年 浙教版数学九年级上册

1.4.3二次函数的应用 浙教版 1 1.求方程 2.求二次函数与x轴的交点坐标A、B. 解： (x-1) (3x+4)=0 即：， 解：令y=0，则 (x-1) (3x+4)=0 解得：， 导入新课 2 问题：你发现方程的解与坐标A、B有什么联系？ 方程的解是函数图象与x轴的交点的横坐标。 新知讲解 3 例1、一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动中，（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s²）。问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m? 1 2 0 -1 -2 t(s) 1 2 3 4 5 6 h(m) 新知讲解 4 新知讲解 分析：根据题意可以得出函数并画出函数的大致图象，从图象我们可以看到，图象与横轴的两个交点分别为(0,0)，(2,0).它们的横坐标分别为0与2，就是球从地面弹起和回到地面的时刻，此时h=0.所以这两个时刻也就是一元二次方程的两个根.这两个时刻的差就是球从地面弹起至回到地面所需的时间。 5 归纳总结 地面 1 2 0 -1 -2 t(s) 1 2 3 4 5 6 h(m) 解：由题意，得h关于t的二次函数解析式为h=10t-5t² 取h=0，得一元二次方程10t－5t²=0 解方程得t1=0；t2=2 球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s） 取h=3.75，得一元二次方程10t－5t²=3.75 解方程得t1=0.5；t2=1.5 答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）； 经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。 6 新知讲解 从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。 7 归纳总结 对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式： ，其中（米）是上升高度， g（米/秒）是初速度， t（米/秒2）是重力加速度， （秒）是物体抛出后所经过的时间，下图是h与t的函数关系图. ⑴求： ，g； ⑵几秒时，物体在离抛出点25米高的地方. 解：(1)由图知，当t=6时，h=0 ；当t=3时，h=45. ∴ 解得 ∴米/秒 g=10米/秒2 8 （2）由（1）得，函数关系式是h=30t-5 . 当h=25 时，25=30t-5t2 ，解得， ∴经过1秒或5秒的物体在离抛出点25米高的地方. 例2、利用二次函数的图象求一元二次方程x²+x-1=0的解(或近似解) 。 1 2 0 -1 -2 x 1 2 3 4 5 6 y y=x²+x－1 解：设，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.在直角坐标系中画出函数的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标就是方程的解. 观察图，得到点A的横坐标点B的横坐标.所以方程的近似解为， 想一想 将和代入，其值分别是多少？ 我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。 反过来，也可利用二次函数的图象求一元二次方程的解。 二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0 两根为x1=m；x2=n 函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0） 归纳总结 课堂练习 1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ） A． B． C． D． D 2、以方程组的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三角限 D．第四象限 A 15 3、若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解为x2＝________. －1 4、如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是_________________． x＜－1或x＞4 课堂练习 课堂练习 17 课堂练习 课堂练习 6.如图所示，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度 的一半．   (1)求足球开始飞出第一次落地时，该抛物线的关系式； (2)足球第一次落地点C距守门员多少米？（=10 ）   (3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米？ 20 课堂练习 解: (1)如图，     设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4. 由已知：当x=0时y=1．即1=36a+4，a= ∴表达式为 (2)令y=0， =0 ． ∴， （舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．   (3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD. 根据题意：CD= EF（即相于当抛物线AEMFC向下平移了2个单位）． ∴ 2=， 解得 ， ∴CD= ∴BD =13 -6+10 =17（米）． 课堂小结 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。 我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标； 反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。 二次函数的应用： 23 THANK YOU 24 5．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过 A(0，3)，B两点． (1)求b，c的值； (2)二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴是否存在公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由． 解：∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B两点， ∴解得b＝，c＝3； (2)由(1)知，b＝，c＝3，∴该二次函数为y＝－x2＋x＋3， 在y＝－x2＋x＋3中，当y＝0时， 0＝－x2＋x＋3，解得x1＝－2，x2＝8， ∴二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，分别为(－2，0)，(8，0)． $