精品解析：辽宁省鞍山市鞍钢高级中学2024-2025学年高三上学期12月期末考试数学试题

鞍山市鞍钢高级中学2024—2025第一学期期末考试 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （2024•贵州遵义高三第三次质量监测） 1. 集合，，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式，得集合，利用交集定义即得. 【详解】由可得，则， 于是. 故选：C. （2024•浙江宁波十校高三3月联考） 2. 若复数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数的代数形式，再根据复数的除法运算及复数的模的计算公式即可得解. 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 3. “”是“点在圆外”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在圆外得求解集，应用等价法，由集合的包含关系即可判断条件间的充分、必要关系. 【详解】将化为标准方程，得 当点在圆外时，有，解得 ∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，由平面向量的数量积可求得，计算的值，再开方即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以 ， 所以， 故选：B. 5. 函数中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上函数值的正负情况，利用排除法判断即可. 【详解】解：因为定义域为， 又， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B， 又时，，所以， 所以，故排除C； 故选：D 6. 的展开式中系数为（ ） A. 180 B. 90 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的通项公式，以及每一项的系数，再根据系数的产生，即可求得结果. 【详解】展开式通项公式， 其各项次数依次为, 所以的系数是的一次项系数2乘以展开式的的系数. 由展开式通项公式知 解得， 所以系数为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式求指定项的系数，属基础题. （2024•山东泰安高三第二次模拟） 7. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示： 设 为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而在中，， 所以. 故选：A. （2024•辽宁辽阳高三第一次模拟） 8. 已知函数满足，则（　　） A. 10000 B. 10082 C. 10100 D. 10302 【答案】C 【解析】 【分析】赋值得到，利用累加法得到，令得到，赋值得到，从而求出答案. 【详解】中，令得， ， 故， 故， 其中，① ，② ，③ ……， ， 上面99个式子相加得， ， 令得， 中，令得， 故. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. （2024•重庆部分学校高三3月联考） 9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，其中.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ） A. B. C. 与时的相对于平衡位置的高度之比为 D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期求出，代入则得到，则得到函数解析式，再代入数据即可判断CD. 【详解】由题可知小球运动的周期，所以，解得，故B正确； 当时，. 又，所以，故A错误； 则， 所以与时的相对于平衡位置的高度之比为，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 如图，在直三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 平面ABM B. 三棱锥的体积的取值范围是 C. 存在点P，使得BP与平面所成的角为60° D. 存在点P，使得AP与BM垂直 【答案】BC 【解析】 【分析】由勾股定理求出、、，即可判断A，由即可判断B，BP与平面所成的角即为BP与平面ABC所成的角，设为，根据临界点求出，即可判断C，设中点为N，即可得到平面，即，得出矛盾，即可判断D； 【详解】解：由题意得．则， ， 所以与不垂直．故A错误；，点B到平面的距离为， 由，所以，所以，又， 则，故B正确； BP与平面所成的角即为BP与平面ABC所成的角，设为，易知当点P与M重合时，最小，此时，当点P与重合时，最大，此时，，此时，故存在点P，使得BP与平面所成的角为60°，故C正确； 若，设中点为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，则平面，因为平面，所以，因为，，故与不垂直，故不合题意，故D错误． 故选：BC 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互为反函数的性质可得的中点坐标为，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数与互为反函数， 则与的图象关于对称， 将与联立，则， 由直线分别与函数和的图象交于点， 作出函数图像： 则的中点坐标为， 对于A，由，解得，故A正确； 对于B，， 因为，即等号不成立，所以，故B正确； 对于C，将与联立可得，即， 设，且函数为单调递增函数， ，， 故函数的零点在上，即，由，则， ，故C正确； 对于D，对D，记，则，，则，又，易知在上单调递增，故，故D错误 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得，再用二倍角正弦公式化成二次式并转化成正切即可得解. 【详解】因，则， . 故答案为： 13. 已知是等差数列，，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用等差中项求出，再将化简即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为， 所以. 故答案为：3. 14. 过双曲线右焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为点A，O为坐标原点，若的角平分线与x轴交于点M，且点M到OA与AF的距离都为，则双曲线C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图设点A在第一象限，根据点到直线的距离公式可得F到渐近线的距离为b，得，由题意得四边形MTAN为正方形，有，整理可得，即可求解. 【详解】由题意得，双曲线的渐近线为，，如图， 设点A在第一象限，则点F到渐近线的距离为， 所以， 过点M分别作于点N，于点T， 又于A，所以四边形MTAN为正方形，得， 所以，又， 所以，得，则， 所以，故， 即双曲线的离心率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C； （2）若，求的面积. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边后，由余弦定理可求得角； （2）代入（1）中关系式结合已知可得，再由面积公式得面积． 【详解】（1）因为，由正弦定理得，即， 所以，，所以； （2）由（1），，而， 所以， ． （2024•江苏徐州高三适应性测试） 16. 已知函数，． （1）若函数在上单调递减，求a的取值范围： （2）若直线与的图象相切，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式即可求解； （2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解. 【小问1详解】 记在上单调递减， 对恒成立， ，而， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为. 所以a的取值范围为 【小问2详解】 设直线与的图象相切于， ， 由题意可知， 代入， ，左边式子关于单调递减且时，左边 17. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线，F为的中点，平面，.现沿将翻折至的位置，使得平面平面，且点和E在平面同侧. （1）证明：平面； （2）求二面角大小的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取中点O，连，证明平面平面，平面即得证； （2）以O为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角大小的正弦值. 【详解】（1）取中点O，连，∴F为的中点，∴，又面面. ∴平面，，∴， 又∵平面平面，平面平面. ∴平面，又平面，∴. 又平面，平面，∴平面，平面. ∴平面平面， 因为平面，所以平面. （2）以O为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设平面的法向量为. ∴ 令，则 设平面的法向量为. ∴ 令，则. ∴. ∴二面角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：二面角的求法：方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号） （2024·吉林地区高三第三次模拟） 18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人. （1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联：单位：人 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 北方游客 合计 （2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出. （i）求经过次传递后球回到甲的概率； （ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望. 参考公式：，其中； 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表： 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 200 100 300 北方游客 80 120 200 合计 280 220 500 无关 （2）（i）； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，完成列联表，利用独立性检验公式求解判断即可； （2）（i）设经过次传递后回到甲的概率为，求出关系式，得到通项公式；（ii）方法一：设第次传递时甲接到球的次数为，则服从两点分布，，设前次传递中球传到甲的次数为，利用公式求期望即可.方法二：设第次传递时，乙接到球的概率和次数分别为与，则服从两点分布，，利用公式求期望即可. 【小问1详解】 将所给数据进行整理，得到如下列联表： 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 200 100 300 北方游客 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【小问2详解】 （i）设经过次传递后回到甲的概率为， ，， 又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （ii）（方法一） 设第次传递时甲接到球的次数为，则服从两点分布，， 设前次传递中球传到甲的次数为， ， 因为，所以. （方法二） 设第次传递时，乙接到球的概率和次数分别为与，则服从两点分布， ，由题可知，， 又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列， ，， ， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第2问（ii）的解决关键是，根据题意得到的关系，利用构造法分析出是首项为，公比为的等比数列，由此得解. （2024•湖南永州高三第三次模拟） 19. 已知为坐标原点，动点在椭圆上，动点满足，记点的轨迹为 （1）求轨迹的方程； （2）在轨迹上是否存在点，使得过点作椭圆的两条切线互相垂直？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由： （3）过点的直线交轨迹于，两点，射线交轨迹于点，射线交椭圆于点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）存在，或( （3） 【解析】 【分析】（1）利用相关点法即可求解； （2）当切线斜率都存在时，设过点的切线为，联立方程组，消元后根据，整理为，结合韦达定理和垂直条件可得，再根据，即可求解； （3）将代入轨迹的方程，结合韦达定理，求得的面积，再将代入椭圆C的方程可得，由，可得，令，由①②可知，从而求得取得最大值2，由题知的面积，又易知面积，从而四边形的面积，从而可求解. 【小问1详解】 设则， 由得， 又在椭圆上，所以 代入化简得， 所以点的轨迹的方程为 【小问2详解】 当两条切线的斜率存在时，设过点的切线为， 联立，消去得 则由判别式，得， 设两条切线的斜率分别为，依题意得 即， 又点在轨迹上，，解得， 或( 当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得不合题意， 综上，存在满足条件的点，且点的坐标为或(. 【小问3详解】 将代入轨迹的方程， 可得， 由， 可得①，且，， 所以， 因为直线与轴交点的坐标为， 所以的面积 ， 将代入椭圆C的方程可得， 由，可得②， 令，由①②可知， 因此，故， 当且仅当，即时，取得最大值2， 由题知的面积，又易知面积， 从而四边形的面积， 所以四边形的面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛： 第三问的关键是先求得的面积，再根据从而可得的面积，又易知面积，从而四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鞍山市鞍钢高级中学2024—2025第一学期期末考试 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （2024•贵州遵义高三第三次质量监测） 1. 集合，，求（ ） A. B. C. D. （2024•浙江宁波十校高三3月联考） 2. 若复数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 3. “”是“点在圆外”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中系数为（ ） A. 180 B. 90 C. 20 D. 10 （2024•山东泰安高三第二次模拟） 7. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. （2024•辽宁辽阳高三第一次模拟） 8. 已知函数满足，则（　　） A. 10000 B. 10082 C. 10100 D. 10302 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. （2024•重庆部分学校高三3月联考） 9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，其中.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ） A. B. C. 与时的相对于平衡位置的高度之比为 D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为2 10. 如图，在直三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 平面ABM B. 三棱锥的体积的取值范围是 C. 存在点P，使得BP与平面所成的角为60° D. 存在点P，使得AP与BM垂直 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为__________. 13. 已知是等差数列，，则___________. 14. 过双曲线右焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为点A，O为坐标原点，若的角平分线与x轴交于点M，且点M到OA与AF的距离都为，则双曲线C的离心率为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C； （2）若，求的面积. （2024•江苏徐州高三适应性测试） 16. 已知函数，． （1）若函数在上单调递减，求a的取值范围： （2）若直线与的图象相切，求a的值． 17. 如图，四边形是边长为的菱形，对角线，F为的中点，平面，.现沿将翻折至的位置，使得平面平面，且点和E在平面同侧. （1）证明：平面； （2）求二面角大小的正弦值. （2024·吉林地区高三第三次模拟） 18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人. （1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联：单位：人 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 北方游客 合计 （2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出. （i）求经过次传递后球回到甲的概率； （ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望. 参考公式：，其中； 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2024•湖南永州高三第三次模拟） 19. 已知为坐标原点，动点在椭圆上，动点满足，记点的轨迹为 （1）求轨迹的方程； （2）在轨迹上是否存在点，使得过点作椭圆的两条切线互相垂直？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由： （3）过点的直线交轨迹于，两点，射线交轨迹于点，射线交椭圆于点，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $