精品解析：江西省九江市第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九江一中2024-2025学年度上学期12月份检测试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不等的实根，则m的取值范围是（　　） A. m＜3 B. m≤3 C. m＜3且m≠2 D. m≤3且m≠2 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价元，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7. 使分式有意义的的取值范围是________． 8. 分解因式：2x2﹣8=_______ 9. 已知，是一元二次方程的两实数根，则________. 10. 在中，若，则的度数为________. 11. 反比例函数、在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于.若，则________. 12. 如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为_____________ 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简： （2）解方程： 14. 把一副扑克牌中的三张黑桃牌（它们的正面数字分别为3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字.当两张牌的牌面数字相同时，小王赢；当两张牌的牌面数字不同时，小李赢.现请你分析游戏规则对双方是否公平，并说明理由. 15. 如图，在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）. （1）在如图（1）的边上求作一点，连接，使； （2）在如图（2）的边上求作一点，连接，使. 16. A地区2015年公民出境旅游总人数约600万人，2017年公民出境旅游总人数约864万人，若2016年、2017年公民出境旅游总人数逐年递增，求2016、2017这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率？ 17. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别 为A（-6，0）、B（-2，3）、C（-1，0）． （1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°．画出对应的△A′B′C′图形； （2）若四边形A′B′C′D′为平行四边形，请直接写出第四个顶点D′的坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，我国政府迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机在点A处测得前方海面的点F处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），此时的俯角为30°．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800m到达B点，此时测得点F的俯角为45°．请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A，B，C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.7） 19. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根 据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了　 　名同学； （2）条形统计图中，m=　 　，n=　 　； （3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　 　度； （4）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？ 20. 如图，已知反比例函数与一次函数相交于、两点，轴于点.若的面积为1，且. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）请直接写出点的坐标，并指出当为何值时，反比例函数的值小于一次函数的值. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （3）在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 22. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． （1）求直线AB的解析式； （2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）正方形中，为对角线，把沿向右平移至图1的位置，得到，直线、交于点，连、，则与有怎样的关系？直接写出你的结论； （2）当平移到线段的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否还成立？说明你的理由； （3）当正方形改为矩形，且时，连对角线，将绕点顺时针旋转得到，再将它沿直线向左平移（如图3），和交于点，连、，问此时和有怎样的关系？证明出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江一中2024-2025学年度上学期12月份检测试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：从正面可以看到横放的两个正方形， 故选D. 考点：简单几何体的三视图. 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 3. 若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不等的实根，则m的取值范围是（　　） A. m＜3 B. m≤3 C. m＜3且m≠2 D. m≤3且m≠2 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有实数根， ∴m-2≠0且△≥0. 由△≥0可得 22-4(m-2)≥0 解得m≤3， 解m-2≠0得m≠2， ∴m的取值范围是m≤3且m≠2． 故答案选D. 【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与一元二次方程的定义. 4. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； B．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； C．添加，可判断平行四边形为矩形，符合题意； D．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：C． 5. 新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价元，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键，销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价−进价，降低售价的同时，销售量就会提高，根据每台的盈利×销售的件数元，即可列方程． 【详解】解：设每台冰箱的降价应为元，依题意得：， 即． 故选：B． 6. 如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，由正方形的性质可得，，，则，由，，可得，由题意知，，，，，，，即，整理求解即可． 【详解】解：如图， 由正方形的性质可得，，， ∴， ∵，， ∴， 由题意知，，，，， ∴，， ∴，整理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 8. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 9. 已知，是一元二次方程的两实数根，则________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数关系“”及方程解的定义整体代入计算得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 则，， ， 故答案为：． 10. 在中，若，则的度数为________. 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，非负数的性质，三角形内角和定理．先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，，进而得到，再由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 反比例函数、在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于.若，则________. 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，，再利用得到，然后解关于的绝对值方程即可． 【详解】解：轴， ，， ， ， 而， ． 故答案为：6． 12. 如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为_____________ 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．分三种情况讨论，利用矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， 显然点P与点B重合时，为直角三角形， 此时斜边长为； 当点E为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴斜边长为； 当点F为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， 过点P作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合， ∴， ∴斜边长为； 综上，斜边长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简： （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，以及解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值、一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）先根据实数的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义化简，再算加减即可； （2）因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， 或 ∴． 14. 把一副扑克牌中的三张黑桃牌（它们的正面数字分别为3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字.当两张牌的牌面数字相同时，小王赢；当两张牌的牌面数字不同时，小李赢.现请你分析游戏规则对双方是否公平，并说明理由. 【答案】 游戏规则不公平．理由如下： 列表： 小李 小王 3 4 5 3 （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，3） （5，4） （5，5） 由上表可知，所有可能出现的结果共有9种， 故（牌面数字相同）， （牌面数字不同）． ∵ ＜， ∴ 此游戏规则不公平，小李赢的可能性大． 考点：简单事件的概率． 【解析】 【详解】试题分析：先利用画树状图或列表得出所有可能出现的结果，然后分别求出两人获胜的概率，比较大小即可得出结论． 试题解析：游戏规则不公平．理由如下： 列表： 小李 小王 3 4 5 3 （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，3） （5，4） （5，5） 由上表可知，所有可能出现的结果共有9种， 故（牌面数字相同）， （牌面数字不同）． ∵ ＜，∴ 此游戏规则不公平，小李赢的可能性大． 考点：简单事件的概率． 15. 如图，在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）. （1）在如图（1）的边上求作一点，连接，使； （2）在如图（2）的边上求作一点，连接，使. 【答案】 （1）如图（1），CN为所作． （2）如图，，2为所求的线段. 【解析】 【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB； （2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得CQ∥AM． 【详解】解：（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN为所作． 理由：在△AOD与△COD中， ∵， ∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴∠OAD=∠OCD， ∴∠BAM=∠BCN． 在△ABM与△CBN中， ∵， ∴△ABM≌△CBN（ASA）， ∴CN=AM． （2）连接AC、BD交于O点，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则为所求的线段. 在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，AD∥BC， ∴QO=MO ∴四边形AQCM为平行四边形， ∴QC∥AM 【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解． 16. A地区2015年公民出境旅游总人数约600万人，2017年公民出境旅游总人数约864万人，若2016年、2017年公民出境旅游总人数逐年递增，求2016、2017这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率？ 【答案】2016、2017这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设这两年该地区公民出境旅游总人数的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率为，根据题意得， 解得：（舍去）， 答：2016、2017这两年A地区公民出境旅游总人数的年平均增长率． 17. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别 为A（-6，0）、B（-2，3）、C（-1，0）． （1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°．画出对应的△A′B′C′图形； （2）若四边形A′B′C′D′为平行四边形，请直接写出第四个顶点D′的坐标． 【答案】（1）△A′B′C′如图所示 6分（2）D′（3，﹣5）． 8分 【解析】 【详解】试题分析：（1）分别找出点ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°后的对应点A′B′C′，顺次连接A′B′，C′A′，B′C′即可；（2）根据平行四边形的性质对边平行且相等可确定点D′的坐标. 试题解析：（1）△A′B′C′如图所示 6分 （2）D′（3，﹣5）． 8分 考点：1.图形的旋转；2．平行四边形的性质；3.点的坐标. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，我国政府迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机在点A处测得前方海面的点F处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），此时的俯角为30°．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800m到达B点，此时测得点F的俯角为45°．请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A，B，C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.7） 【答案】竖直高度CF约为1080米． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意易得BC=CF，那么利用30°的正切值即可求得CF长． 试题解析：∵∠BCF=90°，∠FBC=45°， ∴BC=CF， ∵∠CAF=30°， ∴tan30°=， 解得：CF=400+400≈400（1.7+1）=1080（米）． 答：竖直高度CF约为1080米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 19. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根 据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了　 　名同学； （2）条形统计图中，m=　 　，n=　 　； （3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　 　度； （4）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？ 【答案】解：（1）200． （2） 40；60． （3）72． （4）学校购买其他类读物900册比较合理． 【解析】 【详解】（1）∵从条形图得出文学类人数为：70，从扇形图得出文学类所占百分比为：35%， ∴本次调查中，一共调查了：70÷35%=200人. （2）∵从扇形图得出科普类所占百分比为：30%， ∴科普类人数为：n=200×30%=60人， 艺术类人数为：m=200﹣70﹣30﹣60=40人. （3）根据艺术类读物所在扇形的圆心角是：40÷200×360°=72°. （4）根据喜欢其他类读物人数所占的百分比为 ， 则6000册中其他读物的数量： （本）. 20. 如图，已知反比例函数与一次函数相交于、两点，轴于点.若的面积为1，且. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）请直接写出点的坐标，并指出当为何值时，反比例函数的值小于一次函数的值. 【答案】（1）； （2）当和时， 【解析】 【分析】本题考查反比例及一次函数的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键． （1）根据，的面积为1，确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即可求解； （2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数的值小于一次函数的值． 【小问1详解】 解：在中，设． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴（负值舍去）． ∴A点的坐标为． 把A点的坐标代入中，得． ∴反比例函数的表达式为． 把A点的坐标代入中，得， ∴． ∴一次函数的表达式． 【小问2详解】 由题意得：， 解得：， 点的坐标为． 当和时，． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （3）在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】（1）证明：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ． （2） 当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形． 理由： ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，即， 四边形是矩形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论； （2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，对角线互相垂直的矩形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形． ，， ， 矩形是正方形． 【点睛】本题综合考查了平行线性质，等腰三角形的判定，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定等知识，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． （1）求直线AB的解析式； （2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ 【答案】（1）;（2）当t为秒或秒时,△APQ与△AOB相似;（3）当t=2秒或t=3秒时，△APQ的面积为个平方单位. 【解析】 【分析】(1)设直线AB的解析式为，解得k，b即可； (2)由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠PAQ=∠AOB 时,△APQ∽△AOB.利用其对应边成比例解t；②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB，利用其对应边成比例解得t. (3)过点Q作QE垂直AO于点E，在Rt△AEQ中，=（10-2t）=8-，再利用三角形面积解得t即可. 【详解】解：(1)设直线AB的解析式为 由题意,得, 解得 所以,直线AB的解析式为 (2)由AO=6，BO=8得AB=10， 所以AP=t， AQ=10-2t， ①当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB 所以， 解得(秒) ②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB 所以 解得(秒) ∴当t为秒或秒时，△AQP与△AOB相似 (3)过点Q作QE垂直AO于点E， 在Rt△AOB中， sin∠BAO= 在Rt△AEQ中， =（10-2t）=8-, S△APQ= 解得，t=2（秒）或t=3（秒） ∴当t=2秒或t=3秒时，△APQ的面积为个平方单位. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点,有一定的拔高难度，属于难题. 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）正方形中，为对角线，把沿向右平移至图1的位置，得到，直线、交于点，连、，则与有怎样的关系？直接写出你的结论； （2）当平移到线段的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否还成立？说明你的理由； （3）当正方形改为矩形，且时，连对角线，将绕点顺时针旋转得到，再将它沿直线向左平移（如图3），和交于点，连、，问此时和有怎样的关系？证明出你的结论． 【答案】（1）； （2）成立．理由如下： 如图②延长交于点Q， 由题意得， ， 又， ， ． 在和中， ， ． ， ， ∴在中，， ， ∴即； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，根据全等三角形的性质证明结论即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质证明结论即可； （3）先证明，再证明，根据相似三角形性质得出结论； 【详解】解：（1）． 在正方形中， ， 又， ， ． ． ． 如图①，延长交于点N． ， ， ，即； （2）略 （3）． 如图③，延长交于K，由旋转的性质和正方形的性质可知， 在和中， ， ， ， 由旋转的性质可知：， ， 在和中， ， ， ， ． 延长交于点K． ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查的是正方形性质、平移及旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $