第七章 平行线的证明 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第七章 平行线的证明 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 3．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·电线杆：如图，有一个与水平地面成角的斜坡，现要在斜坡上竖起一根与水平地面垂直的电线杆，电线杆与斜坡所夹的角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（陕西省西安市经开区2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷）如图，若直线，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（19-20八年级上·广西贵港·期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知与上的点，点，现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·广西·阶段练习）如图，现从某n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点是内一点，点关于的对称点为，点于的对称点为，连结交、于点和点，连结、．若，则的大小为(   ) A． B． C． D． 10．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，、分别是的高和角平分线，F是延长线上的一点，过点F作交于点G、交于点H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设 ． 12．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 14．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则的度数是 ． 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，，则n的值为 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（陕西省西安市经开区2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷）已知：如图，，平分，平分，求证：． 18．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 19．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，在中，于点E． (1)求的度数； (2)若平分交于点D，平分交于点G．求证：． 20．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）小强为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．如图，，，视线与视线垂直，且． (1)证明：； (2)米，米，求大楼的高． 21．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 22．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，点D在边上． (1)若，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 23．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． 24．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图1，，点C、D分别在射线上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F． (1)当时，求的度数； (2)当C、D在射线上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数； (3)当在的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，点B为上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和是180°，设三个内角分别为，则，分别求得三个内角的度数，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形三个内角的度数之比是， 设三个内角分别为，则 解得：， ∴这三个内角分别为， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·电线杆：如图，有一个与水平地面成角的斜坡，现要在斜坡上竖起一根与水平地面垂直的电线杆，电线杆与斜坡所夹的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角的性质，三角形的内角和定理的应用，垂线的定义，延长交于点，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：延长交于点， 则， ∴， ∴． 故选C． 4．（陕西省西安市经开区2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷）如图，若直线，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的性质等知识点，由平行线的性质，邻补角的性质即可判断，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决此题的关键． 【详解】解：A、由两直线平行，内错角相等判定，不一定得到，故A不符合题意； B、由两直线平行，同位角相等判定，故B符合题意； C、由两直线平行，同旁内角互补判定，和不一定相等，故C不符合题意； D、和是邻补角，，和不一定相等，故D不符合题意； 故选：B． 5．（19-20八年级上·广西贵港·期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形内角和性质，难度适中． 【详解】解：是中的平分线，是的外角的平分线，且， ， ， ． ， ， 故选C． 6．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知与上的点，点，现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，尺规作图，全等三角形的判定与性质，根据图形的作法得到相等的线段，证明是关键．证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由题意可得：，， ，故B正确，不符合题意； ，，故A错误，符合题意；C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：A． 7．（24-25八年级上·广西·阶段练习）如图，现从某n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查多边形的性质，三角形内角和定理．掌握从n边形一边上的一点（不包含端点）出发，可以把n边形分为个三角形是解题关键．根据三角形内角和定理可得出分割得到的三角形有6个，进而根据多边形的性质得出该多边形为6边形． 【详解】解：由题意可知分割得到的三角形有个， ∵从n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，可以构成个个三角形， ∴该多边形的边数是． 故选：B． 8．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，三角形的外角的性质．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得： ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：B． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点是内一点，点关于的对称点为，点于的对称点为，连结交、于点和点，连结、．若，则的大小为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理的应用；根据轴对称的性质得出，由，可得结论． 【详解】解：如图所示，连接，，， 点是内一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为， ，，，，， ， ． ． 故选：C． 10．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，、分别是的高和角平分线，F是延长线上的一点，过点F作交于点G、交于点H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的计算及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角度之间关系的证明方法． 根据等角的余角相等证明结论①；根据角平分线的定义和三角形的外角证明结论②，根据直角三角形的两锐角互余再结合②的结论可得结论③，根据三角形的外角和等角的余角相等可以证明结论④． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高，， ∴，故④正确； 故选D 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法的应用，用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 【详解】用反证法证明，应先假设； 故答案为 12．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：(答案不唯一)· 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是”等知识点是解决本题的关键先由平行线的性质得到与的关系，再由折叠得到与、与的关系，最后利用三角形的内角和走理求出． 【详解】解∶ ， ． 沿翻折得到， ，． ， ． ， ． ， ． ． 故答案为：． 14．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理计算出，则利邻补角定义计算出，再根据角平分线定义得到，，所以，然后再利用三角形内角和计算的度数. 【详解】解：在中，， ， ，， ， 平分，平分， ， ． 故答案为： 15．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则的度数是 ． 【答案】或1或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，根据题意，对“有一个内角度数是另一个内角度数的2倍”这个条件进行分类讨论，结合三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ①当是的2倍时，则， ∴， ∴； ②当是的2倍时，则点C与点B重合，不符合题意； ③当是的2倍时，则， ∴， ∴； ④当是的2倍时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为：或1或． 故答案为：或1或． 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，，则n的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．设和交于点，连接，延长交于，设，，则，，，，，根据得，由三角形内角和定理得①，②，由①②即可求出的值． 【详解】解：设和交于点，连接，延长交于，如图所示： 设，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ①， ， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 即， ， 即， ， ， ②， ①②得：， ． 解得：． 故答案为：2.6． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（陕西省西安市经开区2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷）已知：如图，，平分，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．由、分别为角平分线，利用角平分线的定义得到，，由，利用两直线平行内错角相等得到，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：平分，平分， ，， ∵， ， ， ∴． 18．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形外角和性质的综合，理解垂线的定义，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，外角和性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理，垂线和角平分线的定义可得，，根据三角形外角和的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：是高，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 19．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，在中，于点E． (1)求的度数； (2)若平分交于点D，平分交于点G．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案； （2）由角平分线的定义和三角形内角和定理可得．再根据平行线的判定方法可得结论． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． （2）证明：平分， ， ． 平分， ． ， ． ． 20．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）小强为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．如图，，，视线与视线垂直，且． (1)证明：； (2)米，米，求大楼的高． 【答案】(1)见解析 (2)20米 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：与垂直， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， 米，米， （米）． 答：楼高是20米． 21．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解； （2）根据，得，再由三角形外角的性质即可求证； （3）连接，由，，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，   ，， ， ， ， 故答案为；； （2）解： ， ， ， ； （3）证明：，证明： 连接并延长，   ，， ， ． 22．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，点D在边上． (1)若，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 23．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点， （1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； （3）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； 熟练掌握角平分线的定义，三角形的内角和定理是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， ∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， 故答案为：，； （2），理由如下： 分别平分， ， ，， ， ； （3）平分平分， ， ， 同理可得，， ∴． 24．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图1，，点C、D分别在射线上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F． (1)当时，求的度数； (2)当C、D在射线上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数； (3)当在的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变化， (3)或 【分析】本题考查了角平分线的计算，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理．解决本题的关键是熟练掌握了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和． （1）根据三角形的内角和是，可求，所以，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可得答案． （2）先求得．再由是的平分线，是的平分线，可得．最后由三角形外角性质可得答案； （3）设．由（2）知，，可得，再由平分可得．由得出，解得　，从而求出．即　，最后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的平分线，是的平分线， ∴． ∵， ∴． （2）解：不变化，． ∵∠AOB=90°， ∴． ∵是的平分线，是的平分线， ∴． ∵， ∴， ， ； （3）解：设． 由（2）知，， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得　， ∴． ∴． 即　， 当时，即，解得　． ∴； 当时，即，解得　，不合题意，舍去； 当时，即，解得　． ∴． 综上所述，的度数为或． 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，点B为上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）由平行线的性质得到，再根据，等量代换推出，即可证明结论； （2）分别过点作的平行线，设，利用平行线的性质分别表示出，即可得出结论； （3）设，则，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出，，根据，求出，过点P作，过点H作，求出，，根据，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图：分别过点作的平行线， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴， 如图，过点P作，过点H作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$