5.1 多边形与平行四边形-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·山东数学 第五章　 四边形　 　 (统考卷 3 道,9 分;统考样卷 4 道,9 分) 　 　 第 五 章 　 四 边 形 命题点 1　 多边形与平行四边形 (统考卷 7 题,9 题;统考样卷 22 题,24(1)题) 要点归纳 要点 1 多边形(设边数为 n) 多边形 (1)n 边形的内角和等于①　 (n-2)·180°　 (n≥3); (2)多边形的外角和为②　 360°　 (这是多边形计算中的一个突破口 ∙∙∙ ); (3)从 n( n> 3)边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线,n(n>3)边形共有 n(n-3) 2 条对角线 正多 边形 (统考 卷 7 题) (1)正多边形的每条边都相等,每个内角都相等; (2)正 n 边形的每个内角等于(n -2)·180° n ,每个外角等于360° n ; (3)对于正 n 边形,当 n 为奇数时,是轴对称图形; 当 n 为偶数时,既是轴对称图形又是中心对称图形; 正 n 边形有 n 条对称轴; (4)正 n 边形有一个外接圆和一个内切圆,为同心圆 要点 2 多边形(n≥4)剪掉一个角后与原图形的变化对比(以四边形为例) 剪法 裁剪线不过顶点 裁剪线过一个顶点 裁剪线过两个顶点 图示 边数变化 增加一条边 不变 减少一条边 内角和 增加 180° 不变 减少 180° 外角和 不变,恒为 360° 48 基础夯实练·山东数学 第 五 章 　 四 边 形 要点 3 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 性质 (统考 卷 9 题; 统考样 卷 22 题) (1)边:对边平行且③　 相等　 ; (2)角:对角④　 相等　 ,邻角⑤　 互补　 ; (3)对角线:对角线互相⑥　 平分　 ; (4)对称性:是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,经过对称中心的 任意一条直线平分平行四边形的面积; (5)任何四边形均具有不稳定性 周长 C= 2(AB+BC) 面积 S=BC·AE 判定 定理 (统考样卷 24(1)题) (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法); (2)两组对边分别⑦　 相等　 的四边形是平行四边形; (3)一组对边⑧　 平行且相等　 的四边形是平行四边形; (4)对角线互相⑨　 平分　 的四边形是平行四边形; (5)两组对角分别⑩　 相等　 的四边形是平行四边形 思维点拨平行四边形的判定思路 ①已知一组对边相等 证这组对边平行, 证另一组对边相等;{ 　 ②已知一组对边平行 证这组对边相等, 证另一组对边平行;{ ③已知两条对角线:证对角线互相平分. 要点 4 平行四边形中的六个面积关系 图 形 l 是 过 对 称 中心 O 的任 意一条直线 (人教八下 P56 图 18. 2-8) 点 B 是平行 四边形内 任意一点 点 A 是对角线 上任意一点 结 论 S1 =S2 +S3 一对全等 ∙∙ 三角形; S1 =S2 S1 =S2; OE=OF; AF=CE; BF=DE 两对全等 ∙∙ 的三 角形;S1 = S2 =S3 =S4 S1 +S3 =S2 +S4 S1 =S2 58 基础夯实练·山东数学 第 五 章 　 四 边 形 要点 5 平行四边形内角平分线模型 原理:平行线+角平分线有等腰 一条 角平 分线 图形 结论 AB=BE △FAE∽△FBC∽△CDE; AF=AE,BC=BF,DE=DC 两条 角平 分线 图形 结论 AB=AE=CD=DE, ∠BEC= 90° AB=AF=DE =DC, CE ⊥ BF, EF = 2AB-AD AB = AF = DE = DC, CE⊥BF,EF = AD- 2AB AB = AF = CE = CD,四边形 BEDF 是平行 四边形 随堂练习 1. 已知一个 n 边形(n≥3) . (1)若 n 边形的内角和为 540°,则 n= 　 5　 ; (2) [北师八下 P156 随堂练习改编] 若 n 边形的内角和是外角和的 2 倍,则其内角和 为　 720　 °,n= 　 6　 ; (3)[人教八上 P24 练习第 2 题改编]若 n 边形的每一个内角都是 108°,则它的每一个外角为 　 72　 °,n= 　 5　 ,内角和为　 540　 °; (4)若 n 边形的每个内角是每个外角的 3 倍,则它的每一个外角为　 45　 °,每一个内角 为　 135　 °,n= 　 8　 ,内角和为　 1 080　 °; (5)若由 n 边形的一个顶点可以画 8 条对角线,则 n=　 11　 ,这个 n 边形一共有　 44　 条对 角线. 2. 如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O. 第 2 题图① (1)如图①,①若∠ABC ∶ ∠BAD= 1 ∶ 2,则∠BCD= 　 120°　 ; ②若 AC= 10,BD= 12,则 OA+OB= 　 11　 ; ③若▱ABCD 的周长是 20,△ABO 的周长比△BCO 的周长小 2,则 AB= 　 4　 ; ④若以点 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,点 C 的坐标为(6,0), 点 D 的坐标为(8,4),则点 A 的坐标为　 (2,4) 　 ; 68 基础夯实练·山东数学 第 五 章 　 四 边 形 (2)[鲁教八上 P123 例 2 改编]如图②,若线段 EF 经过点 O,交 CD 于点 E,交 AB 于点 F. ①图中全等三角形共有　 6　 对; ②若点 E 是 CD 的中点,AD= 4,则 OE= 　 2　 ,OF= 　 2　 ; ③若 AB= 8,▱ABCD 的面积是 32,则 EF 的最小值为　 4　 . 第 2 题图② 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 3. 如图,P 是▱ABCD 内的任意一点,连接 PA,PB,PC,PD,得到△PAB, △PBC, △PCD, △PDA,设它们的面积分别是 S1,S2,S3,S4,给出如下结论:①S1 +S3 = S2 +S4;②若 S3 = 2S1, 则 S2 = 2S4;③若 S1 +S3 = 5,则▱ABCD 的面积为 10;④S1 +S2 =S3 +S4 . 其中一定正确的是 ( A ) A. ①③　 　 　 　 　 　 B. ②③　 　 　 　 　 　 C. ①②　 　 　 　 　 　 D. ②④ 4. [青岛八下 P36 第 11 题改编]如图,在▱ABCD 中,E 为 BC 边上的一点,AE,DE 分别平分 ∠BAD,∠CDA. 若 AE= 6,DE= 8,则 AB 的长为 ( B ) A. 4　 　 　 　 　 　 　 　 B. 5　 　 　 　 　 　 　 　 C. 6　 　 　 　 　 　 　 　 D. 7 5. [人教八下 P47 第 2 题改编]多解法 ∙∙∙ 　 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O. 若 E,F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点,连接 DF,BE,AF = CE,DF = BE,DF∥BE. 求 证:四边形 ABCD 是平行四边形. 第 5 题图 解法一:(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 证明:∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF,∴∠AFD=∠CEB. 又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB, ∴AD=BC,∠DAF=∠BCE,∴AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 解法二:(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) 证明:∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF.又∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,∴AE=CF, 又∵DF=BE,∴△ABE≌△CDF,∴AB=CD,又∵∠DFE=∠BEF,∴∠AFD=∠CEB, ∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB,∴AD=BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 解法三:(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)(自行证明) 解法四:(对角线互相平分的四边形是平行四边形)(自行证明) 温馨提示:请完成《分层作业本》P77~ 80 习题 78 EF= 42 +22 = 2 5 , ∴ AB DF = 2 2 2 = 2 2 , BC DE = 2 2 , AC EF = 10 2 5 = 2 2 , 即 AB FD =BC DE = AC FE = 2 2 , ∴ △ABC∽△FDE. 4. 证明:∵ BE=FC, ∴ BE+EF=FC+EF,即 BF=CE, 在△ABF 与△DCE 中, AB=DC, BF=CE, AF=DE, { ∴ △ABF≌△DCE(SSS) . 第五章　 四边形 命题点 1　 多边形与平行四边形 要点归纳 ①(n-2)·180°　 ②360°　 ③相等　 ④相等　 ⑤互补 ⑥平分　 ⑦相等　 ⑧平行且相等　 ⑨平分　 ⑩相等 随堂练习 1. (1)5;(2)720,6;(3)72,5,540;(4)45,135,8,1 080; (5)11,44 2. (1)①120°;②11;③4;④(2,4);(2)①6;②2,2;③4 3. A　 4. B 5. 解法一:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, ∴ ∠AFD= ∠CEB. 又∵ AF=CE,DF=BE,∴ △AFD≌△CEB, ∴ AD=BC,∠DAF= ∠BCE,∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法二:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠BEF= ∠DFE, ∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ BE=DF,∴ △ABE≌△CDF,∴ AB=CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, ∵ AF=CE,DF=BE,∴ △AFD≌△CEB,∴ AD=BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法三:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠BEF= ∠DFE, ∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ BE=DF,∴ △ABE≌△CDF, ∴ ∠BAE= ∠DCF,∴ AB∥CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, 又∵ AF=CE,DF=BE, ∴ △AFD≌△CEB,∴ ∠DAF= ∠BCE,∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法四:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFO= ∠BEO, ∵ DF=BE,∠DOF= ∠BOE, ∴ △DFO≌△BEO,∴ OF=OE,OD=OB, 又∵ AF=CE,∴ AF+OF=CE+OE,即 OA=OC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 命题点 2　 矩形的性质与判定 要点归纳 ①平行且相等　 ②直角(90°)　 ③平分且相等 ④直角(90°)　 ⑤相等　 ⑥直角(90°) 随堂练习 1. (1)8,48;(2)4,4 5 ;(3)等边,4,2 3 ;(4)3 2. (1)解:①(答案不唯一),有三个角是直角的四边形是 矩形; 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∵ BD⊥BC, ∴ ∠CBD= ∠ADB= ∠DBE= 90°, ∵ ∠AEB= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形; (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,即 AD∥BE,AD=BC,AB=CD. ∵ DE=DC,DB⊥BC, ∴ DE=AB,BE=BC,∴ AD=BE, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DE=AB, ∴ 四边形 ADBE 是矩形; (3)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, ∴ ∠ADF= ∠BEF,∠DAF= ∠EBF, ∵ 点 F 是 AB 的中点,∴ AF=BF, ∴ △ADF≌△BEF,∴ DF=EF, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DB⊥BC,∴ ∠DBE= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形. 命题点 3　 菱形的性质与判定 要点归纳 ①平行　 ②相等　 ③相等　 ④互补　 ⑤垂直平分　 ⑥平分 ⑦相等　 ⑧互相垂直　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)30°,15°;(2)2 5 ,8 5 ,16;(3)等边,3,3 3 ;(4)16 2.解:②(答案不唯一),有一组邻边相等的平行四边形是 菱形 证明:∵ D,E,F 分别为 AB,BC,AC 的中点, ∴ DE 为△ABC 的中位线,AF= 1 2 AC, ∴ DE∥AC 且 DE= 1 2 AC=AF, ∴ 四边形 ADEF 为平行四边形, ∴ EF∥DA,∴ ∠DAE= ∠AEF, ∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠DAE= ∠FAE, ∴ ∠FAE= ∠AEF,∴ AF=EF,∴ 四边形 ADEF 为菱形. 命题点 4　 正方形的性质与判定 要点归纳 ①平行四边形　 ②相等　 ③直角(90°)　 ④互相垂直平分 ⑤一半　 ⑥相等　 ⑦垂直　 ⑧直角　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)①∠ABC = 90°(答案不唯一);②AC = BD(答案不唯 一);③AC⊥BD(答案不唯一);( 2) ①45,45,6 2 ,3 2 ; ②3 5 ;③67. 5,22. 5;④6 2 -6,6-3 2 2. 证明略. 大单元串讲练四　 特殊四边形之间的关系 (1)ab; (2)①菱形;平行四边形;② = ;③22. 5°;50 2 ; (3)证明:∵ 四边形ABCD是正方形,∴ A′B=BC =CD′ =A′D′ , ∴ 四边形 A′BCD′ 是菱形, ∴ OC= 1 2 A′C,A′C⊥BD′, ∵ D′E= 1 2 A′C,∴ D′E=OC. ∵ D′E∥A′C,∴ 四边形 OCED′是平行四边形. 又∵ A′C⊥BD′,∴ ∠COD′= 90°, ∴ 平行四边形 OCED′是矩形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 521