专练1 与圆的基本性质有关的综合题-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 六 章 圆 专练 1　 与圆的基本性质有关的综合题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. [2024 安徽]如图,☉O 是△ABC 的外接圆,D 是直径 AB 上一点,∠ACD 的平分线交 AB 于 点 E,交☉O 于另一点 F,FA=FE. (1)求证:CD⊥AB; (2)设 FM⊥AB,垂足为 M,若 OM =OE = 1,求 AC 的长. 第 1 题图 (1)证明:∵FA=FE,∴∠FAE=∠AEF, ∵∠FAE 与∠BCE 都是 BF ( 所对的圆周角, ∴∠FAE=∠BCE, ∵∠AEF=∠CEB,∴∠CEB=∠BCE, ∵CE 平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE, ∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°, ∴∠CDE=90°,∴CD⊥AB; (2)解:由(1)知,∠BEC=∠BCE,∴BE=BC, ∵AF=EF,FM⊥AB,∴MA=ME=2,AE=4, ∴OA=OB=AE-OE=3, ∴BC=BE=OB-OE=2,AB=AE+BE=6, 在△ABC 中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°, ∴AC= AB2-BC2 = 62-22 =4 2 . 2. [2024 济宁北湖区二模]如图,AB 是☉O 的直径, 点 E 是 OB 的中点,过点 E 作弦 CD⊥AB,连接 AC,AD. (1)求证:△ACD 是等边三角形; (2)若点 F 是 AC ( 的中点,过点 C 作 CG⊥AF, 垂足为点 G.若☉O的半径为 2,求 CG 的长. 第 2 题图 (1)证明:如解图,连接 OC, ∵AB 是☉O 的直径,且 CD⊥AB, ∴CE=DE,BC ( =BD ( ,∴∠BAC=∠BAD, ∴AB 是 CD 的垂直平分线,∴AC=AD, ∵OC=OB,点 E 是 OB 的中点, ∴点 C在线段 OB的垂直平分线上,OE=BE= 1 2 OB= 1 2 OC, 在 Rt△COE中,cos∠COE=OE OC = 1 2 ,即∠COE=60°, ∴∠BAD=∠BAC= 1 2 ∠COE=30°, 即∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°, ∴△ACD 是等边三角形; (2)解:由(1)得,△ACD 是等边三角形, ∴∠ADC=60°, ∵F 是 AC ( 的中点,∴CF ( = 1 2 AC ( , ∴∠GAC= 1 2 ∠ADC=30° =∠BAC, ∵CD⊥AB,CG⊥AF,∴∠AEC=∠AGC=90°, 在△AEC 和△AGC 中, ∠AEC=∠AGC, ∠EAC=∠GAC, AC=AC, ì î í ï ï ï ï ∵☉O 半径为 2,且点 E 是 OB 中点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 79 分层作业本·山东数学 　 第 六 章 圆 3. [2023 潍坊 21 题 12 分]如图,正方形 ABCD 内接 于☉O,在 AB ( 上取一点 E,连接 AE,DE,过点 A 作 AG⊥AE,交☉O 于点 G,交 DE 于点 F,连 接 CG,DG. (1)求证:△AFD≌△CGD; (2) 若 AB = 2, ∠BAE = 30°,求阴影部分的 面积. 第 3 题图 (1)证明:连接 EG,∵AG⊥AE,∴∠EAG=90°, ∴EG 为☉O 的直径, ∵D 在☉O 上,∴∠EDG=∠EAG=90°, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=CD,∠ADC=90°, ∵∠ADF+∠FDC=∠CDG+∠FDC=90°, ∴∠ADF=∠CDG, 在△ADF 和△CDG 中, ∠FAD=∠GCD, AD=CD, ∠ADF=∠CDG, ì î í ï ï ïï ∴△ADF≌△CDG(ASA); (2)解:如解图,过点 D 作 DH⊥AG 于点 H,连接 OA,OD, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BAD=90°,∠AGD= 1 2 ∠AOD= 1 2 ×90° =45°, ∴∠DAG+∠BAG=∠BAE+∠BAG=90°, ∴∠DAG=∠BAE=30°, ∵DH⊥AG,∴∠DHG=90°, 由(1)知∠CDG+∠FDC=∠FDG=90°,DF=DG, ∴△HDG 和△DFG 都是等腰直角三角形, 在 Rt△ADH 中,∠DAG=30°, ∴DH= 1 2 AD=1,AH= AD2-DH2 = 3 , ∴AG=AH+HG= 3 +1,DF=DG= 2DH= 2 , ∴S△ADF =S△ADG-S△DFG = 1 2 ×( 3 +1)×1- 1 2 × 2 × 2 = 3 -1 2 , 4. [2024 浙江]如图,在圆内接四边形 ABCD 中, AD<AC,∠ADC < ∠BAD,延长 AD 至点 E,使 AE=AC,延长 BA 至点 F,连接 EF,使∠AFE = ∠ADC. (1) 若∠AFE = 60°,CD 为直径,求∠ABD 的 度数; (2)求证:①EF∥BC;②EF=BD. 第 4 题图 (1)解:∵CD 为圆的直 径,A 在圆上, ∴∠CAD=90°, ∵ ∠AFE = ∠ADC = 60°,∴ ∠ACD = 90° - 60° =30°, ∴∠ABD=∠ACD=30°; (2)证明:①如解图,延长 AB 至 M, ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠CBM=∠ADC, 又∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE=∠CBM, ∴EF∥BC; ②如解图,过点 D 作 DG∥BC 交圆于点 G,连接 AG, CG, ∵DG∥BC,∴BD ( =CG ( ,∴BD=CG, ∵四边形 ACGD 是圆内接四边形, ∴∠GDE=∠ACG, ∵EF∥BC∥DG,∴∠DEF=∠GDE, ∴∠DEF=∠ACG, ∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, ∴∠AFE=∠AGC, ∵AE=AC,∴△AEF≌△ACG(AAS), ∴EF=CG,∴EF=BD. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 与圆的基本性质有关的综合题加练扫描 P89 二维 码一键免费下载. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 89 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 于点 D, ∴ ∠AOD = ∠BOD = 30°, 由轴对称的性质, ∠EOB= ∠BOD= 30°,OE=OD,∴ ∠AOE = 90°,∴ △AOE 是等腰直角三角形,∵ OA = 1,∴ AE = 2 , l AD ( = 30π ×1 180 = π 6 ,∴ 阴影部分周长的最小值为 AC+CD+ l AD ( = AC+CE+ l AD ( =AE+l AD ( = 2 + π 6 . 专练 1　 与圆的基本性质有关的综合题 1. (1)证明:∵ FA=FE,∴ ∠FAE= ∠AEF, ∵ ∠FAE 与∠BCE 都是 BF ( 所对的圆周角, ∴ ∠FAE= ∠BCE, ∵ ∠AEF= ∠CEB,∴ ∠CEB= ∠BCE, ∵ CE 平分∠ACD,∴ ∠ACE= ∠DCE, ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, ∴ ∠CEB+∠DCE= ∠BCE+∠ACE= ∠ACB= 90°, ∴ ∠CDE= 90°,∴ CD⊥AB; (2)解:由(1)知,∠BEC= ∠BCE,∴ BE=BC, ∵ AF=EF,FM⊥AB,∴ MA=ME= 2,AE= 4, ∴ OA=OB=AE-OE= 3, ∴ BC=BE=OB-OE= 2,AB=AE+BE= 6. 在△ABC 中,AB= 6,BC= 2,∠ACB= 90°, ∴ AC= AB2 -BC2 = 62 -22 = 4 2 . 2. (1)证明:如解图,连接 OC, 第 2 题解图 ∵ AB 是☉O 的直径,且 CD⊥AB, ∴ CE=DE,BC ( =BD ( ,∴ ∠BAC= ∠BAD, ∴ AB 是 CD 的垂直平分线,∴ AC=AD, ∵ OC=OB,点 E 是 OB 的中点, ∴ 点 C 在线段 OB 的垂直平分线上,OE = BE = 1 2 OB = 1 2 OC, 在 Rt△COE 中,cos∠COE= OE OC = 1 2 ,即∠COE= 60°, ∴ ∠BAD= ∠BAC= 1 2 ∠COE= 30°, 即∠CAD= ∠BAC+∠BAD= 60°, ∴ △ACD 是等边三角形; (2)解:由(1)得,△ACD 是等边三角形,∴ ∠ADC= 60°, ∵ F 是 AC ( 的中点,∴ CF ( = 1 2 AC ( , ∴ ∠GAC= 1 2 ∠ADC= 30° = ∠BAC, ∵ CD⊥AB,CG⊥AF,∴ ∠AEC= ∠AGC= 90°, 在△AEC 和△AGC 中, ∠AEC= ∠AGC, ∠EAC= ∠GAC, AC=AC, { ∴ △AEC≌△AGC(AAS),∴ CE=CG, ∵ ☉O 半径为 2,且点 E 是 OB 中点, ∴ OC=OB= 2,OE= 1, ∴ 在 Rt△COE 中,CE= OC2 -OE2 = 3 , ∴ CG=CE= 3 . 3. (1)证明:连接 EG,∵ AG⊥AE,∴ ∠EAG= 90°, ∴ EG 为☉O 的直径, ∵ D 在☉O 上, ∴ ∠EDG= ∠EAG= 90°, ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD=CD,∠ADC= 90°, ∵ ∠ADF+∠FDC= ∠CDG+∠FDC= 90°, ∴ ∠ADF= ∠CDG, 在△ADF 和△CDG 中, ∠FAD= ∠GCD, AD=CD, ∠ADF= ∠CDG, { ∴ △ADF≌△CDG(ASA); (2)解:如解图,过点 D 作 DH⊥AG 于点 H,连接 OA,OD, ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BAD= 90°,∠AGD= 1 2 ∠AOD= 1 2 ×90° = 45°, ∴ ∠DAG+∠BAG= ∠BAE+∠BAG= 90°, ∴ ∠DAG= ∠BAE= 30°, ∵ DH⊥AG,∴ ∠DHG= 90°, 由(1)知∠CDG+∠FDC= ∠FDG= 90°,DF=DG, ∴ △HDG 和△DFG 都是等腰直角三角形, 在 Rt△ADH 中,∠DAG= 30°, ∴ DH= 1 2 AD= 1,AH= AD2 -DH2 = 3 , ∴ AG=AH+HG= 3 +1,DF=DG= 2DH= 2 , ∴ S△ADF = S△ADG - S△DFG = 1 2 × ( 3 + 1) × 1 - 1 2 × 2 × 2 = 3 -1 2 , ∵ OA=OD,∠AOD= 90°, ∴ △AOD 是等腰直角三角形,∴ OA= 2 2 AD= 2 , ∴ S弓形AD =S扇形AOD-S△AOD = 90π×( 2)2 360 - 1 2 × 2× 2 = π 2 -1, ∴ S阴影 =S△ADF+S弓形AD = 3 -1 2 + π 2 -1 = 3 +π-3 2 . 第 3 题解图 4. (1)解:∵ CD 为圆的直径,A 在圆上,∴ ∠CAD= 90°, ∵ ∠AFE= ∠ADC= 60°,∴ ∠ACD= 90°-60° = 30°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 ∴ ∠ABD= ∠ACD= 30°; (2)证明:①如解图,延长 AB 至 M, ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,∴ ∠CBM= ∠ADC, 又∵ ∠AFE= ∠ADC,∴ ∠AFE= ∠CBM,∴ EF∥BC; ②如解图,过点 D 作 DG∥BC 交圆于点 G,连接 AG,CG, ∵ DG∥BC,∴ BD ( =CG ( ,∴ BD=CG, ∵ 四边形 ACGD 是圆内接四边形,∴ ∠GDE= ∠ACG, ∵ EF∥BC∥DG,∴ ∠DEF= ∠GDE, ∴ ∠DEF= ∠ACG, ∵ ∠AFE= ∠ADC,∠ADC= ∠AGC,∴ ∠AFE= ∠AGC, ∵ AE=AC,∴ △AEF≌△ACG(AAS), ∴ EF=CG,∴ EF=BD. 第 4 题解图 命题点 3　 与圆有关的位置关系 1. (1)相离;(2)2 2. 外,内　 【解析】∵ ∠B= 55°,∠C = 65°,∴ ∠A = 60°,∴ AB >BC>AC,∴ 点 A 在圆 B 外部,在圆 C 内部. 3. 40° 4. A　 【解析】如解图,在优弧 AB 上取点 C′,连接 AC′,BC′. ∵ PA,PB 分别与☉O 相切于 A,B 两点,∴ OA⊥PA,OB⊥ PB,∴ ∠PAO = ∠PBO = 90°,∵ ∠APB = 70°,∴ ∠AOB = 360°-90°- 90° - 70° = 110°,由圆周角定理得∠AC′B = 1 2 ∠AOB= 55°,∵ 四边形 ACBC′为☉O 的内接四边形,∴ ∠ACB= 180°-∠AC′B= 125°. 第 4 题解图 变式 D　 【解析】如解图,连接 BC,∵ AC 是☉O 的直径, ∴ ∠ABC= 90°,∵ ∠BAC = 30°,∴ BC = 1 2 AC = 5,∴ AB = 3BC= 5 3 ,∵ PA,PB 分别切☉O 于点 A,B,∴ PA = PB, AC⊥AP,∴ ∠CAP = 90°,∴ ∠PAB = ∠CAP-∠BAC = 60°, ∴ △PAB 为等边三角形,∴ △PAB 的周长= 3AB= 15 3 . 变式题解图 5. 105°　 【解析】如解图,连接 OC,∵ CP 是☉O 的切线,∴ OC⊥PC,∴ ∠OCP= 90°,∵ ∠BCP = 35°,∴ ∠OCB = 90°- ∠BCP = 55°, ∵ OC = OB, ∴ ∠OBC = ∠OCB = 55°, ∴ ∠BOC= 180°-∠OCB-∠OBC = 70°,∵ ∠AOB = 140°,∴ ∠AOC= 360°-∠AOB-∠BOC= 150°,∴ ∠ABC= 1 2 ∠AOC = 75°,∴ ∠ADC= 180°-∠ABC= 105°. 第 5 题解图 6. D　 【解析】如解图,连接 OC,∵ BC 与☉O 相切于点 C,∴ BC⊥OC,∴ ∠OCB= 90°,∵ DE 是半圆 O 的直径,且 DE = 19-9 = 10,∴ OC=OD = 1 2 DE = 5,∵ BD = 9-1 = 8,∴ OB = BD+OD= 8+5 = 13,∴ BC = OB2 -OC2 = 12,∵ ∠A = 90°, ∠ABC= 30°,∴ AC= 1 2 BC= 6. 第 6 题解图 7. 6 　 【解析】 如解图,连接 OE, ∵ OE = OC, ∴ ∠OEC = ∠OCE,∵ AB =BC,∴ ∠BAC = ∠OCE,∴ ∠OEC = ∠BAC, ∴ AB ∥ OE, ∴ ∠ABC = ∠EOC, ∵ cos ∠ABC = 3 5 , ∴ cos∠EOC= 3 5 , ∵ MN 是半圆 O 的切线, ∴ ∠OEN = 90°,∴ OE ON = 3 5 ,∵ ON= 10,∴ OE= 6,∴ OC=OE= 6. 第 7 题解图 8. 5 　 【解析】 ∵ AB 是 ☉O 的直径, ∴ ∠ADB = 90°, ∴ ∠ADF= 90°. ∵ AH 是 ☉O 的切线, ∴ ∠BAF = 90°, ∴ ∠DAF= ∠ABD= 90°-∠DAB,∴ △DAF∽△DBA,∴ DF DA = AD BD = tanB = 1 2 ,∵ DF = 1,∴ AD = 2,∴ AF = AD2 +DF2 = 5 ,∵ 点 D 为 AC ( 的中点,∴ AD ( =CD ( ,∴ ∠ABD= ∠DAC = ∠DAF,∵ ∠ADE = ∠ADF = 90°, ∴ 90°- ∠DAE = 90° - ∠DAF,即∠AED= ∠AFD,∴ AE=AF= 5 . 9. 解:(1)∵ PC 与☉O 相切于点 C, ∴ OC⊥PC,∴ ∠OCP= 90°, ∴ ∠OCB+∠BCP= 90°, ∵ OB=OC,∴ ∠OCB= ∠OBC, ∵ ∠ABC= 2∠BCP,∴ ∠OCB= 2∠BCP, ∴ 3∠BCP= 90°,∴ ∠BCP= 30°, ∴ ∠OCB= 60°; (2)如解图,连接 DE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34