6.3 与圆有关的位置关系-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 六 章 圆 命题点 3　 与圆有关的位置关系 (统考卷 21(1)题;统考样卷 22 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 考向 1　 点、直线与圆的位置关系 1. 名师原创 如图, ∠APB = 30°, ☉O 的半径为 2 cm,圆心 O 在 PB 上,OP= 6 cm. (1)☉O 与射线 PA 的位置关系为　 相离　 ; (2)若要使☉O 与射线 PA 相切,则圆心 O 应 向左平移　 2　 cm. 第 1 题图 　 　 　 第 3 题图 2. [2024 台湾改编]在△ABC 中,∠B = 55°,∠C = 65°. 分别以 B,C 为圆心,BC 长为半径画圆 B, 圆 C,则点 A 在圆 B 　 外 　 部,在圆 C 　 内 　 部. (填“外”或“内”) 考向 2　 切线的性质(统考样卷 22 题) 3. [2024 浙江]如图,AB 是☉O 的直径,AC 与☉O 相切,A 为切点,连接 BC. 已知∠ACB = 50°,则 ∠B 的度数为　 40°　 . 4. [2023 滨州 14 题改编]如图,PA,PB 分别与☉O 相切于 A,B 两点,且∠APB = 70°,点 C 是☉O 上异于点 A,B 的一点,连接 AC,BC,则∠ACB 的大小为 (　 　 ) A. 125° B. 120° C. 110° D. 115° 第 4 题图 　 　 变式题图 变式 [2024 东营模拟]如图,P 为☉O 外一点,PA, PB 分别切☉O 于点 A,B,AC 是☉O 的直径, 若 AC= 10,∠BAC= 30°,则△PAB 的周长为 (　 　 ) A. 8 B. 10 3 C. 20 D. 15 3 5. [2024 包头]如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接 四边形,点 O 在四边形 ABCD 内部,过点 C 作 ☉O 的切线交 AB 的延长线于点 P,连接 OA, OB. 若∠AOB= 140°,∠BCP= 35°,则∠ADC 的 度数为　 105°　 . 第 5 题图 　 第 6 题图 6. [2024 临沂河东区二模]如图,含 30°角的三角 板、量角器和直尺如图摆放,三角板的斜边 BC 与半圆 O 相切于点 C,点 B,D,E 分别与直尺 的刻度 1,9,19 重合,则三角板直角边 AC 的长 为 (　 　 ) A. 5 3 B. 6 3 C. 5 D. 6 7. [2024 青岛 14 题 3 分]如图,在△ABC 中,BA = BC,以 BC 为直径的半圆 O 分别交 AB,AC 于 点 D,E. 过点 E 作半圆 O 的切线,交 AB 于点 M,交 BC 的 延 长 线 于 点 N. 若 ON = 10, cos∠ABC= 3 5 ,则半径 OC 的长为　 6　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. [2024 泰安 17 题 4 分]如图,AB 是☉O 的直径, AH 是☉O 的切线,点 C 为☉O 上任意一点,点 D 为 AC ( 的中点,连接 BD 交 AC 于点 E,延长 BD 与 AH 相交于点 F. 若 DF = 1,tanB = 1 2 ,则 AE 的长为　 5 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 99 分层作业本·山东数学 　 第 六 章 圆 9. [2023 济南 22 题 8 分]如图,AB,CD 为☉O 的直 径,C 为☉O 上一点,过点 C 的切线与 AB 的延 长线交于点 P,∠ABC = 2∠BCP,点 E 是 BD ( 的中点,弦 CE,BD 相交于点 F. (1)求∠OCB 的度数; (2)若 EF= 3,求☉O 直径的长. 第 9 题图 解:(1)∵PC 与☉O 相切 于点 C, ∴OC⊥PC, ∴∠OCP=90°, ∴∠OCB+∠BCP=90°, ∵OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC, ∵∠ABC=2∠BCP,∴∠OCB=2∠BCP, ∴3∠BCP=90°,∴∠BCP=30°,∴∠OCB=60°; (2)如解图,连接 DE. ∵CD 是☉O 的直径, ∴∠E=90°, ∵点 E 是 BD ( 的中点, ∴DE ( =EB ( , ∴∠DCE=∠FDE=∠ECB= 1 2 ∠DCB=30°, ∵∠E=90°,EF=3,∠FDE=30°, ∴DE= 3FE=3 3 , ∵∠E=90°,∠DCE=30°, ∴CD=2DE=6 3 ,∴☉O 直径的长为 6 3 . 考向 3　 切线的判定(统考卷 21(1)题) 10. [2024 眉山改编]如图,BE 是☉O 的直径,点 A 在☉O 上,点 C 在 BE 的延长线上,∠EAC = ∠ABC. 求证:CA 是☉O 的切线. 第 10 题图 证明:如解图,连接 OA, ∵BE 是☉O 的直径, ∴∠BAE=90°, ∴∠BAO+∠OAE=90°, ∵OA=OB, ∴∠ABC=∠BAO, ∵∠EAC=∠ABC, ∴∠CAE=∠BAO, ∴∠CAE+∠OAE=90°, ∴∠OAC=90°, ∵OA 是☉O 的半径, ∴CA 是☉O 的切线. 11. [2024 济南 20 题节选]如图,AB,CD 为☉O 的 直径,点 E 在 BD ( 上,连接 AE,DE,点 G 在 BD 的延长线上,AB = AG,∠EAD+∠EDB = 45°. 求证:AG 与☉O 相切. 第 11 题图 证明:∵ ∠EDB,∠EAB 所对的弧是同弧, ∴∠EDB=∠EAB, ∵∠EAD+∠EDB=45°, ∴∠EAD+∠EAB= 45°, 即∠BAD=45°, ∵AB 为☉O 的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B=45°, ∵AB=AG,∴∠B=∠G=45°,∴∠GAB=90°, ∵AB 为☉O 的直径,∴AG 与☉O 相切. 12. [2023 临沂 21 题节选]如图,☉O 是△ABC 的 外接圆,BD 是☉O 的直径,AB = AC,AE∥BC, E 为 BD 的延长线与 AE 的交点. 求证:AE 是 ☉O 的切线. 第 12 题图 证明:如解图,连接 AO 并延长交 BC 于点 F,连接 OC,则 OA =OB =OC, ∴∠OAB = ∠OBA = 180° -∠AOB 2 , ∠OAC=∠OCA=180° -∠AOC 2 , ∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC, ∵∠AOB=2∠ACB,∠AOC=2∠ABC, ∴∠AOB=∠AOC, ∴∠OAB=∠OAC,∴AF⊥BC, ∵AE∥BC, ∴∠OAE=∠AFB=90°, ∵OA 是☉O 的半径,且 AE⊥OA, ∴AE 是☉O 的切线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 001 分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 六 章 圆 13. [2023 聊城 24 题改编]如图,在 Rt △ABC 中, ∠ACB= 90°,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,∠ADC 的平分线 DE 交 AC 于点 E. 以 AD 上的点 O 为圆心,OD 为半径作☉O,恰好过 点 E. 求证:AB 是☉O 的切线. 第 13 题图 证明:如解图,连接 OE, ∵OD=OE, ∴∠OED=∠ODE, ∵DE 平分∠ADC, ∴∠CDE=∠ODE, ∴∠OED=∠CDE,∴OE∥CD, ∵∠ACB=90°, ∴∠AEO=90°,∴OE⊥AC, 过点 O 作 OF⊥AB 于点 F, ∵AD 平分∠BAC, ∴OF=OE, ∴OF 是☉O 的半径,且 OF⊥AB 于点 F, ∴AB 是☉O 的切线. 14. [2024 东营 21 题 8 分] 如图, △ABC 内接于 ☉O,AB 是☉O 的直径,点 E 在☉O 上,点 C 是 BE ( 的中点,AE⊥CD,垂足为点 D,DC 的 延长线交 AB 的延长线于点 F. (1)求证:CD 是☉O 的切线; (2) 若 CD = 3 , ∠ABC = 60°, 求线段 AF 的长. 第 14 题图 (1)证明:如解图,连接 OC, ∵点 C 是 BE ( 的中点, ∴BC ( =CE ( , ∴∠BAC=∠CAE, ∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC, ∴∠OCA=∠CAD,∴OC∥AD, ∵AE⊥CD,∴OC⊥DF, ∵OC 是☉O 的半径,∴CD 是☉O 的切线; (2)解:∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°, ∵∠ABC=60°, ∴∠BAC=30°, ∴∠CAD=∠BAC=30°, ∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=60°, ∵∠D=90°,CD= 3 ,∴AD= 3CD=3, ∵∠F=180°-∠D-∠BAD=30°, ∴AF=2AD=6. 考向 4　 三角形的内切圆与外接圆 15. [2024 盐城]如图,△ABC 是☉O 的内接三角 形, ∠C = 40°, 连 接 OA, OB, 则 ∠OAB = 　 50　 °. 第 15 题图 　 　 　 变式 15-1 题图 变式 15-1 名师原创 如图, 在 △ABC 中, ∠A = 60°,∠ABC= 70°,点 O 是△ABC 的外心,连接 BO 并延长交 AC 于点 D,则∠BDC= (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 100° B. 105° C. 110° D. 115° 变式 15-2 [2024 滨州模拟]如图,点 F 是△ABC 的 内心,连接 BF,CF,若∠BFC= 112°,则∠A= (　 　 ) A. 44° B. 45° C. 50° D. 55° 变式 15-2 题图　 　 　 变式 15-3 题图 变式 15-3 [ 2023 聊城 6 题 3 分] 如图, 点 O 是 △ABC 外接圆的圆心,点 I 是△ABC 的内心, 连接 OB,IA. 若∠CAI = 35°,则∠OBC 的度数 为 (　 　 ) A. 15°　 　 B. 17. 5°　 　 C. 20°　 　 D. 25° 16. [2024 淄博高青县模拟]如图,在一张 Rt△ABC 纸片中,∠ACB = 90°,BC = 5,AC = 12,☉O 是 它的内切圆. 小明用剪刀沿着☉O 的切线 DE 剪下一块三角形 ADE,则△ADE 的周长为 (　 　 ) 第 16 题图 A. 19 B. 17 C. 22 D. 20 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 101 分层作业本·山东数学 　 第 六 章 圆 17. 数学文化 多解法 ∙∙∙ [2024 滨州 8 题 3 分]刘徽(今 山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学 家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为 “世界古代数学泰斗” . 刘徽在注释《九章算 术》时十分重视一题多解,其中最典型的是 勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了 内切圆直径的多种表达形式. 如图,Rt△ABC 中,∠C= 90°,AB,BC,CA 的长分别为 c,a,b. 则可以用含 c,a,b 的式子表示出△ABC 的内 切圆直径 d,下列表达式错误的是 (　 　 ) A. d=a+b-c B. d= 2ab a+b+c C. d= 2(c-a)(c-b) D. d= | (a-b)(c-b) | 第 17 题图 　 　 　 第 18 题图 18. [ 2024 东 营 期 末 ] 如 图, 在 Rt △ABO 中, ∠AOB= 90°,∠B = 60°,OA = 6,☉O 的半径 为 1,点 P 是 AB 边上的动点,过点 P 作☉O 的一条切线 PQ(点 Q 为切点),则切线长 PQ 的最小值是 (　 　 ) A. 2 2 　 　 B. 3　 　 C. 2 3 　 　 D. 4 19. [2024 山东统考卷 21 题 10 分]如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC, ∠DAB = 60°,AB = BC = 2AD= 2. 以点 A 为圆心,以 AD 为半径作 DE ( 交 AB 于点 E,以点 B 为圆心,以 BE 为半径 作 EF ( 交 BC 于点 F,连接 FD 交 EF ( 于另一 点 G,连接 CG. (1)求证:CG 为 EF ( 所在圆的切线; (2)求图中阴影部分面积. (结果保留 π) 第 19 题图 (1) 证明:如解图,连接 BG, 根据题意可知 AD = AE, BE=BF, 又∵AB=BC,∴CF=AE=AD, ∵AB=BC=2AD,∴BF=BE=AD=AE=CF=1, ∵AD∥BC,∴四边形 ABFD 是平行四边形, ∴∠BFD=∠DAB=60°, ∵BG=BF,∴△BFG 是等边三角形, ∴GF=BF=FC, ∴G 在以点 F 为圆心,以 BC 为直径的圆上, ∴∠BGC=90°, ∴CG 为 EF ( 所在圆的切线; (2)解:如解图,过 D 作 DH⊥AB 于点 H, S阴影 =S▱ABFD-S扇形EAD-S扇形EBG-S△BFG, 在 Rt△AHD 中,AD=1,∠DAB=60°, ∴DH=AD·sin∠DAB=1× 3 2 = 3 2 , ∴S▱ABFD =AB·DH=2× 3 2 = 3 , 由(1)易得,∠EBG=∠BGF=60° =∠A, ∴ S扇形EAD = S扇形GBE = nπr2 360 = 60π·AD 2 360 = 60π×1 2 360 = π 6 , S△BFG = 1 2 GF·DH= 1 2 ×1× 3 2 = 3 4 , ∴S阴影 = S▱ABFD -S扇形EAD -S扇形EBG -S△BFG = 3 - π 6 - π 6 - 3 4 = 3 3 4 - π 3 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 1. 思想方法、新定义运算、结论正误判断题见《专 项培优练》P1 ~ 5、P42 ~ 49; 2. 第六章诊断卷 圆(2 套)、1 ~ 17 题题组限时练(8 套)、18 ~ 21 题题组限时练(7 套)见《抢分练小 卷》P17 ~ 20、P25 ~ 54. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 201 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 ∴ ∠ABD= ∠ACD= 30°; (2)证明:①如解图,延长 AB 至 M, ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,∴ ∠CBM= ∠ADC, 又∵ ∠AFE= ∠ADC,∴ ∠AFE= ∠CBM,∴ EF∥BC; ②如解图,过点 D 作 DG∥BC 交圆于点 G,连接 AG,CG, ∵ DG∥BC,∴ BD ( =CG ( ,∴ BD=CG, ∵ 四边形 ACGD 是圆内接四边形,∴ ∠GDE= ∠ACG, ∵ EF∥BC∥DG,∴ ∠DEF= ∠GDE, ∴ ∠DEF= ∠ACG, ∵ ∠AFE= ∠ADC,∠ADC= ∠AGC,∴ ∠AFE= ∠AGC, ∵ AE=AC,∴ △AEF≌△ACG(AAS), ∴ EF=CG,∴ EF=BD. 第 4 题解图 命题点 3　 与圆有关的位置关系 1. (1)相离;(2)2 2. 外,内　 【解析】∵ ∠B= 55°,∠C = 65°,∴ ∠A = 60°,∴ AB >BC>AC,∴ 点 A 在圆 B 外部,在圆 C 内部. 3. 40° 4. A　 【解析】如解图,在优弧 AB 上取点 C′,连接 AC′,BC′. ∵ PA,PB 分别与☉O 相切于 A,B 两点,∴ OA⊥PA,OB⊥ PB,∴ ∠PAO = ∠PBO = 90°,∵ ∠APB = 70°,∴ ∠AOB = 360°-90°- 90° - 70° = 110°,由圆周角定理得∠AC′B = 1 2 ∠AOB= 55°,∵ 四边形 ACBC′为☉O 的内接四边形,∴ ∠ACB= 180°-∠AC′B= 125°. 第 4 题解图 变式 D　 【解析】如解图,连接 BC,∵ AC 是☉O 的直径, ∴ ∠ABC= 90°,∵ ∠BAC = 30°,∴ BC = 1 2 AC = 5,∴ AB = 3BC= 5 3 ,∵ PA,PB 分别切☉O 于点 A,B,∴ PA = PB, AC⊥AP,∴ ∠CAP = 90°,∴ ∠PAB = ∠CAP-∠BAC = 60°, ∴ △PAB 为等边三角形,∴ △PAB 的周长= 3AB= 15 3 . 变式题解图 5. 105°　 【解析】如解图,连接 OC,∵ CP 是☉O 的切线,∴ OC⊥PC,∴ ∠OCP= 90°,∵ ∠BCP = 35°,∴ ∠OCB = 90°- ∠BCP = 55°, ∵ OC = OB, ∴ ∠OBC = ∠OCB = 55°, ∴ ∠BOC= 180°-∠OCB-∠OBC = 70°,∵ ∠AOB = 140°,∴ ∠AOC= 360°-∠AOB-∠BOC= 150°,∴ ∠ABC= 1 2 ∠AOC = 75°,∴ ∠ADC= 180°-∠ABC= 105°. 第 5 题解图 6. D　 【解析】如解图,连接 OC,∵ BC 与☉O 相切于点 C,∴ BC⊥OC,∴ ∠OCB= 90°,∵ DE 是半圆 O 的直径,且 DE = 19-9 = 10,∴ OC=OD = 1 2 DE = 5,∵ BD = 9-1 = 8,∴ OB = BD+OD= 8+5 = 13,∴ BC = OB2 -OC2 = 12,∵ ∠A = 90°, ∠ABC= 30°,∴ AC= 1 2 BC= 6. 第 6 题解图 7. 6 　 【解析】 如解图,连接 OE, ∵ OE = OC, ∴ ∠OEC = ∠OCE,∵ AB =BC,∴ ∠BAC = ∠OCE,∴ ∠OEC = ∠BAC, ∴ AB ∥ OE, ∴ ∠ABC = ∠EOC, ∵ cos ∠ABC = 3 5 , ∴ cos∠EOC= 3 5 , ∵ MN 是半圆 O 的切线, ∴ ∠OEN = 90°,∴ OE ON = 3 5 ,∵ ON= 10,∴ OE= 6,∴ OC=OE= 6. 第 7 题解图 8. 5 　 【解析】 ∵ AB 是 ☉O 的直径, ∴ ∠ADB = 90°, ∴ ∠ADF= 90°. ∵ AH 是 ☉O 的切线, ∴ ∠BAF = 90°, ∴ ∠DAF= ∠ABD= 90°-∠DAB,∴ △DAF∽△DBA,∴ DF DA = AD BD = tanB = 1 2 ,∵ DF = 1,∴ AD = 2,∴ AF = AD2 +DF2 = 5 ,∵ 点 D 为 AC ( 的中点,∴ AD ( =CD ( ,∴ ∠ABD= ∠DAC = ∠DAF,∵ ∠ADE = ∠ADF = 90°, ∴ 90°- ∠DAE = 90° - ∠DAF,即∠AED= ∠AFD,∴ AE=AF= 5 . 9. 解:(1)∵ PC 与☉O 相切于点 C, ∴ OC⊥PC,∴ ∠OCP= 90°, ∴ ∠OCB+∠BCP= 90°, ∵ OB=OC,∴ ∠OCB= ∠OBC, ∵ ∠ABC= 2∠BCP,∴ ∠OCB= 2∠BCP, ∴ 3∠BCP= 90°,∴ ∠BCP= 30°, ∴ ∠OCB= 60°; (2)如解图,连接 DE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 ∵ CD 是☉O 的直径,∴ ∠E= 90°, ∵ 点 E 是 BD ( 的中点,∴ DE ( =EB ( , ∴ ∠DCE= ∠FDE= ∠ECB= 1 2 ∠DCB= 30°, ∵ ∠E= 90°,EF= 3,∠FDE= 30°, ∴ DE= 3FE= 3 3 , ∵ ∠E= 90°,∠DCE= 30°, ∴ CD= 2DE= 6 3 , ∴ ☉O 直径的长为 6 3 . 第 9 题解图 10. 证明:如解图,连接 OA, ∵ BE 是☉O 的直径,∴ ∠BAE= 90°, ∴ ∠BAO+∠OAE= 90°, ∵ OA=OB,∴ ∠ABC= ∠BAO, ∵ ∠EAC= ∠ABC,∴ ∠CAE= ∠BAO, ∴ ∠CAE+∠OAE= 90°,∴ ∠OAC= 90°, ∵ OA 是☉O 的半径,∴ CA 是☉O 的切线. 第 10 题解图 11. 证明:∵ ∠EDB,∠EAB 所对的弧是同弧, ∴ ∠EDB= ∠EAB, ∵ ∠EAD+∠EDB= 45°, ∴ ∠EAD+∠EAB= 45°,即∠BAD= 45°, ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ADB= 90°,∴ ∠B= 45°, ∵ AB=AG,∴ ∠B= ∠G= 45°,∴ ∠GAB= 90°, ∵ AB 为☉O 的直径,∴ AG 与☉O 相切. 12. 证明:如解图,连接 AO 并延长交 BC 于点 F,连接 OC,则 OA=OB=OC, ∴ ∠OAB = ∠OBA = 180°-∠AOB 2 , ∠OAC = ∠OCA = 180° -∠AOC 2 , ∵ AB=AC,∴ ∠ACB= ∠ABC, ∵ ∠AOB= 2∠ACB,∠AOC= 2∠ABC,∴ ∠AOB= ∠AOC, ∴ ∠OAB= ∠OAC,∴ AF⊥BC, ∵ AE∥BC,∴ ∠OAE= ∠AFB= 90°, ∵ OA 是☉O 的半径,且 AE⊥OA, ∴ AE 是☉O 的切线. 第 12 题解图 13. 证明:如解图,连接 OE,过点 O 作 OF⊥AB 于点 F, ∵ OD=OE,∴ ∠OED= ∠ODE, ∵ DE 平分∠ADC,∴ ∠CDE= ∠ODE, ∴ ∠OED= ∠CDE,∴ OE∥CD, ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠AEO= 90°,∴ OE⊥AC, ∵ AD 平分∠BAC,∴ OF=OE, ∴ OF 是☉O 的半径, 又∵ OF⊥AB 于点 F, ∴ AB 是☉O 的切线. 第 13 题解图 14. (1)证明:如解图,连接 OC, ∵ 点 C 是 BE ( 的中点,∴ BC ( =CE ( ,∴ ∠BAC= ∠CAE, ∵ OC=OA,∴ ∠OCA= ∠OAC, ∴ ∠OCA= ∠CAD,∴ OC∥AD, ∵ AE⊥CD,∴ OC⊥DF, ∵ OC 是☉O 的半径,∴ CD 是☉O 的切线; (2)解:∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, ∵ ∠ABC= 60°,∴ ∠BAC= 30°, ∴ ∠CAD= ∠BAC= 30°, ∴ ∠BAD= ∠CAD+∠BAC= 60°, ∵ ∠D= 90°,CD= 3 ,∴ AD= 3CD= 3, ∵ ∠F= 180°-∠D-∠BAD= 30°, ∴ AF= 2AD= 6. 第 14 题解图 15. 50 变式 15-1 A 　 【解析】 如解图,连接 OC, ∵ 点 O 是 △ABC 的外心,∠A = 60°,∴ ∠BOC = 120°,OB = OC,∴ ∠OBC = ∠OCB = 30°, ∵ ∠A = 60°, ∠ABC = 70°, ∴ ∠ACB = 50°, ∴ ∠OCD = 20°, ∵ ∠BOC = ∠BDC + ∠OCD,∴ ∠BDC= 100°. 变式 15-1 题解图 变式 15-2 A 变式 15-3 C 　 【解析】 如解图, 连接 OC, ∵ 点 I 是 △ABC 的内心, ∴ AI 平分 ∠BAC, ∵ ∠CAI = 35°, ∴ ∠BAC= 2∠CAI = 70°,∵ 点 O 是△ABC 外接圆的圆心, ∴ ∠BOC= 2∠BAC= 140°,∵ OB =OC,∴ ∠OBC = ∠OCB 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 = 1 2 ×(180°-∠BOC)= 1 2 ×(180°-140°)= 20°. 变式 15-3 题解图 16. D　 【解析】如解图,设△ABC 的内切圆分别切三边于点 F,H,G,连接 OF,OH,OG,设 DE 与☉O 相切于点 M,易 得四边形 OHCG 是正方形,由切线长定理可知 AF = AG, ∵ DE 是☉O 的切线,∴ MD = DF,EM = EG,∵ ∠ACB = 90°,BC= 5,AC = 12,∴ AB = AC2 +BC2 = 13,∵ ☉O 是 △ABC 的内切圆,∴ ☉O 的半径 = 1 2 (AC+BC-AB) = 2, ∴ CG= 2,∴ AG= AC-CG = 12-2 = 10,∴ △ADE 的周长 = AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG= 2AG= 20. 第 16 题解图 17. D　 【解析】解法一:本题作为选择题,用特殊值法则可 快速定位答案. ∵ △ABC 为直角三角形,∴ 令 a = 3,b = 4,c= 5. 选项 A:d=a+b-c= 2,选项 B:d = 2ab a+b+c = 2,选项 C:d= 2(c-a)(c-b) = 2,选项 D:d = | (a-b) ( c-b) | = 1,很明显,只有选项 D 和其他选项的结果不一致,所以 表达式错误的应是 D 选项. 解法二:如解图,过点 O 作 OE⊥AC 于点 E,OD⊥BC 于 点 D,OF⊥AB 于点 F. 易证四边形 OECD 是正方形,设 OE=OD=OF= r,则 EC=CD = r,∴ AE = AF = b-r,BD =BF =a-r,∵ AF+BF=AB,∴ b-r+a-r = c,∴ r = a+b-c 2 ,∴ d = a +b-c,故选项 A 正确;∵ S△ABC =S△AOC+S△BOC +S△AOB,∴ 1 2 ab= 1 2 br+ 1 2 ar+ 1 2 cr,∴ ab= r(a+b+c),∴ r = ab a+b+c ,即 d = 2ab a+b+c ,故选项 B 正确;∵ 由前面可知 d=a+b-c,∴ d2 = (a+b-c) 2 = (a+b) 2 -2c(a+b) +c2 =a2 +2ab+b2 -2ac-2bc+ c2 ,∵ a2 +b2 = c2 ,∴ d2 = 2c2 +2ab-2ac-2bc = 2( c2 +ab-ac- bc)= 2[( c2 - ac) + b ( a - c)] = 2 ( c - a) ( c - b), ∴ d = 2(c-a)(c-b) ,故选项 C 正确;排除法可知选项 D 错误. 第 17 题解图 18. A　 【解析】如解图,连接 OQ,∵ PQ 与☉O 相切于点 Q, ∴ 半径 OQ⊥PQ,∴ ∠PQO = 90°,∵ ☉O 的半径为 1,∴ PQ = PO2 -OQ2 = PO2 -1 , ∴ 当 PO 最小时,PQ 最 小,当 PO⊥AB 时,PO 最小,∵ ∠B = 60°,∴ ∠A = 90° - ∠B= 30°,∴ PO最小 = 1 2 AO= 1 2 ×6 = 3,∴ PQ 的最小值是 32 -1 = 2 2 . 第 18 题解图 19. (1)证明:如解图,连接 BG, 根据题意可知 AD=AE,BE=BF, 又∵ AB=BC,∴ CF=AE=AD, ∵ AB=BC= 2AD= 2,∴ BF=BE=AD=AE=CF= 1, ∵ AD∥BC,∴ 四边形 ABFD 是平行四边形, ∴ ∠BFD= ∠DAB= 60°, ∵ BG=BF,∴ △BFG 是等边三角形, ∴ GF=BF=FC, ∴ G 在以点 F 为圆心,以 BC 为直径的圆上, ∴ ∠BGC= 90°, ∴ CG 为 EF ( 所在圆的切线; 第 19 题解图 (2)解:如解图,过 D 作 DH⊥AB 于点 H, S阴影 =S▱ABFD-S扇形EAD-S扇形EBG-S△BFG, 在 Rt△AHD 中,AD= 1,∠DAB= 60°, ∴ DH=AD·sin∠DAB= 1× 3 2 = 3 2 , ∴ S▱ABFD =AB·DH= 2× 3 2 = 3 , 由(1)易得,∠EBG= ∠BGF= 60° = ∠A, ∴ S扇形EAD =S扇形GBE = nπr2 360 = 60π·AD 2 360 = 60π ×12 360 = π 6 , S△BFG = 1 2 GF·DH= 1 2 ×1× 3 2 = 3 4 , ∴ S阴影 =S▱ABFD-S扇形EAD-S扇形EBG-S△BFG = 3 - π 6 - π 6 - 3 4 = 3 3 4 - π 3 . 专练 2　 与圆的切线有关的综合题 1. (1)解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,且∠D= 50°, ∴ ∠B= ∠D= 50°, ∵ 四边形 ABCE 为☉O 的内接四边形, ∴ ∠AEC+∠B= 180°, ∴ ∠AEC= 130°; (2)证明:∵ BC 是☉O 的直径,CF 是☉O 的切线, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54