4.4 直角三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 = 35° 2 ,∠A3A4B3 = 1 2 ×35° 2 = 35° 4 ,∴ ∠An-1AnBn-1 = 70° 2n-1 . 15. B　 【解析】如解图,延长 DB 至点 E,使 BE = AB,连接 AE,∵ BE= AB,AB+BD = CD,∴ ED = EB+BD = AB+BD = CD,∵ AD⊥BC,∴ △AEC 是等腰三角形,∴ ∠E = ∠C, ∵ EB=AB, ∴ ∠E = ∠EAB, ∴ ∠ABD = 2 ∠E = 2 ∠C, ∵ ∠BAC+∠ABC+∠C = 180°,∴ 87°+2∠C+∠C = 180°, 解得∠C= 31°. 第 15 题解图 16. B　 【解析】解法一:如解图①,过点 P 分别作 PD∥AB 交 AC 于点 D,PE∥AC 交 AB 于点 E,则四边形 AEPD 为平 行四边形,∴ DP = AE,∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠B = ∠C= ∠BAC = 60°, ∵ PD∥AB, ∴ ∠CPD = ∠B = 60°, ∠CDP= ∠BAC= 60°,∴ △CDP 为等边三角形,∴ CP = DP=CD,∴ CP=DP=AE,同理得,△BEP 为等边三角形, ∴ BP= EP = BE,∴ △AEP 就是以线段 AP,BP,CP 为边 的三角形, ∵ ∠APC = 104°, ∴ ∠APB = 180° - ∠APC = 76°,∴ ∠APE = ∠APB - ∠BPE = 16°, ∠PAE = ∠APC - ∠B= 44°,∠AEP = 180° - ∠BEP = 120°,∴ 以线段 AP, BP,CP 为边的三角形的三个内角分别为 16°,44°,120°, ∴ 最小内角的大小为 16°. 解法二:如解图②,将△ACP 绕点 A 顺时针旋转 60°至 △ABQ,连接 PQ. 由旋转可得△ABQ≌ △ACP, ∴ BQ = CP,AQ=AP,∠PAQ= 60°,∠ABQ= ∠C,∴ △APQ 是等边 三角形,∴ PQ=AP,∴ △PQB 就是以线段 AP,BP,CP 为 边的三角形. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABQ = ∠C = 60° = ∠APQ,∴ A,Q,B,P 四点共圆,∴ ∠BPQ = ∠BAQ = ∠PAC= 180°-∠C-∠APC = 16°. 又∵ ∠PBQ = ∠ABQ+ ∠ABP= 120°,∴ ∠PQB = 180°-∠PBQ-∠BPQ = 44°,∴ △PQB 的最小内角是 16°,∴ 在以线段 AP,BP,CP 为边 的三角形中,最小内角的大小为 16°. 图① 　 　 图② 第 16 题解图 解法三:如解图③,以 BP 为边向下作等边△BPQ,连接 CQ. ∵ △ABC 和△BPQ 都是等边三角形,∴ AB = BC,BP =BQ= PQ,∠ABP = ∠CBQ = 60°,∴ △ABP≌△CBQ,∴ AP=CQ,∴ △PQC 就是以线段 AP,BP,CP 为边的三角 形. ∵ △ABP ≌ △CBQ, ∴ ∠PCQ = ∠BAP = ∠APC - ∠ABC= 44°,∵ ∠BPQ = 60°,∴ ∠CPQ = 120°,∴ ∠PQC = 16°,∴ △PQC 的最小内角是 16°,∴ 在以线段 AP,BP, CP 为边的三角形中,最小内角的大小为 16°. 第 16 题解图③ 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 1. C　 2. D 3. 12　 【解析】设 BC= x,则 BA=BD= x+1,在 Rt△ABC 中,由 勾股定理得 AB2 = AC2 +BC2 ,即( x+ 1) 2 = 52 +x2 ,解得 x = 12,即 BC= 12. 4. A　 【解析】∵ 点 D 是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点,AC= 6,∴ BD=CD=AD= 1 2 AC= 3,∵ ∠BDC = 60°,∴ △BCD 为等边 三角形,∴ BC=BD= 3. 5. D　 【解析】如解图,设直角三角形的两直角边长为 a,b(a <b),斜边长为 c,∵ 图①中大正方形的面积是 24,∴ a2 +b2 = c2 = 24,∵ 小正方形的面积是 4,∴ (b-a) 2 = b2 +a2 -2ab= 4,∴ ab= 10,∴ 图②中大正方形的面积为 c2 +4× 1 2 ab = 24 +2×10 = 44. 第 5 题解图 6. C　 【解析】∵ 直角三角形的三边 a,b,c 满足 c>a>b,∴ 该 直角三角形的斜边为 c,∴ c2 =a2 +b2 ,∴ c2 -a2 -b2 = 0,∴ S1 = c2 -a2 -b2 +b(a+b-c)= ab+b2 -bc,∵ S2 = b(a+b-c) = ab+ b2 -bc,∴ S1 =S2 . 7. 30 8. D　 【解析】∵ AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,∴ AD= BD = 10,∠DBA = ∠BAD = 15°,∴ ∠ADC = 30°, ∵ ∠C = 90°, ∴ AC = 1 2 AD = 5, ∴ CD = AD2 -AC2 = 102 -52 = 5 3 . 9. (2 3 -2) 　 【解析】如解图,设直角三角板重合的边与直 尺下沿交于点 C,与直尺上沿交于点 D,在 Rt△ACD 中, ∠ACD= 45°,∴ AD = CD· tan45° = 2 ( cm),在 Rt △BCD 中,∠BCD= 60°,∴ BD = CD·tan60° = 2 3 ( cm),∴ AB = BD-AD= (2 3 -2) cm. 第 9 题解图 10. 6 - 2 　 【解析】如解图,过点 C 作 CH⊥AB 于 H,∵ AC =BC= 2,∠ACB = 90°,CH⊥AB,∴ AB = 2 2 ,AH = BH = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 CH= 2 ,∵ CD=AB= 2 2 ,∴ DH = CD2 -CH2 = 8-2 = 6 ,∴ DB= 6 - 2 . 第 10 题解图 11. C　 【解析】在 Rt △ABC 中, tanB = AC BC ,∴ AC = 3 3 × 6 = 2 3 . ∵ ∠C= 90°,∠B = 30°,∴ ∠CAB = 60°,∵ AD 平分 ∠CAB,∴ ∠CAD = 1 2 × 60° = 30°. 在 Rt △ACD 中, tan∠CAD= CD AC ,∴ CD= 3 3 ×2 3 = 2. ∵ AD 平分∠CAB,且 DC⊥AC,∴ 点 D 到 AB 边的距离等于线段 CD 的长, ∴ 线段 DE 长度的最小值为 2. 12. 4　 13. C 14. 50 　 【解析】如解图,由题意得∠DAB = 60°, ∠FBC = 30°,AD∥EF,∴ ∠ABE = ∠DAB = 60°,∴ ∠ABC = 180° - ∠ABE-∠FBC = 90°,在 Rt△ABC 中,AB = 30 km,BC = 40 km,∴ AC= AB2 +BC2 = 302 +402 = 50( km),∴ A, C 两港之间的距离为 50 km. 第 14 题解图 15. C　 【解析】如解图,过 B 点作 BG∥CD,且 BG =CD,连接 EG,∵ BG∥CD,∴ ∠ABG = ∠CFB = α. ∵ BG2 = 12 + 42 = 17,BE2 = 12 +42 = 17,EG2 = 32 +52 = 34,∴ BG2 +BE2 =EG2 , ∴ △BEG 是直角三角形, ∴ ∠GBE = 90°, ∴ ∠ABE = ∠GBE+∠ABG= 90°+α. 第 15 题解图 16. 48　 【解析】把题图②中各个小正方形标上字母,如解 图,设正方形 a 的边长为 x,正方形 b 的边长为 y,∴ 正方 形 a 的面积为 x2 ,正方形 b 的面积为 y2 . 由题意得,正方 形 c 的边长为 2,并且是直角三角形的斜边,∴ 正方形 c 的面积为 4. 根据勾股定理可得 x2 +y2 = 22 = 4,∴ 正方形 a 的面积+正方形 b 的面积 = 4,∴ 题图①中所有正方形 的面积和= 4+4 = 8. 同理可得,正方形 e 的面积+正方形 f 的面积=正方形 a 的面积,正方形 g 的面积+正方形 h 的面积=正方形 b 的面积,∴ 正方形 e 的面积+正方形 f 的面积+正方形 g 的面积+正方形 h 的面积=正方形 a 的 面积+正方形 b 的面积= 4,∴ 题图②中所有正方形的面 积和=题图①中所有正方形的面积和+4 = 12,即 1 次操 作后所有正方形的面积和 = 题图①中所有正方形的面 积和+4 = 12. 同理可得 2 次操作后增加的 8 个小正方形 的面积和也是 4,∴ 2 次操作后所有正方形的面积和=题 图①中所有正方形的面积和+2×4 = 8+8 = 16,∴ 10 次操 作后所有正方形的面积和 = 题图①中所有正方形的面 积和+10×4 = 8+40 = 48. 第 16 题解图 17. 6 或 12　 【解析】在 Rt△ABC 中,sinA = BC AB ,∴ BC = 1 2 ×8 = 4,∴ AC= 82 -42 = 4 3 . 当点 D 在点 B 左上方时,如 解图①,∵ ∠ACB = 90°,∠A = 30°,∴ ∠ABC = 60°. 又∵ ∠BCD= 30°,∴ ∠BDC = 60°- 30° = 30°,∴ BD = BC = 4, ∴ AD= 8+4 = 12;当点 D 在点 B 的右下方时,如解图②, ∵ ∠ABC= 60°,∠BCD= 30°,∴ ∠CDA= 90°. 在 Rt△ACD 中,cosA= AD AC ,∴ AD= 3 2 ×4 3 = 6. 综上所述,AD 的长为 6 或 12. 图① 　 　 图② 第 17 题解图 18. 2+ 2 　 【解析】解法一:如解图①,过点 A 分别作 AD⊥ AC,交 BC 于点 D,作 AE⊥BC 于点 E,∵ ∠C = 45°,∴ △ADC 是等腰直角三角形,∴ AD = AC = 2,∠ADC = 45°, CD = 2AC= 2 2 ,∵ ∠ADC = ∠B+∠DAB,∠B = 22. 5°, ∴ ∠DAB= 22. 5° = ∠B,∴ AD = BD = 2,∵ AD = AC,AE⊥ CD,∴ DE=CE= 1 2 CD = 2 ,∵ ∠ADE = 45°,∴ AE =DE = 2 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AE= 1 2 ×(2+2 2 ) × 2 = 2+ 2 . 图① 　 图② 第 18 题解图 解法二:如解图②,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥CA 交 CA 的延长线于点 E. ∵ ∠C = 45°,∴ ∠EBC = 45°,∵ ∠ABC = 22. 5°,∴ ∠EBA = 22. 5° = ∠ABC,∴ BA 平分∠EBC,由 AC = 2 得 AE = AD = 2 ,∴ BE = CE = 2 + 2 ,∴ S△ABC = 1 2 AC·BE= 2+ 2 . 解法三:如解图③,过点 C 作 CD⊥BC 交 BA 的延长线于 点 D,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,则∠CAD = ∠CDA = 67. 5°,得 CD = AC = 2,∠ACE = 45°,得 AE = CE = 2 ,则 DE=CD-CE = 2- 2 ,易得△DAE∽△DBC,∴ DE DC = AE BC , ∴ BC= 2 2 +2,则 S△ABC = 1 2 BC·CE= 2+ 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 第 18 题解图③ 命题点 5　 全等三角形的性质与判定 1. C　 2. 3　 拓展设问 1 21　 拓展设问 2 16　 3. D 4. OC=OD(或∠A= ∠B 或∠C= ∠D) 5. 证明:在△ABC 和△ADE 中, BC=DE, ∠B= ∠D, AB=AD, { ∴ △ABC≌△ADE(SAS), ∴ AC=AE,∴ ∠ACE= ∠AEC. 6. 证明:∵ 点 D 为 BC 的中点,∴ BD=CD, ∵ BE∥AC,∴ ∠EBD= ∠C,∠E= ∠CAD, 在△BDE 和△CDA 中, ∠EBD= ∠C, ∠E= ∠CAD, BD=CD, { ∴ △BDE≌△CDA(AAS) . 7. 证明:∵ ∠BAE= ∠CAD, ∴ ∠BAE+∠CAE= ∠CAD+∠CAE,即∠BAC= ∠EAD, 在△ABC 与△AED 中, AB=AE, ∠BAC= ∠EAD, AC=AD, { ∴ △ABC≌△AED(SAS) . 8. 证明:∵ AD=BE,∴ AD+BD=BE+BD,即 AB=DE, 在△ABC 和△DEF 中, AB=DE, AC=DF, BC=EF, { ∴ △ABC≌△DEF(SSS) . 9. 证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD=CD, ∵ AE⊥CD,CF⊥AD,∴ ∠AED= ∠CFD= 90°, 在△AED 与△CFD 中, ∠AED= ∠CFD, ∠D= ∠D, AD=CD, { ∴ △AED≌△CFD(AAS),∴ DE=DF, ∴ AD-DF=CD-DE,∴ AF=CE. 10. 证 明: ∵ ∠AEC = ∠B + ∠BAE = ∠AED + ∠DEC, ∠B= ∠AED, ∴ ∠BAE= ∠DEC, ∵ ∠EAD= ∠EDA,∴ AE=DE, 在△ABE 与△ECD 中, ∠B= ∠C, ∠BAE= ∠DEC, AE=ED, { ∴ △ABE≌△ECD(AAS),∴ BE=CD,AB=EC, ∴ AB+CD=EC+BE=BC. 11. D　 【解析】∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. 在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, ∠B= ∠C, BE=CD, { ∴ △ABE≌ △ACD ( SAS), ∴ AD = AE. ∵ AB=AB,∠B= ∠B,AD=AE,∠BAD≠∠BAE,∴ △ABD 和△ABE 是一对“伪全等三角形” . 同理可得,△ABD 和 △ACD 是一对“伪全等三角形”,△ACD 和△ACE 是一 对“伪全等三角形”,△ABE 和△ACE 是一对“伪全等三 角形”,∴ 图中的“伪全等三角形”共有 4 对. 12. D　 【解析】A. 如解图①,连接 AC,AD,∵ AB = AE,∠ABC = ∠AED,BC=DE,∴ △ABC≌△AED(SAS),∴ AC = AD, ∵ F 是 CD 的中点,∴ AF⊥CD,∴ 选项 A 不合题意;B. 如 解图②,连接 BF,EF,∵ AB = AE,∠BAF = ∠EAF,AF = AF,∴ △ABF≌ △AEF ( SAS), ∴ ∠AFB = ∠AFE,BF = EF,∵ F 是 CD 的中点, ∴ CF = DF, 又 ∵ BC = ED, ∴ △BFC≌△EFD( SSS),∴ ∠BFC = ∠EFD,∴ ∠BFC+ ∠AFB= ∠EFD+∠AFE,即∠AFC = ∠AFD = 90°,∴ AF⊥ CD,∴ 选项 B 不合题意;C. 如解图②,∵ F 是 CD 的中 点,∴ CF = DF,又∵ BC = DE,∠BCF = ∠EDF,∴ △BFC ≌△EFD( SAS),∴ ∠BFC = ∠EFD,BF = EF,又∵ AB = AE,AF=AF,∴ △ABF≌△AEF(SSS),∴ ∠AFB = ∠AFE, ∴ ∠BFC+ ∠AFB = ∠EFD+ ∠AFE,即∠AFC = ∠AFD = 90°,∴ AF⊥CD,∴ 选项 C 不合题意;选项 D 的条件无法 证出全等,故证不出 AF⊥CD,∴ 选项 D 符合题意. 图① 　 　 图② 第 12 题解图 13. C　 【解析】如解图,连接 AD,∵ ∠BAC= 90°,AB=AC= 6, D 为边 BC 的中点,∴ AD = BD = CD,∠BAD = ∠C = 45°, S△ABC = 1 2 × 6 × 6 = 18, 在 △ADE 和 △CDF 中, AD=CD, ∠EAD= ∠C, AE=CF, { ∴ △ADE ≌ △CDF ( SAS ), ∴ S△ADE = S△CDF,∴ S四边形AEDF =S△ADC = 1 2 S△ABC = 9. 第 13 题解图 命题点 6　 相似三角形的性质与判定 (含位似) 1. B　 2. C　 变式 C　 3. ( 5 -1)　 4. A 5. A　 【解析】∵ CD = 5,AD = 3,∴ AC = AD+CD = 8,∵ △ABC ∽△ADB,∴ BC DB = AC AB = AB AD ,∴ AB2 = AC·AD = 24,∴ AB = 2 6 ,∴ BC 5 = 2 6 3 ,∴ BC= 10 6 3 . 6. D　 7. ∠ADE= ∠C(答案不唯一)　 8. D 9. 1 9 　 【解析】∵ AD∥BC,∴ 点 B 到 AD 的距离等于点 D 到 BC 的距离, ∴ S△ABD S△BCD = AD BC = 1 3 , ∵ AD∥BC, ∴ △AOD∽ △COB,∴ S△AOD S△BOC = ( AD BC ) 2 = ( 1 3 ) 2 = 1 9 . 10. B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 四 章 三 角 形 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 (统考卷 15 题,22 题;统考样卷 14 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 考向 1　 直角三角形的基本性质 1. 学科融合 [2023 江西]如图,平面镜 MN 放置在 水平地面 CD 上,墙面 PD⊥CD 于点 D,一束 光线 AO 照射到镜面 MN 上,反射光线为 OB, 点 B 在 PD 上,若∠AOC = 35°,则∠OBD 的度 数为 (　 　 ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. [人教八下 P25 例 2 改编]如图,一根竹竿 AB 斜 靠在竖直的墙上,点 P 是 AB 的中点,A′B′表 示竹竿 AB 端沿墙上、下滑动过程中的某个位 置,则在竹竿 AB 滑动过程中 OP 的变化情况 为 (　 　 ) A. 下滑时,OP 增大 B. 上升时,OP 减小 C. 只要滑动,OP 就变化 D. 无论怎样滑动,OP 不变 3. 数学文化 [2024 巴中改编] “今有方池一丈,葭 生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐. 问: 水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中” 问题. 若 AC=5,DC=1,BD=BA,则 BC=　 12　 . 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. [2024 青海]如图,在 Rt△ABC 中,D 是 AC 的中 点,∠BDC= 60°,AC= 6,则 BC 的长是 (　 　 ) A. 3 B. 6 C. 3 D. 3 3 5. 数学文化 [2024 眉山·2022 年版课标 P157 例 82 改编]如图,图①是北京国际数学家大会的会 标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”, 是由四个全等的直角三角形拼成. 若图①中大 正方形的面积为 24,小正方形的面积为 4,现 将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正 方形的面积为 (　 　 ) A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 图① 　 图② 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. [2023 日照 9 题 3 分]已知直角三角形的三边 a, b,c 满足 c>a>b,分别以 a,b,c 为边作三个正 方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形 内,如图,设三个正方形无重叠部分的面积为 S1,均重叠部分的面积为 S2,则 (　 　 ) A. S1 >S2 　 　 　 　 　 B. S1 <S2 C. S1 =S2 　 　 　 　 　 D. S1,S2 大小无法确定 考向 2　 含 30°、45°角的直角三角形(统考卷 15 题,22 题;统考样卷 14 题) 7. [2024 青岛市南区期中]如图,在 Rt △ABC 中, ∠BAC= 90°,AB = AC,在 AC 边的右侧作等边 △ACD,连接 BD,则∠DBC 的度数为　 30　 °. 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. [ 2024 枣庄滕州市月考] 如图, 在 △ABC 中, ∠C= 90°,∠B = 15°,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,若 DB = 10,则 CD 的长 为 (　 　 ) A. 10 B. 8 C. 5 D. 5 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 36 分层作业本·山东数学 　 第 四 章 三 角 形 9. [2023 宁夏改编]将一副直角三角板和一把宽度 为 2 cm 的直尺按如图方式摆放:先把 60°和 45°角的顶点及它们的直角边重合,再将此直 角边垂直于直尺的上沿,重合的顶点落在直尺 下沿上,这两个三角板的斜边分别交直尺上沿 于 A,B 两点,则 AB 的长为　 (2 3 -2) 　 cm. 第 9 题图 　 第 10 题图 10. [2024 安徽改编]如图,在 Rt △ABC 中,AC = BC= 2,点 D 在 AB 的延长线上,且 CD = AB, 则 BD 的长是　 6 - 2 　 . 11. [2024 南充]如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°, ∠B= 30°,BC = 6,AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D,点 E 为边 AB 上一点,则线段 DE 长度的 最小值为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 第 11 题图 　 　 第 12 题图 考向 3　 直角三角形的判定 12. [2024 陕西改编]如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AD 是 BC 边上的高,E 是 CD 上一点,连 接 AE,则图中的直角三角形共有　 4　 个. 13. [ 2024 临沂沂水县月考改编] 已知 a, b, c 是 △ABC 的三边长,且满足 c2-a2-b2 +|a-b | =0, 则△ABC 的形状为 (　 　 ) A. 等腰(非直角)三角形 B. 直角(非等腰)三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 14. [2023 东营 15 题 4 分]一艘船由 A 港沿北偏东 60°方向航行 30 km 至 B 港,然后再沿北偏西 30°方向航行 40 km 至 C 港,则 A,C 两港之间 的距离为　 50　 km. 15. [2023 济宁 9 题 3 分]如图,在正方形方格中, 每个小正方形的边长都是一个单位长度,点 A,B,C,D,E 均在小正方形方格的格点上,线 段 AB,CD 交于点 F,若∠CFB = α,则∠ABE 第 15 题图 等于 (　 　 ) A. 180°-α B. 180°-2α C. 90°+α D. 90°+2α 16. [2024 大庆·北师八上 P18 第 10(2)题改编]如图 ①,直角三角形的两个锐角分别是 40°和 50°,其三边上分别有一个正方形. 执行下面 的操作:由两个小正方形向外分别作锐角为 40°和 50°的直角三角形,再分别以所得到的 直角三角形的直角边为边长作正方形. 图② 是 1 次操作后的图形. 图③是重复上述步骤 若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达 哥拉斯树” . 若图①中的直角三角形斜边长 为 2,则 10 次操作后图形中所有 ∙∙ 正方形的面 积和为　 　 　 48　 . 第 16 题图 17. 分类讨论 ∙∙∙∙ [2024 新疆]如图,在 Rt △ABC 中, ∠C= 90°,∠A = 30°,AB = 8. 若点 D 在直线 AB 上(不与点 A,B 重合),且∠BCD= 30°,则 AD 的长为　 6 或 12　 . 第 17 题图 　 　 第 18 题图 18. 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABC 中,∠B = 22. 5°,∠C = 45°,若 AC= 2,则△ABC 的面积是　 2+ 2 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 46