4.3 等腰三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 四 章 三 角 形 命题点 3　 等腰三角形的性质与判定 (统考卷 14 题;统考样卷 6 题,22(2)题,23(2)题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 考向 1　 等腰三角形的性质(统考卷 14 题;统考 样卷 6 题,22(2)题,23(2)题) 1. [2024 湖南省卷·北师八下 P4 第 1(2)题改编]若 等腰三角形的一个底角的度数为 40°,则它的 顶角的度数为　 100　 °. 2. [2022 滨州 14 题改编]如图,屋顶钢架外框是等 腰三角形,其中 AB=AC,立柱 AD⊥BC,且顶角 ∠BAC = 120°,BC = 8 m,则∠C = 　 30 　 °, CD= 　 4　 m. 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. [2024 山东统考样卷]如图,在△ABC 中,D 是边 AB 上一点,AD = CD = BC,∠A = 25°,则∠BCD 的度数为 (　 　 ) A. 50° B. 65° C. 80° D. 105° 变式 3-1 [2024 重庆 B 卷]如图,在△ABC 中,AB= AC,∠A = 36°,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D. 若 BC= 2,则 AD 的长度为　 　 　 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 变式 3-1 题图 　 　 　 　 变式 3-2 题图 变式 3-2 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠B = 30°, D 为 BC 上一点,CD=AD= 2,则 BC 的长为 (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 名师原创 如图,在△ABC 中,AB = AC,AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB 于点 E,BF⊥AC 于点 F,DE = 1. 3 cm,则 BF= 　 2. 6　 cm. 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 考向 2　 等边三角形的性质 5. [人教八上 P93 第 13 题改编]如图,BD 是等边 △ABC 的边 AC 上的高,以点 D 为圆心,DB 长 为半 径 作 弧 交 BC 的 延 长 线 于 点 E, 则 ∠BDE= (　 　 ) A. 110° B. 115° C. 120° D. 125° 6. [2024 自贡]如图,等边△ABC 钢架的立柱CD⊥ AB 于点 D,AB 长 12 m. 现将钢架立柱缩短成 DE,∠BED= 60°. 则新钢架减少用钢 (　 　 ) A. (24-12 3 )m B. (24-8 3 )m C. (24-6 3 )m D. (24-4 3 )m 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. [2024 枣庄滕州市月考]如图,△ABC 是等边三 角形,△ACD 是等腰三角形,且 AD=CD,AB 的 垂直平分线交 AB 于点 E,交 BD 于点 F,若 BC= 6,则 EF 的长为 (　 　 ) A. 3 3 B. 3 C. 2 D. 1. 5 8. [2023 济宁 15 题 3 分]如图,△ABC 是边长为 6 的 等边三角形,点 D,E 在边 BC 上,若∠DAE= 30°, tan∠EAC= 1 3 ,则 BD=　 3- 3　 . 第 8 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16 分层作业本·山东数学 　 第 四 章 三 角 形 考向 3 　 等腰(边) 三角形的判定(统考样卷 22(2)题) 9. [2024 济南高新区期末]如图,一艘轮船由海平 面上 C 地出发向南偏西 25°的方向行驶120 海 里到达 B 地,再由 B 地向北偏西 35°的方向行 驶 120 海 里 到 达 A 地, 则 A, C 两 地 相 距　 120　 海里. 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. [2024 临沂莒南县二模]将含 30°角的直角三角 板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α= 60°,点 B,C 表示的刻度分别为 1 cm,3 cm, 则线段 AB 的长为　 2　 cm. 11. 名师原创 如图,点 O,H,M,N,P,Q 都在正方 形网格的格点上,连接 OH,则其余四点中, 与点 O,H 连接后的图形是等腰三角形的是 (　 　 ) 第 11 题图 A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q 12. [2024 江西改编]如图,在△ABC 中,BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D,过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E,若 AB = 12,DE = 7,则 AE 的长 为　 5　 . 第 12 题图 变式 如图,在▱ABCD 中,BE 平分∠ABC,交边 AD 于点 E,过点 A 作 AF⊥BE 交 DC 的延长线 于点 F,交 BC 于点 G. 图中一定是等腰三角形 的有　 4　 个. 变式题图 13. 易错 ∙∙ [2024 赤峰]等腰三角形的两边长分别是 方程 x2 -10x+21 = 0 的两个根,则这个三角形 的周长为 (　 　 ) A. 17 或 13 B. 13 或 21 C. 17 D. 13 14. [北师八下 P166 第 1 题改编]如图,已知∠A0 = 70°,A0B0 =A1B0,A1B1 = A1A2,A2B2 = A2A3,…, (点 A0,A1,A2,A3,…在一条直线上),按此规 律,则∠An-1AnBn-1 的度数为 (　 　 ) 第 14 题图 A. 70° 2n-1 B. 70° 2n+1 C. 70° 2n D. 70° 2n+2 15. [2024 滨州 21 题改编]如图,在△ABC 中,AD⊥ BC,∠BAC= 87°,AB+BD =CD,则∠C 的度数 为 (　 　 ) 第 15 题图 A. 29° B. 31° C. 33° D. 35° 16. 多解法 ∙∙∙ [2023 滨州 8 题 3 分]已知点 P 是等边 △ABC 的边 BC 上的一点,若∠APC = 104°, 则在以线段 AP,BP,CP 为边的三角形中,最 小内角的大小为 (　 　 ) A. 14° B. 16° C. 24° D. 26° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 S△AEB = S△DEB = S△AEC = S△DEC,∵ △ABC 的面积为 64,∴ S△AEB =S△DEB =S△AEC = S△DEC = 16,∴ S△BEC = S△DEB +S△DEC = 32,∵ 点 F 是 CE 的中点, ∴ S△BEF = 1 2 S△BEC = 1 2 × 32 = 16. 11. D 变式 4　 【解析】∵ D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 的中 点,∴ BC= 2DE= 2×2 = 4,DE∥BC,∴ ∠AED = ∠C,又∵ ∠AED= ∠BEC,∴ ∠BEC= ∠C,∴ BE=BC= 4. 12. (1)1;(2)2+ 2 　 13. B 14. 100°　 【解析】∵ CD 是边 AB 上的高,∴ ∠CDB = ∠CDA = 90°,又∵ ∠BCD = 30°,∠ACB = 80°,∴ ∠ACD = ∠ACB -∠BCD= 50°,∠B = 90°-∠BCD = 60°,∴ ∠CAB = 90°- ∠ACD= 40°, ∵ AE 是 ∠CAB 的平分线, ∴ ∠EAB = 1 2 ∠CAB= 20°,∴ ∠AEB= 180°-∠EAB-∠B= 100°. 15. C　 【解析】A. 由三角形三边关系得,4-3<AB<4+3,即 1 <AB<7,故 A 正确,不符合题意;B. 当 BC⊥AC 时,S△ABC 最大,此时 S△ABC = 1 2 ×3×4 = 6,故 B 正确,不符合题意; C. 当 AB= 5 时,△ABC 是直角三角形,∴ △ABC 内切圆 半径 r= 2S△ABC BC+AC+AB = 2 ×6 3+4+5 = 1,故 C 错误,符合题意; D. 当 AB = 7 时,BC2 = AC2 -AB2 ,∴ △ABC 是直角三角 形,故 D 正确,不符合题意. 16. 证明:∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD= ∠BCD, ∵ EF∥BC, ∴ ∠FEC= ∠BCD, ∴ ∠ACD= ∠FEC, ∴ EF=CF, ∵ AE⊥CD, ∴ ∠AEC= 90°, ∴ ∠EAC+∠ACD= 90°,∠AEF+∠FEC= 90°, ∴ ∠EAC= ∠AEF, ∴ AF=EF, ∴ AF=CF,即 F 为 AC 的中点, 又∵ G 为 BC 的中点, ∴ GF 是△ABC 的中位线, ∴ FG= 1 2 AB. 命题点 3　 等腰三角形的性质与判定 1. 100　 2. 30;4 3. C　 【解析】∵ AD =CD,∠A = 25°,∴ ∠A = ∠ACD = 25°,∴ ∠BDC = 50°, ∵ CD = BC, ∴ ∠BDC = ∠DBC = 50°, ∴ ∠BCD= 180°-∠BDC-∠DBC= 80°. 变式 3-1 2　 【解析】∵ AB= AC,∴ ∠ABC = ∠C,∵ ∠A+ ∠ABC+∠C= 180°,∠A = 36°,∴ ∠ABC = ∠C = 72°,∵ BD 平分 ∠ABC, ∴ ∠CBD = ∠ABD = 36°, ∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD= 72°,∴ ∠BDC= ∠C,∴ BD = BC = 2,∵ ∠A = 36°, ∠ABD= 36°,∴ ∠A= ∠ABD,∴ AD=BD= 2. 变式 3-2 C　 【解析】∵ AB = AC,∠B = 30°,∴ ∠C = ∠B = 30°,∴ ∠BAC = 180° - ∠B- ∠C = 120°. ∵ CD = AD,∴ ∠DAC= ∠C= 30°,∴ ∠DAB = ∠BAC-∠DAC = 120°- 30° = 90°,∴ AD= 1 2 BD,∴ BD= 2AD= 2×2 = 4,∴ BC=CD+BD = 2+4 = 6. 4. 2. 6　 【解析】∵ AB = AC,AD 平分∠BAC,∴ AD⊥BC,AD 为△ABC 的中线, ∴ S△ABC = 2S△ABD = 2 × 1 2 AB · DE = 1. 3AB,∵ S△ABC = 1 2 AC·BF,∴ 1 2 AC·BF = 1. 3AB,∵ AC =AB,∴ 1 2 BF= 1. 3,∴ BF= 2. 6 cm. 5. C 6. D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,CD⊥AB,∴ ∠ABC = 60°,AB = BC = AC = 12,BD = 1 2 AB = 6, ∴ CD = 6 3 , ∵ ∠BED= 60°,∴ DE = 2 3 ,BE = AE = 4 3 ,∴ 减少用钢为 (AB+AC+BC+CD) -(AE+BE+AB+DE)= AC+BC+CD-AE- BE-DE= 24-4 3 (m) . 7. B　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = BC = 6,点 B 在 AC 的垂直平分线上,∵ △ACD 是等腰三角形,且 AD = CD,∴ 点 D 在 AC 的垂直平分线上,∴ BD 是 AC 的垂直平 分线,∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABC= 30°,∵ EF 是 AB 的垂直平分 线,∴ ∠BEF= 90°,BE= 1 2 AB= 3,∴ 在 Rt△BEF 中,EF = BE·tan∠EBF= 3× 3 3 = 3 . 8. 3- 3 　 【解析】 如解图, 过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H, ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB= AC =BC = 6,∠BAC = 60°, ∵ AH⊥BC,∴ ∠BAH = 1 2 ∠BAC = 30°,∴ ∠BAD+∠DAH = 30°,∵ ∠DAE= 30°,∴ ∠BAD+∠EAC = 30°,∴ ∠DAH = ∠EAC,∴ tan∠DAH= tan∠EAC= 1 3 ,∵ BH = 1 2 AB = 3,AH =AB·sin60° = 6× 3 2 = 3 3 ,∴ DH AH = DH 3 3 = 1 3 ,∴ DH = 3 , ∴ BD=BH-DH= 3- 3 . 第 8 题解图 9. 120　 10. 2　 11. C　 12. 5 变式 4　 【解析】一定是等腰三角形的有 4 个,分别是 △ABE,△ABG,△AFD,△CGF. 13. C 14. A　 【解析】在△A0B0A1 中,∵ ∠A0 = 70°,A0B0 = A1B0 ,∴ ∠A0A1B0 = 70°,∵ A1A2 = A1B1 ,∠A0A1B0 是△A1A2B1 的 外角,∴ ∠A1A2B1 = ∠A0A1B0 2 = 35°;同理可得,∠A2A3B2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 = 35° 2 ,∠A3A4B3 = 1 2 ×35° 2 = 35° 4 ,∴ ∠An-1AnBn-1 = 70° 2n-1 . 15. B　 【解析】如解图,延长 DB 至点 E,使 BE = AB,连接 AE,∵ BE= AB,AB+BD = CD,∴ ED = EB+BD = AB+BD = CD,∵ AD⊥BC,∴ △AEC 是等腰三角形,∴ ∠E = ∠C, ∵ EB=AB, ∴ ∠E = ∠EAB, ∴ ∠ABD = 2 ∠E = 2 ∠C, ∵ ∠BAC+∠ABC+∠C = 180°,∴ 87°+2∠C+∠C = 180°, 解得∠C= 31°. 第 15 题解图 16. B　 【解析】解法一:如解图①,过点 P 分别作 PD∥AB 交 AC 于点 D,PE∥AC 交 AB 于点 E,则四边形 AEPD 为平 行四边形,∴ DP = AE,∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠B = ∠C= ∠BAC = 60°, ∵ PD∥AB, ∴ ∠CPD = ∠B = 60°, ∠CDP= ∠BAC= 60°,∴ △CDP 为等边三角形,∴ CP = DP=CD,∴ CP=DP=AE,同理得,△BEP 为等边三角形, ∴ BP= EP = BE,∴ △AEP 就是以线段 AP,BP,CP 为边 的三角形, ∵ ∠APC = 104°, ∴ ∠APB = 180° - ∠APC = 76°,∴ ∠APE = ∠APB - ∠BPE = 16°, ∠PAE = ∠APC - ∠B= 44°,∠AEP = 180° - ∠BEP = 120°,∴ 以线段 AP, BP,CP 为边的三角形的三个内角分别为 16°,44°,120°, ∴ 最小内角的大小为 16°. 解法二:如解图②,将△ACP 绕点 A 顺时针旋转 60°至 △ABQ,连接 PQ. 由旋转可得△ABQ≌ △ACP, ∴ BQ = CP,AQ=AP,∠PAQ= 60°,∠ABQ= ∠C,∴ △APQ 是等边 三角形,∴ PQ=AP,∴ △PQB 就是以线段 AP,BP,CP 为 边的三角形. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABQ = ∠C = 60° = ∠APQ,∴ A,Q,B,P 四点共圆,∴ ∠BPQ = ∠BAQ = ∠PAC= 180°-∠C-∠APC = 16°. 又∵ ∠PBQ = ∠ABQ+ ∠ABP= 120°,∴ ∠PQB = 180°-∠PBQ-∠BPQ = 44°,∴ △PQB 的最小内角是 16°,∴ 在以线段 AP,BP,CP 为边 的三角形中,最小内角的大小为 16°. 图① 　 　 图② 第 16 题解图 解法三:如解图③,以 BP 为边向下作等边△BPQ,连接 CQ. ∵ △ABC 和△BPQ 都是等边三角形,∴ AB = BC,BP =BQ= PQ,∠ABP = ∠CBQ = 60°,∴ △ABP≌△CBQ,∴ AP=CQ,∴ △PQC 就是以线段 AP,BP,CP 为边的三角 形. ∵ △ABP ≌ △CBQ, ∴ ∠PCQ = ∠BAP = ∠APC - ∠ABC= 44°,∵ ∠BPQ = 60°,∴ ∠CPQ = 120°,∴ ∠PQC = 16°,∴ △PQC 的最小内角是 16°,∴ 在以线段 AP,BP, CP 为边的三角形中,最小内角的大小为 16°. 第 16 题解图③ 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 1. C　 2. D 3. 12　 【解析】设 BC= x,则 BA=BD= x+1,在 Rt△ABC 中,由 勾股定理得 AB2 = AC2 +BC2 ,即( x+ 1) 2 = 52 +x2 ,解得 x = 12,即 BC= 12. 4. A　 【解析】∵ 点 D 是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点,AC= 6,∴ BD=CD=AD= 1 2 AC= 3,∵ ∠BDC = 60°,∴ △BCD 为等边 三角形,∴ BC=BD= 3. 5. D　 【解析】如解图,设直角三角形的两直角边长为 a,b(a <b),斜边长为 c,∵ 图①中大正方形的面积是 24,∴ a2 +b2 = c2 = 24,∵ 小正方形的面积是 4,∴ (b-a) 2 = b2 +a2 -2ab= 4,∴ ab= 10,∴ 图②中大正方形的面积为 c2 +4× 1 2 ab = 24 +2×10 = 44. 第 5 题解图 6. C　 【解析】∵ 直角三角形的三边 a,b,c 满足 c>a>b,∴ 该 直角三角形的斜边为 c,∴ c2 =a2 +b2 ,∴ c2 -a2 -b2 = 0,∴ S1 = c2 -a2 -b2 +b(a+b-c)= ab+b2 -bc,∵ S2 = b(a+b-c) = ab+ b2 -bc,∴ S1 =S2 . 7. 30 8. D　 【解析】∵ AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,∴ AD= BD = 10,∠DBA = ∠BAD = 15°,∴ ∠ADC = 30°, ∵ ∠C = 90°, ∴ AC = 1 2 AD = 5, ∴ CD = AD2 -AC2 = 102 -52 = 5 3 . 9. (2 3 -2) 　 【解析】如解图,设直角三角板重合的边与直 尺下沿交于点 C,与直尺上沿交于点 D,在 Rt△ACD 中, ∠ACD= 45°,∴ AD = CD· tan45° = 2 ( cm),在 Rt △BCD 中,∠BCD= 60°,∴ BD = CD·tan60° = 2 3 ( cm),∴ AB = BD-AD= (2 3 -2) cm. 第 9 题解图 10. 6 - 2 　 【解析】如解图,过点 C 作 CH⊥AB 于 H,∵ AC =BC= 2,∠ACB = 90°,CH⊥AB,∴ AB = 2 2 ,AH = BH = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42