4.2 三角形的基本性质及重要线段-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 ∴ 7≤a≤18, 7≤20- 1 2 a≤18,{ 解得 7≤a≤18, 设利润为 w 元,则 w = 100a+ 100( 20- 1 2 a) - 1 150 = 850 +50a, ∵ 50>0,∴ w 随 a 的增大而增大, ∴ 当 a = 18 时,w 有最大值, 最大值为 850 + 50 × 18 = 1 750(元), 则此时 B 种木盒的销售单价定为 20- 1 2 ×18 = 11(元), 即在(2)的条件下,A 种木盒的销售单价定为 18 元,B 种 木盒的销售单价定为 11 元时,这批木盒的销售利润最 大,最大利润为 1 750 元. 2. 解:(1)建立如解图所示的平面直角坐标系, ∵ OP 所在直线是 AB 的垂直平分线,且 AB= 6, ∴ OA=OB= 1 2 AB= 1 2 ×6 = 3,∴ 点 B 的坐标为(3,0), ∵ OP= 9,∴ 点 P 的坐标为(0,9), ∵ 点 P 是抛物线的顶点, ∴ 设抛物线的函数表达式为 y=ax2 +9, ∵ 点 B(3,0)在抛物线 y=ax2 +9 上, ∴ 9a+9 = 0,解得 a= -1. ∴ 抛物线的函数表达式为 y= -x2 +9( -3≤x≤3); 第 2 题解图 (2)∵ 点 D,E 在抛物线 y= -x2 +9 上, ∴ 设点 E 的坐标为(m,-m2 +9), ∵ DE∥AB,交 y 轴于点 F, ∴ DF=EF=m,OF= -m2 +9, ∴ DE= 2m. ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°, OA=OB, ∴ OC= 1 2 AB= 1 2 ×6 = 3, ∴ CF=OF-OC= -m2 +9-3 = -m2 +6, 根据题意得 DE+CF= 6,∴ 2m-m2 +6 = 6, 解得 m1 = 2,m2 = 0(不符合题意,舍去),∴ m= 2, ∴ DE= 2m= 4,CF= -m2 +6 = 2, ∴ DE 的长为 4 米,CF 的长为 2 米; (3)矩形周长的最大值为 33 2 米. 【解法提示】如解图,矩形灯带为 GHML,由点 A,B,C 的坐 标得,直线 AC 和 BC 的表达式分别为 y= x+3,y= -x+3,设 点 G(n,-n2 +9),H( -n,-n2 + 9),L( n,n+ 3),M( -n,n+ 3),则矩形 GHML 的周长为 2(GH+GL)= 2( -2n-n2 +9-n -3)= -2(n+1. 5) 2 + 33 2 ,∵ -2<0,∴ 矩形 GHML 周长的最 大值为 33 2 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 1. C　 2. B　 3. B　 4. D　 5. C　 拓展设问 40 6. 2　 【解析】∵ BC = 3AB,BC = 18,∴ AB = 1 3 BC = 6,∴ AC = AB+BC= 24,∵ 点 D 为线段 AC 的中点,∴ AD =CD = 1 2 AC = 12,∵ 点 E 为线段 AD 的三等分点,∴ AE = 1 3 AD = 4 或 AE= 2 3 AD= 8. 当 AE = 4 时,即点 E 在点 B 的左侧,BE = AB-AE= 6-4 = 2;当 AE = 8 时,即点 E 在点 B 的右侧,BE =AE-AB= 8-6 = 2,综上所述,BE 的长为 2. 7. 45°　 8. B　 9. C　 10. B 11. B　 【解析】如解图,过点 A 作 AF∥l,∵ 直线 l∥m,∴ AF∥ m,∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠BAC = 60°,∵ AF∥l,∴ ∠BAF= ∠ABE,∵ ∠ABE= 21°,∴ ∠BAF = 21°,∴ ∠CAF = ∠BAC-∠BAF = 60° - 21° = 39°,∵ AF∥m,∴ ∠ACD = ∠CAF= 39°. 第 11 题解图 　 　 变式题解图 变式 A　 【解析】如解图,过点 E 作 EH∥AB,∵ AB∥ FG,∴ AB∥EH∥FG,∴ ∠BEH = α = 15°,∠FEH+∠EFG = 180°,∵ β = 45°, ∴ ∠FEH = 180° - 45° - 15° = 120°, ∴ ∠EFG= 180°-∠FEH= 180°-120° = 60°,∴ EF 与 FG 所 成锐角的度数为 60°. 12. 平行　 13. B　 14. C　 15. ∠C≥90°　 16. B　 17. B 命题点 2　 三角形的基本性质及重要线段 1. A　 2. B　 3. A 4. B　 【解析】∵ AD∥BE,∴ ∠ADC = ∠EBC = 80°,∵ ∠CAD+ ∠ADC+∠ACB= 180°,∠CAD= 25°,∴ ∠ACB= 180°-25°- 80° = 75°. 5. B 6. 100　 【解析】在△ADE 中,∠ADE+∠AED = 180°-∠DAE = 140°,在△ABE 中,∠B+∠BAE+∠BEA= 180°,∵ ∠BAE = ∠BEA,∴ ∠B + 2 ∠BEA = 180° ①,在△ACD 中, ∠C + ∠CAD+∠CDA= 180°,∵ ∠CAD = ∠CDA,∴ ∠C+2∠CDA = 180°②,①+②得∠B+2∠BEA+∠C+2∠CDA = 360°,∴ ∠B+∠C+2×140° = 360°,∴ ∠B+∠C = 80°,在△ABC 中, ∠BAC= 180°-(∠B+∠C)= 100°. 7. B 8. 12 ∶15 ∶ 10 　 【解析】由题意得 BF⊥AC,∴ 1 2 AB·CE = 1 2 BC·AD= 1 2 AC·BF,∵ AB = 5,BC = 4,AC = 6,∴ 1 2 × 5CE= 1 2 ×4AD= 1 2 ×6BF,∴ CE ∶AD ∶BF= 12 ∶15 ∶10. 9. C 10. 18 变式 B　 【解析】∵ 点 E 是 AD 的中点,∴ S△AEB = S△DEB, S△AEC =S△DEC,∵ 点 D 是 BC 的中点,∴ S△DEB = S△DEC,∴ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 参考答案与重难题解析·山东数学　 分 层 作 业 本 S△AEB = S△DEB = S△AEC = S△DEC,∵ △ABC 的面积为 64,∴ S△AEB =S△DEB =S△AEC = S△DEC = 16,∴ S△BEC = S△DEB +S△DEC = 32,∵ 点 F 是 CE 的中点, ∴ S△BEF = 1 2 S△BEC = 1 2 × 32 = 16. 11. D 变式 4　 【解析】∵ D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 的中 点,∴ BC= 2DE= 2×2 = 4,DE∥BC,∴ ∠AED = ∠C,又∵ ∠AED= ∠BEC,∴ ∠BEC= ∠C,∴ BE=BC= 4. 12. (1)1;(2)2+ 2 　 13. B 14. 100°　 【解析】∵ CD 是边 AB 上的高,∴ ∠CDB = ∠CDA = 90°,又∵ ∠BCD = 30°,∠ACB = 80°,∴ ∠ACD = ∠ACB -∠BCD= 50°,∠B = 90°-∠BCD = 60°,∴ ∠CAB = 90°- ∠ACD= 40°, ∵ AE 是 ∠CAB 的平分线, ∴ ∠EAB = 1 2 ∠CAB= 20°,∴ ∠AEB= 180°-∠EAB-∠B= 100°. 15. C　 【解析】A. 由三角形三边关系得,4-3<AB<4+3,即 1 <AB<7,故 A 正确,不符合题意;B. 当 BC⊥AC 时,S△ABC 最大,此时 S△ABC = 1 2 ×3×4 = 6,故 B 正确,不符合题意; C. 当 AB= 5 时,△ABC 是直角三角形,∴ △ABC 内切圆 半径 r= 2S△ABC BC+AC+AB = 2 ×6 3+4+5 = 1,故 C 错误,符合题意; D. 当 AB = 7 时,BC2 = AC2 -AB2 ,∴ △ABC 是直角三角 形,故 D 正确,不符合题意. 16. 证明:∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD= ∠BCD, ∵ EF∥BC, ∴ ∠FEC= ∠BCD, ∴ ∠ACD= ∠FEC, ∴ EF=CF, ∵ AE⊥CD, ∴ ∠AEC= 90°, ∴ ∠EAC+∠ACD= 90°,∠AEF+∠FEC= 90°, ∴ ∠EAC= ∠AEF, ∴ AF=EF, ∴ AF=CF,即 F 为 AC 的中点, 又∵ G 为 BC 的中点, ∴ GF 是△ABC 的中位线, ∴ FG= 1 2 AB. 命题点 3　 等腰三角形的性质与判定 1. 100　 2. 30;4 3. C　 【解析】∵ AD =CD,∠A = 25°,∴ ∠A = ∠ACD = 25°,∴ ∠BDC = 50°, ∵ CD = BC, ∴ ∠BDC = ∠DBC = 50°, ∴ ∠BCD= 180°-∠BDC-∠DBC= 80°. 变式 3-1 2　 【解析】∵ AB= AC,∴ ∠ABC = ∠C,∵ ∠A+ ∠ABC+∠C= 180°,∠A = 36°,∴ ∠ABC = ∠C = 72°,∵ BD 平分 ∠ABC, ∴ ∠CBD = ∠ABD = 36°, ∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD= 72°,∴ ∠BDC= ∠C,∴ BD = BC = 2,∵ ∠A = 36°, ∠ABD= 36°,∴ ∠A= ∠ABD,∴ AD=BD= 2. 变式 3-2 C　 【解析】∵ AB = AC,∠B = 30°,∴ ∠C = ∠B = 30°,∴ ∠BAC = 180° - ∠B- ∠C = 120°. ∵ CD = AD,∴ ∠DAC= ∠C= 30°,∴ ∠DAB = ∠BAC-∠DAC = 120°- 30° = 90°,∴ AD= 1 2 BD,∴ BD= 2AD= 2×2 = 4,∴ BC=CD+BD = 2+4 = 6. 4. 2. 6　 【解析】∵ AB = AC,AD 平分∠BAC,∴ AD⊥BC,AD 为△ABC 的中线, ∴ S△ABC = 2S△ABD = 2 × 1 2 AB · DE = 1. 3AB,∵ S△ABC = 1 2 AC·BF,∴ 1 2 AC·BF = 1. 3AB,∵ AC =AB,∴ 1 2 BF= 1. 3,∴ BF= 2. 6 cm. 5. C 6. D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,CD⊥AB,∴ ∠ABC = 60°,AB = BC = AC = 12,BD = 1 2 AB = 6, ∴ CD = 6 3 , ∵ ∠BED= 60°,∴ DE = 2 3 ,BE = AE = 4 3 ,∴ 减少用钢为 (AB+AC+BC+CD) -(AE+BE+AB+DE)= AC+BC+CD-AE- BE-DE= 24-4 3 (m) . 7. B　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = BC = 6,点 B 在 AC 的垂直平分线上,∵ △ACD 是等腰三角形,且 AD = CD,∴ 点 D 在 AC 的垂直平分线上,∴ BD 是 AC 的垂直平 分线,∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABC= 30°,∵ EF 是 AB 的垂直平分 线,∴ ∠BEF= 90°,BE= 1 2 AB= 3,∴ 在 Rt△BEF 中,EF = BE·tan∠EBF= 3× 3 3 = 3 . 8. 3- 3 　 【解析】 如解图, 过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H, ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB= AC =BC = 6,∠BAC = 60°, ∵ AH⊥BC,∴ ∠BAH = 1 2 ∠BAC = 30°,∴ ∠BAD+∠DAH = 30°,∵ ∠DAE= 30°,∴ ∠BAD+∠EAC = 30°,∴ ∠DAH = ∠EAC,∴ tan∠DAH= tan∠EAC= 1 3 ,∵ BH = 1 2 AB = 3,AH =AB·sin60° = 6× 3 2 = 3 3 ,∴ DH AH = DH 3 3 = 1 3 ,∴ DH = 3 , ∴ BD=BH-DH= 3- 3 . 第 8 题解图 9. 120　 10. 2　 11. C　 12. 5 变式 4　 【解析】一定是等腰三角形的有 4 个,分别是 △ABE,△ABG,△AFD,△CGF. 13. C 14. A　 【解析】在△A0B0A1 中,∵ ∠A0 = 70°,A0B0 = A1B0 ,∴ ∠A0A1B0 = 70°,∵ A1A2 = A1B1 ,∠A0A1B0 是△A1A2B1 的 外角,∴ ∠A1A2B1 = ∠A0A1B0 2 = 35°;同理可得,∠A2A3B2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 分层作业本·山东数学 　 　 　 　 　 班级: 　 姓名: 　 学号: 　 日期: 　 第 四 章 三 角 形 命题点 2　 三角形的基本性质及重要线段 (统考卷 9 题,14 题;统考样卷 6 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 考向 1　 三角形的分类及边角关系(统考卷 14 题; 统考样卷 6 题) 1. 下列说法不正确 ∙∙∙ 的是 (　 　 ) A. 有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三 角形 B. 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角 形 C. 有两个角互余的三角形是直角三角形 D. 底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 2. 名师原创 已知△ABC,求证:∠A+ ∠B+ ∠C = 180°. 在证明时,需要添加辅助线,则辅助线作 法不正确 ∙∙∙ 的是 (　 B　 ) 3. 如图①所示,将一张矩形纸片沿虚线折成 3 个 矩形,其中左右两侧矩形的宽相等,若要将其 围成如图②所示的三棱柱形物体,则图中 a 的 值不可以 ∙∙∙ 是 (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 图① 　 图② 　 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. [2023 聊城 5 题 3 分]如图,分别过△ABC 的顶 点 A,B 作 AD∥BE.若∠CAD= 25°,∠EBC= 80°, 则∠ACB 的度数为 (　 　 ) A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° 5. [2024 聊城茌平区一模]一副三角板如图所示摆 放,若∠1 = 80°,则∠2 的度数是 (　 　 ) A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. [2024 内江改编] 如图,在△ADE 中, ∠DAE = 40°,B, C 两点 在 直 线 DE 上, 且 ∠BAE = ∠BEA, ∠CAD = ∠CDA, 则 ∠BAC 的 大 小 是　 100　 °. 考向 2　 高 7. [2024 河北·人教八上 P62 例 1 改编]观察图中尺 规作图的痕迹,可得线段 BD 一定是△ABC 的 (　 　 ) A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. [2021 聊城 15 题 3 分]如图,在△ABC 中,AD⊥ BC,CE⊥AB,垂足分别为点 D 和点 E,AD 与 CE 交于点 O,连接 BO 并延长交 AC 于点 F,若 AB = 5,BC = 4,AC = 6,则 CE ∶ AD ∶ BF 的值 为　 12 ∶15 ∶10　 . 考向 3　 中线(含中垂线) 9. [北师八下 P24 第 3 题改编]如图,在△ABC 中, DE 垂直平分 AB 交 BC 于点 D,若△ACD 的周 长为 50 cm,则 AC+BC= (　 　 ) 第 9 题图 A. 25 cm B. 45 cm C. 50 cm D. 55 cm 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95 分层作业本·山东数学 　 第 四 章 三 角 形 10. [2024 济南长清区期中]如图,在△ABC 中,BD 为 AC 边上的中线, 已知 BC = 8, AB = 5, △ABD 的 周 长 为 15, 则 △BCD 的 周 长 为　 18　 . 第 10 题图 　 变式题图 变式 [2024 枣庄滕州市期末]如图,在△ABC 中,已 知点 D,E,F 分别是 BC,AD,CE 的中点,且 △ABC 的面积为 64,则△BEF 的面积是 (　 　 ) A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 考向 4　 中位线(统考卷 9 题) 11. [2024 广安]如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是 AC,BC 的中点,若∠A = 45°,∠CED = 70°,则 ∠C 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 65° 第 11 题图 　 　 　 　 变式题图 变式 [2024 浙江]如图,D,E 分别是△ABC 边 AB, AC 的中点,连接 BE,DE. 若∠AED = ∠BEC, DE= 2,则 BE 的长为　 4　 . 考向 5　 角平分线 12. [鲁教七下 P128 例 3(1)题改编]如图,在△ABC 中,AD平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,且 DE=1. (1)若 AC= 2,则 S△ACD = 　 1　 ; (2) 若 ∠B = 30°, ∠C = 45°, 则 BC 的长 为　 2+ 2 　 . 第 12 题图 　 第 13 题图 13. [北师八上 P187 第 16 题改编]如图,在△ABC 中,BE 是∠ABC 的平分线,CE 是外角∠ACM 的平分线,BE 与 CE 相交于点 E,若∠A = 60°,则∠BEC 是 (　 　 ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 第 14 题图 14. [ 2024 凉 山 州 ] 如 图, 在 △ABC 中, ∠BCD = 30°, ∠ACB = 80°,CD 是边 AB 上的高,AE 是∠CAB 的平 分线,则∠AEB 的度数是　 100°　 . 15. [2023 威海 10 题 3 分] 在△ABC 中,BC = 3, AC= 4,下列说法错误的是 (　 　 ) A. 1<AB<7 B. S△ABC≤6 C. △ABC 内切圆的半径 r<1 D. 当 AB= 7时,△ABC 是直角三角形 16. [2023 潍坊 16 题 8 分]如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为 E,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F,G 为 BC 的中点,连接 FG. 求证:FG= 1 2 AB. 第 16 题图 证明:∵CD 平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD, ∵EF∥BC, ∴∠FEC=∠BCD, ∴∠ACD=∠FEC, ∴EF=CF, ∵AE⊥CD,∴∠AEC=90°, ∴∠EAC+∠ACD=90°,∠AEF+∠FEC=90°, ∴∠EAC=∠AEF,∴AF=EF, ∴AF=CF,即 F 为 AC 的中点, 又∵G 为 BC 的中点, ∴GF 是△ABC 的中位线, ∴FG= 1 2 AB. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 遇到中点,咋思考、遇到角平分线,咋思考见《专项 培优练》P6 ~ 10. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 06