专题2-1 相交线与平行线的性质与判定【11类题型】-【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练(北师大版)

【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题2-1 相交线与平行线的性质与判定 模块一 题型·解读 【题型1】识别同位角，内错角，同旁内角(三线八角模型) 【题型2】同位角相等，两直线平行 【题型3】内错角相等，两直线平行 【题型4】同旁内角互补，两直线平行 【题型5】平行线判定及平行线公理 【题型6】添加一条件使两条直线平行 【题型7】根据平行线的性质求角度 【题型8】多情况讨论求角度 【题型9】平行线的性质在生活中的应用 【题型10】平行线的性质与判定综合应用 【题型11】根据平行线的性质与判定探究角的关系 【课后巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 三线八角模型 已知 图示 结论（性质） 直线AB、CD被直线EF所截 AB与CD不平行 同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8； 同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5； （4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8. AB∥CD 同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8； 内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8； 同旁内角互补：∠3＋∠6＝180°、∠4＋∠5＝180°； （4）对顶角相等：∠1＝∠3、∠2＝∠4、∠5＝∠7、∠6＝∠8． 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. 知识点02 平行线的定义及表示 (1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线. (2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”. 1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行　 (2)相交 2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”. 【注意】平行线的画法四字诀 1.“落”：三角板的一边落在已知直线上； 2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边； 3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点； 4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线. 知识点03 平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线. 知识点04 平行线的性质： 1、两直线平行，同位角相等； 2、两直线平行，内错角相等； 3、两直线平行，同旁内角互补 知识点05 平行线的判定方法： 1、平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。 2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3、同位角相等，两直线平行。 4、内错角相等，两直线平行。 5、同旁内角互补，两直线平行。 6、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 模块三 核心题型·训练 【题型1】识别同位角，内错角，同旁内角(三线八角模型) 【例题1】如图，下列结论正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【例题2】如图，同位角共有　　 A．6对 B．5对 C．8对 D．7对 【巩固练习1】如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是同旁内角 【巩固练习2】如图，直线，，两两相交．则图中同旁内角的组数有　　 A．8组 B．6组 C．4组 D．2组 【巩固练习3】如图，下列结论正确的是　　 A．和是同旁内角 B．和是对顶角 C．和是内错角 D．和是同位角 【题型2】同位角相等，两直线平行 【例题1】请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： 如图，，与平行吗？为什么？      解：．理由如下： ∵（已知），∴________° 即________°（     ） 又∵（     ）， 且（已知） ∴（     ） ∴（     ） 【巩固练习1】根据要求完成下面的填空： 如图，直线，被所截，若已知．      （______）， 又（已知）， ____________， ∴____________（______）． 【巩固练习2】如图，已知，，，．与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空或填写理由．    解：与平行；与平行，理由如下： ， （________）（________）（________________________）； 又 （________） 同理可得（________） ∴（________）（________）（_____________________________）． 【题型3】内错角相等，两直线平行 【例题1】如图，直线交于点O，分别平分和，已知，且． (1)求的度数；(2)试说明的理由． 【巩固练习1】如图，交于，交于，交于，，，试判断和的位置关系，并说明为什么． 【巩固练习2】推理填空： 已知：如图于B，于C，，求证：．    证明：∵于B，于C （已知） ∴ ∴与互余，与互余 又∵（ ）， ∴ ＝ （ ） ∴（ ）． 【题型4】同旁内角互补，两直线平行 【例题1】如图，． 试说明，根据图形，完成下列推理： ∵（已知） ∴（等量代换） ∴________//_________（_______________） ∵相交， ∴（____________） ∵ ∴ ∴ （___________________） 【巩固练习1】如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？ 解：∵平分，平分（已知）， ∴___________，___________， ∴___________（　　）， ∵（　　）， ∴___________°， ∴． 【巩固练习2】完成下面的证明． 已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：．    证明：∵， ∴______（______）． ∵， ∴______（______）． ∴（______）． 【题型5】平行线判定及平行线公理 【例题1】如图，下列条件中，不能判断直线的是　　 A． B． C． D． 【例题2】如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥，其中能判断直线的有　　 A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【例题3】如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 【巩固练习1】如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是　　 A． B． C． D． 【巩固练习2】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【巩固练习3】如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．    【巩固练习4】如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明）(2)求证：． 【题型6】添加一条件使两条直线平行 【例题1】如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ．（填序号）    【巩固练习1】如图，写出能判定的一个条件 （写出一个即可）． 【巩固练习2】如图，已知直线，垂足为，且，若增加一个条件使得，试写出一个符合要求的条件 ．    【题型7】根据平行线的性质求角度 【例题1】如图，直线，，，则的度数是 ． 【例题2】如图，含有角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是 ．    【例题3】如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．    【巩固练习1】如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，点在线段的延长线上，是的平分线，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【巩固练习3】如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．    (1)试说明；(2)若，，求的度数． 【题型8】多情况讨论求角度 【例题1】已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 【例题2】如果的两边与的两边相互平行，比的三倍小，则　 　． 【巩固练习1】已知，等于，则的度数为 ． 【巩固练习2】在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是 ． 【巩固练习3】已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 【巩固练习4】已知与的两边一边平行，另一边互相垂直，且，则的度数为 　 　． 【题型9】平行线的性质在生活中的应用 【例题1】光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处射线X是光线的延长线，，，则的度数为 ． 【例题2】某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 【巩固练习1】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【巩固练习2】图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    【题型10】平行线的性质与判定综合应用 【例题1】【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °． 【巩固练习1】如图，，，点F在的延长线上，点C在的延长线上，且平分．    (1)求证：；(2)若，求． 【巩固练习2】如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．    (1)与平行吗？为什么？(2)若，求的度数． 【题型11】根据平行线的性质与判定探究角的关系 【例题1】如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【例题2】如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 【巩固练习1】如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【巩固练习3】如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【巩固练习4】综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【课后巩固训练】 1． 如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（ ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤ 2． 如图，在下列条件中，能判断的是　　 A． B． C． D． 3． 如图，，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 4． 如图，直线，平分，，则 ． 5． 已知与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为 ． 6． 如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 7． 如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 8． 已知 的两条边和的两条边分别平行，且 比的3倍少 则 9． 在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． 【小试牛刀】 （1）①若时，求的度数； ②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示） 【变式探索】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【能力提升】 （3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题2-1 相交线与平行线的性质与判定 模块一 题型·解读 【题型1】识别同位角，内错角，同旁内角(三线八角模型) 2 【题型2】同位角相等，两直线平行 5 【题型3】内错角相等，两直线平行 7 【题型4】同旁内角互补，两直线平行 9 【题型5】平行线判定及平行线公理 11 【题型6】添加一条件使两条直线平行 14 【题型7】根据平行线的性质求角度 15 【题型8】多情况讨论求角度 19 【题型9】平行线的性质在生活中的应用 24 【题型10】平行线的性质与判定综合应用 26 【题型11】根据平行线的性质与判定探究角的关系 30 【课后巩固训练】 35 模块二 基础知识·梳理 知识点01 三线八角模型 已知 图示 结论（性质） 直线AB、CD被直线EF所截 AB与CD不平行 同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8； 同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5； （4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8. AB∥CD 同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8； 内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8； 同旁内角互补：∠3＋∠6＝180°、∠4＋∠5＝180°； （4）对顶角相等：∠1＝∠3、∠2＝∠4、∠5＝∠7、∠6＝∠8． 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. 知识点02 平行线的定义及表示 (1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线. (2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”. 1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行　 (2)相交 2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”. 【注意】平行线的画法四字诀 1.“落”：三角板的一边落在已知直线上； 2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边； 3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点； 4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线. 知识点03 平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线. 知识点04 平行线的性质： 1、两直线平行，同位角相等； 2、两直线平行，内错角相等； 3、两直线平行，同旁内角互补 知识点05 平行线的判定方法： 1、平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。 2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3、同位角相等，两直线平行。 4、内错角相等，两直线平行。 5、同旁内角互补，两直线平行。 6、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 模块三 核心题型·训练 【题型1】识别同位角，内错角，同旁内角(三线八角模型) 【例题1】如图，下列结论正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，熟练掌握各角的定义是解题的关键． 【详解】A、与是对顶角，故本选项错误，不符合题意； B、与是同位角，故本选项错误，不符合题意； C、与没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意； D、与是同旁内角；故本选项正确，符合题意 【例题2】如图，同位角共有　　 A．6对 B．5对 C．8对 D．7对 【答案】 【解答】解：同位角有6对，与，与，与，与，与，与 【巩固练习1】如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查相交直线所成相关角的概念，解答关键是熟知同位角、内错角、同旁内角、对顶角的相关概念和判断方法． 【详解】解：A．与是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意； B．与是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意； C．与是对顶角，因此选项C不符合题意； D．与是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【巩固练习2】如图，直线，，两两相交．则图中同旁内角的组数有　　 A．8组 B．6组 C．4组 D．2组 【解答】解：根据同旁内角的定义，直线、被直线所截可以得到两对同旁内角， 同理：直线、被直线所截，可以得到两对， 直线、被直线所截，可以得到两对． 因此共6对同旁内角． 【巩固练习3】如图，下列结论正确的是　　 A．和是同旁内角 B．和是对顶角 C．和是内错角 D．和是同位角 【解答】解：、和是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误． 、和是对顶角，故本选项错误． 、和是内错角，故本选项正确． 、和是同位角，故本选项错误． 故选：． 【题型2】同位角相等，两直线平行 【例题1】请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： 如图，，与平行吗？为什么？      解：．理由如下： ∵（已知），∴________° 即________°（    ） 又∵（    ）， 且（已知） ∴（    ） ∴（    ） 【详解】解：．理由如下： ∵（已知），∴， 即（等量代换） 又∵（已知）， 且（已知） ∴（等角的补角相等） ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，等量代换，已知，等角的补角相等，同位角相等，两直线平行． 【巩固练习1】根据要求完成下面的填空： 如图，直线，被所截，若已知．      （______）， 又（已知）， ____________， ∴____________（______）． 【详解】（对顶角相等）， 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等，1，3，,，同位角相等，两直线平行． 【巩固练习2】如图，已知，，，．与平行吗？与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空或填写理由．    解：与平行；与平行，理由如下： ， （________）（________）（________________________）； 又 （________） 同理可得（________） ∴（________）（________）（_____________________________）． 【详解】解：与平行；与平行，理由如下： ， (同位角相等，两直线平行)； 又 同理可得 (同位角相等，两直线平行)． 【题型3】内错角相等，两直线平行 【例题1】如图，直线交于点O，分别平分和，已知，且． (1)求的度数；(2)试说明的理由． 【详解】（1）∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 【巩固练习1】如图，交于，交于，交于，，，试判断和的位置关系，并说明为什么． 【详解】解：． 理由：，，， ， ∴． 【巩固练习2】推理填空： 已知：如图于B，于C，，求证：．    证明：∵于B，于C （已知） ∴ ∴与互余，与互余 又∵（ ）， ∴ ＝ （ ） ∴（ ）． 【详解】解：∵于B，于C （已知） ∴ ∴与互余，与互余 又∵（ 已知 ）， ∴（ 等角的余角相等 ） ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）． 【题型4】同旁内角互补，两直线平行 【例题1】如图，． 试说明，根据图形，完成下列推理： ∵（已知） ∴（等量代换） ∴________//_________（_______________） ∵相交， ∴（____________） ∵ ∴ ∴ （___________________） 【详解】∵（已知） ∴（等量代换） ∴ (同位角相等，两直线平行） ∵AB，DE相交， ∴（对顶角相等） ∵ ∴           ∴ (同旁内角互补，两直线平行) 故答案为：，，同位角相等，两直线平行；对顶角相等；，，同旁内角互补，两直线平行． 【巩固练习1】如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？ 解：∵平分，平分（已知）， ∴___________，___________， ∴___________（　　）， ∵（　　）， ∴___________°， ∴． 【详解】解：平分，平分（已知）， ，， （等量代换） （已知）， ， ． 【巩固练习2】完成下面的证明． 已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：．    证明：∵， ∴______（______）． ∵， ∴______（______）． ∴（______）． 【详解】证明：∵， ∴b（同旁内角互补，两直线平行）． ∵， ∴ c（同位角相等，两直线平行）． ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【题型5】平行线判定及平行线公理 【例题1】如图，下列条件中，不能判断直线的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、根据内错角相等，两直线平行可判断直线，故此选项不合题意； 、，不能判断直线，故此选项符合题意； 、根据同位角相等，两直线平行可判断直线，故此选项不合题意； 、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线，故此选项不合题意 【例题2】如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥，其中能判断直线的有　　 A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】 【解答】解：①，不能判定； ②，能判定； ③，不能判定； ④，能判定； ⑤，不能判定； ⑥，不能判定 【例题3】如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 【详解】解：因为（已知） （对顶角相等） 所以2=3（等量代换） 所以ac（同位角相等，两直线平行） 又因为（已知） 所以bc（平行于同一直线的两条直线互相平行） 【巩固练习1】如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由，可得； 由或或，可得 【巩固练习2】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【巩固练习3】如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．    【详解】解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 【巩固练习4】如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 【题型6】添加一条件使两条直线平行 【例题1】如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ．（填序号）    【答案】①②④ 【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：①，能判断，故此选项符合题意； ②，，故此选项符合题意； ③，，故此选项不符合题意； ④，，故此选项符合题意， 故答案为：①②④． 【巩固练习1】如图，写出能判定的一个条件 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定．要判断，要看它们的截线所构成的“三线八角”图中各角的位置关系，根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：∵，∴（内错角相等，两直线平行）； ∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵，∴（内错角相等，两直线平行）； ∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：（答案不唯一）． 【巩固练习2】如图，已知直线，垂足为，且，若增加一个条件使得，试写出一个符合要求的条件 ．    【答案】．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：可以添加条件， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 【题型7】根据平行线的性质求角度 【例题1】如图，直线，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算，由，求出，再求出，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ 【例题2】如图，含有角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”的应用，关键是得出与互补． 根据三角形的内角和得到，根据平角的定义得到，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【例题3】如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．    【答案】 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义结合平角的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴． 【巩固练习1】如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由三角形的外角性质， ， 矩形的对边平行， ． 故选：． 【巩固练习2】如图，点在线段的延长线上，是的平分线，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ． 平分， ． ， ． 故选：． 【巩固练习3】如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．    (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质可得； （2）根据平行线的性质可得，根据平行线的性质得出，，根据（1）的结论得出，，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵ ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型8】多情况讨论求角度 【例题1】已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 【答案】或 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键． 根据垂直的定义求出，然后求出或，再根据邻补角或对顶角相等即可解答． 【详解】解：分为两种情况： 如图： ， ， 又， ， ； 如图： ， ， ， ， 又直线和相交于点， ； 综上，的度数为或 【例题2】如果的两边与的两边相互平行，比的三倍小，则　 　． 【解答】解：的两边与的两边分别平行， 、的大小有以下两种情况： ①当时， ， ， 解得：； ②当时， ， ， 解得：； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 【巩固练习1】已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 【巩固练习2】在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分两种情况讨论是解题的关键； 根据题意，分、在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 【详解】解：当、在直线同侧时，如图： ，， ； 当、在直线异侧时，如图： ，， 【巩固练习3】已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是度，利用方程即可解决问题． 【详解】设是度， 如图：    ∴， ∵， ∴， ∵比的3倍少 ∴， 解得：， 故； 如图：    根据四边形的内角和可得：， ∴ ∵比的3倍少 ∴， ∴， ∴ 综上所述：的度数为：或 【巩固练习4】已知与的两边一边平行，另一边互相垂直，且，则的度数为 　 　． 【解答】解：若是锐角时，过点 作，如图1所示： ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 又， ； 若是钝角时．过点 作，如图2所示： 同理可得：， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ； 当为钝角时，如图3， 同理可得，， 而， 解得（舍去不符合题意）， 综合所述：的度数为或 【题型9】平行线的性质在生活中的应用 【例题1】光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处射线X是光线的延长线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵, ∴． 【例题2】某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 【答案】150 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作，可得，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：过点B作，如图， ∵平行地面， ∴， ∵， ∴ ∵， ， ， ∴， ∴ 【巩固练习1】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】首先过作，根据，可得，进而得到，，然后可求出的度数． 【详解】解：如图所示，过作， ， ， 又， ， ， ， 【巩固练习2】图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    【答案】 【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【详解】解：过点作． ， ． ． ， ． ， ． ． 故答案为：．    【题型10】平行线的性质与判定综合应用 【例题1】【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 【巩固练习1】如图，，，点F在的延长线上，点C在的延长线上，且平分．    (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对顶角相等结合题意推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可判定； （2）根据平行线的性质结合题意推出，即可判定，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵（对顶角相等），又（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：由（1）已证可得：（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵平分， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习2】如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．    (1)与平行吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【分析】（1），理由如下：由已知条件，，根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得出答案； （2）结合（1）根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1），理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）， 又， ， ， ， ． 【巩固练习3】 【题型11】根据平行线的性质与判定探究角的关系 【例题1】如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键 ． 过向左作射线，把分成和，然后根据平行线的性质即可得到解答 ． 【详解】过向左作射线， 则， ∴ ， ， ， ． 故选：D． 【例题2】如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④． 【详解】解：，， ，，， 平分， ， ∴，故②错误； ，即， ， ， ∵， ∴，故①正确 ，， ∴， ， ， ，故③错误； ， ， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的有①④ 【巩固练习1】如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 【详解】解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 【巩固练习2】如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵， ∴， ∴； 同理可得， ∴，，， ∴， 则， ， 即 ∴ 【巩固练习3】如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 【巩固练习4】综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得：，由，得出， 再得出，即可求解； （2）过点E作，得到，得出，，即可求解； （3）分两种情况讨论如下：①当点E在上方时，当点E在下方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点E作， 依题意得：， ， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况讨论如下： ①当点E在上方时，设交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ； 当点E在下方时，延长交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 【课后巩固训练】 1． 如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（ ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、 内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系， 再比照五种说法判断对错， 即可得出结论 ． 【详解】解： 根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义分析五种说法 ． ①和是同位角， 即①正确； ②和是内错角， 即②正确； ③和是内错角， 即③不正确； ④和是同位角， 即④正确； ⑤和是同旁内角， 即⑤正确 ． 2． 如图，在下列条件中，能判断的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、，，故本选项错误； 、，，故本选项错误； 、，，故本选项正确； 、不能判定任何一组直线平行，故本选项错误． 3． 如图，，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 4． 如图，直线，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由角平分线得到，即可运算求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 5． 已知与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和垂直的性质，解题的关键在于能够画图图形进行分析求解． 如图所示，根据平行线的性质和垂直的性质分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：① 如图所示，题中的就是，，， ∴，， ∴， 又∵比大， ∴， ∴， ②如图所示，题中的就是，，， ∴，， ∴， ∴比大（不符合题意，舍去） 6． 如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 7． 如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 8． 已知 的两条边和的两条边分别平行，且 比的3倍少 则 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，一元一次方程的应用，解题时注意：如果一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．根据平行线性质得出，，再根据，分两种情况分别求出两个角的度数即可． 【详解】解：如图， 与的两边分别平行， 如左图，， ∴， 如右图，， ∴， ∴， 当， 比的3倍小， ， ∴， 解得， 当， ∴， 解得， 综上，的度数为或． 9． 在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． 【小试牛刀】 （1）①若时，求的度数； ②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示） 【变式探索】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【能力提升】 （3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）． 【答案】（1）①；②；（2）不变，；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； ②根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； （2）根据平行线的性质，得，；结合角平分线性质，得，即可完成求解； （3）由得，当时有，得，根据角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，即可得出答案． 【详解】（1）①∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ②∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）与之间的数量关系保持不变；理由如下， ∵， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴； ∴与之间的数量关系保持不变，关系为； （3）∵， ∴， 当时，则有， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$