专题1-4 完全平方公式【11类题型汇总】- 【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练(北师大版)

【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题1-4 完全平方公式 模块一 题型·解读 【题型1】完全平方公式的认识以及基本运算 1 【题型2】利用完全平方公式进行简便运算 4 【题型3】已知式子是完全平方式求参数 5 【题型4】知二求二 6 【题型5】倒数和差的平方 8 【题型6】完全平方公式配凑与非负性 10 【题型7】整体代换法求值 12 【题型8】换元法求值 13 【题型9】通过配方法求最值 18 【题型10】完全平方公式与几何图形结合 20 【题型11】三元完全平方公式的应用 34 【重点题型巩固】 36 模块二 基础知识·梳理 知识点1 完全平方公式的认识以及基本运算 解析： 完全平方公式为： 和 。 示例： 计算 ，结果为 。 知识点2 利用完全平方公式进行简便运算 要点注释： 利用完全平方公式，可以将一些复杂的乘法或加法运算简化为更简单的形式。 示例： 计算 ，可以将其转化为 。 知识点3 已知式子是完全平方式求参数 要点注释：根据完全平方公式的形式，通过比较系数来求解参数。 示例： 若 是完全平方式，则 。 知识点4 知二求二 要点注释：已知一个完全平方式的两个项，求另外两个项。 示例： 若 ，则 ，。 知识点5 倒数和差的平方 要点注释：利用完全平方公式处理与倒数和差相关的平方问题。 示例： 计算 ，求 知识点6 完全平方公式配凑与非负性 要点注释： 通过配凑完全平方公式，利用非负性求解问题。 示例： 若 ，则 ，从而 ，。 知识点7 整体代换法求值 要点注释： 将某些表达式看作一个整体，代入到另一个表达式中求值。 示例： 若 ，，求 解： 知识点8 换元法求值 要点注释：通过引入新的变量来简化问题，然后求解新变量并代回原式。 示例：若，求的值为． 设，则，而 ∴，∴ ∴ 知识点9 通过配方法求最值 要点注释：通过配方法将二次式转化为完全平方形式，从而求出最值。 示例：求的最大值，通过配方得，当时，取得最大值 知识点10 完全平方公式与几何图形结合 要点注释：利用完全平方公式解决与几何图形相关的问题。 示例：求边长为的正方形的面积，结果为，这可以看作，即一边长为，另一边长为的矩形的面积的平方 知识点11 三元完全平方公式的应用 要点注释：处理涉及三个变量的完全平方问题。 示例：若，则，从而，，，解得（注意：此题可能有其他解法或特殊情况，此处仅给出一种可能的思路） 模块三 核心题型·训练 【题型1】完全平方公式的认识以及基本运算 【例题1】用乘法公式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）先把看做一个整体利用平方差公式去中括号，再根据完全平方公式去小括号即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例题2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案； （2）两次利用完全平方公式计算即可得答案； （3）将原式变形，利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）. ． 【巩固练习1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）先提出负号，再完全平方公式计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【巩固练习2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， （2） ． 【巩固练习3】计算____________． 【答案】 【详解】解：原式 【题型2】利用完全平方公式进行简便运算 【例题1】用简便算法计算： 【详解】解：原式 ． 【巩固练习1】用简便方法计算：． 【详解】解：原式 ． 【巩固练习2】 解：原式 【题型3】已知式子是完全平方式求参数 【例题1】已知是完全平方式，则的值为　　 A． B． C．12 D． 【答案】 【解答】解：； 【例题2】若是完全平方式，则的值是________ 【解答】解：是完全平方式， ， 解得：或 【例题3】已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【详解】解：①∵， ∴， ②若是多项式的平方， 则； 故答案为：、和． 【巩固练习1】已知是完全平方式，则常数k等于（　　） A．8 B． C．16 D．8或 【答案】D 【详解】∵是完全平方式 ∴，∴∴解得 【巩固练习2】若是完全平方式，则的值是　　 A．0 B． C．0或 D． 【解答】解：是完全平方式， 【巩固练习3】如果是完全平方式，那么的值是　　　　． 【解答】解：是完全平方式， ，解得：或，故答案为：7或 【巩固练习4】若是完全平方式，则的值为 　 　． 【答案】或2． 【解答】解：是完全平方式， ， ， 解得：或， 故答案为：或2． 【巩固练习5】若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 【题型4】知二求二 【例题1】已知：，，求下列各式的值： (1)；(2)． 【答案】(1)5 (2)1 【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算． （1）根据公式变形计算即可． （2）根据公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 解得． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【例题2】若，，则代数式的值是　　 A．89 B． C．67 D． 【解答】解：把两边平方得： ， 把代入得： ， 原式 【例题3】已知实数a，b满足，，则a+b的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 【巩固练习1】已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） ， ， ， ． 【巩固练习2】若，，则　　． 【解答】解：把两边平方得：， 将代入得：， 故答案为：31 【巩固练习3】．如图，边长为，的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．29 B．176 C．186 D．39 【答案】A 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求式子值，熟练掌握完全平方公式是银题的关键． 先根据长方形的性质求得，，再根据完全平方公式变形得，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， 则． 【巩固练习4】若，，则的值是　 　． 【解答】解：，， ，． 故答案为：3． 【题型5】倒数和差的平方 【例题1】已知，则的值为　　 A．9 B．7 C．11 D．6 【解答】解：， ， ． 【例题2】已知，则等于　　 A．3 B．5 C． D．1 【解答】解：， 由于 ，即 两边平方得： 故选：． 【例题3】若，则 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式可知：，，即可求解． 【详解】解： 【巩固练习1】若，则的值为　　 A．14 B．16 C．18 D．20 【解答】解：，，两边平方得，， ，即：，故选：． 【巩固练习2】已知，且，则等于　　 A．3 B．5 C． D．1 【解答】解：， ， 即， ， ，，． 【巩固练习3】已知，则代数式值= ． 【答案】14． 【分析】根据方程求出的值，再运用完全平方公式可求的值． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ， ， ， 故答案为：14． 【巩固练习4】已知，则等于　　 A．3 B． C． D．2 【答案】 【解答】解：， ， 或（舍去） 【题型6】完全平方公式配凑与非负性 【例题1】已知等腰三角形两边，，满足，则这个等腰三角形的周长为____________． 【答案】12 【详解】解： ， ， ，， ，， 解得，，， 、2、5不能组成三角形， ∴这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2， ∴这个等腰三角形的周长为： 【例题2】已知，满足，求的值． 【答案】6 【详解】解：= ==， ∵， ∴， ∴， ∴， 原式===． 【巩固练习1】知，则　 　． 【解答】解：， ，， 解得，，， 则 【巩固练习2】已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，负整数指数幂，利用完全平方公式配方得到，利用偶次方的非负性求出、的值，代入即可．解题的关键是求出、的值． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴，， ∴，， ∴ 【巩固练习3】若实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴． 【题型7】整体代换法求值 【例题1】已知，则的值为　 　． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为16． 【例题2】已知关于的方程，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先求出，，，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴ 【巩固练习1】若，则的值是　 　． 【解答】解：因为， 所以， 所以． 故答案为1． 【巩固练习2】已知，则的值为 _____． 【答案】 【详解】解：， ， 故答案为：． 【巩固练习3】若，则的值为 ． 【答案】9 【分析】 本题考查了代数式求值，完全平方公式．熟练掌握等量代换，完全平方公式是解题的关键． 由题意知，，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴原式 【题型8】换元法求值 【例题1】已知，则代数式的值为 ______． 【答案】 【详解】解： 设，则，而 ∴， ∴ ∴，故答案为：． 【例题2】已知，求的值． 【答案】6 【详解】设，，则，， ∴ ， 答：的值为 【例题3】数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________________； 方法2：________________________________． (2)请你直接写出三个代数式：之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶ ①已知：，求和的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值： （1）利用阴影部分的面积是边长分别为的两个正方形面积之和边长为的正方形面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果； （2）由图2中阴影部分的面积表示可得：； （3）①由可得，故，，即可得出结果；②设，，则，进而得到，再由推出，据此求出，由此可得答案． 【详解】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，； （3）解：①由（2）题结论可得， ∵， ∴ ， ； ； ②设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【巩固练习1】已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式、平方根，设，利用换元法求出，再求平方根即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， 【巩固练习2】若，则 ． 【答案】49 【分析】先根据题中数据关系，将已知方程变形为，然后利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：49 【巩固练习3】已知满足． （1）求的值； （2）求的值． 【解答】解：则； 设，，可得， ，， 则． 【巩固练习4】数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图所示，通过两种不同的方法计算该图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)图中所表示的数学等式为______； (2)利用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；②2034或2020 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求解； （2）①先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解； ②设，，再根据完全平方公式的变式求解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）①， ，， ； ②设，， 则：，， ， ， ， ， ， 解得：或2020． 【巩固练习5】阅读理解，若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， ， 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： （1）若x满足，则____________________． （2）若x满足，求的值． 【答案】(1)21，(2) 【详解】（1）解：设，； 则，， ∴， 故答案为：． 解：设，， 则，， ∴ ， 故答案为：． 【题型9】通过配方法求最值 【例题1】若多项式，求的最小值及此时，的值． 【解答】解：， ， ， 当，时，有最小值，最小值最小为2024． 此时，． 【例题2】若多项式，则的最大值为________ 【答案】9 【解答】 【巩固练习1】若多项式，求的最小值　　 A．5 B．1 C．3 D．0 【解答】解： ， ， 所以最小值为3 【巩固练习2】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值． 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： 当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值． 当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． 【答案】（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17． 【解析】（1）原式 当时，代数式有最小值为1； （2）原式 代数式有最小值为3． （3）原式 当，时，多项式有最大值为17． 【巩固练习3】我们知道，对于任意一个实数a，“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题． 例如：， ∵， ∴， ∴． 填空：（______）______． 请用作差法比较与的大小，并写出解答过程． 求的最小值． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1）解：． 故答案为：；． （2） ， ∵， ∴， ∴． （3） ， ∵，， ∴， 即， ∴的最小值为． 【题型10】完全平方公式与几何图形结合 【例题1】在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等． 【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意； B、可以验证，该选项不符合题意； C、可以验证，该选项符合题意； D、可以验证，即，该选项不符合题意． 故选：C． 【例题2】有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形A，B的面积之和为 ． 【答案】34 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，根据题意正确列出代数式、掌握完全平方公式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意求出，再根据计算即可． 【详解】解：设正方形A，B的边长分别为a，b． 由题意， ∴， ∴， ∴ 【例题3】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． 观察图2填空：正方形的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______； 观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论； 根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． 根据图形，正方形的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差； 阴影部分的面积可以直接用边长的平方求解，也可用大正方形的面积减去四个小长方形是面积，由此解答即可； 先利用（2）中的结论求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）解：正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为； 故答案为：，； （2）解： 理由如下： ； 解：由（2）得， 又，， ∴ ∴． 【例题4】将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为 ． 【详解】（1）解：， ，即， 又， ， ， 故答案为：12； （2）解：∵，， ； （3）解：设正方形的边长为m、的边长为n， ，， ，即， ， ， ， ，， 解得：m=5,n=3， ． 故答案为：5． 【巩固练习1】如图，在长方形中 ，，点E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为20，则图中阴影部分的面积和为    【答案】41 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列式和掌握完全平方公式是解题的关键．根据题意得到，，利用完全平方公式推出，结合图中阴影部分的面积和为即可解题． 【详解】解：在长方形中 ，，， ， ，， ， ， 长方形的面积为20， ， ， ， 图中阴影部分的面积和为． 【巩固练习2】将两数和（差）的平方公式：，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ． 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）将边长为x的正方形和边长为y的正方形按如图所示放置，其中点D在边上，连接，，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）阴影部分的面积为： ，， ． 【巩固练习3】现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）； 图1表示：　　　　　　；图2表示：　　　　　　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，，则　　　　　　；　　　　　　； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【详解】（1）解：图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （2）解：， ，， ， ∴． 故答案为：16；12． （3）解：由题意得， ， ， ， ， ， ， ∴． 即图中阴影部分的面积为． 【巩固练习4】完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，求的值； (2)请直接写出下列问题答案： ①若，则__________； ②若，则__________． (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形的，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)的值为12 (2)①；②17 (3)阴影部分的面积为 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． （1）根据完全平方公式得出，整体代入求值即可； （2）①将利用完全平方公式转化为，再整体代入求出，最后求出的值； ②根据完全平方公式将转化为，再整体代入求值即可； （3）设，可得，求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， 答：的值为12； （2）①， ， ， 故答案为：； ②根据可得， ， 又， ， 故答案为：17； （3）设， ， ， 又， ， 由完全平方公式可得，， ， ， ． 答：阴影部分的面积为． 【巩固练习5】如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ； (2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ； (3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ； 实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性． 【答案】(1)， (2) (3) 见解析 【详解】（1）解：方法①：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即阴影部分的面积为，方法②：看作边长为的正方形的面积，即阴影部分的面积为， 故答案为：， （2）根据阴影部分的面积相等可得：，即，，mn之间的等量关系是：，故答案为： 由（2）可得，若，， 则，∴， 故答案为： 如图所示， 图形面积可以表示为长为，宽为的大长方形的面积，即；还可看作四个正方形的面积与四个小长方形的面积之和，即， ∴． 【巩固练习6】阅读材料并回答下列问题： 材料一：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，，之间的等量关系是______ 材料二：换元法：是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其 中某些部分看作整体，用新的字母代替(即整体换元)，可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子： 若x满足，求的值． 解：设，，则， ______   所以______ 问题： (1)补全材料一、材料二中横线处； (2)若x满足， 求的值； (3)如图2，在长方形中 ，，， 点 E，F 分别是边，上的点，且， 分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 【答案】(1)材料一：；材料二：；； (2) (3) 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，完全平方公式与图形面积； （1）根据题干信息提示完善材料一，材料二即可； （2）设，，可得，，再结合完全平方公式的变形可得答案； （3）由，，，可得，，，结合，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：材料一：； 材料二：设，，则， ； ∴； （2）解：设，， ∴，， ∴ ； （3）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， ∵长方形的面积为60， ∴， ∴ 【巩固练习7】数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式，如图1是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个大正方形． 【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：______________________________； 方法二：______________________________； 【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，之间的等量关系为_____； 【知识迁移】 如图3，有两个正方形A和B边长分别为a和b，将B放入在A的内部如图4，此时阴影部分面积为，将A和B并排放置后构造新的正方形如图5，此时阴影部分面积为，则_____． 【答案】知识生成：；得出结论：；知识迁移： 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图2中的阴影部分的正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由图4和图5中的面积即可求解． 【详解】（知识生成）：方法一：； 方法二：， 故答案为： （得出结论）： 代数式，之间的等量关系为：； 故答案为：； （知识迁移）： 由图4可得， 由图5可得， 即， ． 【巩固练习8】阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题，解决问题的目的．在《整式的乘除》一章中，我们学习了完全平方公式：，它可以恒等变换为：，等．我们可以利用它解决一些问题，例如：已知，求的值． 解：令，，则，． 所以，即． 所以． 问题1：已知，请你仿照上例，求的值； 问题2：已知，求的值； 问题3：如图，已知长方形的面积为3，延长到点P，使得，以为边向上作正方形，再分别以为边作正方形、正方形．若，则阴影部分的面积是多少？ 【答案】问题1：；问题2：；问题3： 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，通过完全平方公式的变形进行计算，通过题中给出的整体代入思想进行求解是解题关键． （1）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （2）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （3）设正方形的边长，则，，根据长方形，正方形的面积结合图形可得阴影的面积为，利用整体代入思想进行求解即可． 【详解】解：（1）令，，则，， 所以，即． 所以． （2）令，，则，． 所以，即． 所以． （3）设正方形的边长，则，， 因为，即， 则， 所以阴影部分面积为：． 【题型11】三元完全平方公式的应用 【例题1】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∵， ∴， 又∵ ∴ 【例题2】已知，，求的值． 【答案】36． 【解答】解：，， ． 【巩固练习1】已知，，求的值． 【解答】解：，， ， 即， ，，， 即，① ，② ．③ ①②③得，， 即， ． 【巩固练习2】，，，求代数式的值． 【解答】解：，，， ，，， 则原式． 【巩固练习3】若，且，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式求出，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ 【重点题型巩固】 下列各式中，计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：．因为，所以选项计算不正确，故选项不符合题意； ．因为，所以选项计算不正确，故选项不符合题意； ．因为，所以选项计算不正确，故选项不符合题意； ．因为，所以选项计算正确，故选项符合题意． 故选：． 若，则 ________． 【答案】 【详解】解:∵，，∴m2=a；-6m=24 ∴m=-4，a=16，故答案为：16 若是完全平方式，则的值为　　 A．15 B．15或 C．39或 D．15或 【解答】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故选：． 若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴，解得或 （易错）如果多项式加上一个单项式后成为一个多项式的完全平方，则这个单项式是 　　　　　　． 【答案】或． 【解答】解：根据完全平方公式定义得， 当是中间项时，那么，第三项为；组成的完全平方式为； 当是第一项时，那么，中间项为，组成的完全平方式为； 故答案为：或 已知，求下列式子的值： (1)；(2)． 【详解】（1）∵， ∴ ． （2）∵， ∴ ． 若，则的值为___________； 【答案】 【详解】， 已知实数a、b满足，，求的值． 【答案】． 【详解】∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ 已知，则的值为　　 A．9 B．7 C．11 D．6 【解答】解：，，． 故选：． 已知，则的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 6 【分析】由可得,，再对进行变形即可求解；由可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可． 【详解】解:∵， ∴，， ∴ =2； ∵ ∴，即 ∴ ∴，解得：． （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）17；（2）7 【分析】本题考查的是对完全平方公式的变形求值． （1）先根据题意求得，再根据完全平方公式得，代入计算即可； （2）根据完全平方公式得，代入计算即可． 【详解】解：（1），， ， ， ． （2）， ． 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为 ． 【答案】144 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正方形，等腰直角三角形，三角形的面积，利用配方法将多项式变形，利用整体代入的思想求值是解题的关键． 将阴影部分的面积表示为两个正方形的面积之和减去和的面积，再利用配方法将多项式变形后，整体代入即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积为： ． ∵， ∴阴影部分的面积为：． ∴阴影部分的面积为 144． 回答下列问题 填空：（1）　　　　 （2）若，则　　； （3）若，求的值． 【解答】解：（1）2、2． （2）23． （3） 两边同除得：， 移项得：， ． 已知，求，的值． 【解答】解：； ． （1）已知，求代数式的值． （2）若，求 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式的变形求值， （1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，再由得到，最后利用整体代入法求解即可； （2）根据，把等式两边同时平方得到，则． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴原式； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图1所示，长方形的长为、宽为，沿图中虚线用剪刀剪开，平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2所示）．    (1)观察图2，请你直接写出，，之间的等量关系：_________； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2)16 (3)1 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案； （2）由（1）可得出，即可得出答案； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即． 故答案为：． （2）∵，， ∴． （3）∵， ， ∴， 解得：， ∴． 所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式． 请解决下列问题： (1)已知，，则ab=_________； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值； (4)如图，在长方形中，，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①________， ________；（用含x的式子表示） ②若长方形的面积为32，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)6 (2)或； (3) (4)①，；②80 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的相关知识． （1）根据公式进行变形即可求得到答案； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值； （3）将和看成一个整体，利用公式进行计算即可得到答案； （3）①根据图形可以直接得到答案； ②根据长方形的面积为32即可得到，将和看成一个整体可求得，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或； （3）解：∵，， ∴， ∴； （4）解：①由题意可得，， 故答案为：，； ②∵长方形的面积为32， ∴， ∵ ∴ ． 故答案为：80． 阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)，求与的值； (3)已知正方形的边长为，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、整体代入求值等，读懂题意，找准条件与所求代数式的练习，利用完全平方公式变形，整体代入求值即可得到答案． 设，，根据材料中的方法，求出和与差，利用完全平方公式代值求解即可得到答案； 设，，根据材料中的方法，求出和与差，利用完全平方公式代值求解即可得到答案；由，代值求解即可得到答案； 根据题意，得到正方形边长，数形结合得到，设，，利用材料中的方法，求出，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则，，； （2）解：， ， 设，， 则，，，即，解得， ； ， ； 解：根据题意可知正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为不为负值， ，即， ， 长方形的面积是15， ， 设，， 则，， ， 即，负值舍去； ， 阴影部分的面积是． 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：，图2 中阴影部分面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． 根据图4，完成下列填空： ①大正方形的边长是______，小正方形（阴影部分）的边长是______； ②用两种不同方法表示图4 中阴影部分面积． 方法1：___________________________； 方法2：___________________________． 由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______； 若，则________． 【类比迁移】 如图5所示，C是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）； （3）44；（4）8 【分析】本题考查了利用完全平方公式求图形面积，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）①结合图形，即可解答：②可以直接算阴影部分面积或者大正方形减去四个小长方形面积，两种方法即可解答； （2）根据阴影部分面积不变，列等式，即可解答； （3）根据完全平方变形公式，即可解答； 设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据可得，根据，可得，延长交于点，延长交于点，可得为正方形，利用面积差，用表示阴影部分面积，利用完全平方公式变形公式，即可解答． 【详解】（1）①解：结合图形可得大正方形的边长是；小正方形（阴影部分）的边长是， 故答案为：；； ②解：直接算阴影部分面积可得方法1：； 大正方形减去四个小长方形面积可得方法2：， 故答案为：；； （2）解：由（1）可得， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：44； 解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为，可得，， 如图，延长交于点，延长交于点， 可得四边形为正方形，且边长为， ， 根据完全平方公式 若x满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ． (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． (3)若x满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的运用． （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设，则，， ； （2）解：， ，即， 设，则， ， ； （3）解：设，则， ， ， ． 15 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题1-4 完全平方公式 模块一 题型·解读 【题型1】完全平方公式的认识以及基本运算 3 【题型2】利用完全平方公式进行简便运算 4 【题型3】已知式子是完全平方式求参数 4 【题型4】知二求二 5 【题型5】倒数和差的平方 5 【题型6】完全平方公式配凑与非负性 6 【题型7】整体代换法求值 7 【题型8】换元法求值 7 【题型9】通过配方法求最值 9 【题型10】完全平方公式与几何图形结合 11 【题型11】三元完全平方公式的应用 18 【重点题型巩固】 19 模块二 基础知识·梳理 知识点1 完全平方公式的认识以及基本运算 解析： 完全平方公式为： 和 。 示例： 计算 ，结果为 。 知识点2 利用完全平方公式进行简便运算 要点注释： 利用完全平方公式，可以将一些复杂的乘法或加法运算简化为更简单的形式。 示例： 计算 ，可以将其转化为 。 知识点3 已知式子是完全平方式求参数 要点注释：根据完全平方公式的形式，通过比较系数来求解参数。 示例： 若 是完全平方式，则 。 知识点4 知二求二 要点注释：已知一个完全平方式的两个项，求另外两个项。 示例： 若 ，则 ，。 知识点5 倒数和差的平方 要点注释：利用完全平方公式处理与倒数和差相关的平方问题。 示例： 计算 ，求 知识点6 完全平方公式配凑与非负性 要点注释： 通过配凑完全平方公式，利用非负性求解问题。 示例： 若 ，则 ，从而 ，。 知识点7 整体代换法求值 要点注释： 将某些表达式看作一个整体，代入到另一个表达式中求值。 示例： 若 ，，求 解： 知识点8 换元法求值 要点注释：通过引入新的变量来简化问题，然后求解新变量并代回原式。 示例：若，求的值为． 设，则，而 ∴，∴ ∴ 知识点9 通过配方法求最值 要点注释：通过配方法将二次式转化为完全平方形式，从而求出最值。 示例：求的最大值，通过配方得，当时，取得最大值 知识点10 完全平方公式与几何图形结合 要点注释：利用完全平方公式解决与几何图形相关的问题。 示例：求边长为的正方形的面积，结果为，这可以看作，即一边长为，另一边长为的矩形的面积的平方 知识点11 三元完全平方公式的应用 要点注释：处理涉及三个变量的完全平方问题。 示例：若，则，从而，，，解得（注意：此题可能有其他解法或特殊情况，此处仅给出一种可能的思路） 模块三 核心题型·训练 【题型1】完全平方公式的认识以及基本运算 【例题1】用乘法公式计算 (1) (2) 【例题2】计算： (1)； (2)； (3)． 【巩固练习1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【巩固练习2】计算 (1) (2) 【巩固练习3】计算____________． 【题型2】利用完全平方公式进行简便运算 【例题1】用简便算法计算： 【巩固练习1】用简便方法计算：． 【巩固练习2】 【题型3】已知式子是完全平方式求参数 【例题1】已知是完全平方式，则的值为　　 A． B． C．12 D． 【例题2】若是完全平方式，则的值是________ 【例题3】已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【巩固练习1】已知是完全平方式，则常数k等于（　　） A．8 B． C．16 D．8或 【巩固练习2】若是完全平方式，则的值是　　 A．0 B． C．0或 D． 【巩固练习3】如果是完全平方式，那么的值是　　　　． 【巩固练习4】若是完全平方式，则的值为 　 　． 【巩固练习5】若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【题型4】知二求二 【例题1】已知：，，求下列各式的值： (1)；(2)． 【例题2】若，，则代数式的值是　　 A．89 B． C．67 D． 原式 【例题3】已知实数a，b满足，，则a+b的值为______． 【巩固练习1】已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 【巩固练习2】若，，则　　． 【巩固练习3】．如图，边长为，的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．29 B．176 C．186 D．39 【巩固练习4】若，，则的值是　 　． 【题型5】倒数和差的平方 【例题1】已知，则的值为　　 A．9 B．7 C．11 D．6 【例题2】已知，则等于　　 A．3 B．5 C． D．1 【例题3】若，则 ． 【巩固练习1】若，则的值为　　 A．14 B．16 C．18 D．20 【巩固练习2】已知，且，则等于　　 A．3 B．5 C． D．1 【巩固练习3】已知，则代数式值= ． 【巩固练习4】已知，则等于　　 A．3 B． C． D．2 【题型6】完全平方公式配凑与非负性 【例题1】已知等腰三角形两边，，满足，则这个等腰三角形的周长为____________． 【例题2】已知，满足，求的值． 【巩固练习1】知，则　 　． 则 【巩固练习2】已知，则的值为 ． 【巩固练习3】若实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型7】整体代换法求值 【例题1】已知，则的值为　 　． 【例题2】已知关于的方程，求 ． 【巩固练习1】若，则的值是　 　． 【巩固练习2】已知，则的值为 _____． 【巩固练习3】若，则的值为 ． 【题型8】换元法求值 【例题1】已知，则代数式的值为 ______． 【例题2】已知，求的值． 【例题3】数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________________； 方法2：________________________________． (2)请你直接写出三个代数式：之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶ ①已知：，求和的值； ②已知：，求的值． 【巩固练习1】已知，则的值是 ． 【巩固练习2】若，则 ． 【巩固练习3】已知满足． （1）求的值；（2）求的值． 【巩固练习4】数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图所示，通过两种不同的方法计算该图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)图中所表示的数学等式为______； (2)利用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【巩固练习5】阅读理解，若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， ， 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化． 解决问题： （1）若x满足，则____________________． （2）若x满足，求的值． 【题型9】通过配方法求最值 【例题1】若多项式，求的最小值及此时，的值． 【例题2】若多项式，则的最大值为________ 【巩固练习1】若多项式，求的最小值　　 A．5 B．1 C．3 D．0 【巩固练习2】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值． 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： 当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值． 当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． 【巩固练习3】我们知道，对于任意一个实数a，“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题． 例如：， ∵， ∴， ∴． 填空：（______）______． 请用作差法比较与的大小，并写出解答过程． 求的最小值． ∴的最小值为． 【题型10】完全平方公式与几何图形结合 【例题1】在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（    ） A．   B．     C．   D．   【例题2】有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形A，B的面积之和为 ． 【例题3】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． （1）观察图2填空：正方形的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______； （2）观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 【例题4】将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为 ． 【巩固练习1】如图，在长方形中 ，，点E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为20，则图中阴影部分的面积和为    【巩固练习2】将两数和（差）的平方公式：，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ． 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）将边长为x的正方形和边长为y的正方形按如图所示放置，其中点D在边上，连接，，若，，求阴影部分的面积． 【巩固练习3】现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）； 图1表示：　　　　　　；图2表示：　　　　　　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，，则　　　　　　；　　　　　　； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【巩固练习4】完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，求的值； (2)请直接写出下列问题答案： ①若，则__________； ②若，则__________． (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形的，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【巩固练习5】如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ； (2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ； (3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ； （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性． 【巩固练习6】阅读材料并回答下列问题： 材料一：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，，之间的等量关系是______ 材料二：换元法：是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其 中某些部分看作整体，用新的字母代替(即整体换元)，可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子： 若x满足，求的值． 解：设，，则， ______   所以______ 问题： (1)补全材料一、材料二中横线处； (2)若x满足， 求的值； (3)如图2，在长方形中 ，，， 点 E，F 分别是边，上的点，且， 分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 【巩固练习7】数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式，如图1是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个大正方形． 【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：______________________________； 方法二：______________________________； 【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，之间的等量关系为_____； 【知识迁移】 如图3，有两个正方形A和B边长分别为a和b，将B放入在A的内部如图4，此时阴影部分面积为，将A和B并排放置后构造新的正方形如图5，此时阴影部分面积为，则_____． 【巩固练习8】阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题，解决问题的目的．在《整式的乘除》一章中，我们学习了完全平方公式：，它可以恒等变换为：，等．我们可以利用它解决一些问题，例如：已知，求的值． 解：令，，则，． 所以，即． 所以． 问题1：已知，请你仿照上例，求的值； 问题2：已知，求的值； 问题3：如图，已知长方形的面积为3，延长到点P，使得，以为边向上作正方形，再分别以为边作正方形、正方形．若，则阴影部分的面积是多少？ 【题型11】三元完全平方公式的应用 【例题1】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【例题2】已知，，求的值． 【巩固练习1】已知，，求的值． 【巩固练习2】，，，求代数式的值． 【巩固练习3】若，且，则的值为 ． 【重点题型巩固】 1． 下列各式中，计算正确的是　　 A． B． C． D． 2． 若，则 ________． 3． 若是完全平方式，则的值为　　 A．15 B．15或 C．39或 D．15或 4． 若是一个完全平方式，则 ． 5． （易错）如果多项式加上一个单项式后成为一个多项式的完全平方，则这个单项式是 　　　　　　． 6． 已知，求下列式子的值： (1)；(2)． 7． 若，则的值为___________； 8． 已知实数a、b满足，，求的值． 9． 已知，则的值为　　 A．9 B．7 C．11 D．6 10． 已知，则的值为 ；的值为 ． （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 11． 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为 ． 12． 回答下列问题 填空：（1）　　　　 （2）若，则　　； （3）若，求的值． 已知，求，的值． （1）已知，求代数式的值． （2）若，求 13． 如图1所示，长方形的长为、宽为，沿图中虚线用剪刀剪开，平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2所示）．    (1)观察图2，请你直接写出，，之间的等量关系：_________； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)拓展应用：若，求的值． 14． 所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式． 请解决下列问题： (1)已知，，则ab=_________； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值； (4)如图，在长方形中，，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①________， ________；（用含x的式子表示） ②若长方形的面积为32，求图中阴影部分的面积和． 15． 阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)，求与的值； (3)已知正方形的边长为，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 16． 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：，图2 中阴影部分面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． 根据图4，完成下列填空： ①大正方形的边长是______，小正方形（阴影部分）的边长是______； ②用两种不同方法表示图4 中阴影部分面积． 方法1：___________________________； 方法2：___________________________． 由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______； 若，则________． 【类比迁移】 如图5所示，C是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 17． 若x满足，求的值． 18． (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$