第3章 概率初步（导图+知识梳理+易错点拨+11个考点讲练+优选压轴题专练 共43题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第3章 概率初步 （知识梳理+易错点拨+11个重难点考点讲练+压轴题专练 共43题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：确定事件与不确定事件 2 知识点梳理02：频率与概率 2 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：事件类型混淆 3 易错知识点02：概率计算中的典型错误 4 易错知识点03：频率与概率的关系混淆 4 易错知识点04：几何概率的细节疏漏 4 易错知识点05：逻辑推理与表述错误 5 重点难点 考点讲练 5 重点难点考点讲练01:事件的分类 5 重点难点考点讲练02:判断事件发生的可能性大小 7 重点难点考点讲练03:概率意义的理解 9 重点难点考点讲练04:用频率估计概率 11 重点难点考点讲练05:列举随机试验的所有可能结果 13 重点难点考点讲练06:列举法求概率 15 重点难点考点讲练07:列表法或树状图法求概率 19 重点难点考点讲练08:根据概率作判断 22 重点难点考点讲练09:已知概率求数量 24 重点难点考点讲练10:游戏的公平性 26 重点难点考点讲练11:几何概率 29 压轴专练 拔尖冲刺 31 知识点梳理01：确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点剖析】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点梳理02：频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点剖析】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 易错知识点01：事件类型混淆 1. 必然事件、不可能事件与随机事件判断错误 必然事件：如“三角形内角和为180°”是必然事件，但学生可能将某些随机现象误认为必然事件（如“明天下雨”） 不可能事件：如“掷骰子点数为7”是不可能事件，但可能将低概率事件（如“买彩票中奖”）误认为不可能事件 随机事件：需明确“可能发生也可能不发生”的本质，例如“抛硬币正面朝上”是随机事件，但可能误认为“概率50%即必然交替出现” 2. 概率值的意义误解 必然事件概率为1，不可能事件为0，但学生可能认为“概率1=一定发生”仅适用于数学理论，忽略实际中的不确定性（如“太阳东升西落”是必然事件，但理论模型外的极端情况未考虑） 随机事件概率范围是0<P(A)<1，但可能误将概率值赋为负数或超过1（如计算错误导致P(A)=1.2 易错知识点02：概率计算中的典型错误 1. 等可能性假设不成立 例如，抛一枚不均匀硬币，学生仍按“正反面概率各50%”计算，忽略“等可能性”前提 实际应用题：如“从放有3红球2白球的袋中摸球”，若未说明摸球后是否放回，学生可能混淆“放回”与“不放回”的概率差异 2. 列举法遗漏或重复结果 树状图或列表不完整：例如，同时抛两枚硬币，可能漏掉“正反”或“反正”的组合，导致结果从4种误算为3种。 非等可能结果的错误归类：如“掷两枚骰子点数之和为7”有6种组合，但可能误认为所有和值出现概率相同。 易错知识点03：频率与概率的关系混淆 1. 用频率估计概率的条件忽略 概率需要通过“大量重复试验”中频率的稳定性来估计，但学生可能用少量试验结果直接代替概率（如抛硬币5次全正面，误认为P(正面)=1。 误解频率的波动性：例如，某事件在100次试验中发生30次，学生可能直接写P(A)=0.3，而忽略“估计”一词的严谨性。 2. 实际应用中的逻辑错误 如题目给出“树苗成活率约为0.9”，学生可能认为“移植1000棵必成活900棵”，未理解概率的预测性质（实际可能略多或略少）。 混淆概率与统计结果：如“明天下雨概率30%”表示可能性小，但可能误认为“30%的时间下雨”或“30%的区域下雨”。 易错知识点04：几何概率的细节疏漏 1. 几何图形中的比例计算错误 例如，在转盘游戏中，红色区域占圆心角120°，则概率应为120/360=1/3，但可能误算为面积比例时未考虑半径一致的条件。 不规则图形问题：如“随机撒豆子估算不规则区域面积”，可能未正确计算总区域与目标区域的比例 2. 单位统一与边界条件忽略 如“在长为10cm的线段上任取一点”，学生可能未将长度单位统一或误认为端点概率为0（实际几何概率中单点概率为0，但需明确区间） 易错知识点05：逻辑推理与表述错误 1. 概率命题的逆命题误用 例如，“若两事件概率相同，则它们为等可能事件”是错误推理（如抛硬币正面与掷骰子6点的概率均为1/2，但事件性质不同） 必要条件和充分条件混淆：如“同位角相等则两直线平行”是判定定理，但学生可能在未验证同位角是否相等时直接应用。 2. 解题步骤跳跃导致漏分 例如，计算概率时直接写结果 P=2/5，未列出所有可能结果及事件包含的结果数。 未明确公式前提：如使用P(A)=m/nP(A)=m/nP(A)=m/n时未说明“试验结果等可能”。 重点难点考点讲练01:事件的分类 【例题精讲】（22-23七年级下·江西抚州·期末）学校举办了一次党的二十大知识竞赛，为奖励“竞赛小达人”，学校购买了30盒黑色水笔作为奖品．结果发现有若干盒黑色水笔中每盒混入了1支蓝色水笔，有若干盒黑色水笔中每盒混入了2支蓝色水笔．具体数据见下表： 混入蓝色水笔支数 0 1 2 盒数 18 x y (1)y与x的数量关系可表示为：______； (2)从30盒水笔中任意选取1盒， ①“盒中没有混入蓝色水笔”是______事件（填“必然”，“不可能”或“随机”）； ②若“盒中混入1支蓝色水笔”的概率为，求y的值． 【答案】(1)； (2)①随机；②7 【思路引导】（1）由题意可知，即可得出y与x的数量关系式； （2）①在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件．根事件的分类进行判断，即可得到答案； ②根据“盒中混入1支蓝色水笔”的概率为，求得的值，进而即可求出y的值． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， 即， 故答案为：； （2）解：①30盒黑色水笔中有18盒中没有混入蓝色水笔， 从30盒水笔中任意选取1盒，“盒中没有混入蓝色水笔”是随机事件， 故答案为：随机； ②“盒中混入1支蓝色水笔”的概率为， 混入1支蓝色水笔的盒数为，即， ． 【考点评析】本题考查了函数关系式，事件的分类，概率的应用，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 【训练1】（21-22七年级下·山东威海·期中）袋子里有2个红球，8个白球，每个球除颜色外都相同． (1)如果第一次摸出一个球不放回，第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，那么“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球”这个事件是什么事件？ (2)如果第一次摸出一个球不放回，再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率． 【答案】(1)不确定事件 (2)或 【思路引导】（1）根据事件的定义判断即可． （2）根据不放回的特点，结合概率公式计算即可． 【规范解答】（1）因为第一次摸出一个球不放回，可能是红球，也可能是白球；第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，可能是红球，也可能是白球；故“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球可能是红球，也可能是白球； 故这个事件是随机事件或不确定事件． （2）当第一次摸到的是红球时，还余下9个球，其中白球为8个， 故第二次摸到白球的概率为； 当第一次摸到的是白球时，还余下9个球，其中白球为7个， 故第二次摸到白球的概率为； 再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率为或． 【考点评析】本题考查了随机事件即不确定事件，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【训练2】（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色 B．从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同 C．从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球 D．从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球 【答案】D 【思路引导】在一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，据此解答即可． 【规范解答】解： 总计5个球，其中有3个红球，故从袋子中摸出四个球，必有2个红球颜色相同． 故选：D 【考点评析】本题考查必然事件的定义，能够列举出随机实验的所有可能结果是解题的关键． 重点难点考点讲练02:判断事件发生的可能性大小 【例题精讲】（21-22七年级下·山东烟台·期中）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部小悦、小惠、小艳和小倩中通过抽签的方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． (1)该班男生“小刚被抽中”是______事件； (2)“小悦被抽中”是______事件； (3)第一次抽取卡片，“小悦被抽中”的概率为______． 【答案】(1)不可能 (2)随机 (3) 【思路引导】（1）根据不可能事件的概念解答可得； （2）根据随机事件的概念解答可得； （3）根据概率公式解答可得． 【规范解答】（1）解：因为梁老师决定从4名女班干部中通过抽签的方式确定2名女生去参加， 所以该班男生“小刚被抽中”是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）因为梁老师决定从小悦、小惠、小艳和小倩中通过抽签的方式确定2名女生去参加， 所以“小悦被抽中”是随机事件， 故答案为：随机； （3）因为共有4名女班干部， 所以第一次抽取卡片，“小悦被抽中”的概率为， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了随机事件和不可能事件的概念以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【训练1】（20-21九年级上·江苏·期末）下列试验中，①抛掷一枚质地均匀的硬币，结果出现“正面朝上”与出现“反面朝上”；②在三张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签放在一个盒子中，搅匀后从中抽到“1号签”，“2号签”，3号签”，③一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出“红球”与“白球”，试验是结果具有等可能性的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】根据试验结果发生的可能性判断即可． 【规范解答】解：①抛掷一枚质地均匀的硬币，结果出现“正面朝上”与出现“反面朝上”，可能性相同； ②在三张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签放在一个盒子中，搅匀后从中抽到“1号签”，“2号签”，3号签”， 可能性相同； ③一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出“红球”与“白球”， 摸出“红球”的可能性大，可能性不同． 故选：C． 【考点评析】本题考查了试验结果的可能性大小，解题关键是准确理解试验，判断发生的可能性大小． 【训练2】（11-12七年级下·江西九江·期中）某校准备召开一次学生代表会，七（1）班有5个参会名额，其中男生必须有m人，于是七（1）班班主任确定从9名（5男4女，其中班长吴英为女生）候选人员中选取，若“选到吴英”的可能性是大于0但小于1，则 【答案】2或3或4. 【思路引导】本题考查可能性的比较，在总数相同的情况下，数量多的可能性较大．根据“选到吴英”的可能性是大于0但小于1可知5个参会名额中至少有一个女生，据此可以解答． 【规范解答】解：∵“选到吴英”的可能性是大于0但小于1， ∴七（1）班有5个参会名额中至少有一个是女生且不全是女生， ∵七（1）班有5个参会名额，其中男生必须有m人， ∴m的值可以是2或3或4， 故答案为：2或3或4． 重点难点考点讲练03:概率意义的理解 【例题精讲】（24-25七年级下·全国·期中）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了概率的意义，根据所有事件的概率和为1计算即可． 【规范解答】解：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯， ∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1， ∵在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为， ∴遇到黄灯的概率为 故答案为： 【训练1】（23-24八年级上·陕西榆林·开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止） 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)甲顾客购物元，他获得奖券的概率是___________； (2)乙顾客购物元，并参与该活动，他获得元和元奖券的概率分别是多少？ (3)为加大活动力度，现商场想调整获得元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】（1）用消费的钱数和元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为； （2）用概率公式求解即可； （3）设需要将个黄色区域改为红色，根据元奖券的概率为列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴小明购物元，不能获得转动转盘的机会， ∴小明获得奖金的概率为； 故答案为：． （2）解：乙顾客购物600元，能获得一次转动转盘的机会， 由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， 所以指针指向红色的概率为， 指针指向黑色的概率为， 所以他获得元和元奖券的概率分别为，． （3）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， 所以需要将个黄色区域改为红色． 【考点评析】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【训练2】（20-21七年级下·山东烟台·期末）下列说法正确的是（    ） A．“明天的降水概率是80%”表示明天会有80%的时间在下雨 B．成语水中捞月”所描述的事件是确定事件 C．投掷一枚均匀的骰子600次，出现6点朝上的次数正好是100次 D．试验得到的频率与概率不可能相等 【答案】B 【思路引导】根据确定事件的定义，概率的定义进行逐一判断即可. 【规范解答】解：A、“明天的降水概率是80%”表示明天降雨的概率是80%，而不是80%的时间在下雨，故错误； B、成语水中捞月”所描述的事件是不可能事件，故正确； C、投掷一枚均匀的骰子600次，出现6点朝上的次数式随机的，故错误； D、试验得到的频率与概率是可能相等，故错误. 故选B. 【考点评析】正确理解概率的定义是解决本题的关键，概率是反映事件的可能性大小的量，不可能事件和必然事件都是确定事件. 重点难点考点讲练04:用频率估计概率 【例题精讲】（21-22七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 ．(精确到0.1) 【答案】0.6 【思路引导】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6． 【规范解答】解：由表可知：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6． 【训练1】（23-24七年级下·山东烟台·期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是_____________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1)0.95 (2) (3)取出了5个黑球 【思路引导】本题考查频数分布表、用频率估计概率，根据概率公式求概率，一元一次方程的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用表格用频率估计概率即可解答； （2）根据概率公式计算即可； （3）设取出个黑球，则放入个黄球，构建方程即可解决问题； 【规范解答】（1）解：随着抽取彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， 所以估计这批彩色弹力球“优等品”的概率是0.95， 故答案为：0.95； （2）从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有40种，因为除了颜色外都相同，所以每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ； （3）设取出个黑球，则放入个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球． 【训练2】（2022·辽宁·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 ． 【答案】6 【思路引导】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可． 【规范解答】解：估计这个口袋中红球的数量为8×=6（个）． 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 重点难点考点讲练05:列举随机试验的所有可能结果 【例题精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙三人参加某节目，幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物，其过程如下：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙、丙依次取得第二件、第三件礼物．最有可能取得礼物B的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】本题考查了可能性的大小，列举出所有情况，比较得到B的可能性即可． 【规范解答】解：取得礼物共三种情况：①甲C，乙A，丙B；②甲A，乙B，丙C；③甲A，乙C，丙B， ∴最有可能取得礼物B的是丙， 故选：C． 【训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． (1)有多少种购票方案？列举所有可能结果； (2)如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 【答案】(1)有6种购票方案 (2) 【思路引导】此题考查了列举法求概率和概率公式． （1）某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张，再结合票价写出所有方案即可； （2）根据概率公式进行解答即可． 【规范解答】（1）解：有6种购票方案，方案如下． 指定日普通票张数 平日优惠票张数 一 1 11 二 2 9 三 3 7 四 4 5 五 5 3 六 6 1 （2）由（1）知，共有6种购票方案，且选到每种方案的可能性相等，而恰好选到11张门票的方案只有1种，因此恰好选到11张门票的概率是． 【训练2】（2023九年级上·江苏·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有 种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是 同学．    【答案】 10 丙 【思路引导】本题考查了列举法求概率，概率公式的应用； 根据每人只能从其中一串的最下端取一件礼品得出所有取礼物的顺序，然后利用概率公式求解即可． 【规范解答】解：甲、乙、丙、丁、戊取礼物的顺序为： ①A、B、C、D、E； ②A、C、D、E、B； ③A、C、D、B、E； ④A、C、B、D、E； ⑤C、D、E、A、B； ⑥C、D、A、B、E； ⑦C、D、A、E、B； ⑧C、A、B、D、E； ⑨C、A、D、B、E； ⑩C、A、D、E、B． 则共有10种， 所以取得礼物D的概率分别为：，，， 所以取得礼物D可能性最大的是丙同学． 故答案为：10，丙． 重点难点考点讲练06:列举法求概率 【例题精讲】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．每位同学可以在“A．篮球韵律操”“B．银饰雕刻”“C．酿酒”“D．摄影”四门实践课程中选择一门．学校制作了如图所示的转盘、转盘被分成了四等份，学生转动转盘一次，指针指到的课程即为自己参加的实践课程（当指针指到分界线上时，则重新转动转盘）． (1)若小明是该校的一名学生，他参加“C．酿酒”实践课程的概率是______； (2)同校的小亮是小明的好朋友，他们想参加相同的实践课程，请用列表或画树状图的方法．求小明和小亮参加实践课程相同的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提，理解概率的定义是解决问题的关键． （1）根据简单概率公式解答即可； （2）用列表法表示小明、小亮所有选择可能出现的结果，再根据概率公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：参加“酿酒”实践课程的概率是， 故答案为：随机，； （2）解：设“篮球韵律操”“银饰雕刻”“酿酒”“摄影”四门实践课程分别用A、B、C、D表示，用列表法表示小明、小亮所有等可能出现的结果如下： A B C D A B C D 共有16种等可能出现的结果，其中，小明和小亮参加实践课程相同的的情况有4种， 所以小明、小亮同时参加“篮球韵律操”实践课程的概率为． 【训练1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）某校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分为四类（A．特别好，B．好，C．一般，D．较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查采取了________方式（普通或抽查），王老师一共调查了________名学生； (2)扇形统计图中A类的圆心角度是________________°； (3)假定全校各班实施新课程改革效果一样，全校共有学生2400人，请估计该校新课程改革效果达到A类的有多少学生； (4)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)抽查；20人 (2)54 (3)360名 (4) 【思路引导】本题主要考查了列表求概率、条形统计图与扇形统计图等知识点，从条形统计图与扇形统计图中正确获取信息是解答本题的关键． （1）先确定调查方式，由题意可得：王老师一共调查学生：（名）； （2）扇形统计图中A类的圆心角度是用A类所占的百分比乘以即可得出； （3）全校总学生人数乘以A所占的百分比； （4）据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案． 【规范解答】（1）解：本次调查采取了抽查方式， 王老师一共调查了：名学生． （2）解：A类学生所占百分比为：， 则扇形统计图中A类的圆心角度是． （3）解： (名) 答：估计该校新课程改革效果达到A类学生有360人． （4）解：D类男生：（名）， 列表如下：A类中的两名男生分别记为和， 男 男 女A 男D 男男D 男男D 女A男D 女D 男女D 男女D 女A女D 共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为． 【训练2】（2025·陕西·模拟预测）暑假期间，某班计划一起去外省研学，该班同学经过讨论最终决定在成都、太原、武汉、重庆四个城市中选择，由于时间安排，只能去其中一个城市，到底去哪个城市同学们意见不统一．于是带队老师建议，用大家学过的抽卡片游戏来决定．规则为：准备4张除正面分别写有成都、太原、武汉、重庆，其余都相同的不透明卡片，背面朝上洗匀后，班长从中随机抽取一张，记下卡片正面写的城市后放回，记作随机抽卡片1次． (1)班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是_____； (2)若时间调整可以去其中两个城市研学，班长随机抽卡片2次，请利用画树状图或列表法求2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了频率的含义，画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由频率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中符合条件的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是； （2）解：成都、太原、武汉、重庆四个城市分别用A、B、C、D表示， 画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，班长抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的情况有2种， ∴2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率为． 重点难点考点讲练07:列表法或树状图法求概率 【例题精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）某商场促销，设有两种抽奖方式： 方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，若“6”朝上则获奖； 方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，这12个数字，转动转盘，当转盘停止后，若指针指向的数字为3的倍数则获奖． 请通过计算说明选择何种抽奖方式的获奖机会更大？ 【答案】方式二 【思路引导】本题考查了概率公式，分别计算两种方式获奖的概率，然后通过比较概率的大小进行判断，熟练利用概率公式求概率是解题的关键． 【规范解答】解：方式一：． 方式二：3的倍数有，． 因为， 所以，选择方式二抽奖方式的获奖机会更大． 【训练1】（24-25九年级下·河北秦皇岛·开学考试）下列说法中，错误的是（   ） A．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 B．在做抛硬币试验时，随着抛掷次数的增加，正面向上的频率将稳定在附近 C．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为，已知袋中的红球有15个，则袋中共有75个球 D．在一次考试中，嘉嘉遇到两道单项选择题不会做，于是从A、B、C、D四个选项中随机地选择答案，则嘉嘉恰好答对这两道题的概率是 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了利用频率估计概率、三角形的内角和定理、随机事件及列表法与树状图法等知识，利用事件性质的判断、利用频率估计概率、概率的求法等知识分别判断后即可确定正确的选项．解题的关键是了解概率的相关知识，难度不大． 【规范解答】解：A、“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，正确，不符合题意； B、在做抛硬币试验时，随着抛掷次数的增加，正面向上的频率将稳定在附近，正确，不符合题意； C、从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为，已知袋中的红球有15个，则袋中共有75个球，正确，符合题意； D、在一次考试中，嘉嘉遇到两道单项选择题不会做，于是从A、B、C、D四个选项中随机地选择答案，则嘉嘉恰好答对这两道题的概率是，故原命题错误，符合题意． 故选：D． 【训练2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）2024年11月30日22时48分，长征十二号运载火箭在文昌市东郊镇的海南商业航天发射场成功进行了首次发射．此次发射不仅拓宽了我国新一代运载火箭的型谱，还探索了商业航天组织、试验、发射的新模式，对于促进我国商业航天产业的发展具有重要意义．同时，这也意味着海南商业航天发射场将为我国民、商大规模低轨星座组网任务等空间基础设施工程建设提供强有力的发射保障．海南商业航天发射场的成功建立和使用，填补了我国没有商业航天发射场的空白，完成了商业航天全产业链闭环，提升了我国航天发射能力．为此，某校举行了一次航天科普知识竞赛（百分制），为了更好地了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了m名学生的成绩x（单位：分）作为样本进行整理，并将结果绘制成如下不完整的统计图． A： B： C： D： E： 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)若想了解某班航天科普知识竞赛的情况，更适合采用 （填写“普查”或“抽样调查”）； (2) ，在扇形统计图中，D部分所对应扇形的圆心角度数为 ； (3)若从该样本中随机抽取一名学生航天科普知识竞赛的成绩，其恰好在“”范围的概率是 ； (4)若成绩在“”为“优秀”，则该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有 人． 【答案】(1)普查； (2)200；108； (3)； (4)1880 【思路引导】（1）根据抽样调查和普查的特点即可解答； （2）用C的人数除以其所占的百分比即可求得m的值，再求得D人数，用乘以D所占的百分比即可解答； （3）求得所占频率，再运用频率估计概率即可解答； （4）用这次比赛的4700名学生数乘以所占的百分比即可解答． 【规范解答】（1）解：由于了解某班航天科普知识竞赛的情况，学生数不多且要求精确，因此调查方式更适合采用普查． 故答案为：普查． （2）解：， D人数为：， D部分所对应扇形的圆心角度数为． 故答案为：200，． （3）解：恰好在“”范围的概率是． 故答案为：． （4）解：该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有：人． 答：该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有：人． 【考点评析】本题主要考查了调查方式的选择、求样本容量、扇形统计图的度数、概率公式、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 重点难点考点讲练08:根据概率作判断 【例题精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）已知以下四个事件：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上；事件B：在1小时内步行80千米；事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数． (1)随机事件有______，必然事件有______； (2)请你把相应事件发生的概率用对应的字母A，B，C，D表示在数轴的对应点上． 【答案】(1)A、C；D (2)见解析 【思路引导】本题考查事件的分类及可能性，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可；必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．它发生的可能性是1；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．它发生的可能性是0；不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．它发生的可能性是大于0，而小于1． （2）根据事件的类型确定可能性的大小即可． 【规范解答】（1）解：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上，属于随机事件； 事件B：在1小时内步行80千米，属于不可能事件； 事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球，属于随机事件； 事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数，属于必然事件， ∴随机事件有A、C，必然事件有D． 故答案为：A、C （2）解：A发生的可能性为，B发生的可能性为0，C发生的可能性为0.3，D发生的可能性为1． 在数轴的对应点位置如下： 【训练1】（22-23七年级下·山东济南·期末）小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．    (1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________． (2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择打开区域A中的小方格，理由见解析 【思路引导】（1）根据宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，列式计算概率即可； （2）根据方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，计算打开区域中的小方格获奖的概率；根据区域中有两个放置了奖品，计算出区域外的小方格放置了个奖品，再计算出区域外的小方格的总数，即可计算打开区域外的小方格获奖的概率．比较二者概率大小，选择概率大的即可． 【规范解答】（1），方格中随机放置着个奖品， ， 故答案为： （2）（打开区域中的小方格）， （打开区域外的小方格）， ， ∴打开区域中的小方格获得奖品的概率更大，故选择打开区域中的小方格． 【考点评析】本题考查了概率的计算、判断概率大小作选择，理解掌握概率的计算是解题的关键． 【训练2】（22-23九年级上·广东茂名·期中）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是 ． 【答案】红球或黄球/黄球或红球 【思路引导】用原来袋中白球的数量比上袋中小球的总数量即可算出原来从袋中随便摸出一个小球是白球的概率，将该概率与放球后抽到白色小球的概率进行比较即可得出答案． 【规范解答】∵， ∴原来白颜色的球被抽到的可能性是 ； ∵＞ ， ∴添加的球是红球或黄球． 故答案为：红球或黄球． 【考点评析】本题考查了根据概率公式求概率，理解题意是解题的关键． 重点难点考点讲练09:已知概率求数量 【例题精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)求任意摸出1个球是白球的概率； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)可以在盒子中放入6个黑球 【思路引导】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 【规范解答】（1）由题意，得球的总个数为． 故盒子中黑球的个数为； （2）P（任意摸出1个球是白球）； （3）能． 因为任意摸出1个球是白球的概率是， 所以， 所以可以在盒子中放入6个黑球． 【训练1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则盒子中大约有红球（   ） A．16个 B．14个 C．12个 D．8个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球的概率是0.4，据此利用概率计算公式建立方程求解即可． 【规范解答】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴盒子中大约有红球（个）， 故选：C． 【训练2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）国庆期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除颜色外都相同，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，其中黄球个数比白球多3个，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． (1)袋中红球有___________个，从袋中摸出一个球是白球的概率为___________． (2)小明前两次摸走2个球后未中奖，求小明第三次摸球中二等奖的概率； (3)若“五一”期间有1000人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少？ 【答案】(1)3； (2) (3)200人 【思路引导】本题考查简单概率计算，根据概率求个数，估算人数等． （1）总个数乘以摸出一个球是红球的概率即可得出答案；设白球有x个，则黄球有 个，根据白球与黄球的个数之和列出关于x的方程，求出x的值，再根据概率公式求解即可； （2）取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化，据此根据概率公式求解即可； （3）用球的总个数乘以白球的概率即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵从袋中摸出一个球是红球的概率是，一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个， ∴红球个数：（个）， 设白球有x个，则黄球有 个， ∴，解得：， ∴从袋中摸出一个球是白球的概率：， 故答案为：3；； （2）解：∵取走2个球后，还剩8个球，其中红球的个数没有变化， ∴从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是：； （3）解：（人）， 答：中一等奖的有200人． 重点难点考点讲练10:游戏的公平性 【例题精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球． (1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？ (2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？ (3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1)这个游戏对双方公平 (2)这个游戏的公平性和摸出球后放回时的一样 (3)这个游戏对双方是公平的，理由见解析 【思路引导】此题目是关于游戏公平性的问题，解题的关键是熟练掌握每种情况下的概率． （1）因为口袋里有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同，每次摸出一个球后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平； （2）由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的； （3）因为口袋里有5个白球和5个黑球，它们除颜色外其他完全相同，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的． 【规范解答】（1）解：由于是摸出后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平； （2）解：由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，则他们获胜的概率和放回时一样都是，对双方公平； （3）解：游戏对双方公平，因为袋子中白球和黑球各有5个，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的． 【训练1】（2025·陕西西安·一模）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 (1)计算“5点朝上”的频率___________； (2)小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是___________； (3)小颖和小红各投掷一枚骰子，若两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数，则小颖获胜，若两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数，则小红获胜，请问游戏对双方公平吗？ 【答案】(1)； (2)； (3)不公平 【思路引导】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由他们共做了60次实验，5点朝上的有20次，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）由他们共做了60次实验，4点朝上的有8次，能求出概率，则在投掷第61次骰子时，概率是一样的； （3）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数和5的倍数的情况，再利用概率公式求出各自获胜的概率，进而可求得答案． 【规范解答】（1）解：“5点朝上”的频率为：； 故答案为：； （2）解：4点朝上的概率是， 小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是， 故答案为：； （3）列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴一共有36种情况，两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的有9种情况，两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数的有7种情况， ∴小颖获胜的概率为：，小红获胜的概率为：， ∵， ∴游戏对双方不公平． 【训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解题的关键． 直接根据概率公式解答即可． 【规范解答】解：∵共有9个小正方形，黑色的有3块， ∴击中黑色小正方形的概率． 故选：B． 重点难点考点讲练11:几何概率 【例题精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，正六边形飞镖游戏板，对角线，相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次)，现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是 ．    【答案】 【思路引导】本题考查几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【规范解答】解：如图，连接， 根据正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，    ∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为． 故答案为：． 【训练1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了简单概率的计算，熟知概率公式是解题关键．根据题意得到圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，根据概率公式即可求解． 【规范解答】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份， ∴指针落在灰色区域的概率为． 故选：C． 【训练2】（24-25七年级下·全国·期中）如图为一正方形草坪，四边形为正方形， ，，若小鸟落在正方形草坪内的任一位置的可能性相同，则落在阴影部分中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查几何概率，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； 根据题意，求得正方形的面积，再求得阴影部分面积，进而求解； 【规范解答】解：阴影部分面积为：， 正方形面积为：， 落在阴影部分中的概率为； 故选：C 1．（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【规范解答】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 2．（2024·北京·模拟预测）中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【思路引导】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【规范解答】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）“五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人． 【答案】1600 【思路引导】本题主要考查了概率的基本计算，由图中转盘可知，获得一等奖的概率为，获得二等奖的概率为，即获得一、二等奖的概率为，当天共发放奖品600份，让600除以获奖的概率即可解答． 【规范解答】解：P（获一等奖）， P（获二等奖）， 则当天参与此项活动的顾客为（人）． 故答案为：1600 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）“赵爽弦图"巧妙地利用图形的面积天系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了几何概率，由题意得中间小正方形的边长为，得出面积为，然后除以大正方形面积即可，正确掌握概率公式是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∴面积为：， ∴飞镖落在阴影小正方形内的概率是， 故答案为：． 5．（2015·河北石家庄·一模）如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“  ”的概率是    ，在一定时间段内，， 之间电流能够正常通过的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了并联电路的知识和等可能事件的概率，概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意，这是一个并联电路，只要一个电子元件能够正常通过电流，则， 之间电流就能够正常通过，用树状图法或列表法都比较简单． 【规范解答】解：两个电子元件分别记为元件和元件，可用下表列举出所有可能情况． 元件1元件2      通电 断电 通电 （通电，通电） （断电，通电） 断电 （通电，断电） （断电，断电） 由表可得，共有种情况，并且它们出现的可能性相等． ∵这是一个并联电路，只要一个电子元件能够正常通过电流，则， 之间电流就能够正常通过， ∴， 之间电流能够正常通过的情况有种，即（通电，断电）、（通电，通电）、（断电、通电）． ∴， 之间电流能够正常通过的概率为． 故答案为： ． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）跨学科  《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生中掀起了古诗词的热潮，现有以下四句古诗词：①故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州；②孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流；③好雨知时节，当春乃发生；④欲穷千里目，更上一层楼，甲从中随机选取了一句，乙再从剩余三句中随机选取一句，则他们选取的诗句恰好出自同一首诗的概率为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了树状图法求概率．根据题意画出树状图，可知共有12种等可能的结果，只有①②出自同一首诗，利用概率公式即可求出答案． 【规范解答】解：画树状图：    由树状图可知共有12种等可能的结果，只有①②出自同一首诗， ∴甲、乙选取的诗句恰好出自同一首诗的概率为. 故答案为： 7．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如图①，将两个相同的正方形重叠摆放．若在图形中随机取点（不包括边线），则点取在阴影部分的概率是__________； （2）如图②，将三个相同的正方形重叠摆放．若在图形中随机取点（不包括边线），则点取在阴影部分的概率是__________； （3）若按照图①、图②的规律排下去，第5个图形中，点取在阴影部分的概率是多少？第n个图形中，点取在阴影部分的概率是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查了图形变化规律、简单概率计算等知识，确定图形变化规律，熟练掌握简单概率计算公式是解题关键． （1）首先确定图形中阴影部分的面积占总面积的比，再根据简单概率计算公式，即可获得答案； （2）首先确定图形中阴影部分的面积占总面积的比，再根据简单概率计算公式，即可获得答案； （3）按照图①、②的变化规律，即可获得答案． 【规范解答】解：（1）∵图形中阴影部分的面积占总面积的比是， ∴点取在阴影部分的概率是； （2）∵图形中阴影部分的面积占总面积的比是， ∴点取在阴影部分的概率是； （3）按照题图①、题图②的规律排下去， 第5个图形中，点取在阴影部分的概率是， 第个图形中，点取在阴影部分的概率是． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）五一劳动节假期期间，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司购买了前往A，B，C，D四地的车票，数量分别是20张、40张、30张、10张． (1)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取1张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），则员工小胡抽到去A地的概率是多少？ (2)若有1张车票，小王、小李都想要，于是决定采取抛掷一枚质地均匀且各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定车票给谁．具体规则：若抛掷后面朝上的数字是偶数，则车票给小王；若是奇数，则车票给小李．这个规则对双方是否公平？请简要说明理由． 【答案】(1) (2)公平，见解析 【思路引导】此题考查概率的计算公式，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键： （1）根据概率的计算公式计算可得答案； （2）分别计算抛掷后面朝上的数字是偶数及奇数的概率，即可判断． 【规范解答】（1）解：小胡抽到去A地的概率是． （2）公平．理由如下： 因为抛掷后面朝上的数字是偶数的概率是， 是奇数的概率是，概率相同， 所以这个规则对双方公平． 9．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． (1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； (2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，理由见解析，游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢．（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表列出所有等可能结果，根据概率公式解答即可； （2）由积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况，即可判断． 【规范解答】（1）列表如下： 小真小帅 1 2 3 4 1 2 3 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中积为6的有2种，为，，∴P（积为6）； （2）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），，所以不公平 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 注：这道题列这种表不扣分 小真 小帅 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同， 其中积为6的有2种，为，， ∴P（积为6）； （3）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），， 所以不公平． 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 10．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)游戏不公平，理由见解析 【思路引导】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出明明、红红获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【规范解答】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是， “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “附”的笔画数是7， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是12， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个， ∴指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是， 故答案为：，； （2）解：游戏不公平，理由如下： 8个汉字中笔画多于7画的有：“是”、“骄”、“傲”， 8个汉字中笔画不多于7画的有：“我”、“附”、中、人、“我”， 所以明明获胜的概率为， 红红获胜的概率为， ∴明明获胜的概率红红获胜的概率， 所以游戏不公平． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第3章 概率初步 （知识梳理+易错点拨+11个重难点考点讲练+压轴题专练 共43题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：确定事件与不确定事件 2 知识点梳理02：频率与概率 2 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：事件类型混淆 3 易错知识点02：概率计算中的典型错误 4 易错知识点03：频率与概率的关系混淆 4 易错知识点04：几何概率的细节疏漏 4 易错知识点05：逻辑推理与表述错误 5 重点难点 考点讲练 5 重点难点考点讲练01:事件的分类 5 重点难点考点讲练02:判断事件发生的可能性大小 6 重点难点考点讲练03:概率意义的理解 7 重点难点考点讲练04:用频率估计概率 8 重点难点考点讲练05:列举随机试验的所有可能结果 9 重点难点考点讲练06:列举法求概率 10 重点难点考点讲练07:列表法或树状图法求概率 12 重点难点考点讲练08:根据概率作判断 14 重点难点考点讲练09:已知概率求数量 15 重点难点考点讲练10:游戏的公平性 16 重点难点考点讲练11:几何概率 17 压轴专练 拔尖冲刺 18 知识点梳理01：确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点剖析】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点梳理02：频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点剖析】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 易错知识点01：事件类型混淆 1. 必然事件、不可能事件与随机事件判断错误 必然事件：如“三角形内角和为180°”是必然事件，但学生可能将某些随机现象误认为必然事件（如“明天下雨”） 不可能事件：如“掷骰子点数为7”是不可能事件，但可能将低概率事件（如“买彩票中奖”）误认为不可能事件 随机事件：需明确“可能发生也可能不发生”的本质，例如“抛硬币正面朝上”是随机事件，但可能误认为“概率50%即必然交替出现” 2. 概率值的意义误解 必然事件概率为1，不可能事件为0，但学生可能认为“概率1=一定发生”仅适用于数学理论，忽略实际中的不确定性（如“太阳东升西落”是必然事件，但理论模型外的极端情况未考虑） 随机事件概率范围是0<P(A)<1，但可能误将概率值赋为负数或超过1（如计算错误导致P(A)=1.2 易错知识点02：概率计算中的典型错误 1. 等可能性假设不成立 例如，抛一枚不均匀硬币，学生仍按“正反面概率各50%”计算，忽略“等可能性”前提 实际应用题：如“从放有3红球2白球的袋中摸球”，若未说明摸球后是否放回，学生可能混淆“放回”与“不放回”的概率差异 2. 列举法遗漏或重复结果 树状图或列表不完整：例如，同时抛两枚硬币，可能漏掉“正反”或“反正”的组合，导致结果从4种误算为3种。 非等可能结果的错误归类：如“掷两枚骰子点数之和为7”有6种组合，但可能误认为所有和值出现概率相同。 易错知识点03：频率与概率的关系混淆 1. 用频率估计概率的条件忽略 概率需要通过“大量重复试验”中频率的稳定性来估计，但学生可能用少量试验结果直接代替概率（如抛硬币5次全正面，误认为P(正面)=1。 误解频率的波动性：例如，某事件在100次试验中发生30次，学生可能直接写P(A)=0.3，而忽略“估计”一词的严谨性。 2. 实际应用中的逻辑错误 如题目给出“树苗成活率约为0.9”，学生可能认为“移植1000棵必成活900棵”，未理解概率的预测性质（实际可能略多或略少）。 混淆概率与统计结果：如“明天下雨概率30%”表示可能性小，但可能误认为“30%的时间下雨”或“30%的区域下雨”。 易错知识点04：几何概率的细节疏漏 1. 几何图形中的比例计算错误 例如，在转盘游戏中，红色区域占圆心角120°，则概率应为120/360=1/3，但可能误算为面积比例时未考虑半径一致的条件。 不规则图形问题：如“随机撒豆子估算不规则区域面积”，可能未正确计算总区域与目标区域的比例 2. 单位统一与边界条件忽略 如“在长为10cm的线段上任取一点”，学生可能未将长度单位统一或误认为端点概率为0（实际几何概率中单点概率为0，但需明确区间） 易错知识点05：逻辑推理与表述错误 1. 概率命题的逆命题误用 例如，“若两事件概率相同，则它们为等可能事件”是错误推理（如抛硬币正面与掷骰子6点的概率均为1/2，但事件性质不同） 必要条件和充分条件混淆：如“同位角相等则两直线平行”是判定定理，但学生可能在未验证同位角是否相等时直接应用。 2. 解题步骤跳跃导致漏分 例如，计算概率时直接写结果 P=2/5，未列出所有可能结果及事件包含的结果数。 未明确公式前提：如使用P(A)=m/nP(A)=m/nP(A)=m/n时未说明“试验结果等可能”。 重点难点考点讲练01:事件的分类 【例题精讲】（22-23七年级下·江西抚州·期末）学校举办了一次党的二十大知识竞赛，为奖励“竞赛小达人”，学校购买了30盒黑色水笔作为奖品．结果发现有若干盒黑色水笔中每盒混入了1支蓝色水笔，有若干盒黑色水笔中每盒混入了2支蓝色水笔．具体数据见下表： 混入蓝色水笔支数 0 1 2 盒数 18 x y (1)y与x的数量关系可表示为：______； (2)从30盒水笔中任意选取1盒， ①“盒中没有混入蓝色水笔”是______事件（填“必然”，“不可能”或“随机”）； ②若“盒中混入1支蓝色水笔”的概率为，求y的值． 【训练1】（21-22七年级下·山东威海·期中）袋子里有2个红球，8个白球，每个球除颜色外都相同． (1)如果第一次摸出一个球不放回，第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，那么“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球”这个事件是什么事件？ (2)如果第一次摸出一个球不放回，再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率． 【训练2】（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色 B．从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同 C．从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球 D．从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球 重点难点考点讲练02:判断事件发生的可能性大小 【例题精讲】（21-22七年级下·山东烟台·期中）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部小悦、小惠、小艳和小倩中通过抽签的方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． (1)该班男生“小刚被抽中”是______事件； (2)“小悦被抽中”是______事件； (3)第一次抽取卡片，“小悦被抽中”的概率为______． 【训练1】（20-21九年级上·江苏·期末）下列试验中，①抛掷一枚质地均匀的硬币，结果出现“正面朝上”与出现“反面朝上”；②在三张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签放在一个盒子中，搅匀后从中抽到“1号签”，“2号签”，3号签”，③一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出“红球”与“白球”，试验是结果具有等可能性的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【训练2】（11-12七年级下·江西九江·期中）某校准备召开一次学生代表会，七（1）班有5个参会名额，其中男生必须有m人，于是七（1）班班主任确定从9名（5男4女，其中班长吴英为女生）候选人员中选取，若“选到吴英”的可能性是大于0但小于1，则 重点难点考点讲练03:概率意义的理解 【例题精讲】（24-25七年级下·全国·期中）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为 ． 【训练1】（23-24八年级上·陕西榆林·开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止） 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)甲顾客购物元，他获得奖券的概率是___________； (2)乙顾客购物元，并参与该活动，他获得元和元奖券的概率分别是多少？ (3)为加大活动力度，现商场想调整获得元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ 【训练2】（20-21七年级下·山东烟台·期末）下列说法正确的是（    ） A．“明天的降水概率是80%”表示明天会有80%的时间在下雨 B．成语水中捞月”所描述的事件是确定事件 C．投掷一枚均匀的骰子600次，出现6点朝上的次数正好是100次 D．试验得到的频率与概率不可能相等 重点难点考点讲练04:用频率估计概率 【例题精讲】（21-22七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 ．(精确到0.1) 【训练1】（23-24七年级下·山东烟台·期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是_____________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【训练2】（2022·辽宁·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 ． 重点难点考点讲练05:列举随机试验的所有可能结果 【例题精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙三人参加某节目，幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物，其过程如下：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙、丙依次取得第二件、第三件礼物．最有可能取得礼物B的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． (1)有多少种购票方案？列举所有可能结果； (2)如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 【训练2】（2023九年级上·江苏·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有 种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是 同学．    重点难点考点讲练06:列举法求概率 【例题精讲】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．每位同学可以在“A．篮球韵律操”“B．银饰雕刻”“C．酿酒”“D．摄影”四门实践课程中选择一门．学校制作了如图所示的转盘、转盘被分成了四等份，学生转动转盘一次，指针指到的课程即为自己参加的实践课程（当指针指到分界线上时，则重新转动转盘）． (1)若小明是该校的一名学生，他参加“C．酿酒”实践课程的概率是______； (2)同校的小亮是小明的好朋友，他们想参加相同的实践课程，请用列表或画树状图的方法．求小明和小亮参加实践课程相同的概率． 【训练1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）某校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分为四类（A．特别好，B．好，C．一般，D．较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查采取了________方式（普通或抽查），王老师一共调查了________名学生； (2)扇形统计图中A类的圆心角度是________________°； (3)假定全校各班实施新课程改革效果一样，全校共有学生2400人，请估计该校新课程改革效果达到A类的有多少学生； (4)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【训练2】（2025·陕西·模拟预测）暑假期间，某班计划一起去外省研学，该班同学经过讨论最终决定在成都、太原、武汉、重庆四个城市中选择，由于时间安排，只能去其中一个城市，到底去哪个城市同学们意见不统一．于是带队老师建议，用大家学过的抽卡片游戏来决定．规则为：准备4张除正面分别写有成都、太原、武汉、重庆，其余都相同的不透明卡片，背面朝上洗匀后，班长从中随机抽取一张，记下卡片正面写的城市后放回，记作随机抽卡片1次． (1)班长随机抽卡片15次，其中抽到的卡片正面写的城市是“成都”有7次，则抽到“成都”的频率是_____； (2)若时间调整可以去其中两个城市研学，班长随机抽卡片2次，请利用画树状图或列表法求2次抽到的卡片正面分别写有“重庆”和“武汉”的概率． 重点难点考点讲练07:列表法或树状图法求概率 【例题精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）某商场促销，设有两种抽奖方式： 方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，若“6”朝上则获奖； 方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，这12个数字，转动转盘，当转盘停止后，若指针指向的数字为3的倍数则获奖． 请通过计算说明选择何种抽奖方式的获奖机会更大？ 【训练1】（24-25九年级下·河北秦皇岛·开学考试）下列说法中，错误的是（   ） A．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 B．在做抛硬币试验时，随着抛掷次数的增加，正面向上的频率将稳定在附近 C．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为，已知袋中的红球有15个，则袋中共有75个球 D．在一次考试中，嘉嘉遇到两道单项选择题不会做，于是从A、B、C、D四个选项中随机地选择答案，则嘉嘉恰好答对这两道题的概率是 【训练2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）2024年11月30日22时48分，长征十二号运载火箭在文昌市东郊镇的海南商业航天发射场成功进行了首次发射．此次发射不仅拓宽了我国新一代运载火箭的型谱，还探索了商业航天组织、试验、发射的新模式，对于促进我国商业航天产业的发展具有重要意义．同时，这也意味着海南商业航天发射场将为我国民、商大规模低轨星座组网任务等空间基础设施工程建设提供强有力的发射保障．海南商业航天发射场的成功建立和使用，填补了我国没有商业航天发射场的空白，完成了商业航天全产业链闭环，提升了我国航天发射能力．为此，某校举行了一次航天科普知识竞赛（百分制），为了更好地了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了m名学生的成绩x（单位：分）作为样本进行整理，并将结果绘制成如下不完整的统计图． A： B： C： D： E： 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)若想了解某班航天科普知识竞赛的情况，更适合采用 （填写“普查”或“抽样调查”）； (2) ，在扇形统计图中，D部分所对应扇形的圆心角度数为 ； (3)若从该样本中随机抽取一名学生航天科普知识竞赛的成绩，其恰好在“”范围的概率是 ； (4)若成绩在“”为“优秀”，则该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有 人． 重点难点考点讲练08:根据概率作判断 【例题精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）已知以下四个事件：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上；事件B：在1小时内步行80千米；事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数． (1)随机事件有______，必然事件有______； (2)请你把相应事件发生的概率用对应的字母A，B，C，D表示在数轴的对应点上． 【训练1】（22-23七年级下·山东济南·期末）小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．    (1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________． (2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由． 【训练2】（22-23九年级上·广东茂名·期中）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是 ． 重点难点考点讲练09:已知概率求数量 【例题精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)求任意摸出1个球是白球的概率； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 【训练1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则盒子中大约有红球（   ） A．16个 B．14个 C．12个 D．8个 【训练2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）国庆期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除颜色外都相同，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，其中黄球个数比白球多3个，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． (1)袋中红球有___________个，从袋中摸出一个球是白球的概率为___________． (2)小明前两次摸走2个球后未中奖，求小明第三次摸球中二等奖的概率； (3)若“五一”期间有1000人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少？ 重点难点考点讲练10:游戏的公平性 【例题精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球． (1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？ (2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？ (3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【训练1】（2025·陕西西安·一模）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 (1)计算“5点朝上”的频率___________； (2)小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是___________； (3)小颖和小红各投掷一枚骰子，若两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数，则小颖获胜，若两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数，则小红获胜，请问游戏对双方公平吗？ 【训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 重点难点考点讲练11:几何概率 【例题精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，正六边形飞镖游戏板，对角线，相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次)，现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是 ．    【训练1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）的概率是（   ） A． B． C． D． 【训练2】（24-25七年级下·全国·期中）如图为一正方形草坪，四边形为正方形， ，，若小鸟落在正方形草坪内的任一位置的可能性相同，则落在阴影部分中的概率为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·模拟预测）中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）“五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）“赵爽弦图"巧妙地利用图形的面积天系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，小轩用纸板制作了一个如图所示的“赵爽弦图”的靶盘，他向该靶盘随意投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），已知直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则飞镖落在阴影小正方形内的概率是 ． 5．（2015·河北石家庄·一模）如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“  ”的概率是    ，在一定时间段内，， 之间电流能够正常通过的概率为 ． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）跨学科  《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生中掀起了古诗词的热潮，现有以下四句古诗词：①故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州；②孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流；③好雨知时节，当春乃发生；④欲穷千里目，更上一层楼，甲从中随机选取了一句，乙再从剩余三句中随机选取一句，则他们选取的诗句恰好出自同一首诗的概率为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如图①，将两个相同的正方形重叠摆放．若在图形中随机取点（不包括边线），则点取在阴影部分的概率是__________； （2）如图②，将三个相同的正方形重叠摆放．若在图形中随机取点（不包括边线），则点取在阴影部分的概率是__________； （3）若按照图①、图②的规律排下去，第5个图形中，点取在阴影部分的概率是多少？第n个图形中，点取在阴影部分的概率是多少？ 8．（2025七年级下·全国·专题练习）五一劳动节假期期间，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司购买了前往A，B，C，D四地的车票，数量分别是20张、40张、30张、10张． (1)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取1张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），则员工小胡抽到去A地的概率是多少？ (2)若有1张车票，小王、小李都想要，于是决定采取抛掷一枚质地均匀且各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定车票给谁．具体规则：若抛掷后面朝上的数字是偶数，则车票给小王；若是奇数，则车票给小李．这个规则对双方是否公平？请简要说明理由． 9．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． (1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； (2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 10．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$