专题1-3 平方差公式【7大题型】- 【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练(北师大版)

1 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 专题 1- 3 平方差公式 知识点 平方差公式 方差公式:两个数的 与这两个数的差的积,等于这两个数的 方差. 　即 (a+ b) (a- b) = a2- b2 　 公式的几种变化： ① 置变化：(b+ a) (-b+ a) = (a+ b) (a- b) = a2- b2； (-a- b) (a- b) = (-b- a) (-b+ a) = (-b+ a) (-b- a) = (-b)2- a2= b2- a2 ②系数变化：(2a+ 3b) (2a- 3b) = (2a)2- (3b)2= 4a2- 9b2 ③指数变化：(a2+ b2) (a2- b2) = (a2)2- (b2)2=a4- b4 ④增项变化：(a- b- c) (a- b+ c) = (a- b)2- c2 ⑤连用公式变化：(a+ b) (a- b) (a2+ b2) = (a2- b2) (a2+ b2) = (a2)2- (b2)2=a4- b4 ⑥公式 运算：a2- b2 = (a+ b) (a- b) 核心考点一 平方差公式的认识 1 下 式，能用 方差公式计算的是 ( ) A. (2a+ b) (2b- a) B. (-a- 2b) (-a+ 2b) C. (2a- 3b) (-2a+ 3b) D. 13 a+1 - 1 3 a-1  1 下 式中，不能用 方差公式计算的是 ( ) A. 2x-y 2x+y  B. -x+y x-y  C. b-a  b+a  D. x-y -y-x  2 下 式中不能用 方差公式计算的是 ( ) A. 12 a+2b  1 2 a-2b  B. -2x+3y -3y-2x  C. -2x+y -2x-y  D. x-1 -x+1  核心考点二 运用平方差公式进行运算 1 用 方差公式计算 3a-2 -3a-2 的结果是 (    )． A. 4- 9a2 B. 9a2- 4 C. 9a2- 2 D. 9a2+ 4 2 如果用 方差公式计算 (x- y+ 5) (x+ y+ 5)， 可 原式变形为 ( ) A. [(x- y) + 5] [(x+ y) + 5] B. [(x+ 5) - y] [(x+ 5) + y] C. [(x- y) + 5] [(x- y) - 5] D. [x- (y+ 5)] [x+ (y+ 5)] 2 中考冲刺 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 衔接 寒假 1 计算： (1) 2a-3 2a+3 4a2+9 ； (2) 12 a+b  1 2 a-b  1 4 a 2+b2 ． 2 用 方差公式化简：3x-2y+z 3x+2y-z  核心考点三 利用平方差公式简便计算 1 计算：20242- 20232= ． 2 计算：1- 1 22 × 1- 1 32 ×⋯× 1- 1 102 = ． 1 计算： 2023 20232-2022×2024 = . 2 用简 方法计算： (1)498× 502 (2)20222- 2023× 2021 3 计算：1- 1 22 ⋅ 1- 1 32 ⋅ 1- 1 42 ⋅⋯⋅ 1- 1 20222 ． 核心考点四 平方差公式的变形及其逆运用 1 若 a2- b2=- 116 ，a+ b=- 1 4 ， a- b的值为 ． 2 (易错)如果 (2a+ 2b+ 1) (2a+ 2b- 1) = 63， 么 a+ b的值为 ． 3 已知 496- 1可以被 60 70之间的某两个整数整 ， 这两个数是 ( ) A. 61，63 B. 63，65 C. 65，67 D. 63，64 3 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 1 已知 x+ 2y= 13，x2- 4y2= 39， 多项式 x- 2y的值是 ． 2 (易错)若 x+a x-a = x2- 9， a= 3 若 x2- y2= 8，x2- z2= 5， (x+ y) (y+ z) (z+ x) (x- y) (y- z) (z- x) = ． 4 已知 248- 1可以被 60~70之间的两个整数整 ， 这两个数是 ( ) A. 64，63 B. 61，65 C. 61，67 D. 63，65 5 请 观察思考 ，比较下面两数 a、b的大 ，a= 20222023 ，b= 2023 2024 ，(不用 数化 数的方 法)． 核心考点五 构造平方差公式 (连续利用平方差公式计算) 1 读下面的计算过 ： (2+ 1) (22+ 1) (24+ 1) = (2- 1) (2+ 1) (22+ 1) (24+ 1) = (22- 1) (22+ 1) (24+ 1) = (24- 1) (24+ 1) = (28- 1)． 上式的计算方法，请计算 (1) 1+ 12  1+ 1 22  1+ 1 24  1+ 1 28 ⋯ 1+ 1 232 (2) (3+ 1) (32+ 1) (34+ 1)⋯ (332+ 1) - 364 2 ． 4 中考冲刺 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 衔接 寒假 2 化简计算：(3+ 1) × (32+ 1) × (34+ 1) ×⋯× (364+ 1)． 3 (3+ 2) × (32+ 22) × (34+ 24) × (38+ 28)计算结果等于 ( ) A. 1 B. 316- 216 C. 332+ 232 D. 332- 232 1 2(3+ 1) (32+ 1) (34+ 1) (38+ 1) (316+ 1) (332+ 1) - 364的值是 ． 2 计算：4+1 × 42+1 × 44+1 ×⋯× 432+1 + 13 的值为 ． 3 若A= (2+ 1) (22+ 1) (24+ 1) (28+ 1)⋯ (232+ 1) + 1， A的个 数字是 核心考点六 平方差公式与几何图形 1 实战与 ，如图 1，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的 正方形，把图 1中的 影部 拼 成一个长方形 (如图 2所示)． (1)上述 能验证的公式是 (请 择正 的一个)． A. a2+ ab= a a+b              B. a2- b2= a-b a+b          C. a2- 2ab+ b2= a-b 2 (2)请 用上面的公式完成下 题： ①已知 4a2- b2= 24，2a+ b= 6， 2a- b= ； ②计算：1002- 992+ 982- 972+ ......+42- 32+ 22- 12； ③计算：2n 2- 2n-1 2+ 2n-2 2- 2n-3 2+ ......+42- 32+ 22- 12 n≥1  5 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 2 图 1、图 2 由两个长方形拼成． (1)图 1中图形的面积为 a2- b2，图 2中图形的面积为 a-b × ． (用 有 a、b的代 数式表示) (2)由 (1)可以得 等式： ． (3) 得 的等式解决下 问题： ①计算：68.52- 31.52；②若m+ 4n= 2， m+1 2-m2+ 2n+1 2- 2n-1 2的值． 1 如图 1所示，边长为 a的正方形中有一个边长为 b的 正方形，图 2是由图 1中 影部 拼成的 一个长方形，设图 1中 影部 面积为S1，图 2中 影部 面积为S2． (1)请直 用 a b的代数式表示S1= ，S2= ；写出 用图形的面积关系所得 的公式： (用式子表达)． (2) 这个公式， 示了“计算：2+1 22+1 24+1 28+1 ”的解题过 ． 解：原式= 2-1 2+1 22+1 24+1 28+1  = 22-1 22+1 24+1 28+1  = 24-1 24+1 28+1  = 28-1 28+1  = 216- 1． 数学学习中，要学 观察， 试从不 角 析问题， 6 中考冲刺 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 衔接 寒假 请仿照 的解题过 计算：2 3+1 32+1 34+1 38+1 316+1 + 1． (3)对数学知识要 举一反三，请用 (1)中的公式证明任意两个相 奇数的 方差必是 8的倍数． 2 如图，边长为 a的大正方形中有一个边长为 b的 正方形． 如图 1，是 图 2 影部 裁 下来， 新拼成的一个长方形，面积是 ；如图 2， 影部 的 面积是 ；比较图 1，图 2 影部 的面积，可以得 乘法公式 ； 运用 所得 的公式，计算下 题： ① 103× 97； ② x+3y x-3y + 3y+x -x+3y  7 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 3 【实践 】(1)如图 1， 边长为 a的大正方形中 去一个边长为 b的 正方形 (a> b)，把图 1 中L形的纸片 图② 拼，改 成了一个大长方形如图③，用 a、b的式子表示图③中大长方 形的面积为 ；      (2)请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为： ； 【 用 】 (3) 用 (2)中验证的公式简 计算：499× 501+ 1； (4)计算：1- 1 22 × 1- 1 32 × 1- 1 42 ×⋯× 1- 1 20232 × 1- 1 20242 ． 核心考点七 平方差公式的整体代入求值问题 1 若 x- y=-2, x2- y2+ 4y= ． 2 已知 a+ b= 1， 多项式 a2- b2+ 2b+ 9的值为 ． 3 若 x- y- 7= 0， 代数式 x2- y2- 14y的值为 ． 1 若 x+ y= 1, x2- y2+ 2y= ． 8 中考冲刺 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 衔接 寒假 2 若 a- b= 12 ， a 2- b2- b的值为 ( ) A. 12 B. 1 4 C. 1 D. 2 3 已知 x- 2y+ 5= 0， x2- 4y2+ 20y- 1= ． 1 已知已知 a2= a+ 1，b2= b+ 1，且 a≠ b， 4a2- 4b2+ 8b值为 ． 课后巩固 1． 下 式子中：① (-x- y) (-x+ y)；② (-x+ y) (x- y)；③ (x+ y+ z) (x+ y- z)；④ x2+y2 y2-x2 ，能用 方差公式运算的是 . 2． 计算： (1) 5m-3n 5m+3n ； (2) -2a2+5b -2a2-5b ； (3) 14 x+y - 1 4 x+y ； (4) -3y-4x 3y-4x ． 3． 用简 方法计算下 题： (1)103× 97； (2)1022- 101× 103． 4． 计算： (1)100 14 × 99 3 4 ． (2)198× 202． (3) 2022 20222-2023×2021 ． 9 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 5． 若 x+a x-a = x2- 4， a= 6． 若 x+ y= 1, x2- y2- 2x=　　　　． 7． 已知 x+2 x-2 - 2x= 1， 2x2- 4x+ 3的值为 ． 8． 若A= (2+ 1) (22+ 1) (24+ 1) (216+ 1) (232+ 1)，则A的个 数字 　 　． 9． 阅读下列材料： 某 学在计算时 3(4+ 1) (42+ 1)，把 3写成 4- 1 ，发现可以连续运用 方差公式计算： 3(4+ 1) (42+ 1) = (4- 1) (4+ 1) (42+ 1) = (42- 1) (42+ 1) = 162+ 1． 请借鉴该 学的经验，计算下面式子的值：1+ 12  1+ 1 22  1+ 1 24  1+ 1 28 + 1 215 ． 10．如图 1所示，边长为 a的正方形中有一个边长为 b的 正方形，图 2是由图 1中 影部 拼成的一 个长方形，设图 1中 影部 面积为S1，图 2中 影部 面积为S2． 请直 用 a，b的代数式表示S1=__________，S2=__________； 写出 用图形的面积关系所揭示的公式：________________； 用这个公式说明 216- 1可以被 10 20之间的两个整数整 ， 这两个整数． 10 中考冲刺 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 衔接 寒假 11．从边长为a的正方形中 一个边长为 b的正方形 (如图 1)，然 部 拼成一个长方形 (如图 2)． 过表示 影部 面积，可得数学等式为___________． 已知x- 2y= 3，x+ 2y= 4， x2- 4y2的值为_________． 用 (1)得 的数学等式进行简 运算：102- 92+ 82- 72+ 62- 52+ 42- 32+ 22- 12． 【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题1-3 平方差公式 模块一 题型·解读 【题型1】平方差公式的认识 【题型2】运用平方差公式进行运算 【题型3】利用平方差公式简便计算 【题型4】平方差公式的变形及其逆运用 【题型5】构造平方差公式（连续利用平方差公式计算） 【题型6】平方差公式与几何图形 【题型7】平方差公式的整体代入求值问题 【课后巩固】 模块二 基础知识·梳理 知识点 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 　即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 模块三 核心题型·训练 【题型1】平方差公式的认识 【例题1】下列各式，能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； ．原式，符合平方差公式，故本选项符合题意； ．原式，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； ．原式只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； 故选：． 【巩固练习1】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行计算，符合题意； C、，能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，能用平方差公式进行计算，不符合题意 【巩固练习2】下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，可以使用平方差公式； B、，可以使用平方差公式； C、，可以使用平方差公式； D、，两项都不相同，可变形为完全平方公式，不能使用平方差公式． 【题型2】运用平方差公式进行运算 【例题1】利用平方差公式计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 【例题2】如果用平方差公式计算，则可将原式变形为　　 A． B． C． D． 【解答】解：． 故选：． 【巩固练习1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连续运用平方差公式求解即可； （2）连续运用平方差公式求解即可； 【详解】（1） ； （2） ． 【巩固练习2】用平方差公式化简： 【解答】（1）原式 【题型3】利用平方差公式简便计算 【例题1】计算：　　　． 【解答】解： 故答案为：4041． 【例题2】计算：　　　． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【巩固练习1】计算：____________. 【答案】2023. 【详解】解：∵ ∴= 【巩固练习2】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据，利用平方差公式计算即可得； （2）根据，利用平方差公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【巩固练习3】计算：． 【答案】 【详解】原式 ． 【题型4】平方差公式的变形及其逆运用 【例题1】若，，则的值为　　　． 【解答】解：因为， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 【例题2】（易错）如果，那么的值为　　　． 【解答】解：， ， ， ， 两边同时除以2得，． 【例题3】已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是　　 A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字： 故选：． 【巩固练习1】已知，，则多项式的值是 　　　． 【解答】解：，， ， ． 故答案为：3． 【巩固练习2】（易错）若，则a= 【答案】 【详解】解： 【巩固练习3】若，，则　 　． 【答案】120． 【解答】解：，， ，， ， 故答案为：120． 【巩固练习4】已知可以被在之间的两个整数整除，则这两个数是　　 A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65 【解答】解：原式 ， 则这两个数是63，65， 故选：． 【巩固练习5】请你观察思考后，比较下面两数、的大小，，，（不用将分数化小数的方法）． 【答案】． 【解答】解： ，． 【题型5】构造平方差公式（连续利用平方差公式计算） 【例题1】阅读下面的计算过程： ． 根据上式的计算方法，请计算 （1） （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【例题2】化简计算：． 【解答】解： ． 【例题3】计算结果等于　　 A．1 B． C． D． 【解答】解： ． 故选：． 【巩固练习1】的值是　　． 【解答】解：原式 ，故答案为： 【巩固练习2】计算：的值为________________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【巩固练习3】若，则的个位数字是 　　 【答案】6． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 的个位数字是6， 的个位数字是6， 故答案为：6． 【题型6】平方差公式与几何图形 【例题1】实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A．            B．        C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：； ③计算： 【答案】(1)B (2)①4；②5050；③ 【分析】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键． （1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论； （2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果． 【详解】（1）解：图一中的阴影部分面积为：， 图二中阴影部分面积为：， 而这两者面积相等，所以有：． 故选：B． （2）解：① ， 又， ． ② ， ， ， 原式． ③ ． 【例题2】图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示） (2)由（1）可以得到等式： ． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：． ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)① 3700； ② 5 【分析】本题考查平方差公式与几何面积． （1）利用长方形的面积公式作答即可； （2）根据两个图形的面积相等，即可得出等式； （3）①利用（2）中的等式进行计算即可；②先用平方差公式进行化简，再代值计算即可． 解题的关键是得到． 【详解】（1）解：图2中图形的面积为； 故答案为：； （2）由（1）可得：； 故答案为：； （3）① ； ②∵， ∴ ． 【巩固练习1】如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． 请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）． 依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程． 解：原式 ． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：． 对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【答案】(1)；； (2) 证明见详解 【详解】（1）解：根据题意，，， ∵， ∴， 故答案为：；；． （2）解： ， 故答案为：． （3）解：设一个奇数为，则另一个相邻的奇数为， ∴ ， ∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【巩固练习2】如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． 如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是___________；如图2，阴影部分的面积是_________；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式____________________； 运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ② 【答案】(1)，， (2)①；②； 【详解】（1）解：将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是； 如图2，阴影部分的面积是； 比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式； （2）①； ② ． 【巩固练习3】【实践操作】（1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；      （2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______； 【应用探究】 （3）利用（）中验证的公式简便计算：； （4）计算：． 【答案】（）；（）；（）； （）． 【分析】（）利用长方形的面积等于长乘以宽即可； （）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积，分别计算即可得出； （）观察（）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将拆成，将拆成即可； （）利用将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为，故答案为第一个因式乘以最后一个因式； 本题考查了“数形结合”中的平方差公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律． 【详解】（）， ， ， ， 故答案为：； （）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积， ∴， 故答案为：； （）原式， ， ； （）原式， ， ， ． 【题型7】平方差公式的整体代入求值问题 【例题1】若,则=　　　　． 【解答】解：原式 【例题2】已知，则多项式的值为________． 【答案】10 【详解】解：，， 原式， 故答案为：10． 【例题3】若，则代数式的值为 ． 【答案】49 【分析】先计算的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ = = = = =49． 故答案为：49． 【巩固练习1】若,则　　　　． 【解答】解：原式 【巩固练习2】若，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴=====． 故选B． 【巩固练习3】已知，则　 　． 【答案】24． 【解答】解：， ， 【拓展提升】已知已知，，且，则值为 _______． 【答案】4 【详解】解：①，②， ①②，得， ， ， 因为，所以，即 【课后巩固】 1． 下列式子中：①；②；③；④，能用平方差公式运算的是 . 【答案】①③④ 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，观察各个选项中式子的结构特征即可得到答案． 【详解】解：①原式； ③原式； ④； 不能用平方差公式运算 2． 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （4）原式利用平方差公式计算即可得到结果；． 【详解】（1）； （2） （3）； （4）． 3． 用简便方法计算下列各题： (1)103×97； (2)1022-101×103． 【答案】(1)9991；(2)1． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 4． 计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2)39996 (3)2022 【分析】（1）（2）（3）运用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 5． 若，则a= 【答案】 【详解】解： 若,则=　　　　． 【解答】解：原式 6． 已知，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平方差公式、代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．先利用平方差公式求出，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， 7． 若，则的个位数字是　 　． 【解答】解： ， ，，，， 个位上数字以2，4，8，6循环， ， 个位上数字为6， 则个位数字为5， 故答案为：5 8． 阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算： ． 9． 请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：． 【答案】2． 【解答】解：原式 ． 10． 如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． 请直接用含a，b的代数式表示__________，__________； 写出利用图形的面积关系所揭示的公式：________________； 利用这个公式说明可以被10和20之间的两个整数整除，求这两个整数． 【答案】(1)， (2) (3)15，17 【详解】（1）解：在图1中，阴影部分的面积是大正方形的面积-小正方形的面积，即， 图2中阴影部分是长方形其面积是． （2）图1中阴影部分的面积与图2中长方形面积相等，得到乘法公式， ∴因式分解公式为：． （3） ， 所以可以被10和20之间15和17两个数整除 11． 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． 通过表示阴影部分面积，可得数学等式为___________． 已知，，则的值为_________． 应用（1）得到的数学等式进行简便运算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：图①阴影部分面积为， ∵图②中的长方形的长为，宽为， ∴图②阴影部分面积为， 则数学等式为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ， 故答案为：； （3）解： ． 18 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题1-3 平方差公式 模块一 题型·解读 【题型1】平方差公式的认识 【题型2】运用平方差公式进行运算 【题型3】利用平方差公式简便计算 【题型4】平方差公式的变形及其逆运用 【题型5】构造平方差公式（连续利用平方差公式计算） 【题型6】平方差公式与几何图形 【题型7】平方差公式的整体代入求值问题 【课后巩固】 模块二 基础知识·梳理 知识点 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 　即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 模块三 核心题型·训练 【题型1】平方差公式的认识 【例题1】下列各式，能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【巩固练习1】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】运用平方差公式进行运算 【例题1】利用平方差公式计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【例题2】如果用平方差公式计算，则可将原式变形为　　 A． B． C． D． 【巩固练习1】计算： (1)； (2)． 【巩固练习2】用平方差公式化简： 【题型3】利用平方差公式简便计算 【例题1】计算：　　　． 【例题2】计算：　　　． 【巩固练习1】计算：____________. 【巩固练习2】用简便方法计算： (1) (2) 【巩固练习3】计算：． 【题型4】平方差公式的变形及其逆运用 【例题1】若，，则的值为　　　． 【例题2】（易错）如果，那么的值为　　　． 【例题3】已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是　　 A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【巩固练习1】已知，，则多项式的值是 　　　． 【巩固练习2】（易错）若，则a= 【巩固练习3】若，，则　 　． 【巩固练习4】已知可以被在之间的两个整数整除，则这两个数是　　 A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65 【巩固练习5】请你观察思考后，比较下面两数、的大小，，，（不用将分数化小数的方法）． 【题型5】构造平方差公式（连续利用平方差公式计算） 【例题1】阅读下面的计算过程： ． 根据上式的计算方法，请计算 （1） （2）． 【例题2】化简计算：． 【例题3】计算结果等于　　 A．1 B． C． D． 【巩固练习1】的值是　　． 【巩固练习2】计算：的值为________________． 【巩固练习3】若，则的个位数字是 　　 【题型6】平方差公式与几何图形 【例题1】实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A．            B．        C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：； ③计算： 【例题2】图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示） (2)由（1）可以得到等式： ． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：；②若，求的值． 【巩固练习1】如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）． （2）依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程． 解：原式 ． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题， 请仿照康康的解题过程计算：． （3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【巩固练习2】如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． 如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是___________；如图2，阴影部分的面积是_________；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式____________________； 运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ② 【巩固练习3】【实践操作】（1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；      （2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______； 【应用探究】 （3）利用（）中验证的公式简便计算：； （4）计算：． 【题型7】平方差公式的整体代入求值问题 【例题1】若,则=　　　　． 【例题2】已知，则多项式的值为________． 【例题3】若，则代数式的值为 ． 【巩固练习1】若,则　　　　． 【巩固练习2】若，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【巩固练习3】已知，则　 　． 【拓展提升】已知已知，，且，则值为 _______． 【课后巩固】 1． 下列式子中：①；②；③；④，能用平方差公式运算的是 . 2． 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3． 用简便方法计算下列各题： (1)103×97； (2)1022-101×103． 4． 计算： (1)． (2)． (3)． 5． 若，则a= 6． 若,则=　　　　． 7． 已知，则的值为 ． 8． 若，则的个位数字是　 　． 9． 阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算： ． 10． 请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：． 11． 如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． 请直接用含a，b的代数式表示__________，__________； 写出利用图形的面积关系所揭示的公式：________________； 利用这个公式说明可以被10和20之间的两个整数整除，求这两个整数． 12． 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． 通过表示阴影部分面积，可得数学等式为___________． 已知，，则的值为_________． 应用（1）得到的数学等式进行简便运算：． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$