第2讲、认识因数和倍数-2024-2025学年五年级数学寒假自习课（人教版）

2024-2025学年五年级数学寒假自习课（人教版） 第二单元：因数和倍数 第2讲、认识因数和倍数 （重难点讲解+知识总结+同步练习+答案解析） 知识点一：因数和倍数的概念 【例1】在12÷2＝6中，下列说法正确的是（    ）。 A．12是倍数 B．2是因数 C．6是12的因数 知识点二：找一个数的因数 【例2】63÷9＝（ ），我们就说63是（ ）和9的（ ），（ ）和9是63的（ ），除了（ ）和9外，63的因数还有（ ）。 【例3】幼儿园老师把48块糖平均分给一些小朋友，正好分完，小朋友的人数不可能是（    ）人。 A．24 B．18 C．12 D．48 知识点三：找一个数的倍数 【例4】40以内7的倍数有（    ）。 A．3个 B．5个 C．7个 【例5】妈妈买来16个凤梨，每2个装一盒，能正好装完吗？每5个装一盒，能正好装完吗？为什么？ 1、因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c）,那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【注意】为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 0）。 2、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 3、一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。4、表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 5、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 6、一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7、表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 一、选择题 1．一个非0自然数，它的最小倍数是a，这个数的最大因数是（    ）。 A．1 B．a C．2a D．无法确定 2．下面算式中，被除数是除数的倍数的是（    ）。 A． B． C． D． 3．一个数既是6的倍数，又是72的因数，这个数是（    ）。 A．144 B．48 C．36 D．3 4．已知都是大于0的自然数），那么下面各种说法，正确的是（    ）。 A．a是倍数 B．b是因数 C．c是因数 D．b，c都是a的因数 二、填空题 5．若a÷b＝c（a、b、c为非0自然数），则（ ）是（ ）倍数，（ ）是（ ）的因数。 6．6的因数有1、2、3、6，其中1＋2＋3＝6，所以我们把6叫做完全数，那么除6外30以内的完全数有（ ）。 7．（ ）既是19的因数，又是19的倍数。 8．同学们报名参加“冬奥会知识知多少”抢答赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有（ ）人报名参加。 9．15的因数有（ ）；在10~20的自然数中，3的倍数有（ ）。 10．在5×7＝35中，（ ）是7的倍数，（ ）和（ ）都是35的因数。 11．一个数是3的倍数，同时也是36的因数，这个数最大是（ ）。 三、判断题 12．一个数越大，它的因数的个数就越多。（ ） 13．16的因数有1、2、4、8、16。（ ） 14．因为10÷2＝5，所以2是因数10是倍数。（ ） 15．因为3×7＝21，所以3是因数，21是倍数。（ ） 16．39的因数一定比39的倍数小。（ ） 四、解答题 17．休业式上，王老师拿出40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，请问这个班里最多有几个五星级学生？ 18．一个数的最大因数和最小倍数的和是58，这个数是多少？ 19．有一堆苹果，无论是6个6个地数，还是10个10个地数，都剩下1个，这堆苹果至少有多少个？ 20．课间时，小芳和小丽玩编题游戏。小芳指着教室后面的图书角编了一道题：“五（1）班的图书角有85本书，平均每人可以分到4本，正好分完。问：五（1）班有多少人？”小芳编的这道题对吗？为什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级数学寒假自习课（人教版） 第二单元：因数和倍数 第2讲、认识因数和倍数 （重难点讲解+知识总结+同步练习+答案解析） 知识点一：因数和倍数的概念 【例1】在12÷2＝6中，下列说法正确的是（    ）。 A．12是倍数 B．2是因数 C．6是12的因数 【答案】C 【分析】因数和倍数是相对的概念，不能单说某个数是因数或是倍数，据此解题。 【详解】在12÷2＝6中，12是2和6的倍数，2和6是12的因数。所以，选项中说法正确的是C选项。 故答案为：C 知识点二：找一个数的因数 【例2】63÷9＝（ ），我们就说63是（ ）和9的（ ），（ ）和9是63的（ ），除了（ ）和9外，63的因数还有（ ）。 【答案】 7 7 倍数 7 因数 7 1、3、21、63 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；列除法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出以这个数为被除数的所有除法算式，除法算式中的除数和商就是这个数的因数。 【详解】 63÷9＝7，我们就说63是7和9的倍数，7和9是63的因数，除了7和9外，63的因数还有1、3、21、63。 【例3】幼儿园老师把48块糖平均分给一些小朋友，正好分完，小朋友的人数不可能是（    ）人。 A．24 B．18 C．12 D．48 【答案】B 【分析】幼儿园老师把48块糖平均分给一些小朋友，正好分完，小朋友的人数是48的因数，据此选择。 【详解】A．24是48的因数； B．18不是48的因数； C．12是48的因数； D．48是48的最大因数。 故答案为：B 知识点三：找一个数的倍数 【例4】40以内7的倍数有（    ）。 A．3个 B．5个 C．7个 【答案】B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。用7分别乘1、2、3……，找出40以内7的倍数即可。 【详解】40以内7的倍数有7，14，21，28，35，一共有5个。 40以内7的倍数有5个。 故答案为：B 【例5】妈妈买来16个凤梨，每2个装一盒，能正好装完吗？每5个装一盒，能正好装完吗？为什么？ 【分析】利用因数和倍数的概念，结合题意直接解题即可。 【详解】答：每2个装一盒，能正好装完，因为16是2的倍数；每5个装一盒，不能正好装完，因为16不是5的倍数。 1、因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c）,那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【注意】为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 0）。 2、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 3、一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。4、表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 5、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 6、一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7、表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 一、选择题 1．一个非0自然数，它的最小倍数是a，这个数的最大因数是（    ）。 A．1 B．a C．2a D．无法确定 【答案】B 【分析】一个数（0除外）的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，据此解答即可。 【详解】由分析可知：一个非0自热数，它的最小倍数是a，这个数的最大因数是a。 故答案为：B 2．下面算式中，被除数是除数的倍数的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答。 【详解】A．36÷0.6＝60，0.6不是自然数，不符合题意； B．1.5÷0.5＝3，1.5、0.5均不是自然数，不符合题意； C．30÷5＝6，符合题意； D．16÷5＝3……1，有余数，不是整除，不符合题意。 故答案为：C 3．一个数既是6的倍数，又是72的因数，这个数是（    ）。 A．144 B．48 C．36 D．3 【答案】C 【分析】先求出72的因数，然后再找出这些数里面6的倍数即可。 【详解】72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72； 这里面有6的倍数有：6、12、18、24、36、72。 故答案为：C 4．已知都是大于0的自然数），那么下面各种说法，正确的是（    ）。 A．a是倍数 B．b是因数 C．c是因数 D．b，c都是a的因数 【答案】D 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，因数和倍数是相互依存的，我们只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： b，c都是a的因数，a是b，c的倍数。 故答案为：D 二、填空题 5．若a÷b＝c（a、b、c为非0自然数），则（ ）是（ ）倍数，（ ）是（ ）的因数。 【答案】 a b b a 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。 【详解】若a÷b＝c（a、b、c为非0自然数），则a是b的倍数，a也是c的倍数；b是a的因数，c也是a的因数。 6．6的因数有1、2、3、6，其中1＋2＋3＝6，所以我们把6叫做完全数，那么除6外30以内的完全数有（ ）。 【答案】28 【分析】如果一个自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的数叫“完全数”；依照“完全数”的概念，找出除6外30以内的完全数的所有因数，并通过求和的方法来验证。 【详解】28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 7．（ ）既是19的因数，又是19的倍数。 【答案】19 【分析】一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。据此解答。 【详解】根据分析得，19既是19的因数，又是19的倍数。 8．同学们报名参加“冬奥会知识知多少”抢答赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有（ ）人报名参加。 【答案】36 【分析】先找出72的因数，4和9的倍数，再找出其中最小的相同数即可。 【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝7×9 所以，72的因数有1，2，3，4，7，9，18，24，36，72。 4和9的倍数有：36，72…… 所以，既是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有36人报名参加。 9．15的因数有（ ）；在10~20的自然数中，3的倍数有（ ）。 【答案】 1、3、5、15 3、6、9、12、15、18 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；从自然数1开始依次乘3，积是20以内的都是3的倍数。 【详解】15÷1＝15 15÷3＝5 则15的因数有：1、3、5、15； 3×1＝3 3×2＝6 3×3＝9 3×4＝12 3×5＝15 3×6＝18 则在10~20的自然数中，3的倍数有：3、6、9、12、15、18。 10．在5×7＝35中，（ ）是7的倍数，（ ）和（ ）都是35的因数。 【答案】 35 7 5 【分析】如果a÷b＝c（a，b，c是大于0的自然数），那么b，c就是a的因数，a就是b，c的倍数。根据因数、倍数意义解答即可。 【详解】由5×7＝35可知：35÷7＝5或35÷5＝7，根据因数、倍数的意义可知：在5×7＝35中，35是7的倍数，7和5都是35的因数（或5和7都是35的因数）。 11．一个数是3的倍数，同时也是36的因数，这个数最大是（ ）。 【答案】36 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出36的所有因数，再从36的因数中找出符合条件的3的倍数，据此解答。 【详解】36÷1＝36 36÷2＝18 36÷3＝12 36÷4＝9 36÷6＝6 所以，36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，36÷3＝12，其中是3的倍数且最大的数是36。 三、判断题 12．一个数越大，它的因数的个数就越多。（ ） 【答案】× 【分析】一个数的因数个数的多少与这个数的大小无关，可以举例说明。 【详解】8的因数：1，2，4，8；共有4个因数。 11的因数：1，11；共有2个因数。 所以，一个数越大，它的因数的个数不一定就越多。 原题说法错误。 故答案为：× 13．16的因数有1、2、4、8、16。（ ） 【答案】√ 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】16＝1×16＝2×8＝4×4 所以16的因数有1、2、4、8、16。 故答案为：√ 14．因为10÷2＝5，所以2是因数10是倍数。（ ） 【答案】× 【分析】如果a÷b＝c（a、b、c均为正整数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。因数和倍数是两个数之间的关系，不能单说一个数是因数或倍数。 【详解】因为10÷2＝5，所以2是10的因数，10是2的倍数。 故答案为：× 15．因为3×7＝21，所以3是因数，21是倍数。（ ） 【答案】× 【分析】因数和倍数是相互依存的，可按“谁是谁的因数”或“谁的因数是谁”来表述，由此解答即可。 【详解】因为3×7＝21，所以21是3和7的倍数，3是21的因数，7也是21的因数，原题说法错误。 故答案为：× 16．39的因数一定比39的倍数小。（ ） 【答案】× 【分析】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。所以39的因数可以是39，39的倍数也可以是39。据此判断即可。 【详解】39的最大因数是39，最小倍数是39，则39的最大因数等于最小倍数，原题说法错误。 故答案为：× 四、解答题 17．休业式上，王老师拿出40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，请问这个班里最多有几个五星级学生？ 【答案】8个 【分析】40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，也就是求40和56的最大公因数。 【详解】40＝2×2×2×5 56＝2×2×2×7 40和56的最大公因数是2×2×2＝8 答：这个班里最多有8个五星级学生。 18．一个数的最大因数和最小倍数的和是58，这个数是多少？ 【答案】29 【分析】由“一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身”可知，一个数的最大因数和最小倍数的和是58，也就是说这个和是它本身的2倍，用和除以2即可求出这个数。 【详解】58÷2＝29 答：这个数是29。 19．有一堆苹果，无论是6个6个地数，还是10个10个地数，都剩下1个，这堆苹果至少有多少个？ 【答案】31个 【分析】由题意知：把这一堆苹果，去掉1个，剩下的苹果数量即是6的倍数，也是10的倍数。至少有多少、就是求6和10的最小公倍数，求得最小公倍数，再加上1本题得解。 【详解】6＝2×3 10＝2×5 6和10的最小公倍数是： 2×3×5 ＝6×5 ＝30 30＋1＝31（个） 答：这堆苹果至少有31个。 20．课间时，小芳和小丽玩编题游戏。小芳指着教室后面的图书角编了一道题：“五（1）班的图书角有85本书，平均每人可以分到4本，正好分完。问：五（1）班有多少人？”小芳编的这道题对吗？为什么？ 【答案】不对；见详解 【分析】找出85的因数，判断4是否是85的因数，如果不是，就不能平均每人分到4本书正好分完。 【详解】85的因数是：1，5，17，85； 4不是85的因数，所以小芳的说法错误。 答：小芳编的这道题不对，因为4不是85的因数，所以不可能平均每人分到4本书正好分完。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$