河北省承德市部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

2025届河北承德高三12月联考 7已妇周锥的母线与能面所成角为60°，其内切球（球与测脏成面及侧餐约相切）的表面积为 数学试题 16,测该圆维的体积为 A.72x 品36r C.24x D.16m 1答整前，考生务必将自已的姓名、考场号、康位号在考旺号编写在答题卡上 &已知F,,F:是椭周与双周线的公其集点，P是它)的一个公其点，且1PF,>|PF,,线段 2同容透择题时，远出银小题签案后，用相笔把答题卡上对皮题目的答案标号徐果：如雷改动，用像皮 测干净后，再选徐其色答案标号，同答非透择题时，将答案写在答题卡土，写在木试叁上无效。 PF,的委直平分线经这点F,尼周的离心事为1，双圃战的离心率为，则之十，的取氧 王考试结束后，将本试卷和答思卡一并交回。 葱国是 考流时间为120分钟，满分150分 A,(6.+o) A(12,+o1 C,(6,7) D,{5,十o) 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题始出的四个进项中，只 二、远择题：本愿共3小通，每小6分，共18分。在每小露给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的。 符合题目要求。全部选对的得6分，即分选对的得部分分，有选错的得0分。 已知定义在R上的雨数f(x)滴是/（红十2）十了x)一0，庄y一f(2一x)为韩函数，瑞下列说 1已知装合A=《x|一2上10》.Bm(a1一mx场1+m,若出门《A1m②，则实数m的 法错促的是 取值范围为 A.函数f(c)的周期为2 B.函数了《x)的图象关于直线x一1对称 A.(-60,3] 且(-o,9] C,(-四，3U[9.+∞》1，[3,9] C函数f(x)为奇偏数 D函数fx)的图象关于点(3,0)对称 2已如复数：清足1+：：一2，则川x一 10.已知两数F(x)=:'一4红+nr存在最值点，则实数是约值可型是 A是 B醋 c A.0 弘一e C.e D.e 11.在平面直角坐标系O小中，到定点A(一a,0》,B(a,0)的雨离之视等于a(a0)的点的轨 3已知平面向量0=(1，-2》，b=(2:t-1D,且a∥(b-a),期x= 连为由线C.若P(工y,》是曲线C上一点，谢下列说法中正确的有 A,5 时 c n时 A.曲线C美于原点O成中心对程 4已妇点下是抛物线C:y一Rx的焦点，若抛物线C上的点A到F的距离为4：则点A共y轴 BF,的取值范别是[一2aW2a] 的里离为 C.曲线C上有且仅有一点P满足IPA1-IPB D由线C上新有的点P都在圆x十y一a的内都 A.2 且3 C.4 D.5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 -3gin-√7，期n2a一 12如展(1-3好)'-a,十g1z十ax++ax,那么1十a,十a,十a4十，等于 13若直线y-x一2与指规C:y=x和圆C:(x一a+(y+2)-0(细>0)布相切，期a的 A.-45 且4 0-g 3 值为 《某最区新开道了A,B,C怎个等玩项日，井意请了甲，乙，丙，丁4名志哥者体良瓣玩原日，每 已知双商线C后兰-1>，6>0的左：右瓶点分别为g,R以F,形，为直袋的与 名志围者均法择1个明日进行体验，每个项日至少有1名志墓者进行体酸，且丁不体验C项 目，侧不同的体验方法共有 双由线在第一，三象限的交点分璃为A,B,设∠AF,一，且。∈，若该双由线的新 126 A.12种 品18种 C,24种 D30种 莲线方程为y一土x,划：的取值范相是 第1美《共4页) 第2煎（共4置） 四、解答题：本燃共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步霹。 117分)已知箱降C后+若=1a>b>0)的高6率为空，且进东) 15.(13分)已知a,b,e分寒为△ABC三个内角A,B.C的对边，且万sin B+bcos A一a十， (1)求椭测C的方程 &=2,△ABC的面积k,3. (1)求角B: （2已知M侣小是稀国内一点：过点M任作一条直线与骑国交于A,5将点，求以M为中 (2)D为AC边上一点，衡足D元=2AD,求D的长， 点的蛋AB所在的直线方程 (3)设点D为所圆的右圆点，最否存在过点G4一1,0)的直线【交桶阳C于P,Q两点，使得 直线DP,DQ的料率之和等干一1？若存在，求出1的方程：若不存在，请议明理由. IM.(15分)如图，在四輕锥P一ABCD中，PD⊥平面ACD,在面ABCD为苹行四边形，E,F 分期为AB,PD的中点. (1)正明：EF平面PC: (2)若AD=2W2,PD=CD=4,∠ADB=90°，求平而EC与平面PBC夹角的正装算 19,17分)已知数列a,1.记集合T=5行，j)|Sij)=a十1+1十+u.165石.j←N”}, (1)若g.=题，当n=1,2,3,即167)3时，写出集合T (2)若山。一2m,是否存在∈N“,使得SiJ)一2048等若存在，求出一组等合条件的i: 若不非在，说明理由， (3)看4。=2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为，，b。一，若6 17.(15分)已知函数fx)=n(规r》,m>Q 4100,求国的最大值. (1)当m=1时，求证：f(xx-1: (2)当xe(0,十o),me(0.1门时，求证：fx)x-1”. 第3美（共4） 第4煎（共4置）2025届河北承德高三12月联考 数学参考答案及评分意见 1.A【解析】因为B∩(CA)=☑，所以B二A.因为B={x1-m≤x≤1十m},且满足B二A,A={x|一2≤x≤ m≥0， 10}.所以当B=⑦时满足B二A,此时1一m>1十m,解得m<0.当B≠⑦时，则有1一m≥-2，解得0≤m≤3. 1+m≤10. 综上，m≤3，即实数m的取值范围为（一∞，3].故选A. 2C【锅析曲1+--2得：-七1±20书1生所以=2一)8- 1-i(1-i)(1+i) 2 2故选C 3.B【解折b-a=(2x-1x十1.因为a∥b-a),所以x+1=-2(2x-1),解得r=号故选B 4A【解析】设A.因为点A到F的距离为4，则AF=。十专=十号=，十2=4，解得，=2，故 4 选A. 5A【解桥：2n-看3ana-7.2sna-os 2cosa=3sina-√7， ∴.2sina+3cosa=√7，∴.7 sin a+3 =√/7..sin(a十9)=1， 其中sing= 2 ,C059 ,∴a十9=2k+交k∈Z.a=2kπ十7一9,6∈Z .tan a=sin a23 2x23 cos 2a= 2tan a 3 -tan'a 一43，故选A. 1 2√3 3 6.C【解析】若甲、乙、丙3人体验的项目各不相同，则有CA=12种体验方法：若甲，乙、丙3人中有2人体验的 项目相同，则有CCA=12种体验方法，故不同的休验方法共有24种.故选C. 7.C【解析】作出圆锥及其内切球的轴截面如图所示，O为内切球的球心，F为圆锥底面圆的圆心，D,E为切点， 由已知条件可知∠ABF=60°.设内切球半径为r,由内切球的表面积为16x,得4xr=16π→r=2,即OD=OE= OF=2.而∠OAD=30°，在Rt△OAD中，AO= in30=4,所以AF=A0+OF=6.在R△ABF中，BF DO A0=25,所以圆维的体积V=号s动=·BF,AF=24红.故法C AF B 8.B【解析】设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,它们的公共焦距为2，不妨设焦点在x轴上，点P在 第一象限 数学答案第1页（共6页） :点F:在线段PF,的垂直平分线上，∴.|PF:|=FF:=2. 由椭圆、双曲线的定义得：|PF,|+|PF21=2a1,PF:|-PF:|=2a:,∴.|PF:|=2a1-2c=2a:十2c,整理得 4,-ag=2c, -a=2,即1=21-1+2+9e=1+9e,+2. ei e: 令f(x)=】+9x+2,由定义法可证f(x)在1，+)单调递增，且f1)=1+9+2=12, e4>1,1+9e:>12.故选B 9.ABC【解析】依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x十2)=一f(x),则f(x+4)=一f(x+2)=f(x),函 数f(x)的周期为4，A错误： 因为函数y=f(2一x)是偶函数，则f(2一x)=f(2十x),函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且f(2一x)= 一∫(x),即f(2一x)+f(x)=0,函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，B错误： 由f(2-x)=f(2十x)得f(一x)=f(4十x)=f(.x),则函数f(.x)为偶函数，C错误： 由f(x+2)+f(x)=0得f(x+3)+f(1+x)=0,由f(2-x)=f(2+x)得f(3-x)=f(1+x),因此f(x+ 3)十f(3一x)=0,函数f(x)的图象关于点(3,0)对称，D正确.故选ABC 10.AB【解析】函数f(x)=kr-4r+lnx的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=2kx-4+ 因为函数f(x)存在极值点，所以f(x)在(0，十©∞)上存在变号零点， 由r=0得=是2这令1=>0则=2- 对于二次方程：=21一2，即一41十2k=0有两个不相等的实数解，且至少有一个正实数解，所以4=16 8k>0,解得k<2. 此时，对于二次函数y=一2十2一k,其图象的对称轴方程为1=2.可得其图象与1轴正半轴至少有一交点· 即'(x)=0至少有一正实数解 因此，实数k的取值范围是（一∞，2）.故选AB. 1l.ABC【解析】由题意，曲线C的方程为√(z+a)+y·√(x一a)+y=a. A选项：由P(xnyo)是曲线C上一点，得√(x。十a)+y·√(xg一a)+y=a, 点P关于原点的对称点为M(一x。·一y), 有/(-xo+a)十y·√(-x。-a)+y=√(xm-a)+y后·/(xo+a)+y后=a2,即点M(-xm,-yo)也 在曲线C上，故A选项正确： B选项：由a2=√(xa一a)+y·√/(rw十a)+yi≥xa一a)·√(xm+a)=|x-al,得0≤x≤2a, 数学容案第2页（共6页） 解得一2a≤x。≤2a,故B选项正确： C选项：若|PA=|PB,则点P在线段AB的垂直平分线上，所以xm=0,将(0，y)代入曲线C的方程，得 (√a+y)=a,解得yu=0,即仅P是原点时满足PA|=|PB|,故C选项正确： D选项：由(x+a)+y·√/(xo-a)+y=a2,得(xi+y十a2)”=a'+4a'xi,又xi≤2a2,所以(xi+ yi十a)≤9a',所以xi十yi≤2a”,当xa=士2aya=0时等号成立，此时曲线C上的点P(xoyw)恰好在圆 x2+y=2a2上.故D选项错误.故选ABC. 12.-33【解析】令x=1,则原式=(1-3×1)°=ao十a1十a:十a1十a,+a,=-32,令x=0,则原式=(1-3×0)= ao=1,所以d1+a:十a3十a,十a,=an十a1+a:十a,十a,十a5-aw=-32-1=-33.故答案为-33. 13√/10【解析】设直线y=kx一2与曲线C:y=x3相切的切点坐标为(x。yn),由曲线C:y=x3, k■3x6 可得y'=3x2,则 解得x。=1,k=3,所以切线方程为y=3.x一2. x2=kx。-2, 因为直线y=3r-2与圆C4红-a)产+y+2y=9(a>0)相切，所以3a二（-一2》-2=3. √32+(-1)月 解得a=√10或a=一10（舍）.故答案为√/10】 14.(1,3十23]【解析】连接AF1,BF1,AF:,如图所示. 由对称性可知，AB,F,F,的中点均为O,且∠F,AF,=2,所以四边形AF,BF, 为矩形，所以∠AF1F,=∠ABF:=a,所以{AF,l=2 ccos a,lAF,|=2 esin a, 由双线的定义可得2a=1AF,-1AP:=2c(cosa-sina)=22 ccosa+-)】 因为ae(侣·]则a+∈（仔且o登=o(任+副 =cos cos 6 -6,所以e+∈[62，》因此，该双面线的商心= 2e 2a 2cos a+4 (23+1],所以k=6--a2 a? =e2-1∈(1,3+23].故答案为(1,3+23]. 15.解：(1)因为5 asin B+bcosA=a十c,根据正弦定理可得： √5 sin Asin B+sin Bec0sA=sinA+sinC.……1s分 又C=π-(A+B),所以3 sin Asin B+sin Beos A=sinA+sin(A+B). 3sin Asin B+sin Bcos A=sin A+sin Acos B+cos Asin B. 即3 sin Asin B=sinA十sin Ac0sB.…………3分 因为A是三角形的内角，故snA≠0，所以5inB=1十-cos BsinB-)-2 …4分 因为B是三角形的内角，所以B一音-否所以B=营 ………6分 (2)如图： 数学容案第3页（共6页） 因为Sa-2c血∠ABC=c=g,所以ac=.7分 在△ABC中，由余弦定理：b2=a2+e2-2 accos∠ABC→a2+c2=8. …8分 所以a=c=2. 所以△ABC为等边三角形.……… ……9分 又DC=2AD,所以AD= 2 ……10分 在△ABD中，BD=AB+AD-2AB·AD·Cos3 所以BD=27 3· …13分 16.(1)证明：如图，取PC的中点M,连接FM,BM. 在△PCD中，因为M,F分别为PC,PD的中点，所以MF∥CD,MF=2CD. 在口ABCD中，AB∥CD,且AB=CD,BE= 2AB-2CD. 所以BE∥MF,BE=MF,所以四边形BEFM为平行四边形，…3分 所以EF∥BM.…4分 又EF过平面PBC,BMC平面PBC, 所以EF∥平面PBC。……6分 (2)解：因为PD⊥平面ABCD,AD,BDC平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥BD. 又∠ADB=90°，所以AD,BD,PD两两垂直， 所以，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.……7分 由BC=AD=2√2，PD=CD=4,∠CBD=∠ADB=90°，可知△CBD为等腰直角三 1 角形，则∠BDC=45°.所以C(-2√2,22,0). 又P(0,0,4),F(0,0,2),B(0,22,0),A(22,0,0),E(2,w2,0), 所以CE=(32,-2,0),CF=(22,-22,2),PC=(-22,22,-4),PB=(0, 22，4).…8分 设平面EFC的法向量为n:=(x,y,z), n,·C2=0,32.x-2y=0, 则 即 取x=1,则n1=(1,3,22),…10分 n,.CF=0,22x-22y+2x=0, 同理可求得平面PBC的一个法向量为n=(0,2,1),…1门分 n1·ng5255 所以co8(n:)=n1n:I8×3 9· …13分 设平面EFC与平面PBC的夹角为0，则sin0-1-c0sSmn)-5。 9 即平面EFC与平面PBC夹角的正弦值为。S …15分 数学客案第4页（共6页） 17.证明：(1)当m=1时，f(x)=lnx,x∈(0，+o).令g(x)=f(x)-x+1=lnx-x+1,x>0, 则g'(x)=1-x ……1分 令g'(x)>0,则0<x<1:令g'(x)<0,则x>1: g(r)在(0,1)上单调递增，在(1，十0∞)上单调递减，…3分 g()≤g(1)=0,…4分 f(）≤江1.………6分 (2)令h(x)=(x-1)e",x>0,则只需证明f(x)≤h(x）. ①当x>1时，h(x)=(x-1)e"≥(x-1)e-1>x-1>lnx≥ln(m.x)=f(x):…9分 ②当m≤x≤1时，h'(.x)=xe">0, .h(x)在[m.1]上单调递增， .h(x)≥h(m)=m-1≥lnm≥lnm十ln.x=n(m.x)=f(.x):…12分 ③当0x<m时，h(.x)=(x-1)ew>x-1>lnx≥ln(m.x)=f(x).…14分 综上可知，当x∈(0，十c心)，m∈(0,1]时f(.x)≤(x一1)e-"恒成立.……15分 18标：①油题查利- 将(3.受}代入随周方程得2+=1，又=a一6，解得a=46=3 故餐调C的方程为+苦 1. …4分 (2)根据题意得中点弦AB所在直线的斜率存在，且M在椭圆内，设A(x1y1),B(x2y:), 所以+号-1+号1 两武作差，得1十：-)++：一)=0， 4 3 所以C1十Xg+y十y1.1-y生=0。………… …5分 4 3 x1一x: 由M是AB的中点得1十1y十y二，………………………6分 222 所以+号k=0，所以=一 81 …8分 所以，以M为中点的弦AB所在的直线方程为y一1=一 乱-》： 即6x十16y-19=0.…9分 (3)当直线I的斜率为0时，此时D和P重合或D和Q重合，显然不满足条件kr十阳=一1.…10分 当直线1的斜率不为0时，如图，设直线1的方程为x=my一1，P(x1y),Q(x2y:. 数学客案第5页（共6页） 由my一1， 消去x,化简得(3m2十4)y2一6my一9=0，…11分 3x2+4y2=12, 4=36m2-4×(3m3+4)×(-9)=144m2+144>0, 6m 9 则y1+y:=3m+4yy=一3m+4 …12分 2m3y1y:一3(y1十y:) 由题意，D(2,0.则m十02十2子y3千m,3myy,3my十y)中国 -9 12mX3m2+43X36W 3m2+4 -9 =一顶，…1分 6m m 3m+4-3mX3m+4+9 由kp十k四=一1，得川=1，…15分 故存在满足条件的直线1，直线【的方程为x一y十1■一0………………17分 19.解：(1)当i=1,j=2时，S(1,2)=a1+a:=1+2=3. 当i=1,j=3时，S(1,3)=a1+a:十a1=1+2+3=6. 当i=2,j=3时，S(2,3)=a:+a1=2+3=5. 所以T=(3,5,6}.……4分 (2)因为a.=2n,所以S(i,j)=a,十a+1+…十a,=2i十2(i+1)+…+2j. 根据等差数列求和公式S,=”(a十a, 2 ,这里n=j-i+1,a1=2i,a.=2j, 则5j)=写=i+1）2i+22）=g-i+10+j》.5分 2 假设存在1和j使得(G一i+1)(i+j)=2048. 由题知，i十j≥3，j一i十1≥2，且i十jj一i十1为一奇一偶。…6分 设m=j-i十1，n=i+j,则m=2048,且m,n∈N°. 因为m十n=2j十1为奇数，2048=21，…7分 将2048分解因数，得2048=1×2048=2×1024=4×512=…，由于m和n都不能等于1，可知1×2048不符 合条件，且其他的因数对的和都是偶数， 所以不存在符合条件的m和n,即不存在i和方使得S(i,)=2048.……10分 (3)由(2)知S(i,j)=a,+a+1+a++…+a,=(i+j)G-i+1), i+j≥3，j-i+1≥2，且i+j,j-i+1为一奇一偶， 即b。能拆分为一奇一偶的乘积，且bn≥6，bn≠2，n∈N。………12分 所以，2到4100的所有偶数，除去2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096这些等于2(n∈N)的 数，其余的偶数都满足条件，…………15分 所以m=41,00-12=2038, 2 所以m的最大值为2038.…………17分 数学客案第G页（共6页）