精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

江苏省扬州中学2024—2025学年第一学期月考试题 高一数学 2024.12 试卷满分：150分，考试时间120分钟 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的. 1. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先计算对数不等式得出集合M,再根据交集定义运算，最后结合子集的个数计算公式计算. 【详解】集合，集合， 所以,则的子集个数为个. 故选：C. 2. 命题：“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：D. 3. 下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的性质结合奇偶性和单调性定义逐一判断即可. 【详解】对于A项，的定义域为， 在，上单调递减，但不能说在定义域内单调递减，故A项错误； 对于B项，的定义域为，且， 所以不是奇函数，故B项错误； 对于C项，的定义域为不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，故C项错误； 对于D项，的定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数， 因为和均为减函数，所以在上单调递减，故D项正确. 故选：D. 4. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，现有的物体，放在的空气中冷却，5分钟后物体的温度是，则约等于（ ）（参考数据） A. 0.22 B. 0.27 C. 0.36 D. 0.55 【答案】A 【解析】 【分析】列方程，根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意得，， ， 两边取自然对数得，， 所以. 故选：A. 7. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式能证明，由此能证明，再构造函数，，由，可得 ，则，由此能求出结果． 【详解】解：  ，，  ， ，等号取不到， ，  ，  ， ， 令， ∵，∴单调递减，且， ，可得  于是 ， ， 故选：A. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中有多项是最符合题意的. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由与终边相同即可判断；对于B，由是第二象限角即可判断；对于C，由弧长公式和扇形面积公式即可计算求解；对于D，由锐角和钝角的定义和范围即可判断； 【详解】对于A，因为，所以与终边相同，是第二象限角，故A错误； 对于B，因为，所以是第二象限角，所以，故B正确； 对于C，因为圆心角为的扇形的弧长为，所以该扇形的半径为， 所以该扇形面积为，故C正确； 对于D，因为角为锐角，即，所以， 所以角是锐角或直角或钝角，故D错误. 故选：BC. 10. 已知实数且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由基本不等式“1”的妙用即可计算得解；对于B，由基本不等式求出的最大值，结合对数运算可得结果；对于C，由基本不等式结合指数幂的运算性质即可得结果；对于D，将变形为，再由基本不等式即可得结果. 【详解】对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且对任意，恒成立；若时，.下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 对任意，有 C. 存在，使得 D. “函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得” 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项，根据条件求得，可判断，：直接利用关系式的变换求出结果．对于选项：利用假设法和关系式的而变换推出矛盾，进一步判定结果． 对于选项：直接利用函数的单调性判定结果． 【详解】对于选项：，时，，，，而，，故正确； 对于选项：（2），而当，时，， 所以（2），所以，故正确； 取，，其中，，1，，则，；， 从而，而， 对于，假设存在使，，，，，， 这与矛盾，所以错误； 对于：由上面推导可得当，时，，单调递减，为减函数， 所以若，，，则函数在区间上单调递减；当函数在区间上单调递减”，则，，，故正确． 故选：． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角用弧度制表示为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，即可求解. 【详解】角用弧度制表示为. 故答案为：. 13. 已知且，若函数在上有最小值，则的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题可得函数在上有最小值，且最小值需小于等于4，据此可得答案. 【详解】因函数在上有最小值，则在上有最小值， 则在上单调递减，得，又注意到此时， 则当时，有最小值. 故答案为： 14. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集. 【详解】由于函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，，此时，. 又， 综上所述，. ①当时，由，得，解得，此时，； ②当时，即当时， 由得，整理得，解得，此时； ③当由得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为 . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）3 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案； （2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. （1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义计算可得，再由同角三角函数之间的商数关系弦化切计算可得结果； （2）根据商数关系化简可得，再利用平方关系以及常数“1”的应用计算可得结果. 【详解】（1）由角的终边经过点，可知， 则. （2）由，化简得， 因此， 所以. 17. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合（其中且）. （1）若，求实数的取值范围 （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，再列出不等式组计算求解； （2）根据上单调递减及定义域，列出不等式组计算求解. 【小问1详解】 由或 当时，若 或，解得或， 故的取值范围是. 【小问2详解】 由题知：解得： 18. 函数对任意的实数，都有，当时，， （1）判断在上的单调性并证明 （2），不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） 是R上的增函数，证明如下， 因为函数对任意的实数，都有， 令，则，所以； 设且，取， 则，即， 由于当时，，因为，所以， 即，得， 所以是R上的增函数； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求出，设且，取，判断出可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，则恒成立，令，分、、讨论，利用的单调性可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式等价于， 由（2）可知是上的增函数，故在上恒成立， 令，则恒成立， 令， ①当即时，在上单调递增， 所以即， ②当即时，在上单调递减， 所以即； ③当即时，在上单调递减， 在上单调递增，所以 与恒成立矛盾，舍去. 综上：或. 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.） 【答案】（1）1 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，由求解即可； （2）①设，利用为偶函数得到，再由即可求出；②化简，判断在上的单调性，利用单调性，设， 则， 化简，再求出最大值即可. 【小问1详解】 由已知，可得， 则， 则，解得， 所以实数的值为1. 【小问2详解】 ①设， 因为为偶函数，所以， 由，可得， 整理可得，即，所以， 所以对任意恒成立，所以， 所以， 又因为，所以，所以， 故函数的解析式为. ②由①知. 在内任取，且， 则， 因为 ， 所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数. 设， 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 故的最大值为. 【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2024—2025学年第一学期月考试题 高一数学 2024.12 试卷满分：150分，考试时间120分钟 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的. 1. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 命题：“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，现有的物体，放在的空气中冷却，5分钟后物体的温度是，则约等于（ ）（参考数据） A. 0.22 B. 0.27 C. 0.36 D. 0.55 7. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中有多项是最符合题意的. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 若角为锐角，则角为钝角 10. 已知实数且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 11. 已知函数的定义域为，且对任意，恒成立；若时，.下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 对任意，有 C. 存在，使得 D. “函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得” 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角用弧度制表示为__________ 13. 已知且，若函数在上有最小值，则的取值范围为__________ 14. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 16. （1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 17. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合（其中且）. （1）若，求实数的取值范围 （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围 18. 函数对任意的实数，都有，当时，， （1）判断在上的单调性并证明 （2），不等式恒成立，求实数的取值范围 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $