专题08 锐角三角函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题08 锐角三角函数 【考点01：锐角三角函数的定义】 【考点02：三角函数的有关运算】 【考点03：特殊角的三角函数值】 【考点04：解直角三角形】 【考点05：解直角三角形的实际应用】 优网 知识点1:锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 知识点2:特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点3:解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 知识点4：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 知识点5：解直角三角形的应用 1.坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 2.仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 3.方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【考点01：锐角三角函数的定义】 【典例1】在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（    ） A．sinA＝ B．a＝sinB×c C．cosA＝ D．tanA＝ 【变式1-2】如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】在中，，，，则的值为 ． 【考点02：三角函数的有关运算】 【典例2】如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-2】第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，点，，在上，是的一条弦，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】在中，， ，则的长为 ． 【考点03：特殊角的三角函数值】 【典例3】计算： (1) (2) 【变式3-1】的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式3-3】计算：． 【变式3-4】计算：． 【考点04：解直角三角形】 【典例4】如图，是的高线，是上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【变式4-1】如图，在中，，是边上的一点，以为直径的与边交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【变式4-2】（1）小明在探究性学习中发现，数形结合思想可以解决某些代数问题．他为了求的值，先构造，使，，，再延长到，使，连接，于是．请你按小明的构图，求出的值． （2）请你也画出一个几何图形，直接写出的正切值． 【变式4-3】如图所示，在中，，，垂足分别为D，E，与相交于点F． (1)求证∶； (2)若，，求的长． 【变式4-4】如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【考点05：解直角三角形的实际应用】 【典例5】如图所示，已知是水平面，、、是斜坡，、、、在同一个平面内．在坡顶处测得点的俯角为，米，在坡顶处测得点的俯角为，米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 【变式5-1】甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． (1)求的长； (2)求塔的高度．（，结果保留整数） 【变式5-2】2023年7月4日四川卧龙熊猫基地D新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向400米处，点D在点B的北偏东方向上，且米（参考数据：，，） (1)求的长度（精确到1）； (2)已知空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（精确到） 【变式5-3】如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米． (1)请求出的长？ (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．的值为（   ） A． B． C． D． 3．在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．3、 B．、 C．、 D．、 6.如图，一建筑物后有一座假山，其坡度为，测得假山坡脚与建筑物的水平距离，与假山坡上凉亭的距离，建筑物顶端到凉亭的俯角为．求建筑物的高度（   ）．（结果保留根号） A． B． C． D． 7．某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，，，，以边上一点O为圆心作，恰与边，分别相切于点A，D，则阴影部分的面积为 ． 9．在平面直角从标系中，的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线经过点B，双曲线经过点C，则    10．如图，在中，，，，则 ． 11．“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 三、解答题 12．计算： 13．如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 14．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知，，，，． (1)连结，求线段的长． (2)求点到对称轴的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 15．小李和小王要使用无人机采集一组航拍资料．如图，在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为，同时小李登上斜坡的D处测得无人机A的仰角为．若小李所在斜坡的坡比为，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上）． (1)小王和小李两人之间的距离；（结果保留根号） (2)此时无人机的高度．（，结果精确到1米） 16．如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 锐角三角函数 【考点01：锐角三角函数的定义】 【考点02：三角函数的有关运算】 【考点03：特殊角的三角函数值】 【考点04：解直角三角形】 【考点05：解直角三角形的实际应用】 优网 知识点1:锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 知识点2:特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点3:解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 知识点4：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 知识点5：解直角三角形的应用 1.坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 2.仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 3.方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【考点01：锐角三角函数的定义】 【典例1】在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（    ） A．sinA＝ B．a＝sinB×c C．cosA＝ D．tanA＝ 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， 因此有：sinA＝，sinB＝，cosA＝，tanA＝， 故A不符合题意；故C符合题意；故D不符合题意； 由sinB＝可得b＝sinB×c，故B不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是正确判断的前提． 【变式1-2】如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，画出图形，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：依题意，，如图所示，   ，故A选项错误， ，故B选项正确， ，故C选项错误， ，故D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【变式1-4】在中，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的正切值等知识点，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键． 由已知条件可知，为的一个锐角，、为直角边，为斜边，则由勾股定理可得，再根据锐角三角函数的定义得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， 为的一个锐角，、为直角边，为斜边， 如图所示， 由勾股定理可得： ， ， 故答案为：． 【考点02：三角函数的有关运算】 【典例2】如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：，即坡面的长度为． 故选：C． 【变式2-1】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的正弦值等知识点，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键． 由勾股定理可得，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：由图可得： ， ， 故选：． 【变式2-2】第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2-3】如图，点，，在上，是的一条弦，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；连接，由圆周角定理可得出，根据点，，得，由勾股定理得出，再在直角三角形中利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2-4】在中，， ，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，利用三角函数求出的长，再利用勾股定理求解． 【详解】解：当时， ，， ， ， 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 【考点03：特殊角的三角函数值】 【典例3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，然后计算加减． （2）首先计算特殊角的三角函数值，立方根，然后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式的性质，立方根等计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 【变式3-1】的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．利用特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式3-2】的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式3-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合计算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可得解． 【详解】解： ． 【变式3-4】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将特殊角的三角函数值代入，然后进行计算即可； 【详解】解： ． 【考点04：解直角三角形】 【典例4】如图，是的高线，是上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】首先过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度； 根据可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出的长度，从而可求的长度，根据正切的定义可求的值． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是的高线， ， ， ， 又， ， 可得：， 解得：， 在中，， ， 解得： ； （2）解：由可得：，， ，， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系． 【变式4-1】如图，在中，，是边上的一点，以为直径的与边交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了切线的判定定理、解直角三角形、等腰三角形的性质与判定； （1）连接．由等边对等角得出，，求出，即可得证； （2）设．则，．解直角三角形得出． 由勾股定理得出的值即可得出的半径． 【详解】（1）证明：如图1，连接． ， ∵点在上， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：设． ∵， ∴，． 在中，，， ∴，即． ∴． ∴． 在中，由勾股定理，得，即． 解得（负值已舍去）． ∴的半径为3． 【变式4-2】（1）小明在探究性学习中发现，数形结合思想可以解决某些代数问题．他为了求的值，先构造，使，，，再延长到，使，连接，于是．请你按小明的构图，求出的值． （2）请你也画出一个几何图形，直接写出的正切值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型． （1）根据题意可得是等腰直角三角形，由勾股定理得，则，故． （2）仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可． 【详解】解：（1）在中，， ，由勾股定理得， ， ， 在中，． （2）如图，构造的直角三角形： 解：如图，在中，，延长至点D，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∴． 【变式4-3】如图所示，在中，，，垂足分别为D，E，与相交于点F． (1)求证∶； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）利用余角的性质及对顶角相等得，即可求证； （2）设，则，由勾股定理得，证明，然后利用相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）证明： ，， ， ，， ， ， ， ； （2）解∶在中，， 设，则， ∴． ∴． ∵， ∴， 即， 解得． 【变式4-4】如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理． （）先求出，，再求出的长，然后由勾股定理求出的长； （）再根据正弦的定义即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴； （2）在中，，，， ∴． 【考点05：解直角三角形的实际应用】 【典例5】如图所示，已知是水平面，、、是斜坡，、、、在同一个平面内．在坡顶处测得点的俯角为，米，在坡顶处测得点的俯角为，米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是理解坡比，根据坡比的定义找到线段之间的比例． 过点作构造直角三角形，根据的正弦求出的长度即可； 过点作，，可得四边形是矩形，是直角三角形，利用直角三角形的性质可以求出的长度，根据矩形的性质可以求出的长度，再根据坡比的定义求出的长度． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 坡顶处测得点的俯角为， ， ， ， 解得：米， 坡顶到水平面的距离为米； （2）解：如下图所示，过点作，， 四边形是矩形， 在坡顶处测得点的俯角为， ， ， ， 米， 在中米， 米， ， 的坡比， 设，则， ， 米， 斜坡的长度大约是米． 【变式5-1】甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． (1)求的长； (2)求塔的高度．（，结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握仰俯角解直角三角形的方法是解题的关键． （1） 在中，根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2） 根据勾股定理可得，设，由等腰三角形的性质可得，在中，根据解直角三角形的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ， ， 的长为． （2）解：由题意得， 在中，， ， ∴， 在中，设， ， ， ， 如解图，过点作，垂足为， 由题意得，， ， ， 在中， ， ， ， 解得， ， 塔的高度约为． 【变式5-2】2023年7月4日四川卧龙熊猫基地D新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向400米处，点D在点B的北偏东方向上，且米（参考数据：，，） (1)求的长度（精确到1）； (2)已知空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（精确到） 【答案】(1)620米 (2)应选择乘坐观光车 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后根据求解即可得； （2）先利用勾股定理求出的长，再根据时间等于路程除以速度求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， 由题意可知，， 则四边形是矩形， ∴， ∵，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴米， ∵米， ∴米， ∴（米）， 答：的长度为620米． （2）解：∵，米，米， ∴米， ∵空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米， ∴乘坐空中缆车所需时间为（分钟）， 乘坐观光车所需时间为（分钟）， ∵， ∴应选择乘坐观光车． 【变式5-3】如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米． (1)请求出的长？ (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)米 (2)该车库入口的限高数值为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米， ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为米． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．过P作轴于N，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：A． 2．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：A 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，先证明为直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴， ∴，即为直角三角形， ∴， 故选：D． 5．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．3、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】此题考查了圆和正多边形的相关计算、解直角三角形、弧长公式等知识．连接，由正是圆的内接多边形得到，，进一步得到，，则． 【详解】解：连接， ∵正是圆的内接多边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6.如图，一建筑物后有一座假山，其坡度为，测得假山坡脚与建筑物的水平距离，与假山坡上凉亭的距离，建筑物顶端到凉亭的俯角为．求建筑物的高度（   ）．（结果保留根号） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先过点作于点，过点作于点，再利用坡度的定义设，则，利用勾股定理列方程求解得出、的长，再由俯角定义及等腰直角三角形的判定与性质得到，数形结合求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图所示： 四边形是矩形， 建筑物后有一座假山，其坡度为， 由坡度定义可知，， 在中，，则由勾股定理可得，解得， ，， ， ， 建筑物顶端到凉亭的俯角为， ，则是等腰直角三角形， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及矩形判定与性质、坡度定义、勾股定理、解一元二次方程、俯角定义、等腰直角三角形的判定与性质等知识，读懂题意，借助坡角关系构造直角三角形，数形结合利用相关几何知识求解是解决问题的关键． 7．某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作于点E，利用坡比的定义得出的长，再得出的长，利用勾股定理得出答案． 本题考查了坡比的计算，勾股定理，熟练掌握坡比的计算是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E， ∵背水坡坡面的长度为，坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵背水坡坡面的坡度为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 8．如图，在中，，，，以边上一点O为圆心作，恰与边，分别相切于点A，D，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、圆的切线的性质、切线长定理、解直角三角形等知识，熟练掌握扇形的面积公式和解直角三角形的方法是解题关键．先解直角三角形可得，再根据圆的切线的性质和切线长定理可得，，从而可得的长，然后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵边，分别与相切于点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 则阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 9．在平面直角从标系中，的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线经过点B，双曲线经过点C，则    【答案】 【分析】作轴于M，轴于N，由反比例函数系数k的几何意义得到，，解直角三角形求得，通过证得，得到，进而得到． 【详解】解：作轴于M，轴于N，    ∴，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 10．如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，， 则， 在中，， ∴， 由题意得，， 解得，， 则， 故答案为：． 三、解答题 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，二次根式的化简，先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简二次根式，再合并即可． 【详解】解： 13．如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据等腰三角形的性质可得，即，由，得，推出，得到，即可证明； （2）根据题意可推出，，进而求出，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，为边上的中线， ，即， ， ， 又 ， ， ， ； （2）解：在中，，，为边上的中线， ，， ， ， ， ． 14．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知，，，，． (1)连结，求线段的长． (2)求点到对称轴的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)线段的长约为； (2)点到对称轴的距离． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数即可解决问题； （2）根据横截面是一个轴对称图形，延长交、延长线于点，连接，所以，根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，． ， ， ， 线段的长约为； （2）解：横截面是一个轴对称图形， 延长交、延长线于点， 连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 点到对称轴的距离为． 15．小李和小王要使用无人机采集一组航拍资料．如图，在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为，同时小李登上斜坡的D处测得无人机A的仰角为．若小李所在斜坡的坡比为，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上）． (1)小王和小李两人之间的距离；（结果保留根号） (2)此时无人机的高度．（，结果精确到1米） 【答案】(1)； (2)无人机的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡比和仰角俯角问题，勾股定理等知识，掌握三角函数关系是解题的关键． （1）根据坡比的定义可得(米)，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，设米，米，再得到米，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵小李所在斜坡的坡比为，铅垂高度米， ∴(米)， (米)； （2）解：设米，如图，过点作于点， ∴，则米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，， ， 解得：， ∴米， ∴无人机的高度约为米． 16．如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、、切线的性质和解直角三角形，证明实际解题的关键． （1）利用圆周四等分点得到，再根据切线的性质得到，所以，从而即可解题； （2）根据圆内接四边形的性质证明，则可利用“”判断； （3）过点G作于点H，如图，先利用得到，，所以，，然后利用解直角三角形解题即可． 【详解】（1）证明：连接. ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ，即圆心角. ， . 为的切线， ， . . 平分. （2）∵， ∴. . 在四边形中，. 为直径， ， . ， . ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ， . 在和中， . （3）连接， ， 由（2）中，得，. 又， 即， ， . 的半径为2. ∴在中，. 过点G作于点H. 由题意得， ∴为等腰直角三角形， . 在中，， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$