专题04 整式的乘除与因式分解（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题04 整式的乘除与因式分解 【考点01 幂运算】 【考点02 整式的乘法】 【考点03 整式的乘法的实际应用】 【考点04 平方差及几何意义】 【考点05完全平方及几何意义】 【考点06 整式的混合运算/化简求值】 【考点07 因式分解】 【考点08 因式分解的应用】 知识点1：幂运算 1.幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4.幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：整式的乘法运算 1.单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 知识点3：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点4;完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点5：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【考点01 幂运算】 【典例1】计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 【变式1-1】已知，，则的值为（   ） A．9 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的除法及幂的乘方逆运算，利用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式1-2】若，，则的值为（   ） A．12 B．32 C．16 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方逆运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方的逆运算法则计算得出答案． 【详解】解： ，， ， 则， 故选：C． 【变式1-3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，利用运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故错误，不合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-4】已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 【变式1-5】若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．利用积的乘方与幂的乘方运算法则可得，再根据各字母的指数相等得到，，对两方程求解即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， 解得：，． 故选：A． 【变式1-6】已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【考点02 整式的乘法】 【典例2】若的展开式中不含项，则常数a的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0． 根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值． 【详解】 ∵的展开式中不含项， ∴ ∴． 故选：B． 【变式2-1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘多项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选D． 【变式2-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果； （2）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算： （1）先计算单项式乘以单项式，再计算积的乘方，接着计算单项乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案； （2）先根据完全平方公式、单项式乘以多项式的计算法则展开，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-4】若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点． 例如，若整式，则，，，，故的相关点为． (1)若，则的相关点坐标为______； (2)若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式． 【答案】(1)； (2)整式的表达式为． 【分析】（）根据相关点的定义即可求解； （）设 ，则整式，又整式的相关点为，然后代入解方程组即可； 本题考查了多项式乘以多项式，多项式的有关概念，解方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 则，，，， ∴，， ∴的相关点坐标为， 故答案为：； （2）解：设 ， 由， ∵整式是与的乘积， ∴ ， ∵整式的相关点为， ∴， 解得：， ∴整式的表达式为． 【考点03 整式的乘法的实际应用】 【典例3】对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)50 【分析】（1）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （2）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （3）根据（2）的等式代入解答即可． 本题考查了公式与几何图形的关系，熟练掌握公式的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，整体大长方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （2）解：根据题意，整体大正方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴． 【变式3-1】如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积(结果写成最简形式)． (2)若，，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？ 【答案】(1) (2)17400 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算中的化简求值，根据题意列出相应的式子是解本题的关键． （1）绿化的总面积等于矩形面积减去4个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得出答案； （2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为50元平方米，即可得出答案． 【详解】（1）解：题意得： ． 答：绿化面积是平方米； （2）当，时， (平方米)， (元)， 答：完成绿化共需要17400元钱． 【变式3-2】[核心素养]如图①，在某住房小区的建设中，为了提供更好的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道． (1)求通道的面积； (2)若修建三条宽为米的通道（如图②所示），，剩余草坪的面积为216平方米，求通道的宽度． 【答案】(1)平方米 (2)2米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型． （1）根据通道的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可； （2）根据剩余草坪的面积大长方形面积通道的面积，求得剩余草坪的面积，再根据，剩余草坪的面积是216平方米，列出方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：通道的面积为平方米； （2）解： ． ， ． 令，即，解得（负值已舍去）． 答：通道的宽度为2米． 【考点04 平方差及几何意义】 【典例4】下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、不符合平方差公式的形式，故不符合题意； B、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意； C、原式，符合平方差公式的形式，故符合题意； D、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意． 故选：C． 【变式4-1】若，则的值为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 根据可得 ． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式4-2】如图1，从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，学会利用面积的关系验证平方差公式是解题的关键．由图1可得剩余部分的面积，由图2可求得长方形的面积，结合两部分面积相等即可求解． 【详解】解：如图1，大正方形的面积为，小正方形的面积为， 剩余部分面积为， 如图2，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 结合图1和图2，可得剩余部分面积长方形的面积， ． 故选：C． 【变式4-3】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，注意：． 依次运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式4-4】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)1 (3) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可． （2）把原式先变形为，再利用（1）的结论求解即可； （2）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即， 拼成的图2为长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故选：B； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【变式4-5】乘法公式的探究与运用： (1)如图①，边长为a的大长方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是________；（写成两数平方差的形式） (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是________，宽是________，面积是________；（写成多项式乘法的形式） (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：________； (4)运用你得到的公式计算：； (5)若，，则的值为________． 【答案】(1) (2)，， (3) (4)99.91 (5)5 【分析】本题考查背景了平方差公式的几何背景及其在简算中和代数式求值中的应用． （1）由图形可知长和宽的值，再根据正方形面积公式可得答案； （2）由图形可知长方形的长和宽，根据长方形面积公式可得答案； （3）由（1）（2）结论直接得答案； （4）应用（3）的公式可简算，从而得答案； （5）根据（3）中公式可得，再将代入可得答案． 【详解】（1）解：阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积， 故答案为：； （2）解：长方形的长是，宽是，面积长宽， 故答案为：，，； （3）解：∵图①、图②阴影部分的面积相等 ， 故答案为：； （4）解： ； （5）解：， 故答案为：5． 【考点05完全平方及几何意义】 【典例5】根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)20； (2)； (3)7． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）根据化简求解即可得到答案； （2）根据化简求解即可得到答案； （3）根据化简求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：20； （2）解：， ， ， ， 解得：； （3）解：， ， ， 四边形，是正方形，， ，， ， 即：， ． 【变式5-1】已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键． 根据完全平方公式得出，再代入求出即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 【变式5-2】已知多项式是完全平方式，则m的值为（    ） A．5 B． C．9或 D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．由于是完全平方式，而，然后根据完全平方公式即可得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据完全平方公式可得：， 解得：或， 故选：D． 【变式5-3】如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用x，y表示直角三角形的两条直角边（）．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形，完全平方公式的变形求值，根据大正方形面积个直角三角形面积小正方形面积可判断①④正确；根据4个直角三角形全等，可判断②正确；利用①④，根据完全平方公式可判断③不正确． 【详解】解：∵图中4个直角三角形全等，小正方形面积为9， ∴小正方形边长为， 故②正确； ∵大正方形面积为100，大正方形面积个直角三角形面积小正方形面积， ∴，， ，， 故①④正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故③不正确， 综上所述，①②④正确， 故选：A． 【变式5-4】先学习下面内容，再解决问题． 例题：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴． 问题： (1)若，求的值． (2)若a，b，c是等腰的三边长，其中a，b满足，求的周长． 【答案】(1)4 (2)13或14 【分析】（1）根据完全平方公式把已知条件变形得到，再根据非负数的性质求出，然后把的值代入计算即可； （2）先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质列式求出的值，再根据等腰三角形的定义分两种情况讨论即可求解． 本题考查了等腰三角形的定义，完全平方公式的应用，三边关系的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或4， 分两种情况： 当时，，的周长为， 当时，，的周长为， 【变式5-5】如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． (1)图1中的每个小长方形的面积为_____；图2中的中间空白部分的面积为_____； (2)观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为_____； (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题考查了利用完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）根据长方形的面积进行计算，由图形面积间和差关系可得此题结果为； （2）由图形面积间关系可得：； （3）由（2）题关系式可得，，就能求得最后结果． 【详解】（1）解：由题意得，图1中的每个小长方形的面积是； 图2中间空白的部分的面积是． 故答案为：；； （2）解：由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：． 故答案为：； （3）解：由（2）题关系式可得，， ， 即的值是． 【考点06 整式的混合运算/化简求值】 【典例6】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的代入求值， 先根据整式的乘法公式计算，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简得，代值得 【分析】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键．先利用整式的混合运算法则进行化简，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， 将，代入， 得原式． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，非负性，先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，然后运算除法，得，结合，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 则． 【变式6-3】化简求值：当时，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式将原式展开再合并，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则、顺序及公式是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 【考点07 因式分解】 【典例7】将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解答此题的关键．利用平方差公式进行因式分解即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 【变式7-1】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．注意，有公因式时，要先提公因式． （1）利用提公因式和公式法进行因式分解． （2）先去括号合并同类项，再利用公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式7-2】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解． （1）先提取公因式再用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式再用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式7-3】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目可先提取公因式3，然后再利用平方差公式因式分解得到答案， （2）根据题目将变为，提取公因式即可得到答案． 本题考查了因式分解，解题的关键是：熟练掌握因式分解的方法． 【详解】（1）解： ， （2）解： ． 【变式7-4】因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题的关键：因式分解是初中数学的重要内容之一，选择正确的分解方法是学好因式分解的关键，因式分解的题目多以填空题或选择题的形式考查提公因式法和公式法的综合运用；因式分解的基本思路是：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式；同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止；因式分解常见技巧：局部不符看整体，整体不符看局部，实在不行看变形． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【考点08 因式分解的应用】 【典例8】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 【答案】(1)①；② (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解及其因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）根据题干中提供的信息用分组分解法和拆项法分解因式即可； （2）根据得出，根据非负数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ，，． 【变式8-1】“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)，时多项式有最小值，最小值4． (3)是等腰三角形． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出，，，即可判断的形状． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ∵， ∴ ∴当，时，有最小值，最小值为4． 即，原式有最小值4． （3） ∴ 则， ∵， ∴，，， 解得，，， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式8-2】【阅读材料】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有的多项式只用上述方法无法分解，如．观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式______； (2)已知的三边a，b，c满足，请判断的形状，并说明理由． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)△ABC是等边三角形，理由见解析； (3)2． 【分析】本题考查了因式分解的方法和应用，灵活掌握分组分解法是解题的关键． （1）结合分组分解法因式分解即可； （2）依题意，分组分解可得：，进一步分析可得，可得解； （3）依题意，分组分解可得：，进一步分析可得解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）是等边三角形，理由如下： 依题意，将方程变形得， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）依题意，可得，代入可得： ， 即， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：． (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． ________ __________0（填“＞”，“＜”，“＝”） (2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；2； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意利用完全平方公式把对应的式子化为的形式是解题的关键． （1）仿照题意利用完全平方公式进行求解即可； （2）先根据长方形面积公式分别表示出与，再利用作差法求出，据此可得结论． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， 故答案为：5；2；； （2）解：，理由如下： 由题意得， ， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 一、单选题 1．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 利用同底数幂相乘法则，幂的乘方法则逐项判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、不符合平方差公式的形式，故不符合； B、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合； C、原式，符合平方差公式的形式，故符合； D、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合． 故选：C． 3．如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可． 【详解】解：该平行四边形的面积为， 故选：C． 4．已知，则（   ） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，利用幂的乘方、同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴． 故选：C． 5．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式不含的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： ， 多项式与的乘积展开式中不含的一次项， ， ． 故选：C． 6．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律：（   ） 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．612 【答案】C 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．由“杨辉三角”得到：应该是（n为非负整数）展开式的项系数和为． 【详解】解：解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …， 当时，展开式的项系数和为， 故选：C． 二、填空题 7．若，则的值是 【答案】1 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 8．把多项式因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 首先将原式提取公因式，得到，然后将，代入计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 10．如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，求解代数式的值，由题意可得，，再结合扩建后的长方形土地的面积是：，展开后，再整体代入即可． 【详解】解：根据题意，得 ，， 该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是： 故答案为：36． 11．如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意，得到大正方形的面积为，因式分解得到，即可得出结果． 【详解】解：这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为的长方形卡片张．现要用这张卡片拼成一个大正方形， 这个大正方形的面积是， ∵， ∴这个大正方形的边长为： 故答案为：． 三、解答题 12．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法的运算及逆运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． （1）根据，可得出，再根据同底数幂的乘除法即可得出答案； （2）将转化为再得到，最后将代入，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴的值 ． 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，12 【分析】本题主要考查完全平方公式及平方差公式，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键；首先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 14．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，根据式子的特点选用恰当的方法进行分解是解题的关键． （1）综合利用提公因式以及公式法分解因式即可． （2）利用公式法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 15．先化简，再求值：．其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先根据整式的乘法和除法运算，再代入求值即可． 【详解】原式 ． 当时， 原式． 16．因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了公式法以及提公因式法进行分解因式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用平方差公式进行分解因式，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行分解因式，即可作答． （3）直接运用十字相乘法进行分解因式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．已知实数a、b满足，， (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)28 (2)96 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， 由（1）得， ∴ ． 18．探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景； （1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差； （2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可； ②由题意，根据平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． (1)如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． (2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． (3)将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①，②1 (3)3.5 【分析】本题考查的是因式分解和图形的结合，读懂图形信息、掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据面积公式，大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，则； （2）①大长方形的面积，大长方形的面积=，则； ②由题意得：，则，结合即可求得； （3）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积． 【详解】（1）解：根据面积公式，大正方形的面积可以表示为：，两个小正方形和两个长方形的面积可以表示为：，则， 故答案为：； （2）解：①∵大长方形的面积， 大长方形的面积=， ∴， 故答案为：； ②由题意得：， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， （3）解：阴影部分的面积 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的乘除与因式分解 【考点01 幂运算】 【考点02 整式的乘法】 【考点03 整式的乘法的实际应用】 【考点04 平方差及几何意义】 【考点05完全平方及几何意义】 【考点06 整式的混合运算/化简求值】 【考点07 因式分解】 【考点08 因式分解的应用】 知识点1：幂运算 1.幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4.幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：整式的乘法运算 1.单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 知识点3：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点4;完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点5：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【考点01 幂运算】 【典例1】计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【变式1-1】已知，，则的值为（   ） A．9 B． C．12 D． 【变式1-2】若，，则的值为（   ） A．12 B．32 C．16 D．64 【变式1-3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式1-5】若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-6】已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【考点02 整式的乘法】 【典例2】若的展开式中不含项，则常数a的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 【变式2-1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】计算： (1) (2) 【变式2-3】计算： (1) (2) 【变式2-4】若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点． 例如，若整式，则，，，，故的相关点为． (1)若，则的相关点坐标为______； (2)若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式． 【考点03 整式的乘法的实际应用】 【典例3】对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【变式3-1】如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积(结果写成最简形式)． (2)若，，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？ 【变式3-2】[核心素养]如图①，在某住房小区的建设中，为了提供更好的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道． (1)求通道的面积； (2)若修建三条宽为米的通道（如图②所示），，剩余草坪的面积为216平方米，求通道的宽度． 【考点04 平方差及几何意义】 【典例4】下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，则的值为（ ） A． B．2 C． D．3 【变式4-2】如图1，从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【变式4-5】乘法公式的探究与运用： (1)如图①，边长为a的大长方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是________；（写成两数平方差的形式） (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是________，宽是________，面积是________；（写成多项式乘法的形式） (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：________； (4)运用你得到的公式计算：； (5)若，，则的值为________． 【考点05完全平方及几何意义】 【典例5】根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【变式5-1】已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】已知多项式是完全平方式，则m的值为（    ） A．5 B． C．9或 D．5或 【变式5-3】如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用x，y表示直角三角形的两条直角边（）．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【变式5-4】先学习下面内容，再解决问题． 例题：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴． 问题： (1)若，求的值． (2)若a，b，c是等腰的三边长，其中a，b满足，求的周长． 【变式5-5】如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． (1)图1中的每个小长方形的面积为_____；图2中的中间空白部分的面积为_____； (2)观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为_____； (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 【考点06 整式的混合运算/化简求值】 【典例6】先化简，再求值：，其中，． 【变式6-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【变式6-3】化简求值：当时，求代数式的值． 【考点07 因式分解】 【典例7】将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】分解因式： (1) (2) 【变式7-2】分解因式： (1)； (2)． 【变式7-3】因式分解： (1) (2) 【变式7-4】因式分解： (1) (2) (3) 【考点08 因式分解的应用】 【典例8】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 【变式8-1】“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 【变式8-2】【阅读材料】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有的多项式只用上述方法无法分解，如．观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式______； (2)已知的三边a，b，c满足，请判断的形状，并说明理由． (3)已知，，求的值． 【变式8-3】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：． (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． ________ __________0（填“＞”，“＜”，“＝”） (2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由． 一、单选题 1．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A．16 B．25 C．32 D．64 5．已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 6．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律：（   ） 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．612 二、填空题 7．若，则的值是 8．把多项式因式分解的结果是 ． 9．已知，，那么 ． 10．如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是 ． 11．如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ． 三、解答题 12．已知． (1)求的值； (2)求的值． 13．先化简，再求值：，其中，． 14．因式分解： (1) (2) 15．先化简，再求值：．其中，． 16．因式分解： (1) (2) (3) 17．已知实数a、b满足，， (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 18．探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 19．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释． (1)如图1可以用来解释完全平方公式： ，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． (2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以分解因式为 ； ②若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． (3)将图3中边长为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$