精品解析：湖北省黄石市第十八中学2024-2025学年上学期12月月考八年级数学试卷

12月随堂检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，积乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方法则逐项计算即可． 【详解】A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 如果分式的值为零，那么的值为（ ） A. －1或1 B. 1 C. －1 D. 1或0 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为零和分式有意义的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零 ∴且，解得． 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式不等于零的问题，掌握分式为零和分式有意义的条件是解答本题的关键． 4. 三角形的面积是，它的一条高是，这条高对应的底边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法运算：根据三角形的面积等于底乘高的一半，故底边长等于面积除以高，列式计算即可作答． 【详解】解：∵三角形的面积是，它的一条高是， ∴这条高对应的底边长 故选：A 5. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到的数学公式是：．你根据图乙能得到的数学公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】图乙中求边长为（m-n）的正方形的面积得到数学公式． 【详解】解：图乙可得边长为（m-n）的正方形的面积=（m-n）2=m2-2mn+n2． 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 6. 如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是 A. 80°或50° B. 50°或20° C. 80°或20° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案． 【详解】根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°， ①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°， ②当这个角80°是顶角， 设等腰三角形的底角是x°， 则2x+80°=180°， 解可得，x=50°， 即该等腰三角形的底角的度数是50°； 故选A． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键． 7. 如图，在中，，，是角平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，由角角平分线的定义可求，进而求出，，然后利用角的性质依次求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴． ∵角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握的角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键． 8. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 9. 如图，已知，在中，，，交与点M，交延长线于点H，，，则的长度为（　　） A. 4 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，证明，得出，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题关键，注意不要漏解． 12. 如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键．根据角平分线的性质即可求得点E到的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到是的角平分线，进而得到的度数． 【详解】解：过点E分别作，，，垂足分别为H，F，G， ∵的平分线与的平分线相交于点E， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使得，连接，先证明，由此可得，，再根据三角形存在性，求得，即得到边的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵在中，为中线， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， 又∵，， ∴，， 在中， ∵， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了倍长中线构造全等三角形以及三角形存在性，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 14. 如图，在中，有如下操作：（1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，分别交于点，；（2）直线交，于点，；（3）以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，；（4）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在的内部交于点；（5）射线交直线于点，交于点现有以下结论：①若，，则；②点为中点；③若，，则的面积是的面积的倍；④若，，则的长为．其中正确的结论序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线与线段垂直平分线的尺规作图，角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，由三角形内角和定理可判断①；由作图方法可知，垂直平分线段，则可证明，进而可证明，而不一定成立，据此可判断②；过点作于点于点，由角平分线的性质得到，则可证明，据此可判断③；可求出；连接证明，进而可证明，得到，再证明，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵， ，故正确； 如图所示，连接，假设是的中点，则， 由作图方法可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 而根据现有条件不能得到，故假设不一定成立，故错误； 如图所示，过点作于点于点， 由作图方法可得，平分， ， ， ，故正确； 由作图方法可知，垂直平分线段， ， 又∵， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：． 三、计算题：本大题共3小题，共24分． 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 因式分解： （1）；（2）27x2y-36xy2+12y3． 【答案】（1）；（2）3y(3x-2y)2 【解析】 【分析】（1）先多项式乘多项式，再合并同类项，最后利用平方差因式分解，即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可因式分解． 【详解】（1） = = =(a+2)(a-2)； （2）27x2y-36xy2+12y3 =3y(9x2-12xy+4y2) =3y(3x-2y)2． 【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和公式法，是解题的关键． 四、解答题：本题共6小题，共51分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 若为正整数，，求的值． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和幂的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先由幂的乘方运算法则将化为，再由幂的乘方逆运算将其化为，再代入求值即可． 【详解】解：  ． 19. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式变形求出结果即可； （2）根据完全平方公式变形求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 20. 如图所示．在中，已知，，D是上的一点，，，点F为的中点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质， （1）根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，从而得到，然后利用“边角边”即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明即可． 熟练掌握三角形全等的判定方法以及等腰三角形的性质是解题的关键．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴． 21. 阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】（1）120；（2）2019；（3）21． 【解析】 【分析】（1）根据举例，利用换元法进行解答即可； （2）设，则，，可得，代入c−d=2可求得cd，即可求得结果； （3）根据已知可得，，可表示出构成阴影部分的四个图形的边长，进而表示出这四个图形的面积，由长方形EFGD的面积是5，得到，设，，从而得到ab=5，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：（1）设，， 则，， ∴ （2）设， 则，， ∴， 即 解得：，即； （3）正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2， ∴，， ∵NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，长方形EFGD的面积是5， ∴，， ∴ S长方形DEFG=，S正方形MEDQ=，S正方形NGDH=，S长方形PQDH=， 设，，则，， ∴阴影部分的面积= S长方形DEFG+ S正方形MEDQ+ S正方形NGDH+ S长方形PQDH ∵，即， 解得：， ∴，即阴影部分的面积为21． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式． 22. （1）实验操作：如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系． 教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图2，写出已知，求证，并证明该结论； （2）实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． （3）拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质； （1）延长至点，使得．连接，证明是线段垂直平分线可得，可得，证明是等边三角形，可得，再进一步解答即可； （2）连接， 由翻折得,则，此时为等边三角形，则，故． （3）如图，过作于，证明，可得，，再利用面积公式计算即可； 【详解】（1）已知，，，， 求证：； 证明：延长至点，使得．连接， 是线段的垂直平分线 ， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ∴． （2）连接， 由翻折得, ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 结合（1）的结论：； （3）如图，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 23. （1）课本习题回放： “如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）利用三角形的外角性质证明，，再利用即可证明； （3）在线段上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质结合三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ， ； 故答案为：； （2）证明：如图， ，，，， ，， 在和中， ， ； （3）解：在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12月随堂检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果分式的值为零，那么的值为（ ） A. －1或1 B. 1 C. －1 D. 1或0 4. 三角形的面积是，它的一条高是，这条高对应的底边长是（ ） A. B. C. D. 5. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到的数学公式是：．你根据图乙能得到的数学公式是（ ） A B. C. D. 6. 如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是 A. 80°或50° B. 50°或20° C. 80°或20° D. 50° 7. 如图，在中，，，是角平分线，过点D作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，若，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 8. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A 无法确定 B. C. 1 D. 2 9. 如图，已知，在中，，，交与点M，交延长线于点H，，，则的长度为（　　） A. 4 B. C. D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 10. 因式分解：________． 11. 若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是________． 12. 如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则________． 13. 如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是___________． 14. 如图，在中，有如下操作：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点，；（2）直线交，于点，；（3）以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，；（4）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在的内部交于点；（5）射线交直线于点，交于点现有以下结论：①若，，则；②点为中点；③若，，则的面积是的面积的倍；④若，，则的长为．其中正确的结论序号是______． 三、计算题：本大题共3小题，共24分． 15. 计算： 16. 计算： 17. 因式分解： （1）；（2）27x2y-36xy2+12y3． 四、解答题：本题共6小题，共51分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 若为正整数，，求的值． 19. 已知，求下列各式值： （1）； （2）． 20. 如图所示．在中，已知，，D是上的一点，，，点F为的中点． 求证： （1）； （2）． 21. 阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 22. （1）实验操作：如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系． 教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图2，写出已知，求证，并证明该结论； （2）实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． （3）拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 23 （1）课本习题回放： “如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $