专题01 实数及其运算（分层训练）-2025年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用版）

专题01 实数及运算（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．在实数、、π、、0.1212212221…(两个1之间依次多一个2)中，其中无理数的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．通过严格实施低碳管理等措施，2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和．根据测算，北京冬奥会三个赛区的场馆共减少排放二氧化碳320000吨，实现了“山林场馆、生态冬奥”的目标，其中的320000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．在实数 ，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A．-2 B．0 C． D． 5．如图，数轴上两点A、B表示的数可能是（  ） A．－1.5和2.5 B．－2.5和2.5 C．－1.5和3.5 D．－2.5和3.5 6．平川区努力打造全域旅游强区，在国庆黄金周期间共接待游客约396000人次，则396000用科学记数法表示为（    ） A．3.96×105 B．0.396×106 C．39.6×104 D．3.96×106 7．生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（，）是种能利用可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称．已知某种球状乳酸菌的直径仅为0.0000006米，将该数据用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 8．的相反数是（    ） A． B．8 C． D．0 9．下列四个选项中，为无理数的是（    ） A．0 B．3.14 C． D． 10．下列计算不正确的是（　　） A． B． C． D． 11．随着时间的变化，敦煌进入冬季，若今年夏天的最高气温是39℃，而冬天的最低气温是-5℃，那么敦煌今年气候的最大温差是（　　　）℃ A． B． C． D． 12．2022年末2023年初，某县常住人口80万人，城镇化率，户籍人口万人，城镇化率，城镇人口万人，乡村人口万人，其中数字万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 13．实数的值为（    ） A． B． C． D． 14．的相反数是（ ） A． B． C． D． 15．在数轴上，到点的距离是的点表示的数是（　　） A． B． C． D．或 16．下列实数0.13113111311113…，，，0，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．下列说法中，正确的是（   ） A．近似数精确到十分位 B．按科学记数法表示的数，其原数是 C．将数保留个有效数字是 D．用四舍五入法得到的近似数精确到千分位 18．据媒体统计，2019年长春市中考的考生人数将超过61000人，61000这个数用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 19．某班在一块展示板上同时展示形状与大小均相同的长方形（图甲）的班徽设计作品，并将这些作品排成一个长方形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在展示板上，如图乙所示）．若有38枚图钉可供选用，则最多可以展示设计作品件数（  ） A． B． C． D． 20．下列有理数中，最大的数是（  ） A．0.4 B． C． D．0 二、填空题 21．向东走10米记作米，则向西走6米表示为 米； 22．如果，那么 ． 23．极不平凡的2020年，云南统筹推进疫情防控和经济社会发展，在大战大考中交出优异答卷．2021年初，云南高速公路通车里程超过9000公里，跃居全国第二．数据9000用科学记数法表示为 ． 24．明明的体重为，用四舍五入法将精确到，其近似值为 ． 25．一次数学测试，如果90分为优秀，以90分为基准简记，例如93分记为+3，那么85分应记为 分． 26．中国古代数学著作《九章算术》方程一章，在世界数学史上首次引入负数．如果收入30元记作，那么支出15元记作 ． 27．点A是数轴上一点，一只蚂蚁从点A出发爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则点A所表示的数是 ． 28．计算： ． 29．代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x的值为 30．计算： ． 31．绝对值不大于3的非正整数有 个，它们的积是 . 32．若3x+2与﹣2x+1互为相反数，则x的值是 ． 33．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x为 ． 34．绝对值小于3的所有整数的积是 ． 35．计算： ． 三、解答题 36．计算：． 37．计算：． 38．计算： （1）      （2）简算： 39．计算：． 40．计算：． 41．计算： (1) (2) (3) (4) 42．计算 （1）           （2） （3）         （4） （5）                         （6） 43．已知2a-1的算术平方根为3，3a+b-1的算术平方根为4，求a+2的平方根． 44．阅读材料，并回答问题． 钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然，但在表盘上看到的是2点钟．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问2点钟之前4小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：我们用0点钟代替12点钟） 由上述材料可知： (1)     ， ； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则9的相反数是 ． 45．如图，已知、是数轴上两点，点表示的数为，点在点的右侧，且距离点28个单位长度．现有，两个动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴运动．    （1）点表示的有理数为______． （2）动点先出发，2秒钟后点再由点出发向点运动，当点运动秒时两点相遇，求相遇点对应的有理数是多少？ （3）动点出发的同时，动点从点出发沿数轴向右运动，运动时间为秒，请求出，之间的距离为23个单位长度时的值． 46．已知是的算术平方根，是27的立方根，求：的平方根． 47．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则______，______． (4)那么的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 48．有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：    (1)在数轴上表示； (2)化简： ； (3)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0； 化简：． 49．（1）设a，b是有理数，且满足，求的值． （2）设x，y都是有理数，且满足，求的值． 50．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=．           回答下列问题：                            ①数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________．（填出计算结果） ②数轴上表示数x和5的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示数x和-2的两点之间的距离表示为_____ _____ ③若数轴上点P表示的有理数x，则式子表示 ④式子有最小值吗？若有，最小值为多少？简要说明理由．若没有，也简要说出其理由． 【能力提升】 1．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 2．如图，社区有一块面积为的正方形空地，空地的B处有一个凉亭，，为两条小路，现在内种植月季花，其余地方种植郁金香，测得，． (1)求正方形空地的边的长； (2)求郁金香的种植面积． 3．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 4．如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． (3)如图2，把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与−1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ． 5．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数及运算（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．在实数、、π、、0.1212212221…(两个1之间依次多一个2)中，其中无理数的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断． 【详解】解：、π、0.1212212221…(两个1之间依次多一个2)是无理数，共3个 故选C. 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2．通过严格实施低碳管理等措施，2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和．根据测算，北京冬奥会三个赛区的场馆共减少排放二氧化碳320000吨，实现了“山林场馆、生态冬奥”的目标，其中的320000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数,确定n时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数． 【详解】320000=， 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数,关键是确定a和n的值． 3．在实数 ，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了无理数及立方根的计算，熟记无理数的定义是解题的关键．先将能计算的进行计算，再根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：， 无理数有，，共3个， 故选：C． 4．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A．-2 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】根据有理数的定义，逐个选项进行判断即可得到答案； 【详解】解：A选项-2是整数，是有理数，故不符合题意； B选项0是整数，是有理数，故不符合题意； C选项是分数，是有理数，故不符合题意； D选项不能写成分数，是无理数，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 5．如图，数轴上两点A、B表示的数可能是（  ） A．－1.5和2.5 B．－2.5和2.5 C．－1.5和3.5 D．－2.5和3.5 【答案】A 【分析】由点A、B在数轴上的位置可知点A表示的数在﹣2与﹣1之间，点B表示的数在2与3之间，据此解答即可． 【详解】解：由点A、B在数轴上的位置可知点A表示的数在﹣2与﹣1之间，点B表示的数在2与3之间，所以两点A、B表示的数可能是－1.5和2.5． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数在数轴上的表示，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 6．平川区努力打造全域旅游强区，在国庆黄金周期间共接待游客约396000人次，则396000用科学记数法表示为（    ） A．3.96×105 B．0.396×106 C．39.6×104 D．3.96×106 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：396000=3.96×105， 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 7．生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（，）是种能利用可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称．已知某种球状乳酸菌的直径仅为0.0000006米，将该数据用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 8．的相反数是（    ） A． B．8 C． D．0 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数”，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是； 故选C． 9．下列四个选项中，为无理数的是（    ） A．0 B．3.14 C． D． 【答案】D 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：0，3.14，都是有理数， 是无理数， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 10．下列计算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值的意义、求一个数的绝对值、平方根概念理解、合并同类项 【分析】根据平方根的定义、合并同类项法则和绝对值的定义即可得出结论． 【详解】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项正确； C．，故本选项不正确； D．，故本选项正确． 故选C． 【点睛】此题考查的是求平方根、合并同类项和绝对值，掌握平方根的定义、合并同类项法则和绝对值的定义是解题关键． 11．随着时间的变化，敦煌进入冬季，若今年夏天的最高气温是39℃，而冬天的最低气温是-5℃，那么敦煌今年气候的最大温差是（　　　）℃ A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数进行计算即可． 【详解】 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的减法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题的关键． 12．2022年末2023年初，某县常住人口80万人，城镇化率，户籍人口万人，城镇化率，城镇人口万人，乡村人口万人，其中数字万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万即为∶， ∴， 故选：B． 13．实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根 【分析】直接根据平方根的定义解题即可. 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用，理解其含义是解题的关键. 14．的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 15．在数轴上，到点的距离是的点表示的数是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】绝对值方程、数轴上两点之间的距离 【分析】设到点的距离是的点的数为，根据数轴上两点间的距离，列出绝对值方程进行求解即可． 【详解】解：设到点的距离是的点的数为， ∴可得：， 由此可得：或， 解得：或， ∴在数轴上，到点的距离是的点的数为：或． 故选：D 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解本题的关键在根据数轴上两点间的距离，列出绝对值方程并解出． 16．下列实数0.13113111311113…，，，0，，，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了无理数，求一个数的算术平方根， 根据无理数即是无限不循环小数求解即可． 【详解】解：∵， ∴是有理数， ∴在0.13113111311113…，，，0，，，，中， 无理数有：0.13113111311113…,，，，一共4个， 故选：D． 17．下列说法中，正确的是（   ） A．近似数精确到十分位 B．按科学记数法表示的数，其原数是 C．将数保留个有效数字是 D．用四舍五入法得到的近似数精确到千分位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】根据近似数的精确度及科学记数法求解即可． 【详解】解：A、近似数精确到百分位，故该选项错误； B、按科学记数法表示的数，其原数是，故该选项错误； C、将数保留个有效数字是，正确； D、用四舍五入得到的近似数精确到万分位，故该选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了近似数的精确度及科学记数法，掌握正确的科学记数法；精确到了某一位，即应看这个数字实际在哪一位是解题的关键． 18．据媒体统计，2019年长春市中考的考生人数将超过61000人，61000这个数用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】用科学记数法表示较大的数，表示形式为：，其中1≤＜10． 【详解】根据科学记数法表示形式， 要使61000变为6.1，则小数点需要向左移动4位，故n=4 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，注意，科学记数法还可以表示较小的数，表示形式为：． 19．某班在一块展示板上同时展示形状与大小均相同的长方形（图甲）的班徽设计作品，并将这些作品排成一个长方形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在展示板上，如图乙所示）．若有38枚图钉可供选用，则最多可以展示设计作品件数（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作品的装钉规则和图钉的个数，进行分类讨论，即可得到答案． 【详解】①展示成一行，（张）， 38枚图钉可以最多展示18张作品． ②展示成两行，（张）余2枚， （张），（张）， 38枚图钉可以最多展示22张作品． ③展示成三行，（张）余2枚， （张），（张）， 38枚图钉可以最多展示24张作品． ④展示成四行，（张）余3枚， （张），（张）， 38枚图钉可以最多展示24张作品． ⑤展示成五行，（张）余2枚， （张），（张）， 38枚图钉可以最多展示25张作品． ⑥展示成六行，（张）余3枚， （张），（张）， 综上38枚图钉可以最多展示25张作品． 故选A． 【点睛】本题主要考查用有理数的运算解决实际问题，对实际问题进行分类讨论，是解题的关键． 20．下列有理数中，最大的数是（  ） A．0.4 B． C． D．0 【答案】C 【知识点】有理数大小比较 【分析】根据有理数的大小比较法则即可解答． 【详解】∵， ∴最大的数为. 故选C. 【点睛】本题考查了有理数大小的比较法，则熟知有理数的大小比较法则是解决问题的关键． 二、填空题 21．向东走10米记作米，则向西走6米表示为 米； 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查相反意义的量，根据正负数表示一对相反意义的量，向东走为正，则向西走为负，进行作答即可。 【详解】解：向东走10米记作，则向西走6米表示为米； 故答案为： 22．如果，那么 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程、化简绝对值 【分析】先将等号右边的绝对值符号去掉，再根据绝对值的意义给予解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键是熟练掌握化简绝对值的运算方法． 23．极不平凡的2020年，云南统筹推进疫情防控和经济社会发展，在大战大考中交出优异答卷．2021年初，云南高速公路通车里程超过9000公里，跃居全国第二．数据9000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】把小数点点在9的后面，得到a值，数出小数点右边的数位数即可得到n，写成a×即可 【详解】∵9000=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟练确定a，n的值是解题的关键． 24．明明的体重为，用四舍五入法将精确到，其近似值为 ． 【答案】// 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．把百分位上的数字7进行四舍五入即可． 【详解】解：（精确到）． 故答案为： 25．一次数学测试，如果90分为优秀，以90分为基准简记，例如93分记为+3，那么85分应记为 分． 【答案】-5 【分析】先计算85比90低的分数，再根据正负数可以表示具有相反意义的量解答． 【详解】解：85分比90分低5分，所以85分应记为﹣5分． 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查了正负数的意义，属于基础题目，明确可以用正负数表示具有相反意义的量是关键． 26．中国古代数学著作《九章算术》方程一章，在世界数学史上首次引入负数．如果收入30元记作，那么支出15元记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果收入30元记作元，那么支出15元记作元， 故答案为：． 27．点A是数轴上一点，一只蚂蚁从点A出发爬了5个单位长度到了表示的数2的点，则点A所表示的数是 ． 【答案】7或 【知识点】数轴上的动点问题 【分析】点A表示的数可以理解为数2向右移动5个单位为，或数2向左移动5个单位为，即可求解出答案． 【详解】解：∵一只蚂蚁从点A出发爬了5个单位长度到了表示的数2的点， ∴， 或． 故答案为：7或． 【点睛】本题主要考查数轴的知识，解题的关键是点A可以向右移动5个单位，也可以向左移动5个单位． 28．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】利用有理数的加减法法则，统一成加法，然后运算即可． 【详解】解： ＝ ＝． 故答案为． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，关键是熟练掌握相应的运算法则． 29．代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x的值为 【答案】﹣3 【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解得到x的值即可． 【详解】解：根据题意得：x+6+3（x+2）=0， 去括号得：x+6+3x+6=0， 移项合并得：4x=-12， 解得：x=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 30．计算： ． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】首先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解： = = 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 31．绝对值不大于3的非正整数有 个，它们的积是 . 【答案】 4 0 【知识点】绝对值的意义 【分析】根据绝对值的意义求解即可；根据任何数同0相乘都等于0进行计算． 【详解】解：根据绝对值的意义，绝对值不大于3的整数有：±3、±2、±1、0， 其中非正整数有：-3、-2、-1、0，共4个. 它们的积是（-3）×（-2）×（-1）×0=0． 故答案为4；0． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解题的关键． 32．若3x+2与﹣2x+1互为相反数，则x的值是 ． 【答案】-3 【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】根据互为相反数相加得零列方程求解即可. 【详解】∵3x+2与﹣2x+1互为相反数， ∴3x+2+(﹣2x+1)=0， 解之得 x=-3. 故答案为-3. 【点睛】本题考查了相反数的意义及一元一次方程的解法，根据相反数的意义列出方程是解答本题的关键. 33．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x为 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】根据勾股定理求得的长，进而求得，由即可求得点表示的数 【详解】解：如图， ∵OB＝OC＝1， ∴BC＝＝， ∴AC＝BC＝，OA＝﹣1， ∴点A表示的数为﹣+1， 故答案为﹣+1． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键． 34．绝对值小于3的所有整数的积是 ． 【答案】0 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题中绝对值小于3的整数其中有0，故所有整数的乘积是0. 【详解】绝对值小于3的所有整数有±1，±2，0， ∴1×（-2）×2×（-2）×0=0 故填：0. 【点睛】本题主要考查了绝对值，以及有理数的乘法，关键是找出绝对值小于3的整数. 35．计算： ． 【答案】． 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】先计算特殊角三角函数值和负指数、二次根式化简、绝对值化简，再计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了包含了特殊角三角函数值、负指数、绝对值、二次根式的实数运算，解题关键是熟练运用所学知识进行准确计算． 三、解答题 36．计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，立方根，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 37．计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的乘方运算、有理数乘法运算律 【分析】先算乘方，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题关键． 38．计算： （1）      （2）简算： 【答案】（1）-22；（2）1 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、运用平方差公式进行运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）利用幂的有关运算性质计算即可确定正确的选项； （2）直接利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1） = =-22； （2） =982-（98-1）（98+1） =982-（982-1） =1． 【点睛】本题考查了平方差公式及幂的有关运算性质，解题的关键是能够了解这些基本知识，难度不大． 39．计算：． 【答案】﹣1． 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简 【详解】 =3-1+1-4 =﹣1． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确利用相关性质化简各数是解题关键． 40．计算：． 【答案】 【知识点】化简绝对值、实数的混合运算、零指数幂 【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解：原式 . 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 41．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)38 (3)36 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数有混合运算： （1）原式根据乘法分配律把括号展开后进行乘法运算，最后进行加减运算即可得到答案； （2）原式先进行乘除法运算，然后再进行加减运算即可得到答案； （3）原式先计算乘方和括号内的，再从左向右依次计算即可； （4）原式先计算乘方和化简绝对值，再进行除法和乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 42．计算 （1）           （2） （3）         （4） （5）                         （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）利用加法的运算法则计算即可； （2）先算乘除，后算加减，按从左到右的顺序进行计算； （3）去绝对值符号，再利用加法的运算法则计算即可； （4）利用乘法的分配律计算即可； （5）把转化成，再利用乘法的分配律计算即可； （6）先算乘方和括号里面的运算，再算中括号里面的运算，最后算括号外面的运算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【点睛】本题考查了有理数混合运算，注意：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，有时利用乘法结合律、加法结合律进行简便运算． 43．已知2a-1的算术平方根为3，3a+b-1的算术平方根为4，求a+2的平方根． 【答案】a+2的平方根是 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】利用平方根及算术平方根列出式子，得到a的值，确定出a+2的值，即可求出平方根． 【详解】解：由题意得2a-1=9，3a+b-1=16， 解得：a=5，b=2， 则a+2=7， ∴a+2的平方根是． 【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，读懂题意并列出式子是解本题的关键． 44．阅读材料，并回答问题． 钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然，但在表盘上看到的是2点钟．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问2点钟之前4小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：我们用0点钟代替12点钟） 由上述材料可知： (1)     ， ； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则9的相反数是 ． 【答案】(1)3；7 (2)3 【知识点】有理数的加减混合运算、相反数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，相反数的定义： （1）分别按照钟表上的加法和减法概念，进行计算即可解答； （2）根据钟面上用0点钟代替12点钟，可得9的相反数． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：3；7； （2）∵，0点钟代替12点钟， ∴， ∴9的相反数是3， 故答案为：3． 45．如图，已知、是数轴上两点，点表示的数为，点在点的右侧，且距离点28个单位长度．现有，两个动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴运动．    （1）点表示的有理数为______． （2）动点先出发，2秒钟后点再由点出发向点运动，当点运动秒时两点相遇，求相遇点对应的有理数是多少？ （3）动点出发的同时，动点从点出发沿数轴向右运动，运动时间为秒，请求出，之间的距离为23个单位长度时的值． 【答案】（1）18（2）10（3）t=5或t=51 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】(1)根据AC的距离即可求解； （2）根据相遇问题即可列出方程求解； （3）分相遇前与相遇后分别列方程即可求解． 【详解】（1）∵、是数轴上两点，点表示的数为，点在点的右侧，且距离点28个单位长度， ∴点表示的有理数为18 故答案为：18； （2）当点运动秒时两点相遇， 依题意可得18-（-10+2×2）=（2+1）x 解得x=8 故点运动8秒时两点相遇， 则相遇点表示的数为18-8×1=10； （3）运动时间为秒，当P,Q相遇前距离为23个单位长度，依题意可得（18+t）-(-10+2t)=23 解得t=5； 当P,Q相遇后距离为23个单位长度，依题意可得（-10+2t）-(18+t)=23 解得t=51 综上，当t=5或t=51时，P,Q距离为23个单位长度． 46．已知是的算术平方根，是27的立方根，求：的平方根． 【答案】 【知识点】立方根概念理解、求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】根据是的算术平方根得到，再由是27的立方根得到，求出值即可得到，求出平方根即可得到答案． 【详解】解： 是的算术平方根， ， 是27的立方根， ，解得，， 将代入得到， ， ， 的平方根是． 【点睛】本题考查平方根定义、算术平方根定义、立方根定义及计算，熟记平方根定义、算术平方根定义、立方根定义是解决问题的关键． 47．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则______，______． (4)那么的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)4 (3)， (4)不变，理由见解析 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、整式的加减运算 【分析】（1）利用，得，求出a，c的值，由b是最小的正整数，可得b=1； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）直接根据题意列代数式即可； （4）由求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∵b是最小的正整数， ∴； 故答案为：，1，7． （2）， 对称点为，； 故答案为：4． （3）， ， ； 故答案为：，． （4）不变． ． 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 48．有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：    (1)在数轴上表示； (2)化简： ； (3)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0； 化简：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)，，；0 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的意义、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】（1）a为负数，负数的绝对值是它的相反数，根据绝对值的意义即可表示出的位置； （2）分别计算、、和与0的大小关系，再根据有理数混合运算法则进行计算即可； （3）数轴上的点，右边总比左边的大，据此确定各项的符号，再根据绝对值的意义化简计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解：由图可得：， ∴、、、， ∴ 故答案为：； （3）解：∵， ，，； ∴ 故答案为：，，． 【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号，整式的加减，以及化简绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键． 49．（1）设a，b是有理数，且满足，求的值． （2）设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2）8或0 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的运算，对式子正确的变形是解题关键． （1）对所求式子进行变形，求出a、b的值，从而可以求得的值； （2）对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得的值． 【详解】解：（1）由题意得， a，b都是有理数， ，也是有理数，由于是无理数， ，， ，， ． （2）， ， ，， 解得：，， 当，时，， 当，时，， 即的值是8或0． 50．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=．           回答下列问题：                            ①数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________．（填出计算结果） ②数轴上表示数x和5的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示数x和-2的两点之间的距离表示为_____ _____ ③若数轴上点P表示的有理数x，则式子表示 ④式子有最小值吗？若有，最小值为多少？简要说明理由．若没有，也简要说出其理由． 【答案】①4；②，；③数轴上的点P到表示1和-3的点的距离之和；④有，最小值为4，理由见解析 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离公式求解； （2）根据数轴上A、B两点之间的距离公式求解； （3）根据给出的式子反过来叙述数轴上点与点之间距离的含义； （4）分情况讨论，点P在线段AB之间和线段AB两边，求式子的取值范围． 【详解】（1）根据题目给的公式，1和-3之间的距离是， 故答案是：4； （2）根据题目给的公式，x和5之间的距离表示为， x和-2之间的距离表示为， 故答案是：，； （3）式子表示数轴上点P 到表示数1的点之间的距离， 式子表示数轴上点P 到表示数-3的点之间的距离， 表示这两段距离的和， 故答案是：数轴上的点P到表示1和-3的点的距离之和； （4）式子有最小值为4， 理由如下： 设数轴上点A表示数1，点B表示数﹣3，则=PA+PB， 当点P在线段AB上时，PA+PB==4， 当点P在点B的左边时，PA+PB=>4， 当点P在点A的右边时，PA+PB=>4， 所以PA+PB=有最小值4． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法． 【能力提升】 1．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)这些铁栅栏够用，理由见解析 【知识点】实数的大小比较、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，实数比较大小： （1）先求出原正方形场地的边长，进而求出其周长即可； （2）设新长方形场地的长和宽分别为，根据长方形面积公式得到方程，解方程得到新长方形场地的长和宽分别为，则新长方形场地的周长为，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵原来正方形场地的面积为， ∴原来正方形场地的边长为， ∴原来正方形场地的周长为； （2）解：这些铁栅栏够用，理由见解析 设新长方形场地的长和宽分别为， 由题意得：， ∴（负值舍去）， ∴新长方形场地的长和宽分别为， ∴新长方形场地的周长为， ∵， ∴， ∵， ∴这些铁栅栏够用． 2．如图，社区有一块面积为的正方形空地，空地的B处有一个凉亭，，为两条小路，现在内种植月季花，其余地方种植郁金香，测得，． (1)求正方形空地的边的长； (2)求郁金香的种植面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】化为最简二次根式、算术平方根的实际应用、根据正方形的性质求线段长、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）根据算术平方根的意义结合二次根式的性质计算即可． （2）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，且． 利用三角形面积公式求出的面积即可得到答案． 本题考查了算术平方根的应用，勾股定理的逆定理，正方形的性质等等． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得，， ∵，，． ∴， ∴， ∴为直角三角形，且． ∴， ∴郁金香的种植面积为. 3．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 4．如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． (3)如图2，把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与−1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ． 【答案】（1）3；（2）面积为：5，边长为：；（3） 【知识点】求小立方块堆砌图形的表面积、用勾股定理解三角形、实数与数轴、立方根的实际应用 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】解：（1）设魔方的棱长为， 则，解得：； （2）棱长为3， 每个小立方体的边长都是1， 正方形的边长为：， ； （3）正方形的边长为，点与重合， 点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 5．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小． 先求出正方形的边长为，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可． 【详解】解：方案一可行． ∵正方形木板的面积为， 正方形木板的边长为． 如图所示，沿着裁剪， ∵， 只要使就满足条件； 方案二不可行．理由如下： 设所裁长方形装饰材料的长为、宽为， 则，即， 解得（负值已舍去）， 所裁长方形的长为， ∵， 所裁长方形的长大于正方形的边长， 方案二不可行． 学科网（北京）股份有限公司 $$