第11讲 导数中的新定义问题（思维导图+3知识点+三大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第11讲 导数中的新定义问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：定义新概念】 【考点二：定义新运算】 【考点三：定义新性质】 模块四 小试牛刀过关测 1.了解新定义问题在导数中的应用 一、新定义问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新运算、新性质几种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 二、新定义问题的方法和技巧 1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、导数新定义问题 1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸． 2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作． 结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则 结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则． 【考点一：定义新概念】 一、解答题 1．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)求曲线在点处的曲率的值； (2)求正弦曲线曲率的最大值． 2．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由; (3)当时，求证：函数为“函数”. 3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． (1)若函数为上的凸函数，求的取值范围； (2)若函数在上有极值，求整数的最小值． （参考数据） 4．（23-24高二下·山东德州·期中）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. (1)若，判断是否为上的“2类函数”； (2)若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围. 【考点二：定义新运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25高二上·福建·阶段练习）如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．    (1)证明：存在唯一零点，且； (2)已知，证明：； (3)经过4次迭代后，判断的近似值与的差值小于． 3．（23-24高二下·山东枣庄·期中）一般地，设函数在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]分成个小区间．每个小区间长度为．在每个小区间上任取一点作和式．如果无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋于常数，那么称该常数为函数在区间[a，b]上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如下图所示： 如果函数是区间[a，b]上的连续函数，并且，那么 (1)求； (2)设函数． ①若恒成立，求实数的取值范围； ②数列满足，利用定积分的几何意义，证明：． 【考点三：定义新性质】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 2．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（    ） ①，②，③，，④ A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 二、解答题 3．（2024·上海奉贤·二模）设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． (1)求证：函数不具有性质； (2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由． 4．（2024·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邢台·开学考试）函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．设函数定义域为D，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024高二·全国·专题练习）若函数的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数 具有Z性质.下列函数中具有Z性质的有（    ） A． B． C． D． 三、解答题 4．（22-23高二下·江西萍乡·期中）定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围. 5．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 6．（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：． 7．（23-24高二下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 8．（23-24高二下·北京·阶段练习）对给定的实数a，b，q，其中，.如果函数，：满足（1）对任意的，且；（2）对任意的，.则称为在区间上的一个“q-压缩函数”.区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作. (1)判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①②③ (2)设，若求实数a的取值范围. (3)设.若对任意的，，均有，求M的最小值，并说明理由. 9．（23-24高二下·河北·期末）已知函数，若存在实数，使得，则称与为“互补函数”，为“互补数”. (1)判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由. (2)已知函数为“互补函数”，且为“互补数”. （i）是否存在，使得？说明理由. （ii）若，用的代数式表示的最大值. 10．（23-24高二下·江西萍乡·期中）函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数图象上存在两点，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”．试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”？若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，请说明理由． 11．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个“T”函数． (1)分别判断新，是否为函数，并说明理由； (2)已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明； (3)已知函数的定义域为R，不等式的解集为．证明：在R上严格增． 12．（24-25高二上·广东·阶段练习）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知． (1)时，求在极值点处的曲率； (2)时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率； (3)，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：． 14．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设是定义在区间上的连续函数，若存在区间，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“含峰函数”，为“峰点”，称为的一个“含峰区间”. (1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由： （i）； （ii）. (2)已知是“含峰函数”，且是它的一个“含峰区间”，求的最大值； (3)设是“含峰函数”，是它的一个“含峰区间”，并记的最大值为.若，且，求的最小值. 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(1)求曲线在点处的切线方程; (2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由; (3)当时，求证：函数为“函数”. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线方程； （2）利用反证法，假设切线是函数的一条“切线”，构造函数，根据导数研究函数的图像得假设不成立，从而得证； （3）设，求出在处的切线，构造函数，利用导数得出存在在处的切线与只有唯一公共点，从而得证. 【详解】（1），， ， 所求切线方程为，即. （2）（1）中所求切线不是函数的一条“切线”. 理由如下： 假设切线是函数的一条“切线”， 则方程，即只有一个解. 记函数，则只有一个零点. （方法一）， 当时，单调递增; 当时，单调递减; 当时，单调递增， 的极大值为，极小值为， 又时，， 函数有两个零点，这与其只有一个零点矛盾. 切线不是函数的一条“切线”. （方法二）， 函数至少有两个零点，这与其只有一个零点矛盾. 切线不是函数的一条“切线”. （3）证明:由（1）知， 设， 在处的切线方程为， 即， 只需方程， 即只有一个解， 令， 则， 令，则， 取，则， 单调递增，又， 函数只有一个零点，即只有一个解， 函数为“函数” 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点个数常用方法：（1）转化为相应方程根的个数：求出其根可得解；（2）根据导数求研究函数的单调性，画出函数大致图像，判断函数与x轴交点的情况；（3）转化为两个函数图像交点的个数：利用导数研究两个函数的图像，根据两个函数交点情况可得结果. 3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． (1)若函数为上的凸函数，求的取值范围； (2)若函数在上有极值，求整数的最小值． （参考数据） 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由题意可得，参变分离后可得恒成立，构造函数后，借助导数得其单调性后即可得其最小值，即可得的取值范围； （2）由函数在上有极值，可得在上有解，构造函数，虚设其导数零点，可得函数单调性，即可得其最小值，结合零点存在性定理可得，再构造函数，结合其单调性即可得其最小值，即可得得范围，即可得其最小值. 【详解】（1）由，得，， 由于函数为上的凸函数，故，即， 令，则， 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故，所以， 故的取值范围为； （2）由，得， 函数在上有极值，即在上有变号零点， 即在上有解， 令，则， 令，则，， 即在上单调递增， 又，，故存在，使得， 且时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故， 由于，， 故，， 又， ， 由零点存在定理知，， 因为在上单调递减，且， 故， 因为，则，又， 的最小值为1. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于无法求出函数的零点的具体值时，虚设零点，则有，从而可得. 4．（23-24高二下·山东德州·期中）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. (1)若，判断是否为上的“2类函数”； (2)若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不是上的“2类函数”. (2). 【分析】（1）利用解析式化简，结合放缩即可判断； （2）不妨设，根据新定义可得，整理后可得且，根据和的单调性可得，然后参变分离，构造函数，，分别利用导数求和即可得解. 【详解】（1）对于任意不同的，设， 则，， 所以， 所以不是上的“2类函数”. （2）因为， 由题意知，对于任意不同的，都有， 不妨设，则， 故且， 故为上的增函数，为上的减函数， 所以，， 故对任意，都有，即， 所以， 令，， 令，在单调递减， 所以，， 故在单调递减， 所以，所以， 令，， 令，在上单调递减， ，， 所以，使，即， 当时，，即，在上单调递增， 当时，，即，在上单调递减， 所以， 由，得， 所以， 又因为，所以， 所以a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题关键在于根据新定义转化为为上的增函数，为上的减函数，再由函数单调性与导数的关系得，然后参变分离，转化为求函数最值问题，最后利用导数求解可得.本题还属于隐零点问题，需充分利用隐零点方程. 【考点二：定义新运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、解答题 2．（24-25高二上·福建·阶段练习）如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．    (1)证明：存在唯一零点，且； (2)已知，证明：； (3)经过4次迭代后，判断的近似值与的差值小于． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)经过4次迭代后，的近似值与的差值小于 【分析】（1）利用导数与函数间的关系，得到单调递增，再利用零点存在性原理，即可证明结果； （2）利用导数的几何意义得到在点处的切线方程为，从而得到，进而有，将问题转化成证明，即可求解； （3）利用（2）中结果，得到，同理得到， ，    ，即可证明结果. 【详解】（1），所以单调递增， 因为，， 所以存在唯一零点，且． （2）在点处的切线方程为，     令，解得，     ， 易知，所以，     要证，只需证，     即， 因为，所以． （3）由（2）可知，，     所以，     所以，     所以，     所以经过4次迭代后，的近似值与的差值小于． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 3．（23-24高二下·山东枣庄·期中）一般地，设函数在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]分成个小区间．每个小区间长度为．在每个小区间上任取一点作和式．如果无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋于常数，那么称该常数为函数在区间[a，b]上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如下图所示： 如果函数是区间[a，b]上的连续函数，并且，那么 (1)求； (2)设函数． ①若恒成立，求实数的取值范围； ②数列满足，利用定积分的几何意义，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据已知条件中定积分的定义计算即可； （2）①构造函数，结合导函数的端点值分类讨论其单调性即可；②先构造数列，判定其为等差数列，并求出，最后结合定积分的几何意义证明即可. 【详解】（1）； （2）①恒成立，得恒成立． 令，则． 当时，，所以在上单调递增， 又，所以在恒成立． 当时，当时，有，所以在上单调递减， 又在恒成立，与矛盾． 综上所述，． ②由，可得，所以． 即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则， 所以， 是由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积． 而表示图一阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的左边成立． 表示图二阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的右边成立． 【点睛】关键点点睛： （1）本题第一问在于对于定积分的理解，为求导的逆运算，再代入边界条件作差即可. （2）第二问第一小问为含参数的函数不等式恒成立问题，作差构造函数，利用导数讨论单调性即可；第二小问关键在于定积分意义的理解. 【考点三：定义新性质】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题干条件变形，转化为在上不单调，即可满足“性质”，再分别对选项一一判断即可. 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数使得， 所以在上不单调，即可满足“性质”； 对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”； 对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”； 对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”； 对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”； 故选：B 2．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（    ） ①，②，③，，④ A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据题意可知其导函数上存在两点的导函数值乘积为；对每一个函数进行求导，逐个判断即可. 【详解】，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件； ，所以恒成立，不满足条件； ，，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件； ，所以，函数单调递增，且，，其导函数上存在两点的导函数值的乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件. 故选：C. 二、解答题 3．（2024·上海奉贤·二模）设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． (1)求证：函数不具有性质； (2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)具有性质，的取值集合 【分析】（1）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件；         （2）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件. 【详解】（1）假设具有性质， 即 对一切恒成立          化简得到，显然不存在实数使得成立，所以假设错误， 因此函数不具有性质. （2）假设具有性质， 即 对一切恒成立， 即 对一切恒成立，则对一切恒成立，      由，所以当时，具有性质， 所以具有性质，的取值集合. 4．（2024·上海普陀·一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)函数在区间上具有性质； (2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； (3)的最大值为. 【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可； （2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围； （3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值. 【详解】（1）令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； （2）∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一. 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邢台·开学考试）函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，令，则恒成立，参变分离得到恒成立，令，利用导数求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】函数定义域为，则， 令，则，依题意恒成立， 即恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，即的最小值为. 故选：B 2．设函数定义域为D，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，可得，则在定义域内正负号不变时满足性质，若有唯一变号零点时不满足性质，则通过计算即可判断. 【详解】可化为， 令， 则，， 若在定义域内正负号不变，那么是的变号零点，则在的两侧的单调性不一致，因此满足性质； 若有唯一变号零点，那么取，则在定义域内的正负号不变，进而函数在定义域内单调，因此不满足性质. 对于A，，则，所以满足性质； 对于B，，则有唯一变号零点0，所以不满足性质； 对于C，，则，所以满足性质； 对于D，，则，所以满足性质. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题. 二、多选题 3．（2024高二·全国·专题练习）若函数的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数 具有Z性质.下列函数中具有Z性质的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意可得，函数具有性质指函数的图象在两个不同的点处的切线是重合的，即两个不同的点所对应的导数值相等，且函数图象在该两点处的切线方程也相同. 导函数为增函数可判断A；利用导数相等，求解方程，可判断B、C、D. 【详解】由题意可得，函数具有性质指函数的图象在两个不同的点处的切线是重合的，即两个不同的点所对应的导数值相等，且函数图象在该两点处的切线方程也相同. 对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在两个不同的使得导数值相等，所以A选项不符合； 对于B选项，，则，令，可得或，当时，所以函数的图象在和处的切线重合，切线方程为，所以B选项符合； 对于C选项，，则，设两切点分别为和，由两切点处的导数值相等得，解得，令，则，两切点处的导数值均为，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合； 对于D选项，，则，设两切点的坐标分别为和，则，所以，取， 则，两切点处的导数值均为1，两切点连线的斜率为，所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合Z性质，所以D选项符合. 故选：BD. 三、解答题 4．（22-23高二下·江西萍乡·期中）定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过导数求斜率进而求解切线方程即可； （2）将题意转化为与图象有公共点，通过对右侧函数值域的研究即可得到答案. 【详解】（1）当时，，. ，. 故曲线在处的切线方程为 （2）因为在上存在1级“平移点”， 所以存在，使. 由， 得， 即， 即与图象有公共点， 令， 则， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以，，所以， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为和； (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件及导数法求函数的单调性即可求解； （2）根据（1）的结论及导数法其函数的极值，结合函数零点与最值的关系即可求解. 【详解】（1）由题可知，， ， 因为是函数的“拐点”， 所以，解得． 所以， ． 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. （2）由（1）可知，函数的拐点横坐标为，所以， 令，解得或； 令．解得． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为， 的极大值为． 当，即时，有三个零点; 当，即时，有两个零点; 当，即时，有一个零点. 6．（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：． 【答案】(1)有极小值，无极大值. (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用极值的定义求解即可； （2）分类讨论求的单调区间即可； （3）利用“恒切函数”的定义，列方程组得出，然后结合的范围求解即可. 【详解】（1）函数, , 当时， ， ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. （2）， 当时，，在单调递减； 当时，，,， ,且为增函数， 时，，在单调递增； 时，，在单调递减； 综上得：当时，在单调递减； 当时，在单调递增,在单调递减； （3）当时，函数是“恒切函数”， 且, 设函数与直线切点,则, 故，即，，， ，所以是方程的根， 设，, , 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 且, ，， 是方程的根， 所以或, 或 故. 7．（23-24高二下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. 【详解】（1）假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， （ⅰ）先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以.                                           （ⅱ）由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证，                   只需证， 即， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键主要有三点：一是理解新定义“切合函数”；二是利用切合函数得到两个关键等式；三是把多变量转化为单变量，构造函数，利用单调性证明不等式. 8．（23-24高二下·北京·阶段练习）对给定的实数a，b，q，其中，.如果函数，：满足（1）对任意的，且；（2）对任意的，.则称为在区间上的一个“q-压缩函数”.区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作. (1)判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①②③ (2)设，若求实数a的取值范围. (3)设.若对任意的，，均有，求M的最小值，并说明理由. 【答案】(1)①，③属于集合，②不属于集合 (2) (3)3，理由见解析 【分析】（1）根据，且和任意的，两个条件得出结果，理由见解析. （2）先利用，得出，，取绝对值，构造新函数，在单调递减，则，得出，取交集得出的范围. （3）令则通过三种情况，，分别让，得到，再通过，对任意的，分4种情况证明，最后得出的最小值为3. 【详解】（1）①，③属于集合，②不属于集合. ①，，则；， 表示任意两点斜率的绝对值，所以最大为，所以符合题意； ②，，则；， ，而，所以不符合题意； ③，，则， ，在上增， ，证明即可，即证， 即证，即证单调递减，令，， 所以得证，即，符合题意. （2）一方面，由性质（1），对任意的， 由，得， 由，得或. 所以. 特别地，，此时是上的增函数. 对任意的，其中，则. 由性质（2） ， 令，则在单调递减. 此时，对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，故； 综上，经检验，此时符合题意. （3）m的最小值为3. 一方面，令，则，. 对任意的，，，不妨设. （a）若，则 （b）若，则 （c）若，则 所以. 综上，.由，得. 另一方面，设，对任意的 （a）当时， （b）当时，由，得，故； （c）当时，由，得，故； （d）当时， 综上，恒成立. 综上，的最小值为3. 【点睛】思路点睛： 新定义题首先读懂条件，按条件做题即可. 且，注意不是，有 ，都是可以通过取绝对值，构造函数，利用函数单调性求出参数范围的. 9．（23-24高二下·河北·期末）已知函数，若存在实数，使得，则称与为“互补函数”，为“互补数”. (1)判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由. (2)已知函数为“互补函数”，且为“互补数”. （i）是否存在，使得？说明理由. （ii）若，用的代数式表示的最大值. 【答案】(1)不是“互补函数”，理由见解析； (2)（i）存在，理由见解析；（ii）. 【分析】（1）利用导数分别求出，的值域，由“互补函数”的定义判断即可； （2）（i）根据定义，可得，即可求解；（ii）根据条件可化简得，令，利用导数求出的单调性，从而可得的最大值. 【详解】（1）因为，则， 所以在单调递增，在单调递减，则，所以， 因为，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以. 故不存在实数，使得，则与不是“互补函数”. （2）（i）存在，使得. 由，得， 则，故存在. （ii）令，则， 两式相加可得， 两式相减可得 所以， 故. 令， 则. . 因为，所以， 故当时，，即在上是减函数. 因为， 所以的最大值为. 10．（23-24高二下·江西萍乡·期中）函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数图象上存在两点，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”．试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”？若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可； （2）根据“拉格朗日中值函数”的定义可得，进而构造函数，利用导数即可求解． 【详解】（1）由题知，， 令，则， 当时，，则恒成立，故在定义域上单调递增； 当时，的两根分别为， 若，则，且时，单调递增；时，单调递减， 若，则，且时，单调递增；时，，单调递减， 综上： 当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）， 若是拉格朗日中值函数，则需满足存在，且，使得， 即，即， ①当时，上式对任意的都成立，则为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个； ②当时，需满足，设，即需方程在区间上有解， 令在上单调递增， 当时，，即方程在区间上无解， 综上： 当时，为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个； 当时，不是拉格朗日中值函数． 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 11．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个“T”函数． (1)分别判断新，是否为函数，并说明理由； (2)已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明； (3)已知函数的定义域为R，不等式的解集为．证明：在R上严格增． 【答案】(1)答案见详解 (2)，证明见详解 (3)证明见详解 【分析】(1)求导，根据T函数的定义得到答案； (2)构造函数，确定函数单调递增，根据得解； (3)，设，根据单调性得到恒成立，得到，再排除的情况得到证明. 【详解】（1）由题意可知：若是一个“严格增函数”，等价于在定义域内单调递增，且， 对于：可知其定义域为R，且， 因为，可知是R上的严格增函数， 即是R上的严格增函数，故是“T函数”； 对于：可知其定义域为R，且， 因为不是R上的严格增函数，故不是“T函数”. （2），证明如下 因为定义在上的函数是T函数，则在上严格递增， 设，则， 故在上单调递增，故， 即，所以. （3）T函数的定义域为R，故在R上严格增， ，设，则， 当时，；当时，； 函数在内单调递减，在内单调递增， 故， 即， 当时，恒成立，则恒成立， 故， 若存在，使，则当时，， 这与，矛盾， 故不存在使， ，恒成立，故在R上严格增. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，可以简化运算，是解题的关键. 12．（24-25高二上·广东·阶段练习）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 【答案】(1)根有3个，且分别位于，，这三个区间内 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）注意到，结合罗尔定理可得答案； （2）构造函数，后利用罗尔定理可证明结论； （3）注意到，后由（2）中结论可证明. 【详解】（1）注意到，则由罗尔定理， 在内存在，使； 在内存在，使： 在内存在，使. 综上，的根有3个，且分别位于，，这三个区间内. （2）证明：构造函数， 则注意到，由罗尔定理， 则在上至少存在一点c，使 即在开区间内至少存在一点c，使得； （3）证明：当时，. 因函数为上连续函数，. 由（2），又，则在上存在， 使； 又，则在上存在 又令，当时，， 则在上单调递增， 又 则 所以： 【点睛】在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等， 并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法. 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知． (1)时，求在极值点处的曲率； (2)时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率； (3)，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：． 【答案】(1)2 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得函数的极值点，进而由曲率公式计算即可； （2）令，可得，令时，可得，进而数形结合可得时，有解，且有两解且，进而计算可得极值点处的曲率； （3）根据曲率为0可得，，由（2）可得时，有两解，可证明，再证明即可. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得，当时，，当时，， 所以当为在极小值点，又，所以， 所以； （2）由，可得， 令，则， 令时，可得，令，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，则， 所以时，有解，且有两解且， 为的极小值点，为的极大值点， 当时，有解，且有唯一解，但此解不是极值点， 当时，无解，所以无极值点， 所以当时，存在极值点， 所以； （3）由题意可得，可得， 要，曲率为0，则，即， 可得，， 所以时，有两解，，可证， 由（2）可得，， 可得，． 要证明，即证明，也就是． 因为，所以即证明， 即，令，则，于是， 令，则, 故函数在上是增函数， 所以，即成立．所以成立． 又因为，则， 由（2）可得在上单调递减， 因为，，所以， 【点睛】关键点睛：本题利用导数分析函数单调性与最值及零点，进而证明不等式的问题.需要根据题意找到间的关系，平时积累常见的函数如的图象性质与指对数函数的常见化简如等是关键，同时也要注意根据零点的关系，，构造函数证明不等式的方法. 14．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设是定义在区间上的连续函数，若存在区间，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“含峰函数”，为“峰点”，称为的一个“含峰区间”. (1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由： （i）； （ii）. (2)已知是“含峰函数”，且是它的一个“含峰区间”，求的最大值； (3)设是“含峰函数”，是它的一个“含峰区间”，并记的最大值为.若，且，求的最小值. 【答案】(1)（i）是“含峰函数”，“峰点”为 （ii）不是 “含峰函数” (2) (3) 【分析】（1）结合所给定义，分别借助导数研究函数与是否有极大值即可得； （2）结合所给定义，可得在上存在极大值点，结合导数计算即可得的范围，即可得其最值； （3）求导后可因式分解，由定义可得有两不相等实根，再根据，结合单调性得到，根据，结合单调性得到，即有，即可结合韦达定理表示出，再由、代入计算可得出间的关系，即可分类讨论最小值. 【详解】（1）（i）由，， 当或时，，当或时，， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 故存在区间，该函数在上单调递增，在上单调递减， 故是“含峰函数”， “峰点”为， （ii），，则在上是增函数， 故不是“含峰函数”； （2）由题意在上存在极大值点， 的定义域是， ， 因为，令得，（舍去）， 当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得，又，所以的最大值是； （3）由， 则， 若， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 此时不为 “含峰函数”， 则有两个不等实根， 设这两根分别为、且， 则有， ，， 由，故在上不为减函数， 若，则当时，，即在上单调递减，矛盾，故； 由，故在上不为增函数， 若，则当时，，即在上单调递增，矛盾，故； 故有， 故当时，，当时，， 即在、上单调递减，在、上单调递增， 故，故 ， 由，即， ，即， 令，解得， 故当时，，当时，， 故当时， ， 由，故， 当时， ， 由，故， 综上所述，的最小值为，此时，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于根据，结合单调性得到，根据，结合单调性得到. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$