精品解析：山东省淄博市张店区张店七中教育集团2024-2025学年九年级上册培优班12月16日过程测试数学试卷

山东省淄博市张店区张店七中教育集团 2024-2025学年九年级上册培优班12月16日过程测试 数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年10月1日清晨，北京天安门广场举行升国旗仪式，庆祝中华人民共和国成立75周年，共有123000名来自五湖四海的游客和市民在天安门广场观看升国旗仪式．将123000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 4. 小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（ ） A. 平均数 B. 众数是10 C. 中位数是8.5 D. 方差是 5. 如图，要得到从点D观测点A的俯角，可以测量（　　） A. ∠ADC B. ∠DCE C. ∠ADB D. ∠DAB 6. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A B. C. 且 D. 且 7. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设x小时后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度为（　　） A. 60千米/小时 B. 70千米/小时 C. 75千米/小时 D. 80千米/小时 9. 在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（ ） A. 小明正确，小丽错误 B. 小明错误，小丽正确 C. 小明、小丽都正确 D. 小明、小丽都错误 10. 如图，面积为的矩形在第二象限，与轴平行，反比例函数经过两点，直线所在直线与轴、轴交于两点，且为线段的三等分点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 函数中，自变量x取值范围是______________． 12. 如图，一段抛物线：，记为C1，它与x轴的两个交点分别为O，A1，顶点为P1；将C1绕点A1旋转180°得C2，它与x轴的另一交点记为A2，顶点为P2；将C2绕点A2旋转180°得C3，它与x轴的另一交点记为A3，顶点为P3，…，这样一直进行下去，得到抛物线段，，，…，，则点的坐标为____________；若点M（，m）在第3段抛物线上，则m＝___________． 13. 如图，半径为2的和的圆心，都在线段上，还在上，两圆交点为C，过点C作于点E交于点D，则的大小为_________，AD的长为_________． 14. 如图，小明制定了一种密码规则，根据该规则将密文 “”翻译成明文__________． 15. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 三．解答题（共7小题） 16. 化简求值：，其中，． 17. 如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点． （1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝解析式； （2）求△COD的面积； （3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜． 18. 如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 19. 小予和小凡同学计划为美术教室设计一款多功能桌．现有圆心为O、半径为R的圆面形材料若干个（如图1所示），先在圆面材料上裁掉一个以O为圆心、为半径的圆得到一个圆环，然后把圆环6等分（如图2所示），得到若干扇环形桌面（如图3所示）． （1）图3中一个扇环的面积为_________（用含r、R的式子表示）； （2）小予同学用8块相同的扇环拼成如图4所示的桌子． ①图4是一个中心对称图形，请在图上标出对称中心A； ②根据图4上标注的数据求这张桌子的桌面面积（结果保留π）． （3）小凡同学用10块相同的扇环拼成如图5所示的桌子．矩形ABCD是能把这张桌子围起来的最小矩形，且，直接写出图中线段EF的长度． 20. 小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，画出了如下四个二次函数的图象（其中） 抛物线，抛物线，抛物线，抛物线．发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系： （1）可以通过_________得到（填平移、轴对称或中心对称）； （2）在下面的说法中，正确的是_________（填序号） ①和关于原点中心对称； ②和关于点中心对称； ③和关于直线轴对称，但不成中心对称． 21. n阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． （1）画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． （2）直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． （3）从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ”…是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 22. 类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 23. 如图，已知点A、B、C为上互不重合的三点，，图形G关于轴对称后的图形称为，把再关于AC轴对称后的图形称为图形，若图形和都在上或内，则称图形G为关于的“轴转图形”．例如图中点D为关于的“轴转图形”： 如图1，在平面直角坐标系中，的半径为1，上有三点，， （1）①直接写出的度数； ②在点和点中，点_________为关于的“轴转图形”，且的坐标为_________； （2）平面内有一条线段EF，且EF是关于的“轴转图形”． ①若EF上所有的点都在上或内，则EF长度的最大值为_________； ②若EF是平面内的任意一条线段，则EF长度的最大值为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省淄博市张店区张店七中教育集团 2024-2025学年九年级上册培优班12月16日过程测试 数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫作中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项逐项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 2024年10月1日清晨，北京天安门广场举行升国旗仪式，庆祝中华人民共和国成立75周年，共有123000名来自五湖四海的游客和市民在天安门广场观看升国旗仪式．将123000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将123000用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质和垂直的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．依题意得，再根据在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，因此有以下两种情况：①当为锐角时，②当为钝角时，依题意画出图形，根据平行线的性质及垂直的定义即可得出的度数． 【详解】解：比的3倍少， ， 在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直， 有以下两种情况： ①当为锐角时，如图1所示：，， ， ， ， 解得：， ②当为钝角时，如图2所示：，， ， ， ， ， 解得：． 综上所述：的度数为或． 故选：C 4. 小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（ ） A. 平均数是 B. 众数是10 C. 中位数是8.5 D. 方差是 【答案】D 【解析】 【分析】由折线图得到相关六天的用水数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论． 【详解】解：由折线图知：1日用水4吨，二日用水2吨，三日用水7吨，四日用水10吨，5日用水9吨，6日4吨， 平均数是：（4＋2＋7＋10＋9+4）÷6＝6， 数据2，4，4，7，9，10的中位数是（4+7）÷2=5.5， 4出现次数最多，故众数为4， 方差是S2＝×[（2−6）2＋（4−6）2＋（4−6）2＋（7−6）2＋（9−6）2+（10-6）2]=． 综上只有选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了折线图、平均数、中位数、众数及方差等知识，读折线图得到用水量数据是解决本题的关键． 5. 如图，要得到从点D观测点A的俯角，可以测量（　　） A. ∠ADC B. ∠DCE C. ∠ADB D. ∠DAB 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点D作DF//AB， ∴ ∵水平线与视线的夹角，即是俯角， ∴从点观测点的俯角为， ∴可以测量， 故选：D 【点睛】此题主要考查了仰角与俯角定义，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． 6. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 7. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设x小时后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度为（　　） A. 60千米/小时 B. 70千米/小时 C. 75千米/小时 D. 80千米/小时 【答案】B 【解析】 【分析】设甲车的速度是a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设甲车的速度是a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时， 由题意，得， 解得： 故乙车的速度是70千米/小时， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键． 9. 在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（ ） A. 小明正确，小丽错误 B. 小明错误，小丽正确 C. 小明、小丽都正确 D. 小明、小丽都错误 【答案】C 【解析】 【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， 当点E落在边上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故小明的说法是正确的； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，的长最小， ∴当的长最小时，， 又∵， ∴， ∴， ∴；故小丽的说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点的轨迹，是解题的关键． 10. 如图，面积为的矩形在第二象限，与轴平行，反比例函数经过两点，直线所在直线与轴、轴交于两点，且为线段的三等分点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长AB交x轴于点G，延长BC交y轴于点H，根据矩形面积求出的面积，通过平行可证明∽，∽，∽，然后利用相似的性质及三等分点可求出、、的面积，再求出四边形BGOH的面积，然后通过反比例函数比例系数的几何意义求出k值，再利用的面积求出b值即可． 【详解】延长AB交x轴于点G，延长BC交y轴于点H，如图： ∵矩形ABCD的面积为1， ∴， ∵B、D为线段EF的三等分点， ∴，，， ∵， ∴，， ∴∽， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴即， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形BGOH是矩形， 根据反比例函数的比例系数的几何意义可知：， ∴， ∴ 又∵，即， ∴， ∴直线EF的解析式为， 令，得， 令，即，解得， ∴，， ∵F点在轴的上方， ∴， ∴，， ∵，即， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，一次函数与面积的结合，综合性较强，需熟练掌握各性质定理及做题技巧． 二．填空题（共6小题） 11. 函数中，自变量x取值范围是______________． 【答案】x≥-3且x≠0 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解． 【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0， 解得x≥-3且x≠0． 故答案为：x≥-3且x≠0． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数． 12. 如图，一段抛物线：，记为C1，它与x轴的两个交点分别为O，A1，顶点为P1；将C1绕点A1旋转180°得C2，它与x轴的另一交点记为A2，顶点为P2；将C2绕点A2旋转180°得C3，它与x轴的另一交点记为A3，顶点为P3，…，这样一直进行下去，得到抛物线段，，，…，，则点的坐标为____________；若点M（，m）在第3段抛物线上，则m＝___________． 【答案】 ①. ， ②. 【解析】 【分析】根据旋转的性质，可得图形的大小形状没变，可得答案． 【详解】解：∵c1为=-x(x-1)=-(x-)2+（0≤x≤1）， ∴则P1的纵坐标为，x1=0，x2=1， ∵OA1=1，OA2=2， ∴P2(，-)，即P2， 同理：P3(，)，即P3， ∴C3为y=-(x-)2+， 当x=时，m= -(-)2+=， 故答案为，． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，注意旋转前后的图形大小与形状都没发生变化是解题关键． 13. 如图，半径为2的和的圆心，都在线段上，还在上，两圆交点为C，过点C作于点E交于点D，则的大小为_________，AD的长为_________． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】连接，，，．由垂径定理得，进而得，再证明△是等边三角形，得，证△是等边三角形， 利用勾股定理及30度直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接，，，． ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∵， ∴，， ∵， 是等边三角形， ，． 故答案为：30，． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 14. 如图，小明制定了一种密码规则，根据该规则将密文 “”翻译成明文为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了观察归纳能力，解题关键是发现密文规则，找出数字代表的字母即可． 【详解】解：数字代表的字母是G；数字代表的字母是U；数字代表的是空格；数字代表的字母是L；数字代表的字母是O；数字代表的字母是U； “”翻译成明文为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 三．解答题（共7小题） 16. 化简求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，根据分式的减法法则、除法法则、乘法法则把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】 ， 当，时，原式 ． 17. 如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点． （1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式； （2）求△COD的面积； （3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜． 【答案】（1）y1＝x+2；y2＝；（2）S△COD＝6；（3）当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b＜． 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）联立方程求得D的坐标，然后根据即可求得△COD的面积； （3）根据图象即可求得时，自变量x的取值范围． 【详解】 （1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝的图象上， ∴， ∴； 如图，作CE⊥x轴于E， ∵C（2，4），点B是线段AC的中点， ∴B（0，2）， ∵B、C在的图象上， ∴ ， 解得， ∴一次函数为； （2）由 ， 解得或， ∴D（﹣4，﹣2）， ∴； （3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B点的坐标是解题的关键． 18. 如图（1），，，，．点在线段上以速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）与全等，线段，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由速度和时间求得，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即； （）分两种情况讨论：时， ， 和 时，，利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【小问1详解】 解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 19. 小予和小凡同学计划为美术教室设计一款多功能桌．现有圆心为O、半径为R的圆面形材料若干个（如图1所示），先在圆面材料上裁掉一个以O为圆心、为半径的圆得到一个圆环，然后把圆环6等分（如图2所示），得到若干扇环形桌面（如图3所示）． （1）图3中一个扇环的面积为_________（用含r、R的式子表示）； （2）小予同学用8块相同的扇环拼成如图4所示的桌子． ①图4是一个中心对称图形，请在图上标出对称中心A； ②根据图4上标注的数据求这张桌子的桌面面积（结果保留π）． （3）小凡同学用10块相同的扇环拼成如图5所示的桌子．矩形ABCD是能把这张桌子围起来的最小矩形，且，直接写出图中线段EF的长度． 【答案】（1） （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，圆的面积，轴对称等，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）由题可知一个扇环面积等于，进而用大圆面积减去小圆面积即可得出圆环面积； （2）①对应点连线的交点即是对称中心；，②由题先分别求出R和r的长度，再代入即可得解； （3）先找出各扇环圆心，得出，以及，然后我们发现点与点关于中垂线对称，点和关于中垂线对称，，且F、G、三点共线，进而得到是等腰三角形，且顶角为，即可得解 【小问1详解】 解： ； 故答案为：； 【小问2详解】 ）①如图所示； ②如图，设两个圆环的圆心分别为和，则，， ， 解得， ； 【小问3详解】 如图，分别作出各扇环所在的圆心、、、， 由图得， 由（2）②可得，， ， 点与点关于中垂线对称，点和关于中垂线对称，且、、三点共线， 一个扇环是圆环， ， △是等边三角形， ， ，， ， 是等腰三角形，且顶角为， ． 20. 小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，画出了如下四个二次函数的图象（其中） 抛物线，抛物线，抛物线，抛物线．发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系： （1）可以通过_________得到（填平移、轴对称或中心对称）； （2）在下面的说法中，正确的是_________（填序号） ①和关于原点中心对称； ②和关于点中心对称； ③和关于直线轴对称，但不成中心对称． 【答案】（1）平移 （2）①② 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及几何变换，涉及二次函数性质，解题的关键是会求一个点关于某点（或直线）的对称点． （1）观察解析式可得答案； （2）根据一个点关于某点（或直线）的对称点坐标逐项判断即可． 【小问1详解】 解：可以通过平移得到， 故答案为：平移； 【小问2详解】 抛物线关于原点对称的抛物线解析式为，即， 和关于原点中心对称，故①正确； 设为抛物线上任意一点，其关于的对称点坐标为， ， 在抛物线上， 即抛物线上任意一点关于的对称点都在上， 和关于点中心对称，故②正确； 设为抛物线上任意一点，其关于直线的对称点为， 在抛物线上， 和关于直线轴对称， 为抛物线上任意一点，其关于的对称点为， ， 在抛物线上， 即抛物线上任意一点，其关于的对称点都在抛物线上， 抛物线和抛物线关于对称，故③错误； 正确的有①②， 故答案为：①②． 21. n阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． （1）画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． （2）直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． （3）从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ”…是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义平面图形的规律，解题关键是理解题意，准确画出图形； （1）根据题目给出的方法画出图形即可； （2）由前面n阶长方形的宽长比的规律解答即可； （3）根据n阶长方形的宽长比的规律解答即可． 【小问1详解】 解：另外两种3阶长方形的裁剪示意图如图所示，对应的宽长比分别是，； 【小问2详解】 解：3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 【小问3详解】 解：选①，因为2阶长方形的宽长比有两种可能，即是； 3阶长方形的宽长比有四种可能，即是； 4阶长方形的宽长比有八种可能，即是； …… 所以10阶长方形宽长比共有种可能的值； 选②，因为1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，两种不同补法，正好可以补成一个大的正方形，宽长比为1，故“”“ ”…是必然的； 选③，因为，，，，，，， ， 一个长方形的宽长比为，则它是32阶长方形． 22. 类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【解析】 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 23. 如图，已知点A、B、C为上互不重合的三点，，图形G关于轴对称后的图形称为，把再关于AC轴对称后的图形称为图形，若图形和都在上或内，则称图形G为关于的“轴转图形”．例如图中点D为关于的“轴转图形”： 如图1，在平面直角坐标系中，的半径为1，上有三点，， （1）①直接写出的度数； ②在点和点中，点_________为关于的“轴转图形”，且的坐标为_________； （2）平面内有一条线段EF，且EF是关于的“轴转图形”． ①若EF上所有的点都在上或内，则EF长度的最大值为_________； ②若EF是平面内的任意一条线段，则EF长度的最大值为_________． 【答案】（1）①；②D， （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． （1）①如图：连接和，过作轴于点，过作轴于点，再证明可得，进而得到即可证明结论；②分为对称点和为对称点两种情况分别解答即可； （2）如图，由是关于的“轴转图形”，可知，在上及内部，由上所有的点都在上或内可知，，将线段关于射线对称得到线段在上及内部，进而得到即可解答；②如图，由图形在上及内部可知，图形在的和的上及内部，则图形内的最长线是，最后根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：①如图：连接和，过作轴于点，过作轴于点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ，即； ②第一种情况：当为对称点时， 设， ， ， ，， ， ， 点在外，不是关于的“轴转图形”； 第二种情况：当为对称点时， 设，则， ， ， ， ， ，， ， 在圆上，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①如图，由是关于的“轴转图形”，可知，在上及内部，由上所有的点都在上或内可知，，将线段关于射线对称得到线段在上及内部， ， 故答案为：； ②如图，由图形在上及内部可知，图形在的和的上及内部， 因此图形内的最长线是， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $