专题07 牛顿运动定律（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优精练（高一上学期）

2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题07 牛顿运动定律 1．（2024·全国竞赛）质量为M的三角楔子置于水平无摩擦的地面上，将质量为m的木块放在楔子上，如图所示，木块和楔子之间没有摩擦力，系统从静止状态释放，给定和。 （1）三角楔子加速度的大小（　　） A． B． C． D． E．0 （2）若当木块滑到地面时，楔子相对地面的速度为1m/s，木块在楔子上离地面的初始高度（假设木块为无体积的重点）（　　） A． B． C． D． E． （2020·攀枝花竞赛）一质量为M的光滑大圆环用细绳挂在天花板上。两个质量同为m的小圆圈从环顶由静止开始同时向两边下滑，已知质量比。 2．当细绳张力时圆圈位置的余弦函数满足方程（　　） A． B． C． D． E． F． 3．参量K的取值范围为（　　） A． B． C． D． E． F． 4．当小圆圈的质量m是大圆环质量M的2倍且细绳张力时，圆圈位置（　　） A． B． C． D． E． F． 5．（2010·全国竞赛）斜坡型的房顶具有保温、节能、美观等优点，农村的平房大都采用这种房顶，城市中的一些居民楼也进行了“平改坡”的改造．在进行这种斜坡型房顶的设计中，考虑到下雨时落至房顶的雨水要能尽快地淌离房顶，以减少房顶漏水的可能．在下面所示的四种情景中最符合上述要求的是（    ） A．B．C．D． 6．（2018·上海竞赛）如图所示，物块从斜面的底端以确定的初速度开始沿粗糙斜面向上做匀减速运动，恰能滑行到斜面上的B点，如果在滑行过程中（　　） A．在物块上施加一个竖直向下的恒力，则一定能滑行到B点 B．在物块上施加一个竖直向下的恒力，则一定不能滑行到B点 C．在物块上施加一个水平向右的恒力，则一定能滑行到B点以上 D．在物块上施加一个水平向右的恒力，则一定不能滑行到B点 7．（2019·浦东竞赛）如图所示，一轻绳通过一个光滑的定滑轮，两端分别各系一质量为mA和mB的物体，物体A放在地面上．开始时静止．当B的质量发生变化时，物体A的加速度大小与物体B质量的定性关系为下图中的（    ） A． B． C． D． 8．（2023·襄阳竞赛）一物体在水平粗糙地面上滑行，其所受地面的摩擦力Ff与运动速度v成正比。现测得该物体以初速度v0沿直线滑行的最大位移为x1，克服摩擦做的功为W1。若该物块以初速度2v0沿直线滑行，滑行的最大位移为x2，克服摩擦做的功为W2，则（   ） A．物体做加速度逐渐减小的减速运动 B．x2 = 2x1 C．x2 = 4x1 D．W2 = 2W1 9．（2012·全国竞赛）一轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端连一小物块，小物块放在摩擦系数为的水平面上，弹簧处在自然状态，小物块位于处。现用手将小物块向右移到处，然后从静止释放小物块，发现小物块开始向左移动。（　　） A．小物块可能停在点 B．小物块停止以后所受的摩擦力必不为0 C．小物块无论停在点的左边还是右边，停前所受的摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同，也可能相反 D．小物块在通过点后向右运动直到最远处的过程中，速度的大小总是减小；小物块在由右边最远处回到点的过程中，速度的大小总是增大 10．（2015·北京强基计划）系统如图所示，A、B两物体的质量分别为、，绳与滑轮间无摩擦，A与水平桌面间的摩擦系数记为，绳的质量可略，开始时A、B静止。与水平方向的夹角为，右侧水平绳被剪断后瞬间，设物块A的向左运动的加速度，B竖直向下的加速度为，设此瞬间线中张力为T，地面给A物的支持力为N，为求解，列出下列四个方程，其中正确的方程是（　　） A． B． C． D． 11．（2018·全国竞赛）冰上表演刚开始时，甲、乙两人都静止不动，随着优美的音乐响起，他们在相互猛推一下对方后分别向相反方向运动，用录像记录两人的运动情况，截取录像中的两帧画面的情况如图所示．假定两人的冰鞋与冰面的动摩擦因数相同，则下列说法中正确的是（     ） A．在推的过程中，甲推乙的力小于乙推甲的力 B．在推的过程中，甲推乙的时间等于乙推甲的时间 C．两人刚分开时，甲的速度比乙的速度小 D．两人分开后，甲的加速度比乙的加速度小 12．（2022·全国竞赛）两根相同的理想轻弹簧，劲度系数均为、自然长度均为0。两弹簧之间以一质量为的小球相连。将弹簧1空着的一端悬挂于天花板上，整个系统自然下垂，初始时静止。已知两弹簧中任意一个一旦被拉伸至临界长度（该临界长度大于，这里表示重力加速度的大小）便会被拉断。 实验发现，如果缓慢地拉动下面的弹簧2的下端，上面的弹簧1将被拉断。如果快速地拉动，则很有可能拉断下面的弹簧2。 （1）设加载于弹簧2下端的作用力随时间变化的关系为，写出弹簧1的长度及小球加速度所满足的运动方程。 （2）在一个简单模型中，假设与时间的关系为 其中为大于零的常量，它的大小对应力加载的快慢。求在该力的作用下弹簧1、2在（）时刻的长度、。 （3）记某一弹簧先被拉断的时刻为，根据（2）中的结果， （ⅰ）求使弹簧1必然先被拉断所对应的取值范围； （ⅱ）对于并非必然使弹簧1先被拉断的取值，分析使弹簧1先被拉断的时刻需满足的条件（表达式中可含有）； （ⅲ）求弹簧2先被拉断的可能性与取值大小的关系，并用此关系说明题述实验现象。 （4）给定临界长度为，要确保弹簧2先被拉断，试确定需满足的关系式。有无可能两弹簧同时被拉断？若有，试求出能让两弹簧同时达到临界长度所对应的满足的关系式。 13．（2024·全国竞赛）质量为m的质点附着在力常数为k的弹簧上，在粗糙表面上沿x轴移动，以原点为弹簧自然长度时的位置。 （1）当时，粒子在及静止，假设弹簧力足够大，使得粒子在恒定的摩擦力f下移动，在时间内，求，其中是后粒子第一次停止的时间，用k、m、f和表达您的答案，设静摩擦系数为0.03，动摩擦系数为0.01，，，重力加速度； （2）设，使用（a）或其他方式，找到粒子永久停止时的最终位置； （3）求出粒子的总移动距离； （4）求粒子永久停止之前所经过的总时间。 14．（2007·全国竞赛）如图所示，两个木块A和，质量分别为和，紧挨着并排放在水平桌面上，A、间的接触面垂直于图中纸面且与水平成角。A、间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦因数和动摩擦因数均为。开始时A、都静止，现施一水平推力于A，要使A、向右加速运动且A、之间不发生相对滑动，则 （1）的数值应满足什么条件？ （2）推力的最大值不能超过多少？（只考虑平动，不考虑转动问题。） 15．（2007·全国竞赛）如图所示，为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面，其质量，顶端有一定滑轮，滑轮的质量及轴处的摩擦皆可不计。和是两个滑块，质量分别为，，由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连。开始时，设法抓住、和，使它们都处在静止状态，且滑轮两边的轻绳恰好伸直。今用一大小等于的水平推力作用于，并同时释放、和。若沿桌面向左滑行，其加速度，相对于桌面无水平方向的位移（绳子一直是绷紧的）。试求与桌面间的摩擦因数。（图中，，已知，重力加速度。） 16．（2007·全国竞赛）半径为的水平圆台，可绕通过圆心的竖直光滑细轴转动（如图）。圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为的物体放在一个槽内，与槽底间的静摩擦因数为，质量为的物体放在另一槽内，此槽是光滑的。间用一长为且不可伸长的轻绳绕过细轴相连。试求当圆台做匀角速转动且、两物体相对圆台不动时，转动角速度和到圆心的距离所应满足的条件（设此时与槽的侧面之间没有作用力）。 17．（2022·全国竞赛）质量为m的子弹以速度水平射入沙土中。 设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力。 求： （1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； （2）子弹进入沙土的最大深度。 18．（2007·全国竞赛）帆船在逆风的情况下仍能只依靠风力破浪航行。设风向从向，如图，位于点处的帆船要想在静水中最后驶达目标点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的作用力是如何使船逆风前进达到目标的。 19．（2022·全国强基计划）一足够大的斜面倾角为，在其上部有一物块，物块于斜面之间的摩擦系数为。在斜面内沿水平方向给物块一初速度，试确定在经过足够长时间之后物块的速度，并对结果的合理性进行分析。 20．（2022·全国竞赛）在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定半圆形屏障，质量为m的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为（，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功为。 21．（2019·全国竞赛）如图所示，一个质量为m的小物体，放在半径为R的半球顶上，设半球面光滑，初始时它们之间相对静止。求在下列情况中物体m离开球面时，它距半球底面的距离。 （1）半球以的速度匀速上升； （2）半球以的加速度匀加速向右运动。 22．（2019·全国竞赛）设赛车道在同一水平面上，车轮与地面间的摩擦因数为，且不随速度变化，问： （1）当赛车运动员驾车做90°转弯时，应选择图甲中的半径为的圆弧外车道还是半径为的圆弧内车道？ （2）做180°转弯时，又应选择图乙中的哪个车道？ 请作出必要的计算并据此得出结论．为简化起见，可把赛车作质点处理，且设赛车在刹车减速时四轮同时刹车，并假设赛车在加速过程和减速过程中的加速度的绝对值相等，赛车在直道上高速行驶的速度（空气阻力忽略不计）． 23．（2013·全国竞赛）如图所示，A为放在水平光滑桌面上的长方形物块，在它上面放有物块B和C．A、B、C的质量分别为m、5m、m。B、C与A之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数皆为0.10，K为轻滑轮，绕过轻滑轮连接B和C的轻细绳都处于水平位置。现用水平方向的恒定外力F拉滑轮，使A的加速度等于0.20g，g为重力加速度在这种情况时，B、A之间沿水平方向的作用力的大小等于 ，C、A之间沿水平方向的作用力的大小等于 ，外力F的大小等于 。 24．（2019·泉州竞赛）如图，有一个两端封闭、粗细均匀的U型玻璃细管，放置在竖直平面内，两个竖直支管的高度均为h，水平管的长度为，拐角处管长不计，玻璃细管的横截面面积为S，水平管内灌满密度为的水银，两竖直支管内气体压强均等于大气压强。现使U型管向左作匀加速移动，当水平管内水银柱长度稳定为时，两竖直支管内的气体压强差为 ，管运动的加速度大小为 。 25．（2013·全国竞赛）质量为m1的小滑块，沿一倾角为的光滑斜面滑下，斜面质量为m2，置于光滑的水平桌面上。设重力加速度为g，斜面在水平桌面上运动的加速度的大小为 。 26．（2015·全国竞赛）如图，物块A、C置于光滑水平桌面上，通过轻质滑轮和细绳悬挂物块B，物块A、B的质量均为2kg，物块C的质量为1 kg，重力加速度大小为10m/s2． （1）若固定物块C，释放物块A、B，则物块A、B的加速度之比为 ；细绳的张力为 ． （2）若三个物块同时由静止释放，则物块A、B和C加速度之比为 ． 27．（2007·全国竞赛）两滑块A1和A2叠放在水平的桌面上，如图所示。已知A1的质量为m1，A2的质量为m2，A2与桌面间的静摩擦因数为。设用表示A1与A2间的静摩擦因数，F表示作用于滑块A1上的水平拉力，则当和F取各种不同值时，A1与A2可能发生的运动情况有下列四种： （a）A2相对于桌面滑动，但A1与A2相对静止； （b）A2相对于桌面滑动，A1与A2间存在相对运动， （c）A2相对于桌面静止，A1相对桌面滑动； （d）相对于桌面，A1和A2都静止。 （1）分别写出上述每种运动情况中和F所满足的条件（不要求写出运算过程）： （a） ； （b） ； （c） ； （d） 。 （2）以横坐标表示，纵坐标表示F，试在F-图（如图）上标出与上述每种运动情况相应的和F的取值范围 。 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题07 牛顿运动定律 1．（2024·全国竞赛）质量为M的三角楔子置于水平无摩擦的地面上，将质量为m的木块放在楔子上，如图所示，木块和楔子之间没有摩擦力，系统从静止状态释放，给定和。 （1）三角楔子加速度的大小（　　） A． B． C． D． E．0 （2）若当木块滑到地面时，楔子相对地面的速度为1m/s，木块在楔子上离地面的初始高度（假设木块为无体积的重点）（　　） A． B． C． D． E． 【答案】（1）B （2）E 【详解】（1）三角楔子和木块的受力分别如图所示 以为对象，根据牛顿第二定律可得三角楔子加速度大小为 三角楔子和木块在垂直斜面方向的分加速度相同，则有 以为对象，有 其中 ， 联立可得 ，， 故选B。 （2）若当木块滑到地面时，楔子相对地面的速度为，则此过程所用时间为 以物块为对象，物块沿斜面方向的分加速度为 则物块的加速度大小为 木块滑到地面时的速度大小为 根据系统机械能守恒可得 代数数据解得 故选E。 （2020·攀枝花竞赛）一质量为M的光滑大圆环用细绳挂在天花板上。两个质量同为m的小圆圈从环顶由静止开始同时向两边下滑，已知质量比。 2．当细绳张力时圆圈位置的余弦函数满足方程（　　） A． B． C． D． E． F． 3．参量K的取值范围为（　　） A． B． C． D． E． F． 4．当小圆圈的质量m是大圆环质量M的2倍且细绳张力时，圆圈位置（　　） A． B． C． D． E． F． 【答案】2．E 3．C 4．DE 【解析】2．设两小圆圈滑至某位置，绳子的张力为零时，对大圆环受力分析，设小圆圈对大圆环的弹力大小为，根据平衡条件可得 隔离其中一个小圆圈受力分析，根据牛顿第二定律，可得 其中 联立以上式子求得 把，代入上式，求得 故选E。 3．根据上面的分析，绳子的张力要等于零，向心力一定要大有小圆圈重力在向心加速度的方向的分力，故有 解得 同时，当小圆环运动到下半圈时，向心加速度向上，属于超重，绳子的张力不可能为零，所以 综合可得 也就是K要保证一元二次方程在［］上有解。 根据一元二次方程有解的要求 根据抛物线的特点一元二次方程在［］上有解，那就一定是由两个正解，故有 （此处也可以根据质量一定是大于等于零的，故K必须大于等于零） 综合可得 故选C。 4．m是M的两倍，故 ，代入方程有 解方程可得 也就是 故选DE。 5．（2010·全国竞赛）斜坡型的房顶具有保温、节能、美观等优点，农村的平房大都采用这种房顶，城市中的一些居民楼也进行了“平改坡”的改造．在进行这种斜坡型房顶的设计中，考虑到下雨时落至房顶的雨水要能尽快地淌离房顶，以减少房顶漏水的可能．在下面所示的四种情景中最符合上述要求的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】设屋檐的底角为θ，底边为L，注意底边长度是不变的，雨滴下滑时有： 所以： 因此当时，时间最短. A.15°与分析结果不相符；故A项不合题意. B.30°与分析结果不相符；故B项不合题意. C.45°与分析结果相符；故C项符合题意. D.60°与分析结果不相符；故D项不合题意. 6．（2018·上海竞赛）如图所示，物块从斜面的底端以确定的初速度开始沿粗糙斜面向上做匀减速运动，恰能滑行到斜面上的B点，如果在滑行过程中（　　） A．在物块上施加一个竖直向下的恒力，则一定能滑行到B点 B．在物块上施加一个竖直向下的恒力，则一定不能滑行到B点 C．在物块上施加一个水平向右的恒力，则一定能滑行到B点以上 D．在物块上施加一个水平向右的恒力，则一定不能滑行到B点 【答案】B 【详解】AB.物体匀减速上滑，施加力F前，物体受重力mg、支持力N和滑动摩擦力f，根据牛顿第二定律，有平行斜面方向：，垂直斜面方向：，其中，故，解得，在物块上施加一个竖直向下的恒力F后，根据牛顿第二定律，有平行斜面方向：，垂直斜面方向：，其中，解得，联立可得到加力后加速度变大，故物体一定不能到达点，故选项A错误，B正确； CD.在物块上施加一个水平向右的恒力，根据牛顿第二定律，有平行斜面方向：，垂直斜面方向：，其中，故，解得，联立解得到由于动摩擦因数与角度大小关系未知，故无法比较两个加速度的大小关系，故选项C错误，D错误． 7．（2019·浦东竞赛）如图所示，一轻绳通过一个光滑的定滑轮，两端分别各系一质量为mA和mB的物体，物体A放在地面上．开始时静止．当B的质量发生变化时，物体A的加速度大小与物体B质量的定性关系为下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在m2小于m1之前两物体都不动，所以加速度为零，当m2大于m1开始运动合力逐渐变大， 加速度随之逐渐增加，当时，加速度趋近于g，但不可能大于g． A.根据分析可知A的图象与题意不相符，故A错误； B.根据分析可知B的图象与题意不相符，故B错误； C.根据分析可知C的图象与题意不相符，故C错误； D.根据分析可知D的图象与题意相符，故D正确． 8．（2023·襄阳竞赛）一物体在水平粗糙地面上滑行，其所受地面的摩擦力Ff与运动速度v成正比。现测得该物体以初速度v0沿直线滑行的最大位移为x1，克服摩擦做的功为W1。若该物块以初速度2v0沿直线滑行，滑行的最大位移为x2，克服摩擦做的功为W2，则（   ） A．物体做加速度逐渐减小的减速运动 B．x2 = 2x1 C．x2 = 4x1 D．W2 = 2W1 【答案】AB 【详解】ABC．由于 Ff = kv 当物体速度减小，加速度减小，则把运动过程分成无数小段，把每一小段近似看做匀变速直线运动，有 ， 两边均对时间累计，则 解得 AB正确、C错误； D．由动能定理知 W = －Ek0∝v02 则 W2 = 4W1 D错误。 故选AB。 9．（2012·全国竞赛）一轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端连一小物块，小物块放在摩擦系数为的水平面上，弹簧处在自然状态，小物块位于处。现用手将小物块向右移到处，然后从静止释放小物块，发现小物块开始向左移动。（　　） A．小物块可能停在点 B．小物块停止以后所受的摩擦力必不为0 C．小物块无论停在点的左边还是右边，停前所受的摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同，也可能相反 D．小物块在通过点后向右运动直到最远处的过程中，速度的大小总是减小；小物块在由右边最远处回到点的过程中，速度的大小总是增大 【答案】AC 10．（2015·北京强基计划）系统如图所示，A、B两物体的质量分别为、，绳与滑轮间无摩擦，A与水平桌面间的摩擦系数记为，绳的质量可略，开始时A、B静止。与水平方向的夹角为，右侧水平绳被剪断后瞬间，设物块A的向左运动的加速度，B竖直向下的加速度为，设此瞬间线中张力为T，地面给A物的支持力为N，为求解，列出下列四个方程，其中正确的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A．对物体A，在水平方向上，根据牛顿第二定律 A正确； B．对物体A，在竖直方向上 B错误； C．对物体B，根据牛顿第二定律 C正确； D．由于初速度均为零，经过极短的时间内，A前进的距离为，B下降的高度，倾斜绳子与水平方向夹角由增加到 ，则有 根据 由于时间相同，可知 D错误。 故选AC。 11．（2018·全国竞赛）冰上表演刚开始时，甲、乙两人都静止不动，随着优美的音乐响起，他们在相互猛推一下对方后分别向相反方向运动，用录像记录两人的运动情况，截取录像中的两帧画面的情况如图所示．假定两人的冰鞋与冰面的动摩擦因数相同，则下列说法中正确的是（     ） A．在推的过程中，甲推乙的力小于乙推甲的力 B．在推的过程中，甲推乙的时间等于乙推甲的时间 C．两人刚分开时，甲的速度比乙的速度小 D．两人分开后，甲的加速度比乙的加速度小 【答案】BC 【详解】A.在推的过程中，根据牛顿第三定律，甲推乙的力大小等于乙推甲的力，故A错误； B.在推的过程中，根据牛顿第三定律，甲推乙的时间等于乙推甲的时间，故B正确； CD. 由于两人的冰鞋与冰面的动摩擦因数相同，根据牛顿第二定律加速度a＝μg知，甲、乙两人分开后，两人的加速度大小相等，在相同时间内速度的变化量大小相等；从截取录像中的两帧画面的情况分析，甲发生的位移小于乙发生的位移，甲、乙两人在相互作用过程中总动量守恒而且为零，则可知两人刚分开时，甲的速度比乙的速度小；同时说明甲的质量大于乙的质量，故C正确，D错误． 12．（2022·全国竞赛）两根相同的理想轻弹簧，劲度系数均为、自然长度均为0。两弹簧之间以一质量为的小球相连。将弹簧1空着的一端悬挂于天花板上，整个系统自然下垂，初始时静止。已知两弹簧中任意一个一旦被拉伸至临界长度（该临界长度大于，这里表示重力加速度的大小）便会被拉断。 实验发现，如果缓慢地拉动下面的弹簧2的下端，上面的弹簧1将被拉断。如果快速地拉动，则很有可能拉断下面的弹簧2。 （1）设加载于弹簧2下端的作用力随时间变化的关系为，写出弹簧1的长度及小球加速度所满足的运动方程。 （2）在一个简单模型中，假设与时间的关系为 其中为大于零的常量，它的大小对应力加载的快慢。求在该力的作用下弹簧1、2在（）时刻的长度、。 （3）记某一弹簧先被拉断的时刻为，根据（2）中的结果， （ⅰ）求使弹簧1必然先被拉断所对应的取值范围； （ⅱ）对于并非必然使弹簧1先被拉断的取值，分析使弹簧1先被拉断的时刻需满足的条件（表达式中可含有）； （ⅲ）求弹簧2先被拉断的可能性与取值大小的关系，并用此关系说明题述实验现象。 （4）给定临界长度为，要确保弹簧2先被拉断，试确定需满足的关系式。有无可能两弹簧同时被拉断？若有，试求出能让两弹簧同时达到临界长度所对应的满足的关系式。 【答案】（1）； （2），； （3）（ⅰ） ； （ⅱ），或； （ⅲ）见解析； （4） 【详解】（1）根据牛顿第二定律和胡克定律，弹簧1的长度及小球加速度满足的运动方程为 ① （2）这是一个振动方程。解此方程可以得到（包含两个待定常量）。 解法（一）： 设小球在某时刻位于平衡位置，此刻的满足 ② 将代入方程②得 ③ 小球相对于此平衡位置的位移 ④ 满足微分方程 ⑤ 其解为 ⑥ 式中和为待定常量。于是 ⑦ 解法（二）： 令，小球的运动方程可化成 ， ②′ 将代入②′，得 ③′ 非齐次微分方程的通解可表示为一个特解和该方程所对应的齐次方程的通解之和，后者即 ④′ 式中和为待定常量。 此非齐次项显然有下列形式的特解 式中是待定常量。代入方程③′可定出 ⑤′ 于是 ⑥′ 故 ⑦′ 初始条件为 ， ⑧ 由⑧第1式有 即 ⑨ 由⑧第2式有 即 ⑩ 为振幅，取为非负值，且均为正，因此 可以定出 ， ⑪ 因此有 ⑫ 由胡克定律有 有 ⑬ （3）为了判断哪个弹簧先被拉断，考虑任意时刻两弹簧长度之差： ⑭ （ⅰ）若弹簧1先被拉断，应有 即 ⑮ 若要求必先拉断弹簧1，则⑮式对任意均需成立，因此 ⑯ （ⅱ）若，则在不同的时刻的正负不同。仍要保证弹簧1先被拉断，需要落在满足⑮式的时间范围内。即 ，或 ⑰ 式中为非负整数。不等式⑰是对振动相位的限制。但对应于的多个取值，数学上可能出现多个达到临界长度的时刻。但实际上弹簧1只可能断一次，所以我们需要找到它首次达到临界长度的时刻所在的时间段。⑱ 考察随时间的增长趋势，发现始终有 ⑲ 也就是说随时间是单调增长的，意味着相位与长度一一对应，不可能出现在多个时间段内都达到临界长度的情况。因此可以判断，拉断弹簧1确实可能发生在上述任意一个相位区间。⑳ 综上所述，若，弹簧1被拉断的时刻一定落在下述时间段内： ，或 ㉑ 式中为非负整数。 （ⅲ）若先拉断弹簧2，必有，这要求   ㉒ 由（ⅰ）（ⅱ）的讨论可知首先必有 且由⑰式可得，拉断弹簧2的时刻需使得相位落在下式范围内： ，为非负整数 ㉓ 由㉓可以发现，越大，越小，使弹簧2先断的相位所覆盖的区间越大；当时，拉断弹簧2的相位区间接近于覆盖整个第Ⅰ、Ⅱ象限。也就是说，越大，对应的力的加载速度越快，拉断下弹簧2的可能性越大。㉔ 上述讨论说明较小时会拉断上弹簧，较大时有可能拉断下弹簧，印证了题述实验现象。 （4）要确保弹簧2被拉断，由⑬式知必有 ㉕ 代入㉒式得 ㉖ 将代入㉖式，可知要确保弹簧2被拉断，应满足的关系式为 ㉗ 要弹簧1和弹簧2同时被拉断，需要 ㉘ 而该时刻也满足式㉕，将其代入㉘可得，应满足的关系式为 ㉙ 13．（2024·全国竞赛）质量为m的质点附着在力常数为k的弹簧上，在粗糙表面上沿x轴移动，以原点为弹簧自然长度时的位置。 （1）当时，粒子在及静止，假设弹簧力足够大，使得粒子在恒定的摩擦力f下移动，在时间内，求，其中是后粒子第一次停止的时间，用k、m、f和表达您的答案，设静摩擦系数为0.03，动摩擦系数为0.01，，，重力加速度； （2）设，使用（a）或其他方式，找到粒子永久停止时的最终位置； （3）求出粒子的总移动距离； （4）求粒子永久停止之前所经过的总时间。 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）49.98m；（4）48.68s 【详解】（1）当时，根据牛顿第二定律有 可得 从而有 而 可得 当时，由牛顿第二定律有 可得 从而有 可得 （2）对于这个问题有 从而得到 对于接下来的第49次有 粒子永久停止时的最终位置为。 （3）粒子的总行驶距离 （4）粒子永久停止之前所经过的总时间 14．（2007·全国竞赛）如图所示，两个木块A和，质量分别为和，紧挨着并排放在水平桌面上，A、间的接触面垂直于图中纸面且与水平成角。A、间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦因数和动摩擦因数均为。开始时A、都静止，现施一水平推力于A，要使A、向右加速运动且A、之间不发生相对滑动，则 （1）的数值应满足什么条件？ （2）推力的最大值不能超过多少？（只考虑平动，不考虑转动问题。） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）令表示A、之间的相互作用力（垂直于接触面如图8'-3所示），若A相对于发生滑动，则A在竖直方向必有加速度。现要使A相对于不滑动，则A受的力在竖直方向的分力必须小于或等于A的重力。所以要使向右加速运动而同时A相对于不滑动，必须同时满足下列两式 可解得 （2）在已满足（1）中结果时，又由于A的水平方向的加速度和相同，即 由以上各式可解得 15．（2007·全国竞赛）如图所示，为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面，其质量，顶端有一定滑轮，滑轮的质量及轴处的摩擦皆可不计。和是两个滑块，质量分别为，，由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连。开始时，设法抓住、和，使它们都处在静止状态，且滑轮两边的轻绳恰好伸直。今用一大小等于的水平推力作用于，并同时释放、和。若沿桌面向左滑行，其加速度，相对于桌面无水平方向的位移（绳子一直是绷紧的）。试求与桌面间的摩擦因数。（图中，，已知，重力加速度。） 【答案】0.11 【详解】设、与、分别为、相对桌面的加速度的大小和相对的加速度的大小，设水平向右为轴的正方向，竖直向上为轴的正方向.因为开始时相对桌面静止，以后相对桌面无水平方向的位移，可知沿水平方向的分量为零.即 由此得 因为绳不可伸长，又是绷紧的，故有 它们的方向分别沿所在的斜面，如图8'-11所示.各分量的大小 由此得 ， ， 相对地面的各加速度的分量的大小为 对于由、和组成的系统，在水平方向受到的外力是桌面对的摩擦力，方向向右；推力，方向向左.根据动量定理 或 即 将有关数值代入得 系统在竖直方向受到的外力是：桌面作用于的弹力，方向竖直向上；各物体的重力，方向竖直向下.因此有 即 代入有关数值，得 故摩擦因数 16．（2007·全国竞赛）半径为的水平圆台，可绕通过圆心的竖直光滑细轴转动（如图）。圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为的物体放在一个槽内，与槽底间的静摩擦因数为，质量为的物体放在另一槽内，此槽是光滑的。间用一长为且不可伸长的轻绳绕过细轴相连。试求当圆台做匀角速转动且、两物体相对圆台不动时，转动角速度和到圆心的距离所应满足的条件（设此时与槽的侧面之间没有作用力）。 【答案】见解析 【详解】物体相对圆台不动有三种可能： 1． 有沿半径向外移动的趋势 这时，物体所受摩擦力的方向与张力的方向相同（因为所在槽是光滑的，当随圆台转动时，绳中总有张力存在），用表示到圆心的距离，根据牛顿定律和摩擦力的性质可知 解得 这时，必须满足如下的条件： 2． 有沿半径指向圆心移动的趋势 这时，所受摩擦力的方向与张力的方向相反，因而有 解得 这时必须满足如下的条件： 3． 物体无移动的趋势 这时，，应有 解得 这时，可取任意值。 17．（2022·全国竞赛）质量为m的子弹以速度水平射入沙土中。 设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力。 求： （1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； （2）子弹进入沙土的最大深度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由牛顿第二定律可得 （2）速度时间关系可得 18．（2007·全国竞赛）帆船在逆风的情况下仍能只依靠风力破浪航行。设风向从向，如图，位于点处的帆船要想在静水中最后驶达目标点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的作用力是如何使船逆风前进达到目标的。 【答案】交替改变船头的方向和帆的方位，使船沿“”字形路线行驶，见解析 【详解】为便于分析，设船帆为一平面。要使船由点到达点，须先将船头偏转某一角度，例如使船身沿方向（与的夹角小于），并使帆面介于直线与之间，如图7'-1（a）所示。在这种情形下，当风吹到船帆上时，沿帆面的摩擦力较小，风对帆的主要作用力是垂直作用于帆面上的。这个力可分解为沿船身方向把船向前推进的分力和使船横移的分力。由于船体在横向移动方向上受到水的阻力很大，所以横向移动很小可不计。而船沿船身方向所受水的阻力较小，所以能在分力的作用下沿方向前进。 当船沿方向航行一段距离到达点后，将船头掉转到与风向成某一小于角的另一个方向，同时适当改变船帆的方位，如图7'-1（b）所示。则根据与上述相同的理由，风力将使船沿方向前进。 交替改变船头的方向和帆的方位，可使船沿“”字形路线行驶，如图7'-1（c）所示，船就能沿折线…逆风达到目标。 19．（2022·全国强基计划）一足够大的斜面倾角为，在其上部有一物块，物块于斜面之间的摩擦系数为。在斜面内沿水平方向给物块一初速度，试确定在经过足够长时间之后物块的速度，并对结果的合理性进行分析。 【答案】，见解析 【详解】根据题意，物块速度的大小和方向均随时间变化，在运动平面上物块受到摩擦力 和重力两个力作用，摩擦力为 其方向与速度方向始终相反，重力垂直初速度方向沿斜面方向的分力为 设某一时刻物块的速度为，且与初速度成夹角，如图所示 根据牛顿第二定律，在短时间内物块速度的变化量为 这时在力方向上速度变化量为 将代入上两式得 所以有 即 得任一时刻物块速度 最终，经过足够长时间之后物块一定会沿方向做匀速运动，即取 故物块的最终速度为 20．（2022·全国竞赛）在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定半圆形屏障，质量为m的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为（，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功为。 【答案】见解析 【详解】由牛顿定律可列出如下方程 联立并变换变量，有 取积分得 所以，有结论 21．（2019·全国竞赛）如图所示，一个质量为m的小物体，放在半径为R的半球顶上，设半球面光滑，初始时它们之间相对静止。求在下列情况中物体m离开球面时，它距半球底面的距离。 （1）半球以的速度匀速上升； （2）半球以的加速度匀加速向右运动。 【答案】（1）；（2） 【详解】先讨论半球静止时的情况 小物体滑至图示位置时，设其速度为v，小物体与球面间的作用力为N，则由机械能守恒 由牛顿运动定律 小物体离开球面时的临界状态为 即，或者说，小物体滑至的位置时，离开球面。 （1）当半球以10m/s的速度匀速上升时，以半球为参考系，其情形与前面讨论的情况一致，所以，小物体滑至的位置时，离开球面；小物体距半球底面的距离 （2）在以半球为参照的参考系中，小物块还受到向左的惯性力的作用，此时系统等效于在一个 的力场中运动，球面的“顶”在图乙中的A处，如图所示 其满足 显然，物体只能向左滑下，当滑至角位置时，由机械能守恒 由牛顿运动定律 同样，小物体离开球面时的临界状态为 由此可解得 小物体距半球底面的距离尺 22．（2019·全国竞赛）设赛车道在同一水平面上，车轮与地面间的摩擦因数为，且不随速度变化，问： （1）当赛车运动员驾车做90°转弯时，应选择图甲中的半径为的圆弧外车道还是半径为的圆弧内车道？ （2）做180°转弯时，又应选择图乙中的哪个车道？ 请作出必要的计算并据此得出结论．为简化起见，可把赛车作质点处理，且设赛车在刹车减速时四轮同时刹车，并假设赛车在加速过程和减速过程中的加速度的绝对值相等，赛车在直道上高速行驶的速度（空气阻力忽略不计）． 【答案】（1）应选择外道行驶 （2）①当，应选择内道； ②，应选择外道； ③当，选择内、外道均一样 【详解】1.先讨论赛车沿圆弧运动的最大速度， 赛车圆弧运动时所需的向心力由摩擦力提供，与最大静摩擦力相应的运动速度就是允许的最大速度. 如果速度再提高，所需的向心力就大于地面所能提供的摩擦力，因而赛车就不可能沿圆弧运动而将发生侧向滑动，沿圆弧运动的最大速度-与圆半径、摩擦因数有下列关系：， 即有.            （*） 此即赛车沿圆弧运动的最大速度. 2．计算赛车沿直轨道加速行驶或减速行驶的加速度、所用时间及距离． 设赛车在直道上高速行驶时的速度为，在进入圆弧轨道前要将车速由降至（*）式中的速度. 刹车后，赛车在与地面问的摩擦力作用下减速，赛车的加速度为. 赛车自圆弧轨道终点处开始加速. 据题设，其加速度为. 赛车由增至后，以速度匀速行驶. 根据匀加速运动的公式，加速与减速过程所用的时间和行驶的距离分别为 ，. 3．根据以上分析，我们可以比较沿内道贺沿外道所用时间的长短． （1）90°转弯时的情况，如图乙所示. 内道和外道的半径分别为和，沿圆弧轨道的最大速度和分别为，. 先讨论赛车沿外道行驶时的情况. 如图乙所示，赛车沿外道行驶时，为减速过程，由上面的分析可知. 为沿半径为的圆周做匀速率圆周运动，则. 为加速过程，时间与相同. 为匀速（）运动，为赛车沿内道运动加速至速度为时的位置，所以，. 因而，赛车在全过程中所需时间为 . 赛车沿外道行驶时，减速过程和加速过程的距离和均为. 再讨论赛车沿内道行驶时的情况. 如图乙所示，赛车沿内道行驶时，为匀速（）过程；减速过程，为沿半径为的圆周做匀速率（）圆周运动；为加速过程；类似于外道的时间计算可得所需时间为. 赛车沿内道行驶时减速过程和加速过程的距离和均为. 由几何关系及、可得 ，. 由上述两式及前面的时间关系可得 ，. 两者之差为. 显然，沿外道所用时间较少，应选择外道行驶. （2）180°转弯时的情况（图丙） 如图丙所示，赛车沿外道行驶时，为减速过程；为匀速率（）圆周运动；为加速过程；赛车沿内道行驶时，为匀速（）过程；减速过程，为匀速率（）圆周运动. 根据前面得到的关系可求得： 赛车沿外道行驶所用时间为. 赛车沿内道行驶所用时间为. 而，故， . 由上式可得以下结论： ①当，即时，，应选择图丙中的内道； ②，即时，，应选择图丙中的外道； ③当，即时，，选择内、外道均一样. 23．（2013·全国竞赛）如图所示，A为放在水平光滑桌面上的长方形物块，在它上面放有物块B和C．A、B、C的质量分别为m、5m、m。B、C与A之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数皆为0.10，K为轻滑轮，绕过轻滑轮连接B和C的轻细绳都处于水平位置。现用水平方向的恒定外力F拉滑轮，使A的加速度等于0.20g，g为重力加速度在这种情况时，B、A之间沿水平方向的作用力的大小等于 ，C、A之间沿水平方向的作用力的大小等于 ，外力F的大小等于 。 【答案】 0.10mg 0.10mg 2.2mg 24．（2019·泉州竞赛）如图，有一个两端封闭、粗细均匀的U型玻璃细管，放置在竖直平面内，两个竖直支管的高度均为h，水平管的长度为，拐角处管长不计，玻璃细管的横截面面积为S，水平管内灌满密度为的水银，两竖直支管内气体压强均等于大气压强。现使U型管向左作匀加速移动，当水平管内水银柱长度稳定为时，两竖直支管内的气体压强差为 ，管运动的加速度大小为 。 【答案】 【详解】［1］运动过程中，水银的总长度不变，末状态水平管道的水银长度只有 ，意味着有 长度的水银上升到右端竖直管道内，故右端空气柱的长度 左端空气柱的长度 对左端空气的进行研究有 解得 对右端空气的进行研究有 解得 则 ［2］对水平管道内的水银列牛顿第二定律方程有 解得 25．（2013·全国竞赛）质量为m1的小滑块，沿一倾角为的光滑斜面滑下，斜面质量为m2，置于光滑的水平桌面上。设重力加速度为g，斜面在水平桌面上运动的加速度的大小为 。 【答案】 26．（2015·全国竞赛）如图，物块A、C置于光滑水平桌面上，通过轻质滑轮和细绳悬挂物块B，物块A、B的质量均为2kg，物块C的质量为1 kg，重力加速度大小为10m/s2． （1）若固定物块C，释放物块A、B，则物块A、B的加速度之比为 ；细绳的张力为 ． （2）若三个物块同时由静止释放，则物块A、B和C加速度之比为 ． 【答案】 2：1 8N 2：3：4 27．（2007·全国竞赛）两滑块A1和A2叠放在水平的桌面上，如图所示。已知A1的质量为m1，A2的质量为m2，A2与桌面间的静摩擦因数为。设用表示A1与A2间的静摩擦因数，F表示作用于滑块A1上的水平拉力，则当和F取各种不同值时，A1与A2可能发生的运动情况有下列四种： （a）A2相对于桌面滑动，但A1与A2相对静止； （b）A2相对于桌面滑动，A1与A2间存在相对运动， （c）A2相对于桌面静止，A1相对桌面滑动； （d）相对于桌面，A1和A2都静止。 （1）分别写出上述每种运动情况中和F所满足的条件（不要求写出运算过程）： （a） ； （b） ； （c） ； （d） 。 （2）以横坐标表示，纵坐标表示F，试在F-图（如图）上标出与上述每种运动情况相应的和F的取值范围 。 【答案】 ， ， ， ， 【详解】（1）（a）和F所满足的条件为 ， （b）和F所满足的条件为 ， （c）和F所满足的条件为 ， （d）和F所满足的条件为 ， （2）设A1与A2间的摩擦力为f1，A2与桌面间的摩擦力为f2，如图所示 则运动方程为 ， 式中a1，a2分别表示A1和A2的加速度 （a）已知 a1=a2>0，， 可知 ， 据此由式得出 ， 同时由可知 解得 于是得出 所以运动情况（a）所满足的条件是 ， （b）已知 ，， 可知 ， 解得 ， 所以运动情况（b）所满足的条件是 ， （c）已知 ，，， 可知 f=f，F>f1 解得 ， 所以运动情况（c）所满足的条件是 ， （d）已知 ，， 可知 F=f1，，F=f2 解得 ， 所以运动情况（d）所满足的条件是 ， 先画出 ，，， 这四多线。即可根据与上述四种运动情况相应的条件，找出相应的和F的取值范围，如图所示 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$