专题05 平衡的稳度（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优精练（高一上学期）

2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题05 平衡的稳度 1．（2021·全国强基计划）一光滑圆环以过圆心的固定竖直轴匀速旋转，角速度为。一珠子可在圆环上自由滑动，质量为，如图所示。则图示珠子的可能处于稳定平衡的位置，用角度表示，可表示为（  ） A． B． C． D． E． F． 【答案】AB 【详解】以圆环中心为重力势能零点，可得小圆环的机械能为 求一阶导得 当 得 或 求二阶导得 若 ①当 珠子可能稳定平衡； ②当 珠子处于不稳定平衡； 若 珠子处于稳定平衡，AB正确，CDEF错误。 故选AB。 2．（2007·全国竞赛）图中A是一带有竖直立柱的木块，总质量为，位于水平地面上。B是一质量为的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端。现拉动小球使绳伸直并处于水平位置。然后让小球从静止状态下摆。如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A不会发生转动） 【答案】 【详解】当小球摆至与水平方向的夹角为时，小球的速度如图由下式决定 设此时小球受到绳的拉力为，由于小球做圆周运动，故有 设地面对木块的支持力为，作用与木块的摩擦力为，因木块处于静止状态，有 设地面的静摩擦因数为，则有 解以上各式，得 式中 令 与有关，现要求不论取何值，木块均不发生移动，则静摩擦因数的最小值 等于的最大值可如下求得 从上式可看出，当时，即时，达极大值，其值为 故 3．（2020·全国竞赛）据《荀子•有坐篇》记载，孔子观于鲁桓公之庙，有欹（qī）器焉。欹器者，“虚则欹，中则正，满则覆。”悬挂式欹器实物如图7a所示：欹器空时，器身倾斜：注水适中，器身正立；注水过满，器身倾覆。图7b为悬挂式欹器的正视剖面图。整个欹器的外轮廓是相对于Z轴的回转面，轴为内部管腔的对称轴，容器内壁与外壁的半球壳半径分别为和，两半球的球心O和均位于X轴上。轴和Z轴相距，欹器圆柱部分的长度。欹器的一对悬挂点所在直线与XOZ平面交于Q点，其坐标为（，）。欹器材质均匀，其密度为水的密度的3倍。不计摩擦。 （1）求空欹器自由悬挂平衡时Z轴与竖直方向的夹角。 （2）求空欹器绕一对悬挂点所在轴的转动惯量及其在平衡位置附近微振动的角频率（已知密度为、半径为R的匀质球体绕过其质心的轴的转动惯量为；半径为R、长度为L的匀质圆柱体绕过其质心且平行于圆柱底面的轴的转动惯量为）。 （3）让空欹器自由悬挂，并开始往欹器内缓慢注水，问欹器内水面到底部的距离h为多少时器身正立？ （4）简述“满则覆”的临界条件。 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）系统质心刚好高于悬挂点；或， 【详解】（1）假设整个欹器是实心时，它分为长圆柱部分（I）和半球部分（II）。 在坐标系XOZ中，圆柱部分质心的位置为： ， 半球部分质心的位置为： ，① 设整个实心体的质心坐标为，则 于是 ，    ② 相应地，整个欹器空心部分的质心坐标为 ，    ③ 设和分别是整个欹器是实心时欹器的质量和整个欹器空心部分刚好填实所需的质量，有 ， 整个瓶子的质心坐标为         ④     ⑤ 悬挂点的位置为，欹器内没装水悬挂时欹器倾斜的角度为         ⑥ （2）由球绕直径的转动惯量知，半球绕其底面圆直径的转动惯量为 由平行轴定理知，半球绕穿过其质心且平行其底面的转轴的转动惯量为     ⑦ 中间为实心时欹器绕悬挂点连线的转动惯量 ⑧ 空心部分绕悬挂点连线的转动惯量 ⑨ 欹器绕悬挂点连线的转动惯量     ⑩ 质心到悬挂点轴线的距离 欹器绕悬挂点连线摆动的角频率     ⑪ （3）（解法一）设欹器竖直时里面装的水的质量为。 此时水、欹器以及整个体系质心的横坐标、和分别为             ⑫             ⑬ 故有         ⑭ 解得：     ⑮ 由于        ⑯ 故水的体积大于底部半球的容器，即。 因而有         ⑰ 解得         ⑱ 此时整个体系质心的纵坐标 故时欹器正立。 （解法二） 若时欹器竖直位置，时，水的质心位置为     ⑫ 欹器的质量m和此时欲器中水的质量分别为 整个装置的质心，的位置坐标为     ⑬ 欹器身正立时，悬挂点与系统质心的连线为竖直线必有 ，            ⑭ 解得 ，，，均不满足，    ⑮ 故此时无解。 因此欹器竖直时，必有。 当时，与③、④式对比（③、④式中可视为），得水的质心位置为     ⑯ 此时欹器中水的质量为 整个装置的质心位置为     ⑰ ⑱ 欹器身正立，悬挂点与系统质心的连线为竖直线必有 且 当时，由式，有 ⑲ 而由得 或 故时欹器正立。 （4）欹器“满则覆”的临界条件是：系统质心刚好高于悬挂点；或 ，⑳ 4．（2007·全国竞赛）底边长为a，高度为b的长方形匀质物块置于斜面上。斜面和物块之间的静摩擦因数为，斜面的倾角为θ。当θ足够小时，物块静止于斜面上（如图），如逐渐将倾角增大，当θ取某个临界值θ0时，物块或将开始滑动，或将翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的θ0，并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下出现的是翻倒。 【答案】，，如，则当θ增大至θ=arctgμ时物块开始滑动，如，则当θ增大至θ=arctg时物块开始翻倒。 【详解】1.分别求出开始出现滑动和出现翻倒时的θ0。 （1）出现滑动 设重力G=mg沿斜面与垂直于斜面的两个分力为Gx与Gy，斜面对物体的支承力为N，摩擦力为f如。时物体开始滑动（图），必有 ， 用，代入，得 （2）出现翻倒 如时物体将要翻倒，则物体必是绕通过下角处的A轴翻转（如图）。这时支承力N与摩擦力f都通过A轴，不产生对A轴的力矩。翻倒的临界条件是 可得 2．因此，得出结论： 如，则当θ增大至θ=arctgμ时物块开始滑动。 如，则当θ增大至θ=arctg时物块开始翻倒。 的情况，不要求讨论。 5．（2007·全国竞赛）如图所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为和，它们的下端在C点相连结并悬挂一质量为m的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A、B相连，圆环套在圆形水平横杆上，A、B可在横杆上滑动，它们与横杆间的静摩擦系数分别为和。已知和的数值，且。试求和在各种取值情况下，此系统处于静力平衡时两环之间的距离。 【答案】当或时，；当，时，；当，且时， 【详解】解法1 由于和为已知量，只要求出的值即确定（即A、B、C的相对位置确定）.现对系统平衡时应取的数值分析如下： 1．已知，则当A、C和重物在同一竖直线上时，系统平衡，张紧，长绳则松弛（如图决解16-3所示）.将B沿杆右移直至绳拉直（如图决解16-4所示），系统一直保持平衡，这与的取值无关，若使B继续右移一极小的距离，则绳中将出现张力，C点右移，将倾斜，其中张力也将改变.如果，A环将在绳张力作用下滑动，所以系统将失去平衡，若，设此时中张力为T，则B环与杆间正压力，B环所受向左的力.如果，则B环向左滑回原处，系统失去平衡.由此可见，当或时，系统的平衡位置只能是：A、C在竖直线上，（结论一）. 2．当，，且时， 系统将如图决解16-5所示，A环受力：； ，当，即时A环将不 能保持静止.同理，时，B环将不能保持静 止，A、B两环哪个先动，将由、的数值决定.图决解16-5中的与是互相关联的量.由正弦定律有，当值增大时，和均减小，和随之增大.设C点与的距离为h，由几何关系可得，. 设A滑动时，，则， 设B滑动时，，则， 比较和的大小即可知增大（即h减小）时A、B两环谁先滑动. （a）若，则A先滑动，即的条件下，当时，A即将滑动，此时 由此可得结论二： 在，的情况下，若系统保持平衡，的数值一定满足下面的要求： （注意，此时的条件自然得到满足） （b）若，则B先滑动，即的条件下，当时，B即将滑动，此时 由此可得结论三： 当、满足下列二条件时，在，且的情况下，若系统保持平衡，的数值一定满足下面的要求： 若，则，A、B将同时开始要滑动，此时的数值为 的数值满足的条件为 此结果已包括在结论二和结论三中符号“≤”的等号中. 6．（2007·全国竞赛）5个质量相等的匀质球，其中4个半径均为a的球，静止放在半径为R的半球形碗内，它们的球心在同一水平面内。另1个半径为b的球放在4球之上。设接触面都是光滑的，试求碗的半径R的值满足什么条件时下面的球将相互分离。 【答案】 【详解】设半径为b的球放在4个球上后，下面4个球的位置未变。以m表示每个球的质量，下面4个球的球心形成一个位于水平面内的正方形ABCD，俯视图如图决解20-1-1所示。O为正方形对角线的交点，各球之间的相互作用力大小均为F1.根据对称性，并注意到接触面都是光滑的，可知每个球受到相邻两球作用力的合力都为，方向沿对角线。 由几何对称性分析，可知对角线AC、上面球的球心E和碗的球心应在同一竖直平面内，如图决解20-1-2所示。设上面球与下面每个球的相互作用力的大小均为F2，对A球，F2的方向沿球心A、E连线。平衡时对半径为b的球有 （1） 式中是球心连线AE与水平线AC之间的夹角，有 （2） 对于下面每个球，如球A，受到的作用力有重力mg，B、D两球对它的作用的合力，上面球的作用力F2和碗面的作用力F3.由于体系对称且接触面光滑，各力均通过球心A，F3还通过，平衡时有 （3） （4） 式中是F3方向与竖直线的夹角，有 （5） 由式（1）可得 （6） 由式（4）和（6）可得 （7） 由式（3）、（6）和（7）可得 （8） 如果，表示下面的4个球相互接触，4个球在原来的位置；如果F1<0，则下面的4个球将相互分离。当下面的4个球分离时，由式（8）得 （9） 利用式（2）和（5），式（9）化为 （10） 解此不等式，可得 （11） 即碗的半径R满足上式时，下面的球将分离。 要式（11）有解，应有 （12） 即（13） 由于下面各球距O的最小距离为，现上面的球能放在4个球的上面，表明 （14） 而，所以只要第5个球能够放在4个球的上面，式（12）一定成立。 7．（2019·全国竞赛）有一半径为的圆柱，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与相同，半径为的较细圆柱，用手扶着圆柱，将放在的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．已知圆柱与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30,，若放手后，两圆柱体能保持如图所示的平衡，问：圆柱与墙面间的静摩擦系数和圆柱的半径的值各应满足什么条件？ 【答案】 【详解】放上圆柱后,圆柱有向下运动的倾向,对圆柱和墙面有压力.圆柱倾向于向左运动,对墙面没有压力.平衡是靠各接触点的摩擦力维持的.现设系统处于平衡状态,取圆柱受地面的正压力为,水平摩擦力为;圆柱受墙面的正压力为,竖直摩擦力为,圆柱受圆柱的正压力为,切向摩擦力为;圆柱受圆柱的正压力为,切向摩擦力为,如图所示.各力以图示方向为正方向. 已知圆柱与地面的摩擦系数,两圆柱间的摩擦系数.设圆柱与墙面的摩擦系数为,过两圆柱中轴的平面与地面的交角为． 设两圆柱的质量均为,为了求出以及为保持平衡所需的之值,下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程． 对圆柱，有 ,           ① ,                 ② .                              ③ 对圆柱,有 ,           ④ ,              ⑤ .                              ⑥ 由于,得 ,                   ⑦ 式中代表和的大小．又因,于是式①②④⑤四式成为 ,          ⑧ ,                   ⑨ ,         ⑩ .              ⑪ 以上四式是和的联立方程,解这联立方程可得 ,                               ⑫ ，             ⑬ ，        ⑭ .            ⑮ 式⑫⑬⑭⑮是平衡时所需要的力,没有问题,但三个力能不能达到所需要的数值，即式⑫⑭要受摩擦系数的制约.三个力中只要有一个不能达到所需的值,在那一点就要发生滑动而不能保持平衡． 首先讨论圆柱与墙面的接触点.接触点不发生滑动,要求 ． 由式⑫得,， 所以，.                          ⑯ 再讨论圆柱与地面的接触点的情形.按题设,此处的摩擦系数为,根据摩擦定律，若上面求得的接触点维持平衡所需的水平力满足,则圆柱在地面上不滑动;若,这一点将要发生滑动． 圆柱在地面上不发生滑动的条件是   .          ⑰ 由图乙可知，              ⑱ 则.           ⑲ 由式⑰⑱⑲以及,可以求得 .                               ⑳ 即只有当时,圆柱A在地面上才能不滑动． 最后讨论两圆柱的接触点.接触点不发生滑动，要求 .                   ㉑ 由式⑱⑲以及,可解得 .                  ㉒ 显然,在平衡时,的上限为.总结式⑳和式㉒,得到满足的条件为 .                        ㉓ 8．（2019·全国竞赛）三根质量为、长为的相同均质棒．如图所示地靠在一起，三棒与地接触点的连线成一边长为的正三角形，已知三棒与地之间的摩擦系数相等. （1）试求棒顶点所受作用力的大小与方向. （2）若在棒的中点固定一质量也为的小球，再求其顶端所受作用力的大小与方向. （3）要使体系保持静止，则棒与地面之间的摩擦系数至少为多大？ 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）三根棒的顶端相互靠在一起，如图甲所示. 由对称性及牛顿第三定律可知，任何一棒（如棒）的顶端受到其余两棒对它的作用力的合力必沿水平方向，如图乙所示. 在图甲中是的中点，有，. 由棒所受外力相对点力矩平衡，得，可解得. （2）当棒的中点固定一质量也为的小球后，三棒的受力情况都发生了改变，且不再对称，但与两棒受力情况相同，此二棒顶端的受力可看成是除原受力外，再各受一个力和的作用，且有. 既然此二棒仍平衡，可见和必沿各自棒的方向，故这两力的合力沿方向，其反作用力作用于棒的顶端，如图丙所示. 由和小球重力相对点合力矩为零，可得，可解得. 由图丙所示的和的矢量关系，即可求得棒顶端所受的作用力为. （3）由棒所受的竖直方向和水平方向合外力为零，可分别得 ，. 将代入，可解得，. 因为，可得. 棒的受力情况如图丁所示. 由此棒竖直方向和水平方向合外力为零，可分别得 ，. 由图戊所示的矢量关系，可得、与的关系为， 即. 由此而得，. 再由，可得. 由于、棒受力情况完全相同，故棒平衡所需的最小摩擦系数与棒相等. 比较与的大小，即可的棒与地面的摩擦系数应满足. 本题是有关空间力系的经典试题，涉及空间几何关系的运算、对称分析、一般物体的平衡研究、临界状态的分析、不确定关系的判断等等. 9．（2019·全国竞赛）如图所示，无穷多个质量均匀分布的圆环，半径依次为相切于一公共点，则该系统的质心与半径为的最大圆的圆心的距离为多少？ 【答案】 【详解】以右切点为坐标原点,水平向左为x轴建立坐标系,从大到小各环的质量分别为,各环对应的质心坐标分别为． 故． 系统质心与半径为R的最大圆圆心的距离为    ． 10．（2019全国竞赛）质量均匀的无底圆桶重，放在水平桌面上，如图甲所示，内放甲、乙均匀圆球，每球重为、半径为，桶的半径为，且，若各接触面间摩擦不计，试求为使圆桶不至于翻倒的最小值．如果桶有底呢？ 【答案】，如果桶有底，桶不可能翻倒． 【详解】方法1  小球甲受到三个力：重力、桶壁的支持力和乙球对甲球的弹力（沿两球球心），如图乙所示． 根据平衡条件可得，， 解得. 把甲、乙两个球作为一个整体，如图丙所示，由水平方向的平衡条件可知乙球在点受到的弹力．由牛顿第三定律可知，甲、乙两球对桶壁的弹力的大小分别等于．对无底圆桶，取点为转动轴时，将要翻时，仅处与对面有弹力，要使圆桶不致翻倒，由力矩平衡条件 ， 从而，. 如果桶有底，则整体分析，由受力可知地面对整个桶底总有弹力，因此桶不可能翻倒． 方法2  如图丁所示，把甲、乙两个球作为一个整体，由竖直方向受力平衡可知地面对球乙的弹力大小为，将两个球和桶作为整体分析，取点为转动轴，将要翻时，仅处与地面有弹力．要使圆桶不致翻倒，由力矩平衡条件得 ， 即， 解得. 如果桶有底，则整体分析，由受力可知地面对整个桶底总有弹力，因此桶不可能翻倒． 11．（2019·全国竞赛）如图所示，均质杆的长度为，一端靠在光滑铅直墙上，另一端靠在光滑固定的侧面上，侧面为柱面，柱轴垂直面．如果要使杆子在面内的任意位置均是平衡位置，则侧面应是什么形状的柱面？ 【答案】其柱面的横截面的形状为的椭圆. 【详解】如图所示,设柱面上点的坐标为,既然杆在任意位置都处于平衡,则这种平衡是随遇平衡,在此种情况下,杆的质心高度不会发生变化,一定在同一水平线上,以杆竖直放置为例,可知,杆的质心坐标为,对杆而言,显然有 ． 整理得柱面的方程为. 显然,其柱面的横截面的形状为一椭圆. 对于平衡的稳度情形,无外乎三种情况:一是给予平衡体微扰后,据其合力来确定其平衡种类;二是给予平衡体微扰后,据其合力矩来确定其平衡种类;三是据其能量状态来确定其平衡种类． 本题解答的关键在于能根据“任意位置都是平衡位置”得到此杆的平衡为随遇平衡,再根据随遇平衡的物体的重心不变（能量特征）来求解． 12．（2019·全国竞赛）如图甲所示，4个半径为的球，放在光滑碗内，在四球上放一个相同小球，为使四球不分离，求碗的半径应满足的条件． 【答案】 【详解】小球质量设为，设上面小球与下面四球间正压力为，碗与下面四球间压力为，小球的受力及几何关系如图乙所示． 对上球在竖直方向平衡有. 对下面任意一球平衡有， ， ，，， . 当增大时无法保持平衡，当减小时四球间会由压力，能保持平衡． ，， . 13．（2019·全国竞赛）如图甲所示，边长为的均匀立方体，平衡地放在一个半径为的圆柱面顶部，假设静摩擦系数很大，足以阻止立方体下滑．试证明物体稳定平衡的条件为. 【答案】证明见解析 【详解】若物体不能下滑，由图乙可以看出，当正方体受到扰动时，其重心就由点移到点．只要点的位置比点高，正方体就处于稳定平衡状态．设立方体与圆柱的接触点对应的半径转过了角. 初始点的高度为，则在点时的高度为 . 正方体处于平衡，须使， 整理得， . 当很小时，，即只要时，正方体就处于稳定平衡状态. 14．（2019·全国竞赛）六腿桌子，一铅垂载荷作用在刚性的水平桌面上，各腿的材料性能和尺寸完全相同．试分别求出使六腿同时受力、五腿受力、四腿受力和三腿受力的载荷作用区 【答案】见解析 【详解】根据图所示坐标系, 设外载荷作用点坐标为,先求六腿同时受力的载荷作用区. 设六条腿的反力分别是，有平衡方程: ，                                      ① ,                    ② .          ③ 由刚性桌面变形协调条件，可得三个方程,比如说,可以列出 ,                                ④ ,                                ⑤ .                                    ⑥ 解上述六个方程,可得 , ， . 即载荷位于如图所示的菱形区域内时,桌子的六条腿都会受到力的作用,其中点坐标为. 令,可得到同样的不等式 . 考虑到区域的对称性,下面仅限于力位于桌面第一象限来讨论其他几种情形． 五腿受力,设腿1不受力,令,舍去方程⑤,求解后得    ，    ，    ，    ，    . 桌腿不能提供拉力,所以要求.当力位于桌面第一象限时,均自然满足,余下,得 , . 这两个不等式,加上上面所证六腿同时受力的载荷作用区边界，即得五腿受力区为三角形，其中点坐标为. 四腿受力有两种情况,第一种情况是腿受力.舍去方程⑤⑥,并令,求解后得    ，    ，    ，    . 令,得. 即知三角形为四腿受力区,其中点坐标为. 四腿受力的第二种情况是受力.舍去方程④⑤,且令,求解后得     ，     ，     ，     . 令,得. 即知三角形为四腿受力区,其中点坐标为. 最后,四边形为三腿受力区.图丙是第一象限的图形,各区用相应的数字表示. 根据轴和轴的对称性,即可作出整个桌面的受力区域图. 15．（2019全国竞赛）半径为的均匀薄壁球壳分成两部分并牢固连接起来，如图所示．求所得高脚杯重心的高度．设高脚杯的脚高为. 【答案】位于离高脚杯“底”高处 【详解】将高脚杯分成一条条高的平小腰带,如图所示.显然,整个高脚杯的重心实质上是这种小腰带系的重心． 但是每条这种小腰带的重心均位于半径为的圆的圆心,这些圆心分布在过球心的竖直线上,因而我们需要求质点系重心的位置,每个质点的质量就是相应腰带的质量.我们探索它与哪些因素有关． 设球壳单位面积材料的密度为,则每条腰带表面的面积为 ， 而质量.． 可见所有腰带的质量仅取决于它们的高度（当和一定时）． 由此可见,高脚杯的重心是相同质量的质点系的重心,各质点均匀分布在长为的竖直线段上.因而,高脚杯的重心位于它高度的中点,即位于距离高脚杯“底”高处． 16．（2019·全国竞赛）等重的两个木块由一根不可伸长的轻绳相连，放在倾角为的斜面上，两木块与斜面的静摩擦因数分别为和，已知，．问：绳子与斜面上的最大倾斜线之间的夹角应满足什么限制，它们才能在斜面上保持静止？ 【答案】当时，；当时，. 【详解】一个物体能够静止在斜面上，其静摩擦系数应满足条件. 由于本题已知和，可知，，木块1能单独在斜面上保持静止，而木块2不能．现在两木块由细绳连接，当木块1在高处且绳子方位适当，拉直的绳子有可能阻止木块2滑动，同时木块1不被绳子拉动． 设平衡时木块如图甲所示放置． 图乙为斜面上两木块平衡时的受力图，虚线为斜面上最大倾斜线的方向．因为在足够大时，不能静止，将有滑动．在很小时（例如），很容易判定和作为整体沿斜面方向无滑动，保持平衡．所以在从0到足够大中间必有一个位置使处于临界状态，静摩擦力达最大． 我们先考虑木块2，其临界状态下由三个力作用：重力在方向的分力；绳中张力；临界时的摩擦力．由题中已知条件，有，所以. 如图丙所示，作矢量图，使，方向与平行，再以为圆心，为半径作圆，点必在圆外．过点作圆的切线，为切点．则，，方向指向点．因为，所以垂直于两木块间的绳子．是使木块2处于临界的最大张力，对应的是绳与的最大交角．这是因为，虽然从点出发，在小于的方向画一直线与圆相交有两个交点，较远的交点对应于大的，这个对应的最大静摩擦力使木块2有缩短绳子或有往上运动的倾向．这不符合事实，所以，是木块2保持静止的最大可能值． 再考查木块1的受力情况．为了方便，在图丙中相对于点作一个与圆对称的圆．木块1也受三个力作用：重力沿方向的分力（与木块2相同）；绳中张力，大小与木块2受到的张力相等，方向相反，在图丙上对应于点有点（当然，对应于有，这由角决定）；摩擦力，如果三力平衡，则三个力矢量可构成封闭三角形．在木块2上存在作用的绳中张力的条件下，代表作用在木块1上所必须提供的摩擦力. 如果木块2临界平衡时受到绳中张力较小，则也小，点变为点（圆上）．相对于对称的圆上必有对称的点．从图丙看出，为使质点1达平衡（即三个力矢量构成封闭三角形），所必须提供的摩擦力的最大值应等于或大于．这是由木块2处于临界平衡状态的最大角决定的． 我们来判定一下平衡的可能性，为此比较力：和. ①若，即必须提供的大于可能提供的最大静摩擦力，在绳子与方向夹角为时，木块1不能保持平衡． ②若，在绳子与方向夹角为时，木块1可以保持平衡． 如果属情况②，那么保持系统平衡的最大角是；如果属情况①，我们将继续寻找这个角，使.系统达平衡时，绳子与方向夹角必须小于或等于这个角. 为求，先确定与，由图丙得 . 又， 为了在位形处系统保持平衡，如图丙所示，要求达到的数值，可从求得： . 又有木块1的最大静摩擦力， 为确定和间的大小关系，暂设， 即， 整理得. 在题中要求的条件下，有结论： i.，要求； ii.，要求. 即，当时，系统达平衡的条件是绳的最大倾斜角，因此，系统达平衡要求， 即. 当时，在绳的倾斜角处，木块1不能平衡，而只能在的某个角才能平衡．我们来求这个临界的角，在此 . 利用木块1、2达临界时的受力图丙中两个三角形和，得 ， . 两式相加、相减得 ， . 联立求解得到， . 这个结果说明：当时，为使系统保持平衡，绳的倾斜角应满足 . 最后结论：为使系统在斜面上保持静止，绳子与斜面上的最大倾斜线之间的夹角应满足： 当时，； 当时，. 17．（2019·全国竞赛）六条腿桌子放在水平地面上，如图甲所示，尺寸如图乙所示，桌面是刚性的，各条腿完全相同． （1）.证明：在图示菱形区域内任意点处，施加一铅垂力时，六条腿都与地面接触． （2）.在上述情况下，求各条腿的内力． 【答案】（1）证明见解析    （2）. ；；；；； 【详解】如图乙所示，取坐标系，设力作用点的坐标为，平衡时力等效于作用在中心的力和分别沿方向和方向的力偶和，其大小为 ，，. 可分别求出在力、力偶和单独作用下各腿的反力，然后叠加起来，所得的结果，就是在力作用下各腿的内力． 由静力平衡条件，桌腿的对称性及由桌面刚性条件而列出的变形协调条件，不难分别求出作用在中心的，，引起的各腿的反力． 在力作用下，各腿受力相同． . 在作用下，， 故， 故，. 这里取正值为压力，并暂时假定有些腿可以承受拉力，在作用下，有 ，，. 以上三者叠加起来得 ，， ，， ，. 由于桌腿只承受压力，所以必须保证上述各内力均为非负值的解答才是正确的． 即令，其中如果力作用在桌面内，，自然满足，由其他四个不等式可得. 这就是图中的菱形区，当力的作用点在这个菱形区域内时，各腿与地面接触，此时各腿的内力（压力）已如上述． 18．（2019·全国竞赛）如图甲所示，固定在竖直平面内的椭圆环，其长轴沿竖直方向，有两个完全相同的小圆环套在椭圆环上，不计质量的轻线将两个圆环连接在一起，轻线跨过位于椭圆焦点的水平轴，小圆环与轻线系统处于平衡状态，不计各处的摩擦，小圆环的大小忽略不计．试分析说明，系统属于哪一种平衡状态？ 【答案】小环与轻线所组成的系统处于随遇平衡状态． 【详解】设每个小环的质量为，其他数据如图乙所示． 图乙取椭圆的焦点所在的水平面为重力的零势能面，则小环与轻线系统的势能为 . 椭圆的参数方程为. 由此可得，. 进而有. 由于轻线的长度为定值，所以有为常量， 故有常量. 由于系统的势能为常量，故小环与轻线所组成的系统处于随遇平衡状态． 19．（2019·全国竞赛）平面上放有不动的窄管，一条蛇一半爬进管里，另一半任意盘曲在水平面上．把蛇看作是长为的均匀细绳，求整条蛇重心所在的可能范围． 【答案】，或者. 【详解】位于管内半段蛇的重心到管端距离为，其坐标为，如图所示. 则，. 任意盘曲在水平面上的另一半蛇的重心，可以位于以坐标原点为圆心和为半径圆内任何一点，即它的坐标满足下列不等式： .                    由于蛇的两部分质量相同，所以全部蛇重心的坐标由下式决定： ，. 用和表示这两个方程中的和，得 ，. 将和代入不等式中，得到， 或者. 这表明全部蛇的重心位于该圆面上任意一点，该圆中心的坐标为和，半径为（图上这个圆用斜线表示）. 20．（2019·全国竞赛）一个左右完全对称的熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为，且长轴的长度为，蛋圆的一端刚好可以在不光滑的水平面上稳定地平衡．证明蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立，并求碗的半径. 【答案】 【详解】本题是受重力作用并在其他物体支持下的物体平衡，因此，可假想物体偏离平衡位置一个小角度后．由重心升降法确定平衡种类． 将蛋尖、蛋圆的曲率重心分别记为，由对称性，鸡蛋的重心必在的连线上．设重心离蛋圆底端距离为，如图甲所示，现使蛋圆绕曲率重心偏过一微小角度，则中心位置的变化为 . 因为很小，所以，. 这样有. 由题意有，则， 即共点. 如图乙所示（为清晰，图已夸大），再把半球形碗的球心记为，使蛋尖绕其曲率重心转过一微小角度，蛋与碗的接触点为，设与竖直线夹角为. 这时重心与蛋尖底的距离为，由数学知识易知，三点共线，（但连线不一定竖直），且有. 这时重心位置的变化可表示为 . 仍用上面所述近似法则，并代入关系使，化简得 . 又因为，则. 将代入，得. 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题05 平衡的稳度 1．（2021·全国强基计划）一光滑圆环以过圆心的固定竖直轴匀速旋转，角速度为。一珠子可在圆环上自由滑动，质量为，如图所示。则图示珠子的可能处于稳定平衡的位置，用角度表示，可表示为（  ） A． B． C． D． E． F． 2．（2007·全国竞赛）图中A是一带有竖直立柱的木块，总质量为，位于水平地面上。B是一质量为的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端。现拉动小球使绳伸直并处于水平位置。然后让小球从静止状态下摆。如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A不会发生转动） 3．（2020·全国竞赛）据《荀子•有坐篇》记载，孔子观于鲁桓公之庙，有欹（qī）器焉。欹器者，“虚则欹，中则正，满则覆。”悬挂式欹器实物如图7a所示：欹器空时，器身倾斜：注水适中，器身正立；注水过满，器身倾覆。图7b为悬挂式欹器的正视剖面图。整个欹器的外轮廓是相对于Z轴的回转面，轴为内部管腔的对称轴，容器内壁与外壁的半球壳半径分别为和，两半球的球心O和均位于X轴上。轴和Z轴相距，欹器圆柱部分的长度。欹器的一对悬挂点所在直线与XOZ平面交于Q点，其坐标为（，）。欹器材质均匀，其密度为水的密度的3倍。不计摩擦。 （1）求空欹器自由悬挂平衡时Z轴与竖直方向的夹角。 （2）求空欹器绕一对悬挂点所在轴的转动惯量及其在平衡位置附近微振动的角频率（已知密度为、半径为R的匀质球体绕过其质心的轴的转动惯量为；半径为R、长度为L的匀质圆柱体绕过其质心且平行于圆柱底面的轴的转动惯量为）。 （3）让空欹器自由悬挂，并开始往欹器内缓慢注水，问欹器内水面到底部的距离h为多少时器身正立？ （4）简述“满则覆”的临界条件。 4．（2007·全国竞赛）底边长为a，高度为b的长方形匀质物块置于斜面上。斜面和物块之间的静摩擦因数为，斜面的倾角为θ。当θ足够小时，物块静止于斜面上（如图），如逐渐将倾角增大，当θ取某个临界值θ0时，物块或将开始滑动，或将翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的θ0，并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下出现的是翻倒。 5．（2007·全国竞赛）如图所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为和，它们的下端在C点相连结并悬挂一质量为m的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A、B相连，圆环套在圆形水平横杆上，A、B可在横杆上滑动，它们与横杆间的静摩擦系数分别为和。已知和的数值，且。试求和在各种取值情况下，此系统处于静力平衡时两环之间的距离。 6．（2007·全国竞赛）5个质量相等的匀质球，其中4个半径均为a的球，静止放在半径为R的半球形碗内，它们的球心在同一水平面内。另1个半径为b的球放在4球之上。设接触面都是光滑的，试求碗的半径R的值满足什么条件时下面的球将相互分离。 7．（2019·全国竞赛）有一半径为的圆柱，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与相同，半径为的较细圆柱，用手扶着圆柱，将放在的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．已知圆柱与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30,，若放手后，两圆柱体能保持如图所示的平衡，问：圆柱与墙面间的静摩擦系数和圆柱的半径的值各应满足什么条件？ 8．（2019·全国竞赛）三根质量为、长为的相同均质棒．如图所示地靠在一起，三棒与地接触点的连线成一边长为的正三角形，已知三棒与地之间的摩擦系数相等. （1）试求棒顶点所受作用力的大小与方向. （2）若在棒的中点固定一质量也为的小球，再求其顶端所受作用力的大小与方向. （3）要使体系保持静止，则棒与地面之间的摩擦系数至少为多大？ 9．（2019·全国竞赛）如图所示，无穷多个质量均匀分布的圆环，半径依次为相切于一公共点，则该系统的质心与半径为的最大圆的圆心的距离为多少？ 10．（2019·全国竞赛）质量均匀的无底圆桶重，放在水平桌面上，如图甲所示，内放甲、乙均匀圆球，每球重为、半径为，桶的半径为，且，若各接触面间摩擦不计，试求为使圆桶不至于翻倒的最小值．如果桶有底呢？ 11．（2019·全国竞赛）如图所示，均质杆的长度为，一端靠在光滑铅直墙上，另一端靠在光滑固定的侧面上，侧面为柱面，柱轴垂直面．如果要使杆子在面内的任意位置均是平衡位置，则侧面应是什么形状的柱面？ 12．（2019·全国竞赛）如图甲所示，4个半径为的球，放在光滑碗内，在四球上放一个相同小球，为使四球不分离，求碗的半径应满足的条件． 13．（2019·全国竞赛）如图甲所示，边长为的均匀立方体，平衡地放在一个半径为的圆柱面顶部，假设静摩擦系数很大，足以阻止立方体下滑．试证明物体稳定平衡的条件为. 14．（2019·全国竞赛）六腿桌子，一铅垂载荷作用在刚性的水平桌面上，各腿的材料性能和尺寸完全相同．试分别求出使六腿同时受力、五腿受力、四腿受力和三腿受力的载荷作用区 15．（2019·全国竞赛）半径为的均匀薄壁球壳分成两部分并牢固连接起来，如图所示．求所得高脚杯重心的高度．设高脚杯的脚高为. 16．（2019·全国竞赛）等重的两个木块由一根不可伸长的轻绳相连，放在倾角为的斜面上，两木块与斜面的静摩擦因数分别为和，已知，．问：绳子与斜面上的最大倾斜线之间的夹角应满足什么限制，它们才能在斜面上保持静止？ 17．（2019·全国竞赛）六条腿桌子放在水平地面上，如图甲所示，尺寸如图乙所示，桌面是刚性的，各条腿完全相同． （1）.证明：在图示菱形区域内任意点处，施加一铅垂力时，六条腿都与地面接触． （2）.在上述情况下，求各条腿的内力． 18．（2019·全国竞赛）如图甲所示，固定在竖直平面内的椭圆环，其长轴沿竖直方向，有两个完全相同的小圆环套在椭圆环上，不计质量的轻线将两个圆环连接在一起，轻线跨过位于椭圆焦点的水平轴，小圆环与轻线系统处于平衡状态，不计各处的摩擦，小圆环的大小忽略不计．试分析说明，系统属于哪一种平衡状态？ 19．（2019·全国竞赛）平面上放有不动的窄管，一条蛇一半爬进管里，另一半任意盘曲在水平面上．把蛇看作是长为的均匀细绳，求整条蛇重心所在的可能范围． 20．（2019·全国竞赛）一个左右完全对称的熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为，且长轴的长度为，蛋圆的一端刚好可以在不光滑的水平面上稳定地平衡．证明蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立，并求碗的半径. 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$