专题04 一般物体的平衡（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优精练（高一上学期）

2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题04一般物体的平衡 1．（2016·北京强基计划）如图，一个半径为R的盘状轻物体中过圆心的杆上有一质量为m的物体（忽略形状）固定在离圆心R/2处，下面正确的是（　　） A．时，有两个稳定平衡位置 B．时，有一个稳定平衡位置，有一个不稳定平衡位置 C．时，有一个稳定平衡位置 D．时，没有稳定平衡位置 2．（2016·全国竞赛）如图所示，清洗楼房玻璃的工人常用绳索将自己悬在空中，绳索通过一个固定在建筑物顶部的定滑轮，一端固定在工人身上，另一端穿过工人身上的调节装置，工人可以根据作业面位置的高低进行调节。设工人及其装备的总重量为G，绳索恰好系在工人及其装备的重心上，绳索对工人的拉力大小为，墙壁对工人的弹力大小为，摩擦力为，则下列说法中正确的是（　　） A．工人在墙面的某个位置作业时，一定大于G B．工人在墙面的某个位置作业时，可能小于G C．工人在端面的某个位置作业时，可能为0 D．工人由高处逐渐降低作业位置的过程中，可能逐渐变小 3．（2007·全国竞赛）如图所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述（1）、（2）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0。 （1）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米； （2）在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。 4．（2017·全国竞赛）某电视节目中演示了一个用三根火柴棍和细棉线悬挂起一瓶或多瓶矿泉水的实验，如图所示．A、B、C为三根相同的火柴棍，火柴棍长为l，细实线为棉线，棉线的直径为d（d<<l）．火柴棍A的一半在水平桌面内，另一半在桌面外，火柴棍A与桌面上表面的边沿垂直；桌面厚度为h；O是火柴棍A的中点与桌面边沿的接触点；棉线紧贴桌沿绕过A，压在水平火柴棍C的两端；火柴棍B的一端顶在火柴棍A的球状头部（可近似忽略球状头部的尺度），另一端顶在火柴棍C的中点．这样的结构可以稳定地悬挂起一瓶或多瓶矿泉水．已知火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都足够粗糙（即可以没有滑动），而且它们的质量与重物相比均可忽略． （1）如果没有火柴棍B和C，光靠A是否可能悬挂起一瓶矿泉水?为什么? （2）加上火柴棍B和C、小心挂上重物时，火柴棍A会在过A的竖直平面内绕O点有一个角位移，通过火柴棍B的带动，压在火柴棍C两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转动一个很小的角度；只要角度大小合适，可使整个系统达到稳定平衡．求平衡时该角度的大小． 5．（2019·全国竞赛）半径为的刚性球固定在水平桌面上，有一个质量为的圆环状均匀弹性细绳圈，原长，，细绳圈的劲度系数为（绳伸长时，绳中弹性张力为）.将绳圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平并最后停留在某个平衡位置，如图所示． （1）设平衡时绳圈长为，，忽略摩擦，考虑重力，试求劲度系数（用表示）. （2）设，求绳圈的最后平衡位置及长度. 6．（2019·全国竞赛）三根相同的圆木如图所示堆放在水平地面上，它们之间以及地面之间的静摩擦因数相同，问：此静摩擦因数至少要多大，它们才能保持平衡？ 7．（2019·全国竞赛）有一支架，由光滑的杆构成，叠放方式如图所示，置于光滑的碗沿上，其中为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，杆的粗细不计，现在点放一质量为的重物，试求与处支持力的大小．（为方便表示，可用各点序号表示此处的相互作用力） 8．（2019·全国竞赛）均匀的不可伸长的绳子，其两端悬挂在两点，点比点高，如图所示．在点绳子张力为，求在点绳子的张力．（绳子的质量为，绳长为） 9．（2019·全国竞赛）如图所示，一台轧钢机的两个轮子以相反方向旋转，滚子直径，间距，如果滚子和钢板间的动摩擦因数，问：仅靠滚子的作用能进入滚子间的钢板的最大厚度. 10．（2019·全国竞赛）两个质量为，半径为的相同圆球和，用两根长为的绳悬挂于点，在两球上另有一个质量为、半径为的圆球，如图甲所示，已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角与的关系． （几个平方根值：，，，，，） 11．（2019·全国竞赛）如图所示，正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上．已知桌腿受力后将产生弹性微小形变，现于桌面中心点至角的连线上某点施加一竖直向下的力，令，求桌面对桌腿1的压力. 12．（2019·全国竞赛）许多相同的小球按图甲所示方法堆积，第一层有一个球，第二层有三个球，…，第层有个球．现对第层的球按图乙所示方法编写坐标（其中和分别表示球在层中的排数和从左往右数在该排的序数）．试求出编号为的球与下面三个球、、之间的弹力，小球质量为 13．（2019·全国竞赛）如图所示，课桌面与水平面夹角成，在桌面上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑动． （1）求在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数. （2）铅笔的轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？ 14．（2019·全国竞赛）如图所示，屋架由同一竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1，2，…，9，其中，绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动．各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受由竖直向下的压力，点1承受有竖直向下的压力，求铰接点3和4间杆的内力. 15．（2019·全国竞赛）一根细的轻蛛丝两端分别固定在同一高度上的两点，．质量为的蜘蛛抓住蛛丝缓缓爬行（如图所示）．假设蛛丝的原长为零，劲度系数为，求蜘蛛的轨迹方程． 16．（2019·全国竞赛）如图甲所示，各杆件质量均不计，求桁架中杆件8、9、10的内力．已知，，. 17．（2019·全国竞赛）如图所示，层支架由相同的三角形板铰接而成，其顶部受二力作用，力的大小为，若不计三角板自重，试求固定铰支座的约束反力. 18．（2019·全国竞赛）有一桥桁架，如图甲所示．处为一铰链，处为一滚轮．试求杆上受的力，并指出每根杆受到的是拉力还是压力．设处轮子与地摩擦可略，桁架本身重可略而不计． 19．（2019·全国竞赛）均匀小木棍放在粗糙的球面内，木棍长等于球的半径，木棍与球面间的摩擦因数为．求木棍与水平线所成的最大角度． 20．（2007·全国竞赛）给你一把很轻的有刻度的直尺，一个已知重量的可悬挂的物体，怎样才能粗略地测出一根棉线所能承受的最大拉力？要求说明理由并画出装置图。 21．（2019·全国竞赛）有一质量的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间的静摩擦因数，杆的上端由固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角，如图甲所示. （1）若以水平力作用在杆上，作用点到地面的距离（为杆长），要使杆不滑倒，力最大不能越过多少？ （2）若将作用点移到处时，情况又如何？ 22．（2007·全国竞赛）在图中，A是一质量为M的木块，B是一质量为m的小铁块，共同浮在水面上。若将铁块取下，直接放在水内，最后杯中水面的高度 。 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题04一般物体的平衡 1．（2016·北京强基计划）如图，一个半径为R的盘状轻物体中过圆心的杆上有一质量为m的物体（忽略形状）固定在离圆心R/2处，下面正确的是（　　） A．时，有两个稳定平衡位置 B．时，有一个稳定平衡位置，有一个不稳定平衡位置 C．时，有一个稳定平衡位置 D．时，没有稳定平衡位置 【答案】BCD 【详解】圆盘若处于平衡状态，小球一定在接触点的正上方，满足力矩平衡，如图所示 可得 由于为锐角，因此方程有解的条件是 可得 因此当时，没有平衡位置；当时，角有两个不同的解，其中一个是钝角，一个是锐角，也就是有两个平衡位置；当，角为直角，也就是有一个平衡位置。 当时，有一个微小扰动，重心偏离平衡位置一个小角度，重心的高度变化为 消去小量可得 可知当为锐角是时，重心升高会回到平衡位置，为稳定平衡；当为钝角是时，重心降低，盘将远离平衡为位置，为不稳定平衡；当为直角是时，重心高度不变，为随遇平衡，也相当于处于稳定平衡状态。 故选BCD。 2．（2016·全国竞赛）如图所示，清洗楼房玻璃的工人常用绳索将自己悬在空中，绳索通过一个固定在建筑物顶部的定滑轮，一端固定在工人身上，另一端穿过工人身上的调节装置，工人可以根据作业面位置的高低进行调节。设工人及其装备的总重量为G，绳索恰好系在工人及其装备的重心上，绳索对工人的拉力大小为，墙壁对工人的弹力大小为，摩擦力为，则下列说法中正确的是（　　） A．工人在墙面的某个位置作业时，一定大于G B．工人在墙面的某个位置作业时，可能小于G C．工人在端面的某个位置作业时，可能为0 D．工人由高处逐渐降低作业位置的过程中，可能逐渐变小 【答案】BD 3．（2007·全国竞赛）如图所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述（1）、（2）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0。 （1）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米； （2）在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。 【答案】（1）0.375m；（2） 【详解】（1）设直槽与水平方向夹时，由平衡，小球受弹簧支持力为 弹簧长度为 所以小球高度为 从这个表达式可以看出，与k均是常数，h是一个关于的二次函数，二次项系数是负值，h有最大值。则 即 当时，h有最大值，代入 所以 那么此时的 则 故所以当时 （说明：时，而时，低了。） （2）“在转动的过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大”说明在转动过程中没有极值，或最大值在时取得。的绝对值一直在减小，即 也就是说 则 小球高度的表达式有 当，时 但不能超过弹簧的原长。有 4．（2017·全国竞赛）某电视节目中演示了一个用三根火柴棍和细棉线悬挂起一瓶或多瓶矿泉水的实验，如图所示．A、B、C为三根相同的火柴棍，火柴棍长为l，细实线为棉线，棉线的直径为d（d<<l）．火柴棍A的一半在水平桌面内，另一半在桌面外，火柴棍A与桌面上表面的边沿垂直；桌面厚度为h；O是火柴棍A的中点与桌面边沿的接触点；棉线紧贴桌沿绕过A，压在水平火柴棍C的两端；火柴棍B的一端顶在火柴棍A的球状头部（可近似忽略球状头部的尺度），另一端顶在火柴棍C的中点．这样的结构可以稳定地悬挂起一瓶或多瓶矿泉水．已知火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都足够粗糙（即可以没有滑动），而且它们的质量与重物相比均可忽略． （1）如果没有火柴棍B和C，光靠A是否可能悬挂起一瓶矿泉水?为什么? （2）加上火柴棍B和C、小心挂上重物时，火柴棍A会在过A的竖直平面内绕O点有一个角位移，通过火柴棍B的带动，压在火柴棍C两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转动一个很小的角度；只要角度大小合适，可使整个系统达到稳定平衡．求平衡时该角度的大小． 【答案】（1）不能，从力的平衡看，单一的火柴棍A无法提供向上的力与一瓶矿泉水的重力平衡；从力矩的平衡看，重物相对于支撑点O有一力矩，此力矩没有其它力矩与其平衡，会使火柴棍转动直至掉；（2） 【详解】（1）不能．从力的平衡看，单一的火柴棍A无法提供向上的力与一瓶矿泉水的重力平衡；从力矩的平衡看，重物相对于支撑点O有一力矩，此力矩没有其它力矩与其平衡，会使火柴棍转动直至掉下． （2）由于火柴棍A水平，火柴棍B的下端正好在A的中点的正下方，由几何关系知，火柴棍A和B之间的夹角为=60°，桌面上表面边沿O点到火柴棍B的下端（即火柴棍C的中点）的距离为L=l，又由于火柴棍C水平，由几何关系知，从O点到火柴棍C两端的距离均为l，如图（a）所示．据题意，三根火柴的结构在重物质量逐渐增大时是稳定的．因而火柴棍C继续保持水平，火柴棍B和A之间的夹角也能得以保持不变，即图（b）中，火柴棍A和B之间的夹角仍然为60°． 瓶最终稳态应该在何处？应该在O点正下方！又因为棉线是有一定的线度，直径为d．一开始瓶的纵向几何中心与棉线的纵向几何一直线，最终瓶的纵向几何中心在O点的正下方．所以：①瓶向左平移的距离为；②瓶最终的转动中心在桌子下边沿，O点正下方的D点．如图（c），D′是棉线纵向轴线的位置，是瓶纵向中心的原位置．D是瓶的纵向中心的新位置．所以瓶转过的角度∠DED′=θ，DD′=，且因为是微小的转动，故由微量处理知 OO ′=DD′= 同理 O′D′=OD=h     D′E=DE=L－h= 故 sinθ=      平衡时该角度的大小 θ=arcsin 5．（2019·全国竞赛）半径为的刚性球固定在水平桌面上，有一个质量为的圆环状均匀弹性细绳圈，原长，，细绳圈的劲度系数为（绳伸长时，绳中弹性张力为）.将绳圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平并最后停留在某个平衡位置，如图所示． （1）设平衡时绳圈长为，，忽略摩擦，考虑重力，试求劲度系数（用表示）. （2）设，求绳圈的最后平衡位置及长度. 【答案】（1） ；（2） 【详解】设平衡时绳圈位于球面上相应于角的纬线上,考虑绳上的一段长为的一小段,俯视图如图所示,这一小段的重力为,方向竖直向下.绳内的张力大小为,所以,张力的合力大小为,方向在平面内并指向绳圈的中心球面对这一小段的支持力,方向沿球的半径向外,这三个力在同一个竖直平面内,将这三个力在该平面内沿球面的径向与法向进行分解,可确定绳在球面上的平衡状态． （1）由球面经线切向合力为零有 ,     （*） 式中， 解得． （2）当时,由（*）式及相关数据可得： ,即 . 注意到,且，所以上式无解.实际上,太小时,绳圈在重力作用下将滑过球体而落在桌面上,因此绳长为原长，即． 6．（2019·全国竞赛）三根相同的圆木如图所示堆放在水平地面上，它们之间以及地面之间的静摩擦因数相同，问：此静摩擦因数至少要多大，它们才能保持平衡？ 【答案】 【详解】设每个圆柱体的重力都是,上、下（下以A为代表）圆柱体的受力如图乙所示,分析受力时考虑到了对称性,相应的角度在图中已标出平衡条件是上面的圆柱体与下面的圆柱体各自所受到的合力及合力矩为零． 由上面的圆柱体C所受合力的竖直分量为零,有 , 即． 下面的圆柱体A所受合力的竖直分量及水平分量均应为零，故有 , , 即, ． 同时由合力矩为零,有． （对A列式根据牛顿第三运动定律,用到了） 联立上述各式可解得 ． 因要求，而， 所以，． 7．（2019·全国竞赛）有一支架，由光滑的杆构成，叠放方式如图所示，置于光滑的碗沿上，其中为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，杆的粗细不计，现在点放一质量为的重物，试求与处支持力的大小．（为方便表示，可用各点序号表示此处的相互作用力） 【答案】， 【详解】先研究、、三杆的受力情况．有． 对，，． 对，，． 对，，． 上述各式考虑了各点之间的长度比例关系． 解得，， ，， ，． 再研究六杆的受力情况，依次有 ，． ，． ，． ，． ，． ，． 上述各式亦考虑了各点之间的长度比例关系． 解得， 8．（2019·全国竞赛）均匀的不可伸长的绳子，其两端悬挂在两点，点比点高，如图所示．在点绳子张力为，求在点绳子的张力．（绳子的质量为，绳长为） 【答案】 【详解】用长为L的光滑斜面放在两点,加段绳子沿着斜面将原来绳子接通,如图所示, 整段绳子处于平衡状态,放在斜面上的那段绳子由于处的张力存在差值而平衡,有 , 可得． 9．（2019·全国竞赛）如图所示，一台轧钢机的两个轮子以相反方向旋转，滚子直径，间距，如果滚子和钢板间的动摩擦因数，问：仅靠滚子的作用能进入滚子间的钢板的最大厚度. 【答案】 【详解】在临界状态（钢板最大厚度）下,滚子对钢板的作用力应在滚子与钢板接触的边缘处,即图乙中的P点处,若设钢板是匀速向前的,则滚子对钢板的摩擦力和弹力在钢板前进方向上的合力为零,其合力F的方向与钢板行进方向垂直,即有. 在厚钢板与上面滚子接触点P上,受到沿着半径方向弹力的作用及滚子转动时与钢板间的动摩擦力的作用,则在临界状态下，和的合力与钢板行进方向垂直,由图可知 , 故            ， 所以,， ， 即仅靠滚子的作用能进入滚子间的钢板的最大厚度为. 10．（2019·全国竞赛）两个质量为，半径为的相同圆球和，用两根长为的绳悬挂于点，在两球上另有一个质量为、半径为的圆球，如图甲所示，已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角与的关系． （几个平方根值：，，，，，） 【答案】①.若，系统不能平衡．②.若，系统平衡，，即， 此时之间无相互作用力.③.若，则由两种可解的平衡状态．第一种是两球分开，；第二种是两球互相接触且有相互作用力，此时. 【详解】设悬绳张力为，大、小球之间的相互作用力为，大、小球连心线与悬线间夹角为，如图乙所示． 在中：.            ① 对球平衡：        ② 对球平衡：，           ③ .                   ④ 由上面四式解得  . 当两球心距离为时，有， 即应有. 所以. .若，系统不能平衡． ②.若，系统平衡， ，即， 此时之间无相互作用力. ③.若，则由两种可解的平衡状态． 第一种是两球分开， 第二种是两球互相接触且有相互作用力，此时. 11．（2019·全国竞赛）如图所示，正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上．已知桌腿受力后将产生弹性微小形变，现于桌面中心点至角的连线上某点施加一竖直向下的力，令，求桌面对桌腿1的压力. 【答案】综合以上讨论得，； ，. 【详解】设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为，因轻质刚性的桌面处在平衡状态， 可推得.① 由对称性得.② 考查对桌面对角线的力矩，由力矩平衡条件可得 .③ 根据题意，，对应于力的作用点在点，对应于力作用点在点. 设桌腿的劲度系数为，在力的作用下，腿1的形变为，腿2和4的形变均为，腿3的形变为.依题意，桌面上四个角在同一平面上，因此满足， 即④ 由①、②、③、④式，可得，. 当时，．，表示腿3无形变；，表示腿3受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故应视．此时②、③式仍成立．由③式，可得. 综合以上讨论得，； ，. 12．（2019·全国竞赛）许多相同的小球按图甲所示方法堆积，第一层有一个球，第二层有三个球，…，第层有个球．现对第层的球按图乙所示方法编写坐标（其中和分别表示球在层中的排数和从左往右数在该排的序数）．试求出编号为的球与下面三个球、、之间的弹力，小球质量为 【答案】 【详解】研究球受下面三个球的弹力作用，分别设为 ：球与球间的弹力； ：球与球间的弹力； ：球与球间的弹力． 对编号为的球进行受力分析，有 ．        ① 且对于水平方向上分力受力分析如下图所示． 由合力为0，可知： ．        ② ②式代入①式知     ． 上面的，且当球的坐标所对应的球面存在时，，另外初始条件为 ①时，， ②时，， ③时，， ④时，． 结合上述初始条件递推可知 13．（2019·全国竞赛）如图所示，课桌面与水平面夹角成，在桌面上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑动． （1）求在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数. （2）铅笔的轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？ 【答案】 【详解】根据我们学习生活的经验，在倾斜桌面上放一支六棱柱形铅笔，当笔杆垂直于斜面母线时，最不易滚下来而会先发生滑动. 事实上，放置在斜面上的铅笔恰能处于平衡，必有，式中为最大静摩擦力，为铅笔质量. 则，即摩擦角恰等于斜面倾角. 若，放置在斜面上的笔无论以怎样的角放置，总不会因发生滑动而破坏平衡. 但是，还有一个向下移动的问题存在. 就“稳度”而言，当角为某一临界值时，重力作用线超出斜面对铅笔的支持面，则铅笔会在重力矩作用下离开原平衡位置而滚下来，现在来求这个角. 如图乙所示，阴影部分表示笔与桌的接触面，正六边形表示笔的横截面，为笔的质心，它在斜面上的投影为，重力作用线从接触面“擦边而过”. 由图示几何关系可知，为正六边形边长；；；（注意：垂直于斜面母线，垂直于棱线）. 在临界状态下，，故. 只要重力作用线落在阴影区内，即有. 即，笔就不会滚动，故放置笔时，应使铅笔的轴与斜面母线所成的角为. 在竞赛物理中，很多静平衡问题涉及空间问题，由于学生中相当部分的任缺乏空间想象力，空间问题成为中学阶段学生的难点之一. 14．（2019·全国竞赛）如图所示，屋架由同一竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1，2，…，9，其中，绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动．各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受由竖直向下的压力，点1承受有竖直向下的压力，求铰接点3和4间杆的内力. 【答案】 【详解】如图甲所示,屋架由同一竖直面内的多根无重杆铰接而成,各铰接点依次为,其中,铰接点位于同一水平直线上,且9可以无摩擦地水平滑动.各铰接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图甲所示,铰接点3承受有竖直向下的压力,点1承受有竖直向下的压力,求铰接点3和4间杆的内力． 方法1：由于点9可沿水平方向无摩擦滑动,故屋架在点9处所受外力只可能沿竖直方向,设为.由于屋架所受外力、和均沿竖直方向,则屋架在点8所受的外力也只可能沿竖直方向,设其为． 以整个屋架为对象,列出各外力对支点8的力矩平衡方程,有 , 所以,, 的方向竖直向上． 又由整个屋架的受力平衡关系,应有 ， 所以,， 的方向竖直向上． 假设将铰接点5、6、7、9这部分从整个屋架中隔离出来,则这部分受到杆15、杆47、杆36的作用,这几个作用力均沿与杆15平行的方向,设其以一个力表示,则这个力也必与杆15方向平行,此外,这部分还受到杆25的作用,设其为,显然的方向应沿水平方向;这部分还受到支持力的作用.这样,这部分就等效为受、和三个力的作用而平衡.由此表示此三力的矢量构成一个封闭三角形,由前述此三力的方向关系可以确定,这一三角形只能是如图乙所示的三角形． 由此三角形可见 . 杆25对点5的作用力方向水平向左,可见杆25中的内力为张力． 又假设取铰接点8为研究对象,它受到支持力和杆82对它的作用力和杆81对它的作用力,由于此三力平衡,则与的合力必沿杆81的方向，可见应有 且的方向应水平向右,即杆82的内力为张力 再假设取铰接点2为研究对象，由以上分析知,其左、右两水平杆对它的作用力均为拉力,其大小分别为和,而另外只有杆24能对点2提供水平方向的分力,则为使点2在水平方向受力平衡,杆24作用于点2的力必沿由2指向点4的方向,进而为使点2在竖直方向上受力平衡,则杆12对点2的作用力必沿竖直向下的方向． 综合上述,可得点2的受力如图丙所示． 由图知 , 故得. 即杆24中的内力为张力,其大小为. 最后以点4为研究对象,它受到与之相连的三根杆的三个力的作用.此三力应互相平衡.现以表示这三个力,由于的方向是确定的（杆42的内力为张力,则必沿由点4指向点2的方向）,而又只能沿对应杆的方向,则此三力只可能取如图丁所示的方向.由点4在水平方向的受力平衡,应有 ， 所以,. 由点4在竖直方向的平衡,应有    . 即杆43中的内力为张力,大小为. 15．（2019·全国竞赛）一根细的轻蛛丝两端分别固定在同一高度上的两点，．质量为的蜘蛛抓住蛛丝缓缓爬行（如图所示）．假设蛛丝的原长为零，劲度系数为，求蜘蛛的轨迹方程． 【答案】 【详解】  设某一时刻蜘蛛位于点，蜘蛛已爬过蛛丝总长度的倍，蛛丝部分的劲度系数为，部分的劲度系数为. 由得. 由得. 式中，. 将的值代入，可得. 这显然是一条抛物线方程. 16．（2019·全国竞赛）如图甲所示，各杆件质量均不计，求桁架中杆件8、9、10的内力．已知，，. 【答案】可解得（压力）， （压力）， （拉力）. 【详解】本题只要求计算桁架中几个杆件的内力，可以用隔离法．设想用一截面将桁架截开，取其中的一部分为研究对象，列出平面力系的平衡方程，即可求出被截杆件的内力. 先求活动支座处的支持力与，其方向显然竖直向上，以整体为研究对象，列出平面力系中的平衡方程 在方向上合力为零，即. 以为转轴，合力矩为零，即. 解得，. 为求杆件8、9、10的内力，必须首先将其转化为外力．设想用截面将其截开，其杆件内的张力分别为，如图乙所示，以的左侧为研究对象，即满足在方向上的合力为零，同时以为转轴的力矩平衡，于是有 ， ， . 可解得（压力）， （压力）， （拉力）. 17．（2019·全国竞赛）如图所示，层支架由相同的三角形板铰接而成，其顶部受二力作用，力的大小为，若不计三角板自重，试求固定铰支座的约束反力. 【答案】，，，. 【详解】先整体研究,根据图甲,由得 . 由得 . 再研究上面层,受力如图所示. 由得 . 其次再研究三角板,受力如图所示. 由得 . 再对整体,,有 . 联立上面5式,解得 ; . 18．（2019·全国竞赛）有一桥桁架，如图甲所示．处为一铰链，处为一滚轮．试求杆上受的力，并指出每根杆受到的是拉力还是压力．设处轮子与地摩擦可略，桁架本身重可略而不计． 【答案】杆受的是压力，杆受的是拉力，杆受到的是拉力. 【详解】以点为轴，可算出处竖直向上的支持力． . 因为所有的杆都是轻杆，所以杆两端的作用力必沿杆． 点受到三个力：除了之外，还有的推力和的拉力（如图乙所示），可求得 ， 点受到四个力的作用：的外力、杆的推力、杆的推力、杆的拉力（如图丙所示），可求得， . 点受到五个力的作用，的外力、杆的拉力、杆为拉力、杆的拉力、杆的拉力（如图丁所示），可求得 ， . 最后，杆受的是压力，杆受的是拉力，杆受到的是拉力. 19．（2019·全国竞赛）均匀小木棍放在粗糙的球面内，木棍长等于球的半径，木棍与球面间的摩擦因数为．求木棍与水平线所成的最大角度． 【答案】 【详解】本题可以应用“三力平衡定理”来求解．作用在木棍上的三个力：重力、球面作用力和（如图所示）．在木棍最大倾角情况下，力和与对应球半径成同样大小的角（摩擦角）. 分析三角形，点是三力作用线的交点．重力作用线将三角形分成两个三角形，这两个三角形具有长为的公共边（三角形的中线）和长均为的全等底．对每一个三角形应用正弦定理，得到， ， 式中. 将上述两个方程相除，得到. 由此得到， 即. 20．（2007·全国竞赛）给你一把很轻的有刻度的直尺，一个已知重量的可悬挂的物体，怎样才能粗略地测出一根棉线所能承受的最大拉力？要求说明理由并画出装置图。 【答案】见解析 【详解】装置图如图所示。用刻度尺当杠杆，A端悬挂重物，B端拴棉线，线的另一端固定或用右手拉住，使杠杆平衡。将支点О逐渐向B端移动，当棉线刚好被拉断时，从刻度尺上读出AO和OB的长度，设重物的重量为G，则棉线能承受的最大拉力是 21．（2019·全国竞赛）有一质量的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间的静摩擦因数，杆的上端由固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角，如图甲所示. （1）若以水平力作用在杆上，作用点到地面的距离（为杆长），要使杆不滑倒，力最大不能越过多少？ （2）若将作用点移到处时，情况又如何？ 【答案】（1） （2）当，无论为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象称为自锁. 【详解】如图乙所示，引入摩擦角，全反力与拉力的交点的竖直高度为， 由图可知，， 解得. 即当力的作用点高于时，全反力与总能交于一点，杆总能平衡，即出现自锁；当力的作用点低于时，杆能否平衡，则需要考虑力的大小. （1）当，且达到临界状态时，由平衡条件得 ， ， ， ， 解得. （2）当，无论为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象称为自锁. 22．（2007·全国竞赛）在图中，A是一质量为M的木块，B是一质量为m的小铁块，共同浮在水面上。若将铁块取下，直接放在水内，最后杯中水面的高度 。 【答案】下降 【详解】从浮力来看，取走B后，A将再上浮。再上浮的体积等于和B同质量的水的体积（大于B本身的体积）。这时四周的水位将下降去填充这部分体积。另一方面，当再把B放入水中时，它只排开和B本身大小一样的体积的水，它造成的水位的上升小于上述水位的下降。所以总的结果是水位下降。 本题也可从容器底部所受的压力来分析。水和A、B的总质量是不变的，因而容器底部所受的总压力是不变的。当B取下放在水内后，它将沉到器底。若水位不变，则器底受的总压力必增大，而这是不可能的。所以水位必然下降。 学生容易发生的错误之一是认为水位不变，这是由于没有搞清楚密度比水大的被载浮的物体排开水的体积，是大于被载物体本身的体积的。 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$