专题03 力矩有固定转轴的物体平衡（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优精练（高一上学期）

2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题03力矩有固定转轴的物体平衡 1．（2021·宣城强基计划）如图所示，杆A可绕固定轴O转动，木块B在杆A下方的光滑桌面上，今用逐渐增大的水平力向右推B，整个装置仍保持静止，由于水平力的作用，B对A的支持力将（　　） A．减小 B．增大 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【详解】根据题意可知，物体B在水平方向上受水平向右的推力，水平向左的A对B的摩擦力作用，B静止处于平衡状态，由平衡条件得 推力逐渐增大，因此摩擦力逐渐增大；由牛顿第三定律可知，B对A的摩擦力逐渐增大，杆A是一个杠杆，O点是支点，杆A受力及力臂如图所示 由于杠杆A静止，由杠杆平衡条件得 由于在水平推力逐渐增大的过程中，、、、不变，增大，则变小。 故选A。 2．（2022·昆明强基计划）用定滑轮提升质量为M的重物，绳索与滑轮间的摩擦系数为，绳与滑轮接触的两个端点处的半径对轮心的张角为。设绳索质量不计，现欲提升重物M，至少需要多大的力？（　　） A．Mg B． C． D． 【答案】D 【详解】取一小段张角为绳，切向方程为 法向 整理得 积分得 故选D。 3．（2023·长沙竞赛）如图所示，均匀细杆AB其A端装有转轴，B端连接细线通过滑轮和质量为的重物C相连，若杆AB呈水平，细线与水平方向夹角为时恰能保持平衡，不计一切摩擦，重力加速度为，则下列结论正确的是（　　） A．杆对轴A的作用力大小为 B．杆的质量为 C．因为不知道杆的质量，所以无法求出杆对轴A的作用力 D．杆的质量一定大于重物C的质量 【答案】AB 【详解】AC．由题可知，C物体受到重力和绳子的拉力处于平衡状态，所以绳子的拉力与C物体的重力大小相等，即 对杆AB进行受力分析如图 由受力图可知，轴A对杆的作用力的方向的反向延长线一定过绳子的拉力的延长线与重力的作用线的交点，由于重力的作用线过杆的中点，所以可知力F与绳子的拉力与水平方向之间的夹角是相等的，且 所以F与绳子的拉力的大小也相等，即 则杆对轴A的作用力大小为mg，故A正确，C错误； BD．设AB杆的长度为L，由图可知，杆的重力产生的力矩是逆时针方向的力矩，力臂的大小是 ，绳子的拉力产生的力矩是顺时针方向的力矩，力臂的大小是Lsinθ，过转轴的力不产生力矩，由力矩平衡得 解得 若当时，有 可见杆的质量不一定大于重物C的质量，故B正确，D错误。 故选AB。 4．（2019·全国竞赛）有6个完全相同的刚性长条薄片，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重量均可以不计．现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起恰在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图甲所示．若将一质量为的质点放在薄片上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起的距离，求薄片中点所受的（由另一薄片的小突起所施的）压力. 【答案】. 【详解】解析  设所求的压力（向下），并设任一小突起对其下的薄片中点的压力及其反作用力的大小为，则根据以点为支点的力矩平衡知， 即， ， …… 故. 再考虑，薄片以点为支点的力矩平衡，由图乙可得， 解得. 【点睛】 5．（2019·全国竞赛）图中三个小球完全相同，所受重力均为，半径．匀质板长，所受重力为．板端用光滑铰链固定在竖直墙上，板端用细绳水平拉住，板与墙之间夹角为．设小球之间，小球与板、墙之间均无摩擦，试求水平绳中张力. 【答案】 【详解】首先以三个小球整体为研究对象,受力如图乙所示,由图示的几何关系及平衡条件易得. 再以小球与板整体为研究对象,系统受小球的重力、板的重力、绳的拉力、墙壁对小球的弹力及处铰链的作用力.以处铰链为转轴,系统应满足力矩平衡,即 ，整理得. 本题是比较基本的平衡问题,涉及共点力的平衡与力矩的平衡,但本题隐藏着一个易错点,即板对三个小球整体的弹力作用点很容易被认为是在中间球与板的接触处并垂直于板.实际上,由于板对三个小球的弹力并不是相等的,弹力的作用点也就会发生偏移.因弹力、三球的重力与板对三个球的弹力三力交汇,才出现了图示的受力情况,由图可见，弹力虽是接触力，但弹力的作用线并非一定过其接触点． 6．（2022·全国竞赛）一长为L、质量为m的均匀细杆，可绕轴O自由转动。设桌面与细杆间的滑动摩擦系数为，杆初始的转速为，试求： （1）摩擦力矩； （2）从到停止转动共经历多少时间； （3）一共转动多少圈。 【答案】（1） ；（2）；（3） 【详解】（1）杆在转动时，受到的摩擦力沿杆长连续分布，各元段的摩擦力臂不同，需采用微积分方法求解。 在杆上任取一元段dx，质量为dm =（dl =mdx/L，所受的摩擦力为 对轴的摩擦力矩大小为 由于各元段受到的摩擦力矩方向相同，所以总力矩大小为 （2）恒力矩作用下满足 其中，当（=0时，有 （3）由及得 7．（2022·全国竞赛）一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，如图所示，释放后，杆绕O轴转动，则当杆转到水平位置时，求： （1）系统所受到的合外力矩的大小； （2）此时该系统角加速度的大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据题意可知，水平位置时，合外力矩为 （2）根据题意，由公式可得，此时的角加速度为 又有 则 8．（2019·泉州竞赛）共享单车极大地方便了人们的出行。如图所示，单车在水平地面上行驶的速度为v，单车与人的总质量为m，合质心离地高度为y，质心离前后轮的水平距离分别为，车轮与水平地面间的动摩擦因数为，若前后车轮同时刹车，同时被“抱死”。 （1）求地面对前、后轮的支持力大小N1、N2，及车能滑行的距离； （2）若车速较快，为保证刹车时不发生危险，y与x1应满足什么关系？ 【答案】（1），，；（2） 【详解】（1）自行车刹车时，合质心的合外力矩为零，则 其中 解得 根据牛顿第二定律可得自行车刹车时的加速度大小为 根据位移速度关系可得车能滑行的距离为 （2）若车速较快，刹车时后轮有离地趋势，为保证刹车时不发生危险，应有 解得 9．（2019·全国竞赛）如图所示，物体及滚轮质量均为．滚轮由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为和，各接触面静摩擦系数均为．问：系统维持平衡时，的最小值为多少？ 【答案】 【详解】对滚轮,有 . 对物体,有． 对滚轮，以为轴有 , 即, 亦即, 故． 而对整个轮子有   ． 这表明和地面之间先于滚轮和地面之间达到最大静摩擦力． 若和地面之间先达到最大静摩擦力,而和滚轮之间没有达到最大静摩擦力,则 ． 而, 故，． 对滚轮与物体的接触处,满足 ， 即， 易得． 若和地面之间未达到最大静摩擦力,而和滚轮之间已达到最大静摩擦力,则 ， 得． 对物体与地面之间,满足 ， 易得． 10．（2011·全国竞赛）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l． （1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）． （2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°．求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）． 【答案】（1）  （2） 【详解】（1）．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图： 为地面作用于杆的摩擦力，为地面对杆的支持力，、为杆作用于杆的摩擦力和支持力，、分别为墙对杆和的作用力，为重力.取杆和构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有    （1）       （2） 以及对A点的力矩 即           （3） 式中待求.是过的竖直线与过的水平线的交点，为与的交点．由几何关系有                               （4） 取杆CD为研究对象，由平衡条件有                       （5）                       （6） 以及对点的力矩                     （7） 解以上各式可得                                       （8）        （9）                （10）                                           （11）                       （12）                        （13） CD杆平衡的必要条件为                                        （14） 由（12）、（13）、（14）式得                        （15） AB杆平衡的必要条件为                                    （16） 由（10）、（11）、（16）式得                     （17） 因此，使系统平衡，应满足的条件为（15）式和（17）式． （2）．将题给的数据代入（15）式可得                            （18） 将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得                                       （19） 因此，的取值范围为                             （20） 11．（2019·全国竞赛）如图甲所示，一根细棒上端处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限在图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在端加一个适当的外力（在纸面内），可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为，且端正处于端的正下方. （1）.不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理（不要求推算）. （2）.如果AB棒的质量，BC棒的质量，求此外力的方向和大小. 【答案】（1）. 只有当此外力指向竖直线以右且在棒以上（如图乙所示）时，棒才有可能平衡.（2），. 【详解】（1）.过点画受力示意图，则力不可能指向竖直线以左，因为这样对两棒整体来说，力对点的力矩与重力矩相同，物体不可能平衡；力也不可能指向竖直线以右且在棒以下，因为这样对于点来说，力对的力矩与下棒的重力矩同向，也不可能平衡．只有当此外力指向竖直线以右且在棒以上（如图乙所示）时，棒才有可能平衡. （2）.设外力与竖直线之间的夹角为，两棒长均为，根据题意，对点列出整个物体的平衡方程， 即. 对点列出下棒的转动平衡方程，即. 由上述两式可解得， . 代入数值，可得，. 12．（2019·全国竞赛）如图所示，一个半径为的均质金属球上固定着一根长为的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面．由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为的水平拉力．试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？ 【答案】  ；当，即时，出现自锁，木板无法插入. 【详解】解析  以球和杆为对象，研究其对称轴的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为，支持力为，重力为，力矩平衡方程为 .         ① 球和板已相对滑动，故.       ② 解①②可得. 再看木板的平衡条件：. 同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦力. 显然，当，即时，出现自锁，木板无法插入. 13．（2007·全国竞赛）有一长为l，重为W0的均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙面间的静摩擦系数为；B端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ，如图所示。 （1）求杆能保持平衡时，与θ应满足的条件。 （2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若在A点与P点间任一点悬挂一重物，则当重物的重量W足够大时总可以使平衡破坏；而在P点与B点之间任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏，求出这一P点与A点的距离。 【答案】（1）；（2） 【详解】设绳的张力为T，墙对杆的摩擦力为F（向上），正压力为N（向外），W的悬挂点距A的距离为d（如图），则根据刚体平衡的条件可得∶      ①              ②      ③                 ④ 由③式得                ⑤ 由①式及⑤式得 ⑥ 由②，⑥式得。 ⑦ 将⑤，⑦两式代入④式中，得 即        ⑧ 根据这一结果作如下分析∶ 1。当不挂重物时，W=0，这时式成为 即                                   ⑨ 此即第1问的答案。 2。在⑨式条件下挂上重物W，这时⑧式左方，为了对任意W⑧式均能成立，必须要求⑧式右方W的系数小于或等于零，否则当W足够大时，⑧式肯定不能成立。 因此，平衡条件为 即 第2问中所求Р点与A点的距离为 14．（2021·上海竞赛）如图所示，T形金属支架与固定转轴O相连， AB水平，CO与AB垂直，B端由竖直细线悬吊，AC=CO=0.2m，CB=0.3m，支架各部分质量均匀分布。小滑块质量m=0.5kg，静止于A端时细线恰不受力。现给小滑块初速使其水平向右滑动，滑块与AB间的动摩擦因数μ=0.5。g=10m/s2，求： （1）支架的重力相对转轴O的力矩；    （2）小滑块滑至C点时细线对B的拉力。 【答案】（1）1Nm；（2）5N 【详解】（1）根据力矩平衡可知，支架的重力相对转轴O的力矩为 解得 （2）滑动摩擦力的力矩 根据力矩平衡有 解得 T=5N 15．（2007·全国竞赛）半径为、质量为的均匀圆球与一质量为的重物分别用细绳和悬挂于同一点，并处于平衡，如图所示，已知悬点到球心的距离为，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳与竖直方向的夹角。 【答案】 【详解】作用在球上的力有重力、绳的拉力和绳的压力.由于不考虑绳与球的摩擦，所以的方向沿半径指向球心.重力也是通过球心的.由于球平衡，所以绳的拉力也必过球心，因此可判断绳一定沿方向（如图） 对球和重物组成的系统，根据平衡条件，和对点的力矩大小相等.即 ① 由图可知， 代入①式，可解得 利用对点的力矩的平衡关系，要比讨论过球心的三力平衡要简捷得多，因为无需知道和的大小 16．（2019·全国竞赛）一个半径为和，重量为，可绕轴转动的滑轮通过一个固定在墙上可转动的叉子支撑，其中，，如图所示．绳索在滑轮较小半径的轴肩上缠绕了一圈，绳索右端用重力加载，滑轮与墙之间以及滑轮与绳之间的摩擦因数相同，静摩擦因数为，动摩擦因数为．试问： （1）如果要使重物悬起，左边绳子在的情况下，至少要施加多大力？ （2）如果要使重物缓慢升起，左边绳子在时需用多大为？ （3）在什么角度下，提升重物所需的拉力最小；其值为多大？ 【答案】（1）   （2）   （3） 因此，在滑轮开始转动前，所需的最小拉力为;在滑轮进入滑动之后，最小拉力为 【详解】（1）首先分析滑轮是绕着轴转动还是处于自锁状态．如果滑轮处于自锁状态，则一个任意大小的外力作用在滑轮上（在绳子不滑动的情况下）都能使滑轮保持平衡．自锁时滑轮不能顺时针转动，下图画出了滑轮的受力分析，根据平衡条件 ，            ① ，    ② ，        ③                     ④ 联立式①～④，可得    ⑤ 由于 因此，只要当时滑轮不会沿顺时针方向转动．此时，拉力必须由绳索的摩擦方程来计算，即         ⑥ （2）同样的，首先判断滑轮是否会由于自锁而逆时针方向转动受到阻止．此时，应将式①～③中前添加负号即可，解得             ⑦     ⑧ 由于 且可见式⑧恒成立. 只要当时滑轮逆时针转动受到阻止．此时，要提起重物必须依靠绳索在滑轮上的滑动 根据绳索的摩擦方程，在绳开始滑动前，拉力为     ⑨ 绳索滑动后，则为        ⑩ （3）为了提升重物，必有．此时，在任意的角度，根据平衡条件，有 ，    ⑪ ，    ⑫ ，．            ⑬ 在滑轮没有转动的情况下，即        ⑭ 联立式⑪⑫⑬及⑭，可得    ⑮ 为了分析方便，令        ⑯ 当角度为时并未超出滑轮的自锁极限，由此有 由此，可解得 在情况下，滑轮可能转动并提起重物，因此需要确定滑轮发生转动时的临界角．此时，式⑮应取等号，并联立式⑩和式⑮求得临界角，即 当时，滑轮转动并提起重物 为了求绳索拉力的最小值，根据式⑯可知 考虑到，当时，取到最大值．于是，有 因此，在滑轮开始转动前，为克服滑轮与墙之间的静摩擦力，所需的最小拉力为     ⑰ 在滑轮进入滑动之后，为克服滑动摩擦力所需的最小拉力为     ⑱ 下面，可以验证，滑轮转动比滑轮自锁时提取重物所需的拉力要小，当滑轮自锁时，提升重物只能依靠绳索在滑轮轴肩上的滑动来实现. 当滑轮自锁时，绳索滑动前，绳索的拉力根据式⑩，有 ． 当滑轮自锁时，绳索滑动后，绳索拉力根据式⑪，有 显然，式⑰与式⑱就是所要求的最小拉力 17．（2007·全国竞赛）有一半径为R的圆柱体水平地横架在空中，将质量为m1与m2（m1=2m2）的两个小木块，用长为R的细线相连，成为一个系统，木块的大小可以忽略，它与圆柱表面的静摩擦系数<1，细线无质量、柔软且不可伸长，系统横跨在圆柱上，m1在右边，细线贴在圆柱面上，与圆柱表面无摩擦，横截面如图所示。现在使圆柱绕轴线沿顺时针方向极缓慢地旋转，直至某一位置时，柱上系统将要开始滑落。由此位置开始，再极缓慢地沿逆时针方向转动圆柱体。问转过多大角度后，系统开始从左边滑落？（角度可用反三角函数表示） 【答案】见解析 【详解】解法一：先求系统将向右滑落时的位置。由于m1>m2，<1，故m1g>m2g。即系统在图（a）所示的位置时不可能平衡。平衡且刚开始向右边下滑时的θ1必然在0<θ<90°。 设图（b）的位置物体刚开始向右下滑，此时系统所满足的平衡条件为       ① 利用m1=2m2和θ1＋θ2=90°，①式可简化为 即       ② 再讨论系统向左滑的情况。由于m2≤m1，有可能在m2处于悬垂状态时，系统开始下滑，因此要分别讨论各种可能性。 （1）设系统在图（a）所示的位置刚开始下滑，此时有 即，时，θ2=90°即开始向左下滑。 （2）若，即，则系统必然在θ2<90°时开始向左下滑，如图（b）所示。此图与图（b）类同，故只要将①式的下标1与2对调，即可得到这一情况下的解答。 （3）若，即，系统在图（a）的位置仍不会下滑。系统刚开始下滑的位置必然是m1也在左侧，如图（c）所示。由 得                             或                令，如图所示，则有 因而 得到 用△θ表示圆柱体转过的角度，则最后答案为： （1）时，； （2）时，； （3）时，。 解法二： （1）先求系统将要向右滑落时的位置。如图所示，系统不向右下滑的条件为     ① 由于θ1＋θ2=90°，，，①式成为        ② 由m1>m2，<1可知，。则由②式可得 因此，系统将要向右滑落的位置为         ③ 由于<1，所以<90°。 （2）系统向左滑落的情况。 要得到系统不向左下滑的条件，只需将②式中所有的下标1与2互换即可，得到       ④ 现在       ⑤ 按的大小可有三种情况： 情况1：，即。这时，④式可写成 或       ⑥ 由⑥式可知，在时，0<θ2<90°，如图。系统刚向左滑落时的位置为          ⑦ 情况2：。这时，④式成为        ⑧ 由于，可得cos>0，即由0°到90°，均满足系统不向左滑落的条件。系统将要向左滑落的位置为=90°。 情况3；，即，这时，④式成为          ⑨ 上式右方为一负数，说明取0°到90°之间的任意值，系统均不会向左滑落。在这种情况下，必须进一步转动圆柱体，使m1移到左方，m2离开圆柱而自由悬垂（如图）。这时系统不向左滑落的条件已不再是④式，需要重新讨论。 用θ表示系统的位置，则不向左滑落的条件为 即       ⑩ 系统开始向左下滑的位置θ左应满足       ⑾ 解此方程求θ左，为此将⑾式改写为 取，则 因而 得到           ⑿ 由于，⑿式肯定有解。 （3）答案：设系统向左滑落前圆柱所转的角度为△θ，显然，△θ与有关。最后答案与解法的结果完全相同。 18．（2007·全国竞赛）近来一种新型的定点起重设备“平衡吊”被广泛应用于几十到几百千克工件的频繁吊运，其结构的示意图如图所示，平衡吊主要由传动、杆系、回转座和立柱组成。杆系是由、、、四杆铰接组成的四连杆机构，在任何情况下都是一个平行四边形，杆系的A处是一水平的转轴，通过电机可控制转轴，使之固定的竖直槽内的不同位置，从而调节挂在绞接于F处吊钩上的重物的高度，杆可绕转轴A在竖直平面内无摩擦地转动，杆系的C点是能在光滑的水平槽上滑动的铰链，杆和都可绕C点在竖直平面内转动，绕铰链转动的摩擦均忽略不计。下面用表示的长度，表示的长度，表示的长度，表示的长度。 （1）若将各杆都视为轻质（无自重）刚体，且无图中配重物时，试论证、、、应满足什么关系才能使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上的不同位置时平衡吊都能处于平衡状态。 （2）若考虑各杆的自重，为使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上不同位置时平衡吊都能处于平衡状态，必须在杆的另一端P处加上配重物，P点距A轴的距离为，设配重物受到的重力大小为，杆的D段、段、段、段受到的重力的大小分别为、、和，不计杆的段所受的重力，问当杆长、、、和已知，且取、时配重的大小为多少？ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设固定水平转轴A到吊钩所在水平面的距离为，到水平槽的距离为，杆与水平方向的夹角为，杆与水平方向的夹角为，如图所示．若以A点作为重力势能的零点，则平衡吊的杆系与吊钩（包括重物）构成的系统的重力势能为 其中G为吊钩所受重力的大小．当吊钩F在水平直线上移动时，角和角都将改变，因而势能也会改变．若F移动时平衡吊都能处于平衡状态，则系统的势能应不因、的变化而变化．和并不独立，它们由下面的几何关系联系着，即 由上面两式消去得 要求势能不随变化，的系数应等于零．由于G不等于零，故有 即 这便是杆长应满足的条件 （2）当各杆具有质量时，若要求对任意重物G吊钩在任意位置（、）平衡吊都处于平衡状态，则系统的总势能应不随、而改变．以A点作为重力势能的零点，则根据图4，各杆的势能（包括吊钩、z重物和配重）分别为 系统总势能为 消去得 为使与无关，应有 可知 注意到 得 19．（2013·全国竞赛）小明帮妈妈在厨房做菜的时候经常遇到玻璃瓶螺旋瓶盖拧不开的问题．他通过各种途径了解到三种开瓶的技巧：（1）将瓶子到过来，一手紧握瓶子，另一手用力拍打瓶底几下，然后可拧开瓶盖．（2）如图所示，用麻绳（或布条）在瓶盖上绕一圈，设法固定一头（如系在某固定物上），另一头让人拉紧，瓶子与绳垂直．用手紧握瓶子沿绳的方向使力使其平移，则可将瓶盖拧开．（3）将瓶子倒过来置于碗中，倒少许开水使瓶盖淹没，稍待片刻，即可拧开瓶盖． （1）请分别简要说明三种方法的物理原理； （2）图中握瓶子的手应是用力向左推还是用力向右边拉？ 【答案】（1）第一种是利用惯性, 第二种是利用摩擦和力矩,第三种是利用物质的热胀冷缩性质  （2）用力向左边推 【详解】（1）第一种是利用惯性； 第二种是利用摩擦和力矩；通常拧开瓶盖的方法中拧瓶的手需要两方面使力，一是切向的力产生力矩，二是为了使手与瓶盖之间不滑动，需要紧握产生对其的压力从而能有足够的摩擦力．图答1的方法中拉绳的力F1产生绳对瓶盖的压力，容易产生足够大的摩擦力；F2产生开瓶需要的力矩．一般F2比手直接拧瓶盖时的摩擦力矩大．（只要指出了利用了绳的摩擦及推力产生力矩即给满分，没有图不扣分） 第三种是利用物质的热胀冷缩性质，不同物质的热胀冷缩效应的差别． （2）用力向左边推． 20．（2007·全国竞赛）如图所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述（1）、（2）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0。 （1）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米； （2）在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。 【答案】（1）0.375m；（2） 【详解】（1）设直槽与水平方向夹时，由平衡，小球受弹簧支持力为 弹簧长度为 所以小球高度为 从这个表达式可以看出，与k均是常数，h是一个关于的二次函数，二次项系数是负值，h有最大值。则 即 当时，h有最大值，代入 所以 那么此时的 则 故所以当时 （说明：时，而时，低了。） （2）“在转动的过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大”说明在转动过程中没有极值，或最大值在时取得。的绝对值一直在减小，即 也就是说 则 小球高度的表达式有 当，时 但不能超过弹簧的原长。有 21．（2017·全国竞赛）如图，一边长为L的正方形铜线框abcd可绕水平轴ab自由转动，一竖直向上的外力F作用在cd边的中点，整个线框置于方向竖直向上的均匀磁场中，磁感应强度大小随时间变化．已知该方形线框铜线的电导率（即电阻率的倒数）为σ，铜线的半径为r0，质量密度为ρ，重力加速度大小为g． （1）当框平面与水平面abef的夹角为θ时，求该方形线框所受到的重力矩； （2）当框平面与水平面abef的夹角为θ时，框平面恰好处于平衡状态．求此时线框中cd边所受到的磁场B的作用力的大小与外力的大小F之间的关系式； （3）随着磁感应强度大小随时间的变化，可按照（2）中的关系式随时调整外力F的大小以保持框平面与水平面abef的夹角总为θ．在保持夹角θ不变的情形下，已知在某一时刻外力为零时，磁感应强度大小为B；求此时磁感应强度随时间的变化率││． 【答案】（1）2L2ρgπr02 cosθ；（2）安培力水平向左时：F安=2Lρgπr02 cotθ－Fcotθ；安培力水平向右时：F安= Fcotθ－2Lρgπr02 cotθ；（3） 【详解】（1）该方形线框的质量 m=ρV=ρS4L=4Lρπr02 方形线框的重力相对于AB边的力矩为 Mg=mgcosθ=2L2ρgπr02 cosθ （2）由于电流方向未知，所以引起的安培力方向及其力矩方向均未知，故需要分类讨论 情况1：安培力水平向左，力矩 M安+MF=Mg M安=2L2ρgπr02 cosθ－FL cosθ 又因为 M安=F安Lsin θ 联立得 F安=2Lρgπr02 cotθ－Fcotθ 情况2：安培力水平向右，同理  力矩 M安+ Mg=MF 得： F安= Fcotθ－2Lρgπr02 cotθ （3）磁通量 φ（θ）=L2Bcosθ 感应电动势 ε==L2cosθ││ 方形线框的电阻R，由电阻定律有 R=ρ    该方形线框上的感应电流为 i=cosθ││ cd边所受到的安培力的大小为   FA=iBL=cosθ││ 因为要外力F等于零，所以是第（2）小题中的第1种情况 ││= 22．（2019·全国竞赛）如图a，旅行车上有一个半径为R的三脚圆凳（可视为刚性结构），三个相同凳脚的端点连线（均水平）构成边长为a的等边三角形，凳子质心位于其轴上的G点.半径为r的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O点处，茶杯质量为m（远小于凳子质量），其中杯底质量为（杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的），杯高为H（与杯高相比，杯底厚度可忽略）.杯中盛有茶水，茶水密度为.重力加速度大小为g. （1）为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定，杯中茶水的最佳高度是多少? （2）现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于D点时静止（凳面边有小凸缘，可防止物体滑出；凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的），且OD⊥AC（见图b），求此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于滑移前（该茶水杯位于凳面中心处）的改变. 【答案】（1）  （2） 【详解】（1）以凳面中心O为坐标原点，以过O点向上的竖直线为y轴.茶杯（包括茶水在内）的质心位置为                 （1） 式中h是杯中茶水的高度.令，（1）式即 事实上，考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程，茶水杯整体的质心先是逐渐降低，然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置，故有             （2） 由（1）（2）式得          （3） 舍弃负值（不合题意），杯中茶水的最佳高度为                （4） 【另一种解法】： 事实上，考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程，茶水杯整体的质心先是逐渐降低，然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置.（1）式即 它满足代数不等式 式中当h满足 即         （4） 时取等号，即杯中茶水的最佳高度.】 （2）记凳子质量为M.该茶水杯的底面边缘刚好滑移到与圆凳的边缘内切于D点静止后，坐标系及三脚圆凳的受力分析分别如解题图a和解题图b所示，其中、和分别是车内底板对凳脚A、B和C的支持力.由几何关系有                （5）             （6） 三脚圆凳处于力平衡状态，竖直方向合力为零                 （7）                                 （8） 式中，，P=Mg.由（7）（8）式得 以x轴为转动轴，力矩平衡               （9） 记，由（5）（6）（9）式有 【另一种解法】 以AC为转动轴，由力矩平衡条件有      （9） 即 联立以上各式得    （10）    （11） 值得指出的是，解（10）满足，即，          （12） 这已由题给条件保证了. 由（7）（10）（11）式得，此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于茶水杯滑移前的改变为         （13）       （14） 23．（2024·黄浦竞赛）如图所示是一个半径为R的轮子，它绕固定转动轴O顺时针方向转动，两侧各有一个长为L的竖直杆MP和NQ，它们都固定在天花板上M、N处（如图所示）。两轻杆上距轴为a处各固定一宽度为b的摩擦块（上下厚度不计）。摩擦块与轮子间动摩擦因数都是μ（），不计杆与摩擦块的重力。为使轮子刹停，在两杆下端P、Q之间用轻绳悬挂一重物。刚好使三根细绳之间夹角都相等。 （1）有同学认为：“由于该装置高度对称，所以两边摩擦力的大小是相等的”。你认为这位同学的看法是否正确？为什么（请简要说明你的理由）？ （2）设AP和AQ上的拉力的大小都是F，则左、右两侧摩擦力之比是多少？ （3）为使轮子在规定的时间内能停下，规定制动力矩的大小为M。求此时在下方悬挂物体的重力G是多大？    【答案】（1）该同学看法不正确，轮子左、右端与b的摩擦力方向不同，受力并不对称；（2）；（3） 【详解】（1）该同学看法不正确，轮子左、右端与b的摩擦力方向不同，受力并不对称。 （2）对左侧的杆进行受力分析如图    摩擦力与拉力产生逆时针方向的力矩，支持力N1产生顺时针方向的力矩，根据力矩平衡得 代入数据解得 同理对右侧的杆进行受力分析，摩擦力与拉力产生顺时针方向的力矩，支持力N1产生逆时针方向的力矩，根据力矩平衡得 代入数据得 可知 （3）由题图可知，轮子制动的过程中，受到的两侧的摩擦力的方向都与轮子边缘的质点运动的方向相反，所以轮子制动的力矩的方向与轮子转动的方向相反，制动的力矩大小 解得 24．（2024·长沙竞赛）如图所示，在一根长为，质量为的细金属杆（质量分布不均匀）的A端施加一个与杆垂直的拉力F，使杆静止在图示位置。已知杆与地面成角，地面对杆作用的静摩擦力大小为，地面对杆的支持力大小为，则杆的重心距B端的距离为 的大小为 N。（已知）。 【答案】 0.75 6 【详解】对杆受力分析如图所示 杠杆处于静止状态，因此杠杆水平方向合力为零，的水平分量的大小 F的大小为 F的竖直分量为 杠杆在竖直方向合力也为零，杠杆重力为 设杠杆重力距B端距离为L力矩平衡，各力对B点力矩代数和为0，有 解得 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年物理竞赛能力培优精练 专题03力矩有固定转轴的物体平衡 1．（2021·宣城强基计划）如图所示，杆A可绕固定轴O转动，木块B在杆A下方的光滑桌面上，今用逐渐增大的水平力向右推B，整个装置仍保持静止，由于水平力的作用，B对A的支持力将（　　） A．减小 B．增大 C．不变 D．无法确定 2．（2022·昆明强基计划）用定滑轮提升质量为M的重物，绳索与滑轮间的摩擦系数为，绳与滑轮接触的两个端点处的半径对轮心的张角为。设绳索质量不计，现欲提升重物M，至少需要多大的力？（　　） A．Mg B． C． D． 3．（2023·长沙竞赛）如图所示，均匀细杆AB其A端装有转轴，B端连接细线通过滑轮和质量为的重物C相连，若杆AB呈水平，细线与水平方向夹角为时恰能保持平衡，不计一切摩擦，重力加速度为，则下列结论正确的是（　　） A．杆对轴A的作用力大小为 B．杆的质量为 C．因为不知道杆的质量，所以无法求出杆对轴A的作用力 D．杆的质量一定大于重物C的质量 4．（2019·全国竞赛）有6个完全相同的刚性长条薄片，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重量均可以不计．现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起恰在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图甲所示．若将一质量为的质点放在薄片上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起的距离，求薄片中点所受的（由另一薄片的小突起所施的）压力. 5．（2019·全国竞赛）图中三个小球完全相同，所受重力均为，半径．匀质板长，所受重力为．板端用光滑铰链固定在竖直墙上，板端用细绳水平拉住，板与墙之间夹角为．设小球之间，小球与板、墙之间均无摩擦，试求水平绳中张力. 6．（2022·全国竞赛）一长为L、质量为m的均匀细杆，可绕轴O自由转动。设桌面与细杆间的滑动摩擦系数为，杆初始的转速为，试求： （1）摩擦力矩； （2）从到停止转动共经历多少时间； （3）一共转动多少圈。 7．（2022·全国竞赛）一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，如图所示，释放后，杆绕O轴转动，则当杆转到水平位置时，求： （1）系统所受到的合外力矩的大小； （2）此时该系统角加速度的大小。 8．（2019·泉州竞赛）共享单车极大地方便了人们的出行。如图所示，单车在水平地面上行驶的速度为v，单车与人的总质量为m，合质心离地高度为y，质心离前后轮的水平距离分别为，车轮与水平地面间的动摩擦因数为，若前后车轮同时刹车，同时被“抱死”。 （1）求地面对前、后轮的支持力大小N1、N2，及车能滑行的距离； （2）若车速较快，为保证刹车时不发生危险，y与x1应满足什么关系？ 9．（2019·全国竞赛）如图所示，物体及滚轮质量均为．滚轮由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为和，各接触面静摩擦系数均为．问：系统维持平衡时，的最小值为多少？ 10．（2011·全国竞赛）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l． （1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）． （2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°．求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）． 11．（2019·全国竞赛）如图甲所示，一根细棒上端处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限在图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在端加一个适当的外力（在纸面内），可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为，且端正处于端的正下方. （1）.不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理（不要求推算）. （2）.如果AB棒的质量，BC棒的质量，求此外力的方向和大小. 12．（2019·全国竞赛）如图所示，一个半径为的均质金属球上固定着一根长为的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面．由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为的水平拉力．试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？ 13．（2007·全国竞赛）有一长为l，重为W0的均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙面间的静摩擦系数为；B端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ，如图所示。 （1）求杆能保持平衡时，与θ应满足的条件。 （2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若在A点与P点间任一点悬挂一重物，则当重物的重量W足够大时总可以使平衡破坏；而在P点与B点之间任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏，求出这一P点与A点的距离。 14．（2021·上海竞赛）如图所示，T形金属支架与固定转轴O相连， AB水平，CO与AB垂直，B端由竖直细线悬吊，AC=CO=0.2m，CB=0.3m，支架各部分质量均匀分布。小滑块质量m=0.5kg，静止于A端时细线恰不受力。现给小滑块初速使其水平向右滑动，滑块与AB间的动摩擦因数μ=0.5。g=10m/s2，求： （1）支架的重力相对转轴O的力矩；    （2）小滑块滑至C点时细线对B的拉力。 15．（2007·全国竞赛）半径为、质量为的均匀圆球与一质量为的重物分别用细绳和悬挂于同一点，并处于平衡，如图所示，已知悬点到球心的距离为，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳与竖直方向的夹角。 16．（2019·全国竞赛）一个半径为和，重量为，可绕轴转动的滑轮通过一个固定在墙上可转动的叉子支撑，其中，，如图所示．绳索在滑轮较小半径的轴肩上缠绕了一圈，绳索右端用重力加载，滑轮与墙之间以及滑轮与绳之间的摩擦因数相同，静摩擦因数为，动摩擦因数为．试问： （1）如果要使重物悬起，左边绳子在的情况下，至少要施加多大力？ （2）如果要使重物缓慢升起，左边绳子在时需用多大为？ （3）在什么角度下，提升重物所需的拉力最小；其值为多大？ 17．（2007·全国竞赛）有一半径为R的圆柱体水平地横架在空中，将质量为m1与m2（m1=2m2）的两个小木块，用长为R的细线相连，成为一个系统，木块的大小可以忽略，它与圆柱表面的静摩擦系数<1，细线无质量、柔软且不可伸长，系统横跨在圆柱上，m1在右边，细线贴在圆柱面上，与圆柱表面无摩擦，横截面如图所示。现在使圆柱绕轴线沿顺时针方向极缓慢地旋转，直至某一位置时，柱上系统将要开始滑落。由此位置开始，再极缓慢地沿逆时针方向转动圆柱体。问转过多大角度后，系统开始从左边滑落？（角度可用反三角函数表示） 18．（2007·全国竞赛）近来一种新型的定点起重设备“平衡吊”被广泛应用于几十到几百千克工件的频繁吊运，其结构的示意图如图所示，平衡吊主要由传动、杆系、回转座和立柱组成。杆系是由、、、四杆铰接组成的四连杆机构，在任何情况下都是一个平行四边形，杆系的A处是一水平的转轴，通过电机可控制转轴，使之固定的竖直槽内的不同位置，从而调节挂在绞接于F处吊钩上的重物的高度，杆可绕转轴A在竖直平面内无摩擦地转动，杆系的C点是能在光滑的水平槽上滑动的铰链，杆和都可绕C点在竖直平面内转动，绕铰链转动的摩擦均忽略不计。下面用表示的长度，表示的长度，表示的长度，表示的长度。 （1）若将各杆都视为轻质（无自重）刚体，且无图中配重物时，试论证、、、应满足什么关系才能使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上的不同位置时平衡吊都能处于平衡状态。 （2）若考虑各杆的自重，为使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上不同位置时平衡吊都能处于平衡状态，必须在杆的另一端P处加上配重物，P点距A轴的距离为，设配重物受到的重力大小为，杆的D段、段、段、段受到的重力的大小分别为、、和，不计杆的段所受的重力，问当杆长、、、和已知，且取、时配重的大小为多少？ 19．（2013·全国竞赛）小明帮妈妈在厨房做菜的时候经常遇到玻璃瓶螺旋瓶盖拧不开的问题．他通过各种途径了解到三种开瓶的技巧：（1）将瓶子到过来，一手紧握瓶子，另一手用力拍打瓶底几下，然后可拧开瓶盖．（2）如图所示，用麻绳（或布条）在瓶盖上绕一圈，设法固定一头（如系在某固定物上），另一头让人拉紧，瓶子与绳垂直．用手紧握瓶子沿绳的方向使力使其平移，则可将瓶盖拧开．（3）将瓶子倒过来置于碗中，倒少许开水使瓶盖淹没，稍待片刻，即可拧开瓶盖． （1）请分别简要说明三种方法的物理原理； （2）图中握瓶子的手应是用力向左推还是用力向右边拉？ 20．（2007·全国竞赛）如图所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述（1）、（2）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0。 （1）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米； （2）在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。 21．（2017·全国竞赛）如图，一边长为L的正方形铜线框abcd可绕水平轴ab自由转动，一竖直向上的外力F作用在cd边的中点，整个线框置于方向竖直向上的均匀磁场中，磁感应强度大小随时间变化．已知该方形线框铜线的电导率（即电阻率的倒数）为σ，铜线的半径为r0，质量密度为ρ，重力加速度大小为g． （1）当框平面与水平面abef的夹角为θ时，求该方形线框所受到的重力矩； （2）当框平面与水平面abef的夹角为θ时，框平面恰好处于平衡状态．求此时线框中cd边所受到的磁场B的作用力的大小与外力的大小F之间的关系式； （3）随着磁感应强度大小随时间的变化，可按照（2）中的关系式随时调整外力F的大小以保持框平面与水平面abef的夹角总为θ．在保持夹角θ不变的情形下，已知在某一时刻外力为零时，磁感应强度大小为B；求此时磁感应强度随时间的变化率││． 22．（2019·全国竞赛）如图a，旅行车上有一个半径为R的三脚圆凳（可视为刚性结构），三个相同凳脚的端点连线（均水平）构成边长为a的等边三角形，凳子质心位于其轴上的G点.半径为r的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O点处，茶杯质量为m（远小于凳子质量），其中杯底质量为（杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的），杯高为H（与杯高相比，杯底厚度可忽略）.杯中盛有茶水，茶水密度为.重力加速度大小为g. （1）为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定，杯中茶水的最佳高度是多少? （2）现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于D点时静止（凳面边有小凸缘，可防止物体滑出；凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的），且OD⊥AC（见图b），求此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于滑移前（该茶水杯位于凳面中心处）的改变. 23．（2024·黄浦竞赛）如图所示是一个半径为R的轮子，它绕固定转动轴O顺时针方向转动，两侧各有一个长为L的竖直杆MP和NQ，它们都固定在天花板上M、N处（如图所示）。两轻杆上距轴为a处各固定一宽度为b的摩擦块（上下厚度不计）。摩擦块与轮子间动摩擦因数都是μ（），不计杆与摩擦块的重力。为使轮子刹停，在两杆下端P、Q之间用轻绳悬挂一重物。刚好使三根细绳之间夹角都相等。 （1）有同学认为：“由于该装置高度对称，所以两边摩擦力的大小是相等的”。你认为这位同学的看法是否正确？为什么（请简要说明你的理由）？ （2）设AP和AQ上的拉力的大小都是F，则左、右两侧摩擦力之比是多少？ （3）为使轮子在规定的时间内能停下，规定制动力矩的大小为M。求此时在下方悬挂物体的重力G是多大？    24．（2024·长沙竞赛）如图所示，在一根长为，质量为的细金属杆（质量分布不均匀）的A端施加一个与杆垂直的拉力F，使杆静止在图示位置。已知杆与地面成角，地面对杆作用的静摩擦力大小为，地面对杆的支持力大小为，则杆的重心距B端的距离为 的大小为 N。（已知）。 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$