精品解析：江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2025届高三第一次质量调研数学试题

2024~2025学年度泗阳实验高中第一学期高三年级第一次质量调研 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可． 【详解】由题意，因为，则. 故选：C． 2. （ ） A. 5 B. C. 1 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】， 故选:D. 3. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】定义域关于原点对称，且，可以判断函数为偶函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】的定义域为R， 且， 故为偶函数，A正确； B选项，的定义域为R，， ，故不为偶函数，B错误； C选项，的定义域为R， ， 故是奇函数，C错误； D选项，的定义域为R， 且， 故为奇函数，D错误. 故选：A 4. 设向量，，若，则（ ） A. 0或-6 B. 4或 C. 2或 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线的坐标关系即可求解. 【详解】，，， 故，解得或， 故选：B 5. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换得到，再利用正切和角公式得到答案. 【详解】由，得 ， 即，所以， 所以， 所以． 故选：D． 6. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或， 当时，由，则或与异面； 当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选：C 7. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】，， . 故选：C. 8. 在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将棱台补全为棱锥，结合已知条件求出大小棱锥的高，利用及棱锥体积公式求棱台的体积. 【详解】由题设，将棱台补全为正棱锥，如下图，且均为正三角形， 其中为底面中心，连接，则面，而面，即， 所以与平面ABC所成角为，而，则，所以， 令的高为，结合棱台的结构特征，知， 所以棱台体积. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与同向的单位向量为 D. 与的夹角余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量坐标表示平行，垂直，夹角，以及单位向量，即可判断选项. 【详解】A.，故A错误； B.，，所以，故B正确； C.，所以与向量同方向的单位向量为，故C正确； D.，故D错误. 故选：BC 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，则是直角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为钝角三角形，且，，，则的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A选项；利用余弦定理即可判断B选项；利用正弦定理边化角即可判断C选项；利用余弦定理求出或，再进行分类讨论即可判断D选项. 【详解】对于A, 若为锐角三角形，则 即， 故，故A正确； 对于B，若，，则， 即，故，且，故是等边三角形，故B错误； 对于C，若，则 即即 故，是等腰三角形.故C正确； 对于D，，解得或， 且， 当时，，为钝角，故， 当时，，B为钝角，故，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 的一个周期为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB；利用赋值法求出的值，结合对称性可求，判断C；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D. 【详解】由于函数的定义域为为偶函数， 则，即，则的图象关于直线对称，A正确； 又为奇函数，则，即， 故的图象关于点对称，B正确； 由于，令，则， 又的图象关于直线对称，故，C错误； 又，，则， 故，即，则， 即的一个周期为8，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为钝角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求出，由两角差的正弦公式代入即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为为钝角，解得：， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，再把代入导函数中可求出切线的斜率，根据切点坐标，从而利用点斜式可求出切线方程. 【详解】因为函数，所以，所以当时，， 即切线方程的斜率为，又因为切点为， 所以由直线的点斜式方程为：，即. 故答案为：. 14. 在边长为3的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点.且交于点，则的值为______；的最小值为______. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值. 【详解】设，，为边长为3的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：3；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且，若. （1）当时，求实数的值; （2）当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，所以，将代入可得，再由数量积的定义求得，代回即可求解； （2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 由（1）知，且， 所以， 则， 故当时，最小为， 此时， 则， 又， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 16. 的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； （2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以．在中，由余弦定理得， 即，解得（舍去），． 【小问2详解】 因为，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以， 则，又，则，所以的面积为． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 18. 如图，已知圆锥的高为为底面直径，且． （1）求圆锥的表面积； （2）若是底面圆周上一点，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由圆锥的表面积公式计算即可； （2）建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，代入空间二面角公式求解即可； 【小问1详解】 由题可知母线长，底面半径． 故圆锥的表面积． 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设点在上的射影为，则，所以． 易知， 则． 设平面的一个法向量为， 则，取， 计算可得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取， 则平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 数列中，若，使得，都有成立，则称数列为“三合定值数列”，已知. （1）求； （2）设，证明：数列为等比数列，并求； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1），，. （2）证明：因为，则， 且，即，所以， 即，又，则， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 所以①，， 则②，， 两式相减可得， 即的奇数项为等差数列，且， 令，则，所以（为奇数）， 又③， 由③①可得，， 所以的偶数项为等差数列，且， 令，则，即， 综上所述，. （3） 【解析】 【分析】（1）由，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得，即可证明，结合的通项公式，分别讨论为奇数以及为偶数的情况，即可得到结果； （3）根据题意，由条件可得，结合错位相减法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以，且， 则，即，解得， 又，即，解得， 又，即，解得， 所以，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，当为奇数时，， 当为偶数时，， 综上，， 则， ， 两式相减可得， ， ， ， ，所以. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键在于，分类讨论为奇数与偶数两种情况，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度泗阳实验高中第一学期高三年级第一次质量调研 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. 5 B. C. 1 D. 7 3. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 设向量，，若，则（ ） A. 0或-6 B. 4或 C. 2或 D. 0或 5. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 6. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与同向的单位向量为 D. 与的夹角余弦值为 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，则是直角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为钝角三角形，且，，，则的面积为 11. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 的一个周期为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为钝角，且，则______． 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 14. 在边长为3的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点.且交于点，则的值为______；的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且，若. （1）当时，求实数的值; （2）当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 16. 的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 18. 如图，已知圆锥的高为为底面直径，且． （1）求圆锥的表面积； （2）若是底面圆周上一点，且，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 数列中，若，使得，都有成立，则称数列为“三合定值数列”，已知. （1）求； （2）设，证明：数列为等比数列，并求； （3）设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $