4.3.2等比数列的通项公式学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

4.3.2　等比数列的通项公式 [学习目标]　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值.3.体会等比数列与指数函数的关系.4.掌握等比数列的判断及证明方法． 一、等比数列的通项公式及应用 问题1　类比等差数列，请根据等比数列的定义推导一下等比数列的通项公式？ 知识梳理 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有an＝____________(n∈N*)．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比． 例1　在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 反思感悟　等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，需要特别注意的是，已知a1，an，n求解q时，需要开方，开方时注意公比q符号的选择． 跟踪训练1　在等比数列{an}中： (1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5； (2)若a4＝2，a7＝8，求an. 二、等比数列的通项公式与函数的关系 问题2　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 知识梳理 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即______． (2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为______，公比为______. 例2　已知数列是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 反思感悟　判断等比数列{an}的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列． (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，数列{an}是摆动数列． 跟踪训练2　设是等比数列，则“a1<a2”是“数列是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 三、等比中项及应用 知识梳理 等比中项：若a，G，b成等比数列，则称______为a和b的等比中项．此时，G2＝______. 例3　(1)等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________. (2)在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是________． 反思感悟　当三个数或某数列中的三项成等比数列时，我们一般考虑使用等比中项来确定各项之间的关系．两个同正或同负的数的等比中项有两个，它们互为相反数，但是我们在取舍时需要结合具体情境判断一下等比中项的符号能否确定． 跟踪训练3　(1)－2和＋2的等差中项与等比中项分别为(　　) A.，±2 B．2，± C.，±1 D．1，± (2)已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 四、等比数列的判定与证明 例4　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)． ①求a1，a2； ②求证：数列{an}是等比数列． (2)已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 反思感悟　判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n∈N*且n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列，注意两个式子中n的范围有所区别． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝kqn(a1≠0，q≠0)的形式，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若a＝anan＋2(an≠0) 对任意n∈N*都成立，则数列{an}为等比数列． 跟踪训练4　(1)若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn(　　) A．是等比数列 B．是等差数列 C．每项取倒数成等差数列 D．每项取倒数成等比数列 (2)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：数列是等比数列． 1．知识清单： (1)等比数列的通项公式及应用． (2)等比数列的通项公式与函数的关系． (3)等比中项及应用． (4)等比数列的判定与证明． 2．方法归纳：公式法、构造法． 3．常用误区：利用定义式＝q判定或证明等比数列时往往忽视对起始项的验证． 1．若为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　) A．4 B．8 C．6 D．32 3．在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于(　　) A．－4 B．±4 C．－2 D．±2 4．在数列中，a1＝2,2an＋1＝an，则a6＝________. 4.3.2　等比数列的通项公式 问题1　设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，即an＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 故等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*)． 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 故等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*)． 知识梳理 a1qn－1 例1　解　(1)因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)因为a1＝＝＝5，故a1＝5. (3)因为 由，得q＝，则a1＝32. 又an＝1， 所以32×n－1＝1， 即26－n＝20，故n＝6. 跟踪训练1　解　(1)因为a1＝5，q＝＝－3， 所以a5＝a1q4＝405. (2)因为 所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. 问题2　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 知识梳理 (1)an＝f(n)　(2)ka　a 例2　D　[当a1<0，q>1时，数列为递减数列，即充分性不成立； 当“数列是递增数列”时，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立．即“q>1”是“数列是递增数列”的既不充分又不必要条件．] 跟踪训练2　B　[设等比数列的公比为q，则a1<a2，可得a1(q－1)>0，解得或 此时数列不一定是递增数列； 若数列为递增数列，可得或 所以“a1<a2”是“数列是递增数列”的必要不充分条件．] 知识梳理 G　ab 例3　(1) 解析　由题意知a3是a1和a9的等比中项， ∴a＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)， 又d≠0，∴a1＝d， ∴＝＝. (2)或－ 解析　由题意知，所求的中间项是a与b的等比中项，设此数为G，则G2＝ab， ∴G＝±. 若a，b为正数，则G＝， 即正中间的一个数是； 若a，b为负数，则G＝－， 即正中间的一个数是－. 跟踪训练3　(1)C　[－2和＋2的等差中项为＝， －2和＋2的等比中项为±＝±1.] (2)B　[∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.] 例4　(1)①解　由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， 解得a1＝－. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)， 解得a2＝. ②证明　当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－.又a1＝－， ∴{an}是首项为－，公比为－的等比数列． (2)解　依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是bn＝3－n. 则＝＝－1＝2. ∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝×2n－1＝2n－3. 跟踪训练4　(1)C　[因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列，即，，成等差数列．] (2)证明　由a1＝1，an＋1＝Sn，得an>0，Sn>0. 由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn， 得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn， 所以＝2·， 因为＝＝1≠0， 所以＝2. 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 随堂演练 1．B　[若等比数列是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之，例如数列，此时满足a1<a3<a5，但数列不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列是递增数列”的必要不充分条件．] 2．C　[由等比数列的通项公式得128＝4×2n－1，即2n－1＝32，所以n＝6.] 3．A　[因为a4是a1与a7的等比中项， 所以a＝a1a7， 即64＝－16a7，故a7＝－4.] 4. 解析　∵2an＋1＝an，a1＝2，∴＝，∴是等比数列，公比为q＝. ∴a6＝a1q5＝2×5＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$