精品解析：湖南省长沙市宁乡市西部乡镇2024—2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年九年级数学期中考试试卷 一、单选题 1. 一元二次方程化为一般式后一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程一般式的定义，熟悉掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 化为一般式后即可得出结果． 【详解】解：∵化为一般式后为：， ∴一次项系数为：；常数项为：； 故选：A． 2. 通过一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 3. 若抛物线与轴的交点坐标为，，则这条抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的对称性以及与x轴的交点坐标求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标为，， ∴点，关于对称轴对称， ∴这条抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 方程无实数根． 故选C． 5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，小球落地，即小球的高度，代入关系式，解方程即可得出结果． 【详解】小球落地，即，所以， 解得或0， 时，即小球还未抛出的时刻，舍去， ∴， 故选：A． 6. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据当时和当时，然后结合一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得： 当时，即，方程变为，该方程有实数根，符合题意； 当时，即，方程要有实数根，则需满足： ， 解得：； 故选：A． 7. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 故选：B． 8. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，道路的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 【详解】解：设道路的宽为， ， 解得：（舍去），， 故选：A． 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 经过点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故A选项正确不符合题意； 对称轴为直线，故C选项正确不符合题意； 当时，随的增大而增大，故B选项错误符合题意； 令，得， 抛物线经过点，故D选项正确不符合题意． 故选：B． 10. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，，由对称轴可得，即可判定①②；由抛物线与轴的交点坐标为和，可得当时，把和代入函数式得到即可判断③④；当时，的值最大．此时，，而当时，，可得，据此即可判断⑤，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴的交点坐标为和， 由图象可知，当时， ∵时，， ∴，故③错误； ∵是抛物线与轴的一个交点， ∴， ∴， ∴，故④错误； 当时，的值最大．此时，，而当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 综上，说法正确的有个， 故选：． 二、填空题 11. 抛物线与轴的交点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解∶当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为∶ ． 12. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练的掌握一元二次方程根的性质，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 根据方程根的定义，得出，把原式变形即可得出答案． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 14. 若点， ， 均在二次函数 的图象上，则，，的大小关系是___________． （用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，根据题意确定对称轴直线和开口方向，结合即可判断； 【详解】解：由题意得：二次函数 的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵，， ∴， 故答案为： 15. 如图，二次函数的图象，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的上方的图象对应的函数值大于，即可求解；会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的一个交点为， 轴的上方的图象对应的函数值大于， 当时，； 不等式的解集为， 故答案：． 16. 已知函数，当时，函数的最大值等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键．首先求出二次函数的对称轴，得出当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求出最值． 【详解】解：的对称轴， 且，图象开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 且当时，， 当时，， ， 当时，函数的最大值等于， 故答案为：8． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（1）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． （1）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答； （2）根据因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 令或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 令或， 解得：，． 18. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求函数解析式． （2）当y随x的增大而减小时，写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）根据顶点坐标可设顶点式，再把代入求解即可； （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得：， 函数解析式为； 【小问2详解】 解：，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 自变量的取值范围为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 20. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 21. 如图所示，在中，，、的长分别是方程的两个根，点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动． （1）求的面积为多少？ （2）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，的面积等于？ 【答案】（1）24． （2）经过1秒钟，△PBQ的面积等于10cm2． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、三角形的面积以及勾股定理等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）通过解一元二次方程可求出、的长度，利用勾股定理可求出的长度，再根据三角形的面积公式可求出的面积； （2）设经过t秒钟，的面积等于，则，，根据三角形的面积公式结合的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，再结合即可确定t值，此题得解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：设经过t秒钟，的面积等于，则 ∴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 答：经过1秒钟，的面积等于． 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； 【小问3详解】 ， 当时，有最大值． 23. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）③； （2） ①证明： ，且是完全平方数， 此方程一定是“完美方程”； ②存在，的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论； ②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【小问1详解】 解：①， ，不是完全平方数， 不是“完美方程”； ②， ，不是完全平方式， 不是“完美方程”； ③， ，是完全平方式， 是“完美方程”； 故答案为：③； 【小问2详解】 解：①略 ②存在，理由如下： ， ， 或， 或， 设方程的两个实数根分别为、， ，， 始终在函数的图像上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图像上，的值为． 24. 一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； （2）求立柱的长； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 【答案】（1） （2） （3） 由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为米，三辆车并排宽共米， 因此只需考虑当时，的值与3的大小即可判定， 当时，， ∴不能并排行驶宽、高的三辆汽车． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）令即可求出点的坐标，从而求出支柱的长度． （3）令求得的值，再与3比较大小即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：， ∵相邻两支柱间的距离均为， ∴， ∴两点都在抛物线上， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：当时，， ∴． ∴． 【小问3详解】 略 25. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； （3）Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，， （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设点，得到，，，分当为斜边时，当为斜边时，两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入，得， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴，交于点， 当时，， ， 设直线的表达式为将，代入，得， ， 解得， ， 设，， ， ， 当时，， 当时，， ； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级数学期中考试试卷 一、单选题 1. 一元二次方程化为一般式后一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 通过一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线与轴的交点坐标为，，则这条抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，道路的宽为（ ） A. B. C. D. 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 经过点 10. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题 11. 抛物线与轴的交点坐标是____________． 12. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 13. 若是方程的一个根，则的值为_______． 14. 若点， ， 均在二次函数 的图象上，则，，的大小关系是___________． （用“<”连接） 15. 如图，二次函数的图象，则不等式的解集是________． 16. 已知函数，当时，函数的最大值等于________． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求函数解析式． （2）当y随x的增大而减小时，写出自变量的取值范围． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 20. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 21. 如图所示，在中，，、的长分别是方程的两个根，点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动． （1）求的面积为多少？ （2）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，的面积等于？ 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 23. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； （2）求立柱的长； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 25. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； （3）Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $