精品解析：福建省福州市台江区福州华伦中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期九年级十二月知识检索 数学科 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 下列成语描述的事件是必然事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 画饼充饥 C. 水中捞月 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件． 【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意； B.画饼充饥是不可能事件，故该选项不符合题意； C.水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； D.旭日东升是必然事件，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 已知 的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设 的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 根据 的半径和点到圆心的距离 的大小关系判断即可． 【详解】解：根据题意可得： 的半径为，点到圆心 的距离为， ， ， 点P在圆内， 故选：A． 4. 已知，相似比为，且 的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长，掌握相似三角形的性质 是解题的关键． 【详解】解：∵，相似比为， ∴ 的周长的周长， ∵ 的周长为， ∴的周长， 故选：． 5. 小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，确定等量关系是解决本题的突破点．平均增长率为x，关系式为：第三天收快递件＝第一天收快递件×（1＋平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：星期一收快递件100件，星期三收144件， ∴可列方程为：， 故选：A． 6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限 随 的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 7. 如图， 是 的直径，是弦，若，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，掌握直径所对圆周角为直角，同弧所对圆周角相等是解题关键．根据直径所对圆周角为直角即得出，从而可求出，再根据同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】∵ 是 的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选B． 8. 已知抛物线y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是（ ） A. m≠0 B. m≠﹣1 C. m＞﹣1 D. m＜﹣1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据二次函数y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即m+1＜0，即可得出答案． 解：∵抛物线y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴m+1＜0， ∴m＜﹣1， 故选D． 考点：二次函数的性质． 9. 如图， 中，，将 绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在A边上， 、交于点F，若，则的度数是（ ）（用含 的代数式表示） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握旋转的性质．由旋转可得：，，推出，由，可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 关于 的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解． 【详解】∵关于 的一元二次方程有一个根是﹣1， ∴二次函数的图象过点， ∴， ∴，， 则，， ∵二次函数的图象的顶点在第一象限， ∴，， 将，代入上式得： ，解得：， ，解得：或， 故：， 故选D． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在一次摸球活动中，进行大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率在附近摆动，据此估计摸到红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，摸到红球的频率在附近摆动，用频率估计概率即可知道摸到红球的概率． 【详解】解： 进行大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率在附近摆动， 用频率估计概率可知：摸到红球的概率为． 故答案为：． 12. 抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点 ，点在x轴上，若的面积为 ，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是． 则，，． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， 则． 故答案是： ． 14. 如图，在 中，点在边 上，若， ，，则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出 ，再证明，得到，代入数值进行计算即可． 【详解】解： ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 由两个全等的和构成如图①所示的四边形 ，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程.如图②， 的半径为10， 、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，，．若关于x的方程是“勾股方程”，连接 、 ，则的度数为______． 【答案】 ##90度 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、垂径定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾股方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 如图，连接 ， ，作于 ，作的延长线交 于 ，利用勾股定理求出，，再利用全等三角形的判定与性质推导出即可解决问题． 【详解】解：连接 ， ，作于 ，作的延长线交 于 ，如图：     关于 的方程是“勾股方程”， ， ，10构成直角三角形，10是斜边， ， ，，，，， ，， ，， ，，即，， 又， ，， ，， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 16. 如图，已知，过等腰直角三角形 的顶点 作，交于点 ， 与交于点 ，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，可得，可求 的长，由勾股定理可求 的长，通过证明，可求 的长． 【详解】解：如图，过点 作于 ， 在等腰直角三角形中， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出 的长是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．利用配方法求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：， 18. 福州市有三坊七巷（ ），鼓山（ ），烟台山（ ），小明和小红打算利用寒假去这三处景点旅游，用列表法或树状图法求小明和小红都选择到同一个景点旅游的概率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下：三坊七巷（ ），鼓山（ ），烟台山（ ）， 小红 小明 由表知，共有 种等可能结果，其中小明和小红都选择到同一个景点旅游的有3种结果， 所以小明和小红都选择到同一个景点旅游的概率为． 19. 如图，半圆 的直径是 ， 、 是两条切线，切点分别为 、 ，平分．求证：是半圆 的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是切线的判定，角平分线的性质；过点 作，垂足为 ．由角平分线的性质定理得到，从而可知是半圆 的切线； 【详解】证明：如图，过点 作于点 ． 是半圆 的切线， ． 平分， ， 是半圆 的切线． 20. 如图所示的正方形网格中， 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出 关于坐标原点O成中心对称的； （2）若将 绕某点逆时针旋转 后，其对应点分别为，，，则旋转中心坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查画中心对称图形，找旋转中心，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出 各顶点关于坐标原点O成中心对称的对应点，再顺次连接即可； （2）作线段和的垂直平分线，其交点O即为旋转中心，再结合坐标系写出O点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：如图，连接，，作线段和的垂直平分线，其交点D即为旋转中心， ∴由图可知旋转中心坐标． 21. 平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 22. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元/．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 4300 4200 4100 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）设y与x之间的函数解析式为，把，和，代入即可得到答案； （2）由每千克利润乘以销售数量建立二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为， 把，和，代入， 得， 解得， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w有最大值为48400元． ∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元． 23. 综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为 的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】（1） 能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与 轴交于点 ． （1）求 ，的值． （2）如图2，若点 为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与 轴交于点，连接 ． 当时，求 的面积； 将 沿直线 翻折，当点 的对应点落到坐标轴上时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将点 的坐标代入两个函数的表达式，即可求解； （2）分情况讨论：当点 在点 的上方时，证明，得到，求出点，得到，即可求解；当点 在点 的下方时，同理可解； 分情况讨论：当点在 轴上时，由且得：且且，得到点，然后利用待定系数法可求得直线 的表达式，进而求得点的坐标；当点在 轴上时，由得：，此方程无解，故该种情况不存在；综上，即可得解． 【小问1详解】 解：将点 代入一次函数表达式，得： ， 解得：， 即：点， 将点 的坐标代入反比例函数表达式，得： ； 【小问2详解】 解：分情况讨论： 当点 在点 的上方时， 由（1）可知，反比例函数的表达式为：， 如图，分别过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为点 、，设 交于点 ， ， ， ， ， 而，则， 将代入，得：， ， 当时，， ， ， 的面积； 当点 在点 的下方时， 如图，分别过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为点 、， ， ， ， ， 而，则， 将代入，得：， ， 将代入，得：， ， ， 的面积； 综上所述， 的面积为或； 分情况讨论： 当点在 轴上时， 如图， 设，点， 由且得： 且且， 解得：（舍去）或，，， ，， 设直线 的表达式为：， 将点，代入直线 的表达式，得： ， 解得：， 直线 的表达式为：， 令 ，则， 解得：， ； 当点在 轴上时， 设，点， 由得：， 此方程无解，故该种情况不存在； 综上，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，求一次函数的函数值，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积公式，一元二次方程的解法，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 25. 如图①，在钝角中，，，点为边 中点，点 为边 中点，将绕点 逆时针方向旋转 度（）． （1）如图②，当时，连接 、 ．求证：； （2）如图③，直线 、 交于点 ．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数； （3）将从图①位置绕点 逆时针方向旋转，求点 的运动路程． 【答案】（1）见解析（2）的大小不发生变化，（3） 【解析】 【分析】(1）如图①利用三角形的中位线定理，推出，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可． （2）利用相似三角形的性质证明即可． （3）点 的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）如图②中， 由图①，∵点为边 中点，点 为边 中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）的大小不发生变化，. 理由：如图③中，设 交 于点 ． ∵， ∴， ∵，，， ∴. （3）如图③﹣1中．设 的中点为，连接，以 为边向右作等边，连接 ， ． 以 为圆心，为半径作 ， ∵，， ∴， ∴点 在 上运动， 以 为圆心， 为半径作，当直线与相切时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的长， 观察图象可知，是的长的两倍. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级十二月知识检索 数学科 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件是必然事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 画饼充饥 C. 水中捞月 D. 旭日东升 3. 已知 的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 4. 已知，相似比为，且 的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 是 的直径，是弦，若，则 等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是（ ） A. m≠0 B. m≠﹣1 C. m＞﹣1 D. m＜﹣1 9. 如图， 中，，将 绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在A边上， 、交于点F，若，则的度数是（ ）（用含 的代数式表示） A. B. C. D. 10. 关于 的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在一次摸球活动中，进行大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率在附近摆动，据此估计摸到红球的概率为______． 12. 抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线表达式为______． 13. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点 ，点在x轴上，若的面积为 ，则的值为_______． 14. 如图，在 中，点 在边 上，若， ，，则 的长为______． 15. 由两个全等的和构成如图①所示的四边形 ，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程.如图②， 的半径为10， 、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，，．若关于x的方程是“勾股方程”，连接 、 ，则的度数为______． 16. 如图，已知，过等腰直角三角形 的顶点 作，交于点 ， 与交于点，若，，则______． 三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 福州市有三坊七巷（ ），鼓山（ ），烟台山（ ），小明和小红打算利用寒假去这三处景点旅游，用列表法或树状图法求小明和小红都选择到同一个景点旅游的概率． 19. 如图，半圆 的直径是 ， 、 是两条切线，切点分别为 、 ，平分．求证：是半圆 的切线． 20. 如图所示的正方形网格中， 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出 关于坐标原点O成中心对称的； （2）若将 绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心坐标为______． 21. 平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 22. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元/．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 4300 4200 4100 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 23. 综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为 的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与 轴交于点 ． （1）求 ，的值． （2）如图2，若点 为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与 轴交于点 ，连接 ． 当时，求 的面积； 将 沿直线 翻折，当点 的对应点落到坐标轴上时，求点 的坐标． 25. 如图①，在钝角中，，，点 为边 中点，点 为边 中点，将绕点 逆时针方向旋转 度（）． （1）如图②，当时，连接 、 ．求证：； （2）如图③，直线 、 交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数； （3）将从图①位置绕点 逆时针方向旋转，求点的运动路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $