第06讲 二元一次方程组的解法（2个知识点+9大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版2024）

第06讲 二元一次方程组的解法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握加减消元和代入消元的意义，及代入法、加减消元法解方程组的步骤； 2．熟练运用代入法、加减消元法解简单的二元一次方程组； 3．能解简单的一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点02 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 考点一：用含一字母的代数式表示另一个字母 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知方程，用含y的代数式表示x，则 ． 2.（2024七年级上·江苏·专题练习）在方程中用含的式子表示，则 ． 3.（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，用含有的式子表示，则 ． 考点二：代入消元法解二元一次方程组 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【变式训练】 1.（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 2.（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： (1) (2) 3.（22-23八年级下·重庆南岸·开学考试）解方程组： (1)； (2)． 考点三：加减消元法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 2.（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 3.（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 考点四：二元一次方程组的错解复原问题 例题：（23-24七年级下·山西朔州·期末）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③第一步 将③代入②，得，第二步 解得． 第三步 将代入①，得，第四步 原方程组的解为 第五步 任务： （1）这种解二元一次方程组的方法叫作______，以上求解步骤中，小权同学从第______步开始出现错误． （2）请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广西贵港·期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小强解方程组用的方法是______消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小强解方程组的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 2.（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 考点五：已知二元一次方程组的解求参数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·开学考试）已知是关于 x、y的二元一次方程组的解，则 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组解是，则 ． 2.（23-24七年级下·辽宁大连·期末）关于x、y的方程组的解为，则的平方根是 3.（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）若是关于、的方程组的解，则的值是 考点六：已知二元一次方程组解的情况求参数 例题：（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组的x，y 的值相等，则 ． 2.（24-25八年级上·福建福州·开学考试）已知关于x，y的方程组，若方程组的解x与y满足条件，则m的值是 ． 3.（23-24七年级下·全国·单元测试）若是整数，且关于、方程组有整数解，则 ． 考点七：二元一次方程组中含参数多结论问题 例题：（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于，的方程组下列结论正确的有（　　）个． ①当时，该方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1.（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么实数，的值始终不变； ④若用x表示y，则； A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①② 考点八：构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果与是同类项，那么 ． 2.（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是 ． 考点九：利用同解方程组的问题求解 例题：（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如果方程组与有相同的解，则 ， ． 2.（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）已知关于，的两个方程组和的解相同，则 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 3．（24-25八年级上·全国·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 4．（2024九年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解得方程组的解为 ． 7．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，则 ． 8．（2023·四川达州·模拟预测）已知方程组则代数式的值是 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则 ， ． 三、解答题 11．（2024八年级上·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 12．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）解方程组： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组： (1)； (2)． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程组． (1) (2) 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）解方程组： (1)； (2)． 16．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 17．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：．例如：．若，，求，的值． 18．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 19．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 20．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二元一次方程组的解法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握加减消元和代入消元的意义，及代入法、加减消元法解方程组的步骤； 2．熟练运用代入法、加减消元法解简单的二元一次方程组； 3．能解简单的一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点02 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 考点一：用含一字母的代数式表示另一个字母 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 【答案】/ 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握等式的性质．将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知方程，用含y的代数式表示x，则 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数，看作未知数．将看作已知数求出即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 2.（2024七年级上·江苏·专题练习）在方程中用含的式子表示，则 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代数式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则进行变形即可． 【详解】解：， 方程两边同时加上，得：，即， 方程两边再同时减去2，得：，即． 故答案为：． 3.（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，用含有的式子表示，则 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的加减消元法，掌握二元一次方程组的加减消元法是解题的关键．将两式相加，再整理即得答案． 【详解】将和相加，得， ． 故答案为：． 考点二：代入消元法解二元一次方程组 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1）解：（1）， 把①代入②得：， 去括号得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）解： ， 由①得：③， 把③代入②得：， 去分母得：， 移项合并得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 【变式训练】 1.（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组， （1）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可； （2）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：由可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为； （2）解：整理可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为． 2.（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1） 解：（1）， 把①代入②得：， 去括号得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2） 解： ， 由①得：③， 把③代入②得：， 去分母得：， 移项合并得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 3.（22-23八年级下·重庆南岸·开学考试）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 考点三：加减消元法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查的就是二元一次方程组的解法，属于基础题型．解决这个问题的关键就是利用加减法进行消元． （1）利用求出x的值，然后代入①求出y的值，从而得出方程组的解； （2）首先将方程组进行化简，然后利用加减消元法得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：将方程组进行变形可得：， 得：，解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先化简方程组为，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 解得：， 把代入，①得 解得：， ∴； （2）解：化简整理，得， 由，得， 解得：， 把代入①，得， ∴． 2.（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴； （2）， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴． 3.（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． 考点四：二元一次方程组的错解复原问题 例题：（23-24七年级下·山西朔州·期末）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③第一步 将③代入②，得，第二步 解得． 第三步 将代入①，得，第四步 原方程组的解为 第五步 任务： （1）这种解二元一次方程组的方法叫作______，以上求解步骤中，小权同学从第______步开始出现错误． （2）请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）代入消元法，一（2） 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据代入消元法解方程组，进行作答即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法；以上求解步骤中，小权同学从第一步用表示时就开始出错，正确的表示为：． 故答案为：代入消元法；一； （2）由①，得③； 由，得． 将代入①，得， 原方程组的解为 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广西贵港·期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小强解方程组用的方法是______消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小强解方程组的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号；任务三：见解析 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据代入消元法解二元一次方程组的步骤，逐一进行作答即可． 【详解】解：任务一：小强解方程组用的方法是代入消元法； 故答案为：代入； 任务二；小强解方程组的过程，从第二步开始出现错误，错误的原因是：整体代入未添加括号． 故答案为：二，整体代入未添加括号； 任务三：正确的解答过程： 解：由①得③ 将③代入②得，解得． 把代入③，即：，解得 ∴原方程组的解为：． 2.（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)一，等式右边没有乘3 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是关键． （1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据加减消元法判断即可； （3）根据加减消元法，解二元一次方程组求解． 【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：加减消元；等式的基本性质 （2）第一步开始出现错误，具体错误是等式右边没有乘3， 故答案为：一，等式右边没有乘以3； （3）解方程组: 解：由①，得③ ③②，得， 将代入①， 解得， 所以，原方程组的解为， 故答案为：． 考点五：已知二元一次方程组的解求参数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·开学考试）已知是关于 x、y的二元一次方程组的解，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，先把代入原方程得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵是关于 x、y的二元一次方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组解是，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程租的求解以及二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解方法．将代入方程组，得到关于的方程组，然后求解即可． 【详解】解：将代入方程组，得 ①②，得，解得 将代入得，，解得 ∴ 故答案为： 2.（23-24七年级下·辽宁大连·期末）关于x、y的方程组的解为，则的平方根是 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求平方根．把代入，求出m，n的值，可得到的值，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， ∴， ∴的平方根是． 故答案为： 3.（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）若是关于、的方程组的解，则的值是 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把代入，得到关于、的二元一次方程组，求出、，再代入代数式进行计算即可，正确掌握代入法和解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 考点六：已知二元一次方程组解的情况求参数 例题：（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查由含参数的二元一次方程组解的情况求参数，根据题意得到，联立求解得到，进而代入得，解方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数， ， 联立，解得， 将代入得，解得， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·单元测试）已知方程组的x，y 的值相等，则 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解 即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．根据题意得到，代入方程组求出的值即可． 【详解】解：把代入方程组得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 2.（24-25八年级上·福建福州·开学考试）已知关于x，y的方程组，若方程组的解x与y满足条件，则m的值是 ． 【答案】8 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解，把两个方程相加可得，再将代入，即可求解． 【详解】解： 由①②得：， 把代入， 可得出：， 解得：， 故答案为：8． 3.（23-24七年级下·全国·单元测试）若是整数，且关于、方程组有整数解，则 ． 【答案】或/7或3 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及根据解的情况求参数，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键，先求解关于、方程组得，，再确定的值即可． 【详解】解： 得：③， 得：④， 得：， 把代入①得：， ∵方程组有整数解， ∴或， ∵是整数， ∴符合题意的或， 故答案为：或． 考点七：二元一次方程组中含参数多结论问题 例题：（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于，的方程组下列结论正确的有（　　）个． ①当时，该方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键． 直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得： ， 解得：， 把代入得： ，故①不正确， ②解方程组得： ， 若， 则， 解得：， 即存在实数k，使得，故②正确， ③解方程组得： ， 当时，， ，故③正确， ④解方程组得： ， ， 不论取什么实数，的值始终不变，故④正确； 故选：C． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么实数，的值始终不变； ④若用x表示y，则； A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①② 【答案】B 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将、代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， 得：， ， 解得：，①结论正确； 当时，， 解得： 将代入中，得：， 解得：， 方程组的解不是方程的解，②结论错误； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：B． 考点八：构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、构造二元一次方程组求解、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果与是同类项，那么 ． 【答案】0 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， ， 故答案为：0． 2.（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了二元一次方程，以及解二元一次方程组，先构造二元一次方程组解得，然后把代入即可求出y的值． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， ∴方程为， ∴当，， 故答案为：． 考点九：利用同解方程组的问题求解 例题：（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】同解方程组、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出，再代入求出即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入方程组得， 解得：，则 ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如果方程组与有相同的解，则 ， ． 【答案】 2 1 【知识点】同解方程组 【分析】本题考查了同解方程组，由题意求解方程组得；再解方程组即可． 【详解】解：解方程组得： 由方程组得： 将代入得： 故答案为：①2②1 2.（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）已知关于，的两个方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【知识点】同解方程组、二元一次方程组的特殊解法 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程，先根据方程组和的解相同，得方程组的解是方程组和的解，再由，得，然后将代入和中，得，由此可得的值，理解二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程组和的解相同， ∴方程组的解是方程组和的解， 解方程组，得， 将代入和， 得， 得：， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等式的性质、代入消元法 【分析】本题考查二元一次方程的解、等式的基本性质，利用等式的基本性质1求解即可． 【详解】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减， 得， 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查加减消元法．根据加减消元法，逐一进行判断即可． 【详解】解： 要消去，可以将，要消去，可以将 故选：C． 3．（24-25八年级上·全国·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组解法的理解，掌握转化思想解决数学问题是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：将第一个方程代入算二个方程消去得，是代入消元法解二元一次方程组，体现了转化思想， 故选：C． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、加减消元法 【分析】本题考查了相反数的定义，非负数的性质，解二元一次方程组；解题的关键是根据非负数的性质求出的值．首先根据与互为相反数，可得：，据此求出的值即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 即，， 解得， 故选C． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】a．当时，关于的方程组为， 解得， 所以， 当时，， 所以当时，方程组的解也是的解，正确； b．解方程组，得， 所以， 所以无论取何值，的值不可能互为相反数，正确； c．由得， 所以原方程组的正整数解是，共2对，错误； d．， 得，， 因为， 所以， 解得，正确； 所以正确的有． 故选：C． 二、填空题 6．（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解得方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的步骤是解题的关键． 消去，可解得的值，将x的值代入①中可得y的值，据此求解． 【详解】解：， ，得：， 将代入①中，， 解得：， ∴方程组的解为：． 7．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，则 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，根据题意得出方程组，求出m、n的值，再计算即可； 【详解】解：由消去未知数x，可得， 由消去未知数y，可得， 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 8．（2023·四川达州·模拟预测）已知方程组则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组中两个方程组相加可得：，再把方程两同时乘以即可得到答案． 【详解】解： 得：， 方程两同时乘以得：． 故答案为： ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据方程组的特点，①+②得，得出，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：， ①+②得，，即， 又因为， 所以， 解得． 故答案为：． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则 ， ． 【答案】 1 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用方程组的解的定义，，满足个方程，则先解和组成的方程组，再把、代入另外两个方程得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值．能得出关于、的方程组是解此题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， ∴关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， 解方程组，得， 把代入，得， 解得：， 故答案为：；． 三、解答题 11．（2024八年级上·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法即可解方程求解即可； （2）利用代入消元法即可解方程求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得∶． 把代入②，得， 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①，得③． 把③代入②，得，解得∶． 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 12．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键． （1）直接利用加减消元法解方程组即可； （2）先将原方程组变形，再根据加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①②，得， 解得， 把代入②，得， 所以该方程组的解是； （2）解：， 方程组可化为， 由，得③， ③①，得，解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法． （1）运用加减消元法解出的值，再代入解出的值，即可作答； （2）先去分母，再运用代入消元法解出的值，即可作答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为； （2）解：， 整理①得，即， 所以整理②得， 把代入， 得， 解得， 把代入， 解得， 所以方程组的解为． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理方程组，再利用加减消元法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得， 故原方程组的解是； （2）整理原方程组得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 故原方程组的解为． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法． （1）采用加减消元法进行求解即可； （2）先化简原方程组，再利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 原方程组化简为： 得：， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：． 16．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 【答案】(1)加减消元法，等式的性质 (2)二，合并常数项时计算错误 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据解题步骤可知，为加减消元法，变形依据为等式的性质； （2）第二步出现错误，合并常数项时计算错误； （3）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， 得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是． 17．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：．例如：．若，，求，的值． 【答案】， 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意可得 ①②，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 即， ，． 18．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求代数式的值； （1）根据已知条件，重新把不含有的两个方程联立成方程组，利用加减消元法，求出的值即可； （2）把（1）中所求的分别代入和得关于的方程组，解方程组求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程组的解为：， ∴它们的相同解为； （2）解：把分别代入和，得， 得：， 把代入①得：， ∴． 20．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 ， 所以，， 所以，， 所以原方程组为 ， 解得 ． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$