精品解析：山西省晋中市左权县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置， 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程 x2 ＋x＝0的根是 ( ) A. x1＝0，x2＝1 B. x1＝0，x2＝﹣1 C. x1＝x2＝0 D. x1＝x2＝1 【答案】B 【解析】 【分析】把一元二次方程化成x(x+1)=0，然后解得方程的根即可选出答案． 【详解】解：∵一元二次方程x2+x=0， ∴x(x+1)=0， ∴x1=0，x2=−1， 故选B. 【点睛】本题考查了因式分解法求一元二次方程的根. 2. 如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 相似 D. 旋转 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故选：C． 3. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据四边形是矩形，则对角线互相平分且相等，则，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选C． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质． 先由推出，再代入即可得解． 【详解】解：， ， ． 故选：． 6. 折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．图是一个三层折叠花架，已知，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据计算得的长，进一步计算即得答案． 【详解】解：∵ ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接 、 相交于点 ，由在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，可求得点 的坐标，继而求得答案． 【详解】解：连接，相交于点， 四边形是菱形， ，，， 点在轴上，点的坐标为，点的坐标为， ，轴， ， ， 点的坐标为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意菱形的对角线互相平分且垂直． 8. 唐风晋韵，锦绣太原．2024年太原文旅火爆出圈，龙城太原被冠以新的昵称——歌迷之城，“演唱会经济”已经成为这座城市新的经济增长点．某酒店今年5月份的营业额为120万元，7月份的营业额达到145万元．若设6，7月份营业额的平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设营业额的平均增长率为，根据题意，得六月的营业额为，七月的营业额为，求和列出方程即可．本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意，得， 故选：A． 9. 山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先画出树状图，可得所有可能结果数，其中甲、乙两个小组选择同一剧种的可能结果，然后即可求出甲、乙两个小组选择同一剧种的概率．本题考查列表法或树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 【详解】解：依题意，晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子分别用、、、表示， 树状图如下， 由上可得，一共有16种等可能性，其中甲、乙两个小组选择同一剧种的可能性有4种， 甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．设矩形与矩形相似时，运动时间为，分矩形矩形和矩形矩形两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设矩形与矩形相似时，运动时间为， 当矩形矩形时，， ∴ 解得， 当矩形矩形时， ∴， 解得：． 故选：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．把代入，解方程即可． 【详解】解：把代入 得：， 解得，， 故答案为：1． 12. 山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到图所示的统计图，由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为______．（结果精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，深刻理解频率与概率的内在联系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率． 由图可知，这种树苗成活的频率在上下波动，由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，据此即可得出答案． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在， 其成活的概率估计值约为， 故答案为：． 13. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为_____． 【答案】1：4 【解析】 【分析】证明△AOB∽△COD，只需求出其相似比的平方即得两三角形面积比． 【详解】解：如图，设小方格的边长为1， ∵△ABE、△DCF分别是边长为1和2的等腰直角三角形， ∴∠ABE＝∠CDF＝45°，，， ∵BE//DF， ∴∠EBO＝∠FDO， ∴∠ABO＝∠CDO， 又∠AOB＝∠COD， ∴△ABO∽△CDO， ∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2， ∴， 故答案为：1∶4． 【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比． 14. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 15. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连结交于点，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，如图所示，延长交于点，设，则，根据正方形的性质，全等三角形的性质可得是等腰直角三角形，求出，证明，求出，证明，求出，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵正方形由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴，，，，， ∵， ∴设，则， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）先提公因式x，然后利用因式分解法解一元二次方程． （2）把2移到方程右边，利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原方程可变形为 解得：，． 【小问2详解】 解： 移项，得． 配方，得， 即 两边开平方，得． 解得：，． 17. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 18. 为正确理解物理变化与化学变化，王老师将种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求事件的概率．直接利用表格列举，根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 乙 甲 其中A衣服晾干和C冰化成水是物理变化，其余的是化学变化， 由表格知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有2种， 所以P（抽出的两张卡片均是化学变化）． 19. 左权县素有“中国核桃之乡”的美誉，核桃种植已经有1000多年的历史，该地种植的核桃以果仁饱满、皮薄、个大、味香、营养价值高而著称，不仅可以生吃，而且还是制作月饼、元霄、糕点馅的原料、某特产专卖店购进左权核桃进行销售，进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克． （1）若单价降低3元，则平均每天的销售量为______千克，每天获利______元； （2）若该专卖店销售这种核桃想平均每天获利2240元，并尽可能地减少库存，每千克核桃应降价多少元？ 【答案】（1）， （2）元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），因式分解法解一元二次方程，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，根据“该专卖店销售这种核桃获得的总利润每千克核桃的销售利润每天的销售量”正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）依据题意直接列式计算即可； （2）设每千克核桃应降价元，则每千克核桃盈利为元，平均每天可售出千克，根据“该专卖店销售这种核桃获得的总利润每千克核桃的销售利润每天的销售量”，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽可能地减少库存，即可得出结论． 【小问1详解】 解：单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克， 若单价降低3元，则平均每天的销售量为： （千克）， 每天获利为： （元）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设每千克核桃应降价元，则每千克核桃盈利为元，平均每天可售出千克， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 要尽可能地减少库存， ， 答：每千克核桃应降价元． 20. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形的周长为，面积为，矩形的周长为，面积为，可得矩形是矩形的“减半”矩形． 任务： 已知一个矩形的长为6，宽为1，它是否存在“减半”矩形（“减半”矩形的长大于宽）？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，长为2，宽为 【解析】 【分析】设“减半”矩形的长为，则宽为，根据题意可得，解方程即可求出答案． 【详解】解：存在，理由如下： 设“减半”矩形的长为，则宽为， 根据题意，可得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，故舍去， 长为6，宽为1的矩形存在“减半”矩形，其“减半”矩形的长为2，宽为． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用（与图形有关的问题），因式分解法解一元二次方程，代数式求值等知识点，理解题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 21. 项目化学习 项目主题：跟着悟空游山西，测量“无边寺白塔”的大致高度． 项目背景：《黑神话：悟空》的上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．“无边寺白塔”位于山西省太谷县无边寺内（图①），白塔外有七层，为八角形砖木混构，内有九层，设木板楼层，有木构楼梯供攀登．某校学习小组以测量“无边寺白塔”的高度为主题展开项目学习． 问题驱动：能利用哪些数学知识来测量“无边寺白塔”的高度？ 研究步骤： （1）如图②，把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线于点Q，测得米； （2）将标杆沿着水平线的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交水平线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 问题解决：请根据此项目实施的相关信息求“无边寺白塔”的大致高度． 【答案】44米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明，得到对应边成比例，列方程解决即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴，解得， ∵， ∴，解得， ∴“无边寺白塔”的大致高度为44米． 22. 综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．"为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． （1）请在上述两个方案中任选一个加以证明； （2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设，，求的值． 【答案】（1） 选择方案一： 证明：如图1，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ； 选择方案二： 证明：如图2，过点作于点，过点作于点，交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）选择方案一：如图1，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点，证明四边形和四边形都是平行四边形，得，，证明得，可得结论； 选择方案二：如图2，过点作于点，过点作于点，交于点，证明四边形和四边形都是矩形，得，，，证明．得，可得结论； （2）如图3，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点，证明四边形和四边形都是平行四边形，得，，证明，由相似三角形的性质可得结论。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图3，过点作，交于点，过点作，分别交，，于点，，，设与交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识点。通过作辅助线构造相似三角形和全等三角形的是解题的关键。 23. 综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，P是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点E的位置随着点P位置的变化而变化． 【问题解决】 （1）如图1，当点P在线段上，点E在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，当点P在线段上，点E在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当点P在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，，求出，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再求出，即可证明； （3）连接交于点O，连接，作于F，根据菱形的性质得出，平分，根据勾股定理分别求出，，最后求出即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 （3）如图3中，连接交于点O，连接，作于F，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中学业水平质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置， 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程 x2 ＋x＝0的根是 ( ) A. x1＝0，x2＝1 B. x1＝0，x2＝﹣1 C. x1＝x2＝0 D. x1＝x2＝1 2. 如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 相似 D. 旋转 3. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．图是一个三层折叠花架，已知，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 唐风晋韵，锦绣太原．2024年太原文旅火爆出圈，龙城太原被冠以新的昵称——歌迷之城，“演唱会经济”已经成为这座城市新的经济增长点．某酒店今年5月份的营业额为120万元，7月份的营业额达到145万元．若设6，7月份营业额的平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则______． 12. 山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到图所示的统计图，由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为______．（结果精确到0.1） 13. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为_____． 14. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________． 15. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连结交于点，若，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 18. 为正确理解物理变化与化学变化，王老师将种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图），甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．小明从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 19. 左权县素有“中国核桃之乡”的美誉，核桃种植已经有1000多年的历史，该地种植的核桃以果仁饱满、皮薄、个大、味香、营养价值高而著称，不仅可以生吃，而且还是制作月饼、元霄、糕点馅的原料、某特产专卖店购进左权核桃进行销售，进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克． （1）若单价降低3元，则平均每天的销售量为______千克，每天获利______元； （2）若该专卖店销售这种核桃想平均每天获利2240元，并尽可能地减少库存，每千克核桃应降价多少元？ 20. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形的周长为，面积为，矩形的周长为，面积为，可得矩形是矩形的“减半”矩形． 任务： 已知一个矩形的长为6，宽为1，它是否存在“减半”矩形（“减半”矩形的长大于宽）？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽；若不存在，请说明理由． 21. 项目化学习 项目主题：跟着悟空游山西，测量“无边寺白塔”的大致高度． 项目背景：《黑神话：悟空》的上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．“无边寺白塔”位于山西省太谷县无边寺内（图①），白塔外有七层，为八角形砖木混构，内有九层，设木板楼层，有木构楼梯供攀登．某校学习小组以测量“无边寺白塔”的高度为主题展开项目学习． 问题驱动：能利用哪些数学知识来测量“无边寺白塔”的高度？ 研究步骤： （1）如图②，把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线于点Q，测得米； （2）将标杆沿着水平线的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交水平线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 问题解决：请根据此项目实施的相关信息求“无边寺白塔”的大致高度． 22. 综合与实践 小亮和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，他们碰到这样一道题：“如图①，已知正方形，点，，，分别在边，、，上，若，求证：．"为了解决这个问题，经过思考，学习小组的同学给出了以下两个方案： 方案一：过点作，交于点，过点作，交于点； 方案二：过点作于点，过点作于点． （1）请在上述两个方案中任选一个加以证明； （2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，如图②，并设，，求的值． 23. 综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，P是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点E的位置随着点P位置的变化而变化． 【问题解决】 （1）如图1，当点P在线段上，点E在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； 【类比探究】 （2）如图2，当点P在线段上，点E在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当点P在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $