第7章 平行线的证明（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第7章 平行线的证明（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 知识点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 知识点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 知识点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 知识点五、平行线的公理、定理 公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）. 定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）. 定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补). 要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 知识点六、平行线的性质定理的探究过程 1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角 相等）. 因为a∥b, 所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）， 又∠3=∠1 (对顶角相等) 所以∠2=∠3. 2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁 内角互补). 因为a∥b, 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）， 又∠3+∠1=180°（补角的定义）， 所以∠2+∠1=180°. 要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 知识点七、平行线的性质与判定 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点八、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点九、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 考点1：定义与命题 【例题1】（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列语句中不是定义的是（    ） A．整数和分数统称有理数 B．大于直角的角叫作钝角 C．全等三角形的对应角相等 D．含有未知数的等式叫作方程 【变式1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（    ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 考点2：平行线的判定 【例题2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 考点3：平行线的性质 【例题3】（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，，、、分别平分、、．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，点在同一直线上，，，若添加一个条件，使．下面所列条件正确的有 ． ①；②；③；④ 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在下列解答中，填空并填写理由 如图，已知 ， ，试说明：． 证明：∵ （已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（ ） ∴（ ） 考点4：三角形的外角性质 【例题4】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，含的直角三角尺一条直角边的两个顶点分别放在两条互相平行的直线上，已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，则的度数为 ． 【变式3】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中 ，，，求和的度数． 考点5：三角形内角和定理 【例题5】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，，则 ． 【变式3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 考点6：三种思想 思想1：方程思想 【例题6】（24-25八年级上·北京大兴·期中）在中，，则（   ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）在中，当时，这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式2】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，点D为上的一点，，，若，则 ． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期中）在中，，求，，的度数． 思想2：整体思想 【例题7】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，分别是和的平分线，过点，且平行于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，是角平分线，是中线，是高，如果，，那么（    ） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式2】如图，在中，，分别平分和，分别平分和，则 ．    【变式3】（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，在中，于点E． (1)求的度数； (2)若平分交于点D，平分交于点G．求证：． 思想3：分类讨论思想 【例题8】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角称为“倍角”若“倍角三角形”中有一个内角为，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是（   ） A． B． C．或 D．或或 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）在三角形中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（23-24八年级上·河南南阳·期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为 度． 【变式3】（24-25八年级上·山东临沂·期中）在中，．点D在边上．且．点E在射线上，． (1)如图，当点E在线段上时，若，求的度数． (2)求与的数量关系． 一、单选题 1．（2022·江苏无锡·中考真题）下列命题中，是真命题的有（    ） ①对角线相等且互相平分的四边形是矩形        ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③四边相等的四边形是正方形                    ④四边相等的四边形是菱形 A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 2．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·云南·中考真题）如图，已知直线c与直线a、b都相交．若ab，∠1=85°，则∠2=（    ） A．110° B．105° C．100° D．95° 5．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ． 7．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 三、解答题 8．（2020·湖北武汉·中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥． 9．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 10．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．    (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； (2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 一、单选题 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）下列语句中哪句话是定义（   ） A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？ C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数. 3．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③对顶角不相等；④内错角相等吗？⑤同角的余角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，在三角形中，已知，，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互补．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，是的中线，，下列说法：；；和面积相等；；． 其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，小颖按图中的方式摆放一副三角板，画出，其依据是 ． 12．（24-25八年级上·广西·期中）“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，，且是的角平分线，则 ． 14．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，已知，，，则等于 ． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为 ． 17．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，点是上的一点，若，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）    18．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，则添加以下条件中的一个条件之后，仍不能判定全等的条件是 ①  ②  ③  ④ 三、解答题 19．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）判断下列命题的真假，并说明理由． (1)三个角对应相等的两个三角形全等． (2)有公共顶点且角度相等的两个角是对顶角． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，延长至，使，连接，作．求的度数．    21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，点分别在边上，，，与交于点． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 22．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数（用含，的式子表示）． 23．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线． (1)当，时， ， ， (2)若，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 24．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，为上一点，为外一点，连接，，且交于点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 25．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． 若，分别求和的度数； 若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 26．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，点分别在射线上移动（不与点重合），平分平分，直线相交于点． (1)如图，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图，若，问：在点在射线上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由； (3)如图，若平分，其他条件不变，问：中的结论是否仍然成立？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 平行线的证明（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 知识点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 知识点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 知识点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 知识点五、平行线的公理、定理 公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）. 定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）. 定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补). 要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 知识点六、平行线的性质定理的探究过程 1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角 相等）. 因为a∥b, 所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）， 又∠3=∠1 (对顶角相等) 所以∠2=∠3. 2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁 内角互补). 因为a∥b, 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）， 又∠3+∠1=180°（补角的定义）， 所以∠2+∠1=180°. 要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 知识点七、平行线的性质与判定 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点八、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点九、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 考点1：定义与命题 【例题1】（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列语句中不是定义的是（    ） A．整数和分数统称有理数 B．大于直角的角叫作钝角 C．全等三角形的对应角相等 D．含有未知数的等式叫作方程 【答案】C 【分析】本题主要考查了定义的含义，对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义，据此可得答案． 【详解】解：A、整数和分数统称有理数，这句话是定义，不符合题意； B、大于直角的角叫作钝角，这句话是定义，不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，这句话不是定义，符合题意； D、含有未知数的等式叫作方程，这句话是定义，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，是命题，故A不符合题意； B．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题，故B符合题意； C．两直线与第三条直线相交，同位角相等，是命题，故C不符合题意； D．不平行的两条直线有一个交点，是命题，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离的定义逐项判断即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离、命题，熟记各定义和性质是解题关键． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则此项是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题，符合题意； D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，则此项是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（    ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题，根据垂线的性质、点到直线的距离、三角形外角性质、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，符合题意； （）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意； （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角，该命题是真命题，符合题意； （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意； （）两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意； ∴真命题有个， 故选：． 考点2：平行线的判定 【例题2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，可得：，不合题意； B、；当时，可得：，不合题意； C、当时，不能判定，不符合题意； D、当时，可得：，符合题意． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线判定和全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， ∴． 故正确的结论有①②③． 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 【答案】30 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解此题的关键． 【详解】解：， 时，． 故答案为：30． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据，，可得，从而得到，由内错角相等，两直线平行即可得到答案． 【详解】解：， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点3：平行线的性质 【例题3】（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，，、、分别平分、、．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据角平分线定义得出，，∠，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】①∵平分， ∴， ∵，且 ∴， ∴，故①正确； ②由①可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③由①可知， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即．故④错误． ⑤∵平分， ∴， ∵， ， ， ∵， ．故⑤正确． 综上所述：错误的有1个， 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，是解题的关键． 由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A.，是对顶角，不能判定，故不符合题意； B. ，根据内错角相等，两直线平行得出，故符合题意； C. ，不是同位角和内错角，不能判断，故不符合题意； D.不是被截成的同旁内角，不能判断，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，点在同一直线上，，，若添加一个条件，使．下面所列条件正确的有 ． ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定,平行线的判定和性质，理解判定三角形的全等的AAS，SSS，ASA是解答关键． 根据SAS来判定①，根据AAS来判定②，两条对边相等，其中一条对边的对角相等的两个三角形不全等来判定③，由平行线的性质得到，再利用AAS来判定④． 【详解】解：， ． ，， （AAS），故①符合题意； ，，， （AAS），故②符合题意； ，，， 不能得到与全等，故③不符合题意； ， ． ，， （AAS），故④符合题意． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在下列解答中，填空并填写理由 如图，已知 ， ，试说明：． 证明：∵ （已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（ ） ∴（ ） 【答案】同位角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理，结合已知证明过程逐步推导即可． 【详解】解：补全的证明过程如下： 证明：∵ （已知） ∴（同位角相等，两直线平行） 又∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） 考点4：三角形的外角性质 【例题4】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，含的直角三角尺一条直角边的两个顶点分别放在两条互相平行的直线上，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质；过点，作射线，根据三角形的外角性质即可求得的度数． 【详解】解：过点，，作射线，如图 ∵， ∴ ∵，，， ∴ 故答案为 ： 【变式3】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中 ，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据“等边对等角”即可得出的度数，，根据三角形外角的性质得，即可得解．利用等腰三角形的性质求角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，，． 考点5：三角形内角和定理 【例题5】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能灵活运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平角的定义，由全等三角形的性质得，，又，，，再通过，即可求出得度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据全等三角形的对应角相等和平角定义求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． （1）由得，由得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）先由，，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 考点6：三种思想 思想1：方程思想 【例题6】（24-25八年级上·北京大兴·期中）在中，，则（   ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，正确的设出未知数并求出各角的度数是解决问题的关键．根据，设出，，分别为，，，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， 设，，分别为，，， ， ， ， ，，分别为，，， 的最大内角为， 是直角三角形， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）在中，当时，这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形的内角和定理，一元一次方程的应用，设，，，根据三角形的内角和定理建立方程求解即可得出结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，， 由三角形的内角和定理，， 解得：， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，点D为上的一点，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，知道根据三角形的内角和列方程是解题的关键．设，根据外角的性质得到，于是得到，根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【详解】设， 则， ， ， ， 解得， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期中）在中，，求，，的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角内角和定理，掌握三角内角和定理是解题的关键．由题意可设，，，根据三角形内角和解答即可． 【详解】解：设，，， 三角形内角和为， ， ， ， ，， 思想2：整体思想 【例题7】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，分别是和的平分线，过点，且平行于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，分别是和的平分线， ∴， ∴； 故选D． 【变式1】（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，是角平分线，是中线，是高，如果，，那么（    ） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形高的定义，由三角形内角和定理求出，由角平分线定义求出，再求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】如图，在中，，分别平分和，分别平分和，则 ．    【答案】150度/ 【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和解题方法即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，以及角的平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）如图，在中，于点E． (1)求的度数； (2)若平分交于点D，平分交于点G．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案； （2）由角平分线的定义和三角形内角和定理可得．再根据平行线的判定方法可得结论． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． （2）证明：平分， ， ． 平分， ． ， ． ． 思想3：分类讨论思想 【例题8】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角称为“倍角”若“倍角三角形”中有一个内角为，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，分当有一个角的度数是角的度数的2倍时，当另外两个角中，其中一个角的度数是另外一个角的度数的2倍时，当的角是其中一个角的2倍是，三种情况结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵“倍角三角形”中有一个内角为， ∴有三种情况： 当有一个角的度数是角的度数的2倍时，则三角形的三个内角为：，另两个角为为倍角； 当另外两个角中，其中一个角的度数是另外一个角的度数的2倍时，则三角形的三个内角为：，另两个角分别为为倍角； 当的角是其中一个角的2倍是，三角形的三个内角为：，另两个角分别为为倍角； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）在三角形中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理求出再分类讨论的直角，最后根据三角形的内角和定理得结论，掌握“三角形的内角和是”，“直角三角形的两个锐角互余”是解决本题的关键. 【详解】解：在中， ∵, , ∴， ∵为直角三角形， （1）当时,如图： ， （2）当时,如图： , ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·河南南阳·期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为 度． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和及三角形外角的性质；分等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况考虑． 【详解】解：已知，且，是边上的高； ①当等腰三角形是锐角三角形时，如图， ∵， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时，如图， ∵， ∴； 综上，等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级上·山东临沂·期中）在中，．点D在边上．且．点E在射线上，． (1)如图，当点E在线段上时，若，求的度数． (2)求与的数量关系． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的发挥及角平分线的定义，掌握三角形内角和是是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）分为当E在线段上时及当E在线段延长线上时，两种情况进行讨论，根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ， ， ∴； （2）解：当E在线段上时，如图， ， ， 在中，设，， ， ， ， 即； 当E在线段延长线上时， 在与中，， ， ， ， 即， ． 综上：或． 一、单选题 1．（2022·江苏无锡·中考真题）下列命题中，是真命题的有（    ） ①对角线相等且互相平分的四边形是矩形        ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③四边相等的四边形是正方形                    ④四边相等的四边形是菱形 A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案． 【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； ②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误； ③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误； ④四边相等的四边形是菱形，正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键． 2．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即， 又∵过作的垂线，即， ∴， ∴直线与的位置关系是平行， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 4．（2022·云南·中考真题）如图，已知直线c与直线a、b都相交．若ab，∠1=85°，则∠2=（    ） A．110° B．105° C．100° D．95° 【答案】D 【分析】利用平角的定义，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出答案． 【详解】解：如下图， ∵∠1=85°， ∴∠3=180°-85°=95°， ∵ab，∠3=95°， ∴∠2=∠3=95°． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平角的定义和平行线的性质，解题的关键是正确掌握平行线的性质． 5．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果． 【详解】解：A、当时，；故A不符合题意； B、当时，；故B不符合题意； C、当时，；故C符合题意； D、∵，则， ∵，则， ∴；故D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用． 二、填空题 6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 三、解答题 8．（2020·湖北武汉·中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥． 【答案】证明见解析． 【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】平分，平分 ，即 ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键． 9．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 10．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．    (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； (2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 【答案】(1)①，SSS (2)见解析 【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题； (2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题． 【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF， 选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分） 故答案为：①，SSS； （2）证明：∵△ABC≌△DEF． ∴∠A＝∠EDF， ∴AB∥DE． 【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 一、单选题 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）下列语句中哪句话是定义（   ） A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？ C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数. 【答案】D 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题和定义的概念进行判断． 【详解】解：A、联结A、B两点，不是定义，不符合题意； B、等角的余角相等吗？不是定义，不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，不是定义，不符合题意； D、整数与分数统称为有理数，是定义，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单． 3．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，三角形的外角的性质．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得： ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：B． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角和内角的关系，根据三角形外角和内角的关系，可以得到的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，两直线平行同位角相等，三角形内角和定理， 根据题意可知，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质得，可得答案． 【详解】根据题意可知， ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角的性质定理．根据三角形外角的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴, ∵， ∴， 解得， 故选：C． 7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确理解题意是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意； B. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意； C. ，，则，，能说明原命题属于假命题，故该选项符合题意； D. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 8．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③对顶角不相等；④内错角相等吗？⑤同角的余角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，据此逐个判断即可解答． 【详解】解：①全等三角形对应边相等，是命题； ②过一点画已知直线的平行线，不是命题； ③对顶角不相等，是命题；； ④内错角相等吗？不是命题； ⑤同角的余角相等，是命题； 综上，不是命题的是②④，共2个． 故选：B 9．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，在三角形中，已知，，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互补．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互余的概念，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．根据平行线的判定与性质即可进行逐一判断． 【详解】解：①， ； 故①正确； ②， ， ， ， ； 故②正确； ③， ； 故③正确； ④， ， ， ； 故④正确； ⑤． ， 与互余． 故⑤错误． 其中正确的有①②③④4个． 故选：C． 10．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，是的中线，，下列说法：；；和面积相等；；． 其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，由三角形中线的性质可判断；证明，可判断；由全等三角形的性质得，从而可判断熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴和面积相等；故正确； 在和中， ， ∴，故正确； ∴，，正确； ∴，故正确； ∵是的中线， ∴与不一定相等，故错误； 综上可知：说法正确的有正确，共个， 故选：． 二、填空题 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，小颖按图中的方式摆放一副三角板，画出，其依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12．（24-25八年级上·广西·期中）“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查命题真假的判断，写逆命题；先写出命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：命题“如果，，那么”的逆命题是：如果，那么，； 当，那么，或，； 故逆命题错误； 故答案为：假． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，，且是的角平分线，则 ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据平分可得，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 14．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理计算出，则利邻补角定义计算出，再根据角平分线定义得到，，所以，然后再利用三角形内角和计算的度数. 【详解】解：在中，， ， ，， ， 平分，平分， ， ． 故答案为： 15．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，已知，，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是熟练掌握全等三角形的性质和三角形的内角和定理；根据，可得；然后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为 ． 【答案】/121度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握准确计算是解题的关键． 根据，得，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，点是上的一点，若，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】③ 【分析】根据全等三角形的性质可以得出、、、、，根据以上结论，结合直角三角形的性质，可以推导出、、，，即可求解． 【详解】解：， ， 在中，， ，故①错误； ， ， ，即内错角不相等， 和不平行，故②错误； ， ，， ， ， ，故③正确； ， ，， ， ， ，故④错误． 综上所述，只有③正确． 故答案为：③． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的判定、直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 18．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，则添加以下条件中的一个条件之后，仍不能判定全等的条件是 ①  ②  ③  ④ 【答案】② 【分析】本题考查了平行线的性质性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 由结合图形可推出，由，可得，根据全等三角形的全等定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 添加①，由可得； 添加②，由不能证明； 添加③，由可得； 添加④，由可得． 所以不能判断全等的条件是②． 故答案为：②． 三、解答题 19．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）判断下列命题的真假，并说明理由． (1)三个角对应相等的两个三角形全等． (2)有公共顶点且角度相等的两个角是对顶角． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念、对顶角的概念等知识点，正确理解相关概念成为解题的关键． （1）根据全等三角形的概念、等边三角形的性质举例即可判断； （2）根据对顶角的概念以及画图举反例即可判断． 【详解】（1）解：三个角对应相等的两个三角形全等是假命题，理由如下： 两个边长不相等的等边三角形不是全等三角形． （2）解：有公共顶点且角度相等的两个角是对顶角是假命题，理由如下： 如图：，有公共顶点O，但不是对顶角． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，延长至，使，连接，作．求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，外角和性质，等边对等角，平行线的性质的综合，掌握三角形外角和的性质，等边对等角的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据题意可得是的外角，，由等边对等角，三角形内角和定理可得，，再根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：在中，，，延长至， ∴是的外角， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． 21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，点分别在边上，，，与交于点． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由三角形内角和定理可得，进而可得，再根据三角形内角和定理计算即可求解； （）如图，设，，可得，，，再根据三角形外角性质可得，据此即可求证； 本题考查了三角形内角和定理及外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用三角形内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，由根据三角形的高可得，即得，最后根据角的和差关系即可求解； （）同理（）解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 即． 23．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线． (1)当，时， ， ， (2)若，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)没有变化，理由见解析 【分析】（）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （）利用（）的结论计算即可说明； 本题考查了角平分线的有关计算，三角形的内角和定理及外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ∴ ， ∴，； （3）解：没有变化，理由如下： 由（）知，，， ∴， ∴没有变化． 24．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，为上一点，为外一点，连接，，且交于点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)65° 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定． （1）由可得，得出，再由得出，最后由平行线的判定证明即可； （2）由可得，再由可得出，从而求出，，再由，可得，最后由平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ． ． 25．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． 若，分别求和的度数； 若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 【答案】(1)，； 的度数为，或； (2)的度数为． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质． 根据三角形外角的性质可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据平行线的性质可得；若直线与的一条边垂直，则要分当时、当时、当时三种情况分类讨论； 根据三角形外角的性质和角平分线的定义可知，再利用三角形外角等于与它不相邻的两内角之和可以求出结果 ． 【详解】（1），， ； 平分， ， ， ； ， ， 当时，如下图所示，； 当时，如下图所示，， ； 当时，如下图所示， ， ∴． 综上，当直线与的一条边垂直时，的度数为，或； （2）解：， 平分， ， ． 26．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，点分别在射线上移动（不与点重合），平分平分，直线相交于点． (1)如图，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图，若，问：在点在射线上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由； (3)如图，若平分，其他条件不变，问：中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不改变，； (3)不成立，见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，外角性质和三角形的内角和定理． 首先根据邻补角的定义可知、，根据三角形的内角和定理可得、，从而可求； 仿照可得，所以的度数不改变； 根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得，所以可得中的结论不成立． 【详解】（1）解：如下图所示， 平分平分， ，， 又，， ，， ， ， ， ； （2）的度数不改变， 平分平分， ，， 又，， ， ， ， ， ． （3）解：中的结论不成立． 理由如下： 平分，平分， ，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$