精品解析：河北省秦皇岛市青龙满族自治县木头凳学区联合体2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024~2025学年 九年级第一学期第三次学情评估数学（冀教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后、务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如，，为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，，为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．，自变量的次数是1，不是二次函数，故不符合题意； B．，关系式不是整式，故不是二次函数，故不符合题意； C．，化简后得，自变量的次数是1，不是二次函数，故不符合题意； D．，符合二次函数的定义，故是二次函数，故符合题意； 故选：D． 2. 对二次函数的最值描述正确的是（ ） A. 最大值是1 B. 最小值是 C. 最大值是 D. 最小值是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出函数的顶点坐标是解题的关键． 根据二次函数的顶点式可确定出其开口方向和顶点坐标，进而可得出结论． 【详解】解：二次函数中， ， ∴函数图像开口向上， ∴函数有最小值， ∵函数图像的顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为3． 故选：D． 3. 三角形的内心是（ ） A. 三角形的三条高所在直线的交点 B. 三角形的三条中线的交点 C. 三角形的三条角平分线的交点 D. 三角形的三边线段垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质． 根据三角形的内心的定义解答即可． 【详解】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点， 故选：C． 4. 如图，是的直径，直线与相切于点．若．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质与圆周角定理．根据切线的性质可得 继而求得，再根据圆周角定理，可求得，即可求出． 【详解】∵是的直径，直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 对于抛物线与，下列说法不正确的是（ ） A. 开口方向相同 B. 都过原点 C. 对称轴都是y轴 D. 开口大小相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，开口方向，顶点，对称轴，掌握抛物线的性质是解题关键． 根据二次函数的性质，结合两函数顶点式形式，即可得出两二次函数的顶点坐标以及对称轴，分别分析即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴此函数顶点坐标为，对称轴为y轴，，开口向上， ∵， ∴此函数顶点坐标为，对称轴为y轴，，开口向上， ∴ABC正确， ∵， ∴抛物线与开口大小不同，故D错误． 故选：D． 6. 已知，为抛物线上两点，且，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线的增减性”是解本题的关键． 由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大增大，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线，，对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 7. 已知的半径为3，点P是直线l上的一点，，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3． 此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 【点睛】考查判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的3不一定是圆心到直线的距离． 8. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的 平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：要得到抛物线，可以将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 故选：． 9. 若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键． 根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可． 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 10. 如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 11. 抛物线的顶点坐标为，其部分图像如图所示．以下错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与 y 轴的交点可以对 A 进行判断；根据对称轴可对 B 进行判断；根据题意得到当时和时的函数值相等，即可判断出当时，即可对 C 进行判断；由图象可得，当时，，即可对 D 进行判断． 【详解】解：A．抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故A正确，不符合题意； B．对称轴为直线， ， ，故B正确，不符合题意； C．∵对称轴为直线， ∴当时和时的函数值相等 ∴由图象可知，当时，故C错误，符合题意； D．由图象可知，当时，，故正确，不符合题意． 故选：C． 12. 如图，在中，，，，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．对下面两个结论判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：与直线相切； 结论Ⅱ： A. Ⅰ对Ⅱ不对 B. I不对Ⅱ对 C. Ⅰ和Ⅱ都对 D. Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理得出，由角平分线的性质定理得出Ⅰ正确；由全等三角形的性质得出，证明，得出对应边成比例求出，由，即可判断Ⅱ是否正确． 【详解】解：， ， 是直角三角形，， 作于，如图所示： 是的平分线， ， 与直线相切， 结论Ⅰ正确； ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∴， ， ∴Ⅱ不对， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数；熟练掌握切线的判定，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 正十二边形的中心角是_____度． 【答案】30 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角公式：计算即可 【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12＝30°．故答案为30． 【点睛】本题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式 14. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 15. 已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， ∴m的最大值为2，最小值为1， ∴， ∴m的最大值与最小值的差为1． 故答案为：1． 16. 如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数的图象与性质，由题意可得点的纵坐标为，分两种情况求解即可． 【详解】解：∵与轴相切，的半径为3， ∴点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得：或， 此时的坐标为或， 当时，， 解得：， 此时的坐标为， 综上所述，圆心的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，，，，是斜边上的中线． （1）若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； （2）若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可得，根据直角三角形的性质得，进而根据点与圆的位置关系即可得答案； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案． 【小问1详解】 解：，，， ． ∵是斜边上的中线． ∴， 点，，中有两个点在为，有一个点在外，， ； 【小问2详解】 解：是斜边上的中线，， ． 点，，都在上， ． 18. 已知抛物线． … 0 1 2 3 4 … … 8 0 … （1）完成上表，并在图中画出该抛物线； （2）观察图像，直接写出抛物线的对称轴、顶点坐标和方程的根． 【答案】（1） 列表： … -1 0 1 2 3 4 … … 8 3 0 -1 0 3 … 作图： （2）直线；；， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的画法，二次函数与一元二次方程的关系，利用配方法将二次函数解析式的一般式换算成顶点式是解题的关键． （1）利用列表、描点、连线即可画出这条抛物线． （2）利用配方法将抛物线的解析式变形为，由此即可得出抛物线的顶点坐标及抛物线的对称轴；结合图象，抛物线与轴交点的横坐标即为方程的根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∴对称轴为，顶点坐标为， 由图可知，抛物线与轴交点的横坐标为1和3， 故方程的根为， 19. 根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式． （1）抛物线的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是； （2）抛物线过，两点，与轴的交点为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达形式． （1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点即可求解； （2）已知抛物线与的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点即可求解； 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为． 抛物线与轴的一个交点坐标是， ， 解得：， （或）； 【小问2详解】 解：设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 20. 如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）π 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的切线，可得，即可得，则有，根据，可得，问题得解； （2）根据，，可得，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，求解圆弧的长度以及平行线的性质等知识，掌握切线的性质是解答本题的关键． 21. 如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． （1）求和的值； （2）结合图像写出关于的不等式的解集； （3）已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴二次函数开口向上， ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 22. 如图，为半圆O的直径，C为的中点，F为上一点，，直线与的延长线交于点E． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若与半圆O相切，，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与半圆相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由为的中点，得到，求得，根据平行线的性质得到，求得与半圆相切； （2）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵与半圆相切， ∴， ∵与半圆相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 23. 某公司购进一种商品进行销售，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表所示，且得到在第天的日销售利润（元）与的关系为．已知这种商品的进价为20元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 日销售量/千克 （1）求时，日销售利润与的函数关系式； （2）在时，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）公司在销售的前28天中，每销售1千克这种商品就捐赠元给“希望工程”，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，直接写出的整数值． 【答案】（1） （2）第25天的销售利润最大，为2450元 （3）6或7或8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）利用“利润每千克的利润销售量”列出函数关系式； （2）可配方求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果； （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为：w元，求出函数关系式，进而求得结果． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时， ∵， 随的增大而减小， 当时，， 第25天的销售利润最大，为2450元； 【小问3详解】 解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为元， 则，对称轴为直线， 随的增大而增大， ， 解得， ， 的整数值为6或7或8． 24. 如图，已知二次函数的图像与轴的交点为点和点，与轴交于点，连接． （1）求这个二次函数的表达式； （2）是位于第一象限内的抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）取抛物线的一部分记为，将沿轴向下移动个单位长度得到，若与直线只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数，二次函数平移，二次函数与一次函数的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）在第一象限内作平行于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点．求出的解析式，设，则，则， 然后根据三角形的面积公式即可得出，然后利用二次函数的性质即可得出答案． （3）根据二次函数的平移分别求出当时和当时的的值，再令，根据根的判别式可得出的值，进而可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点． 设直线的表达式为，将，代入表达式， 得， 解得， 直线的表达式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时； 【小问3详解】 解：当时，， ， 此时； 当时，， ， 此时． 令， 整理，得， 与直线只有一个交点， 则， 解得． 当与直线只有一个交点时，的取值范围为或， 故的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年 九年级第一学期第三次学情评估数学（冀教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后、务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对二次函数的最值描述正确的是（ ） A. 最大值是1 B. 最小值是 C. 最大值是 D. 最小值是3 3. 三角形的内心是（ ） A. 三角形的三条高所在直线的交点 B. 三角形的三条中线的交点 C. 三角形的三条角平分线的交点 D. 三角形的三边线段垂直平分线的交点 4. 如图，是的直径，直线与相切于点．若．则（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线与，下列说法不正确的是（ ） A. 开口方向相同 B. 都过原点 C. 对称轴都是y轴 D. 开口大小相同 6. 已知，为抛物线上两点，且，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 已知的半径为3，点P是直线l上的一点，，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 8. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 9. 若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 11. 抛物线的顶点坐标为，其部分图像如图所示．以下错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．对下面两个结论判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：与直线相切； 结论Ⅱ： A. Ⅰ对Ⅱ不对 B. I不对Ⅱ对 C. Ⅰ和Ⅱ都对 D. Ⅰ和Ⅱ都不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 正十二边形的中心角是_____度． 14. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 15. 已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为_________． 16. 如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，，，，是斜边上的中线． （1）若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； （2）若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 18. 已知抛物线． … 0 1 2 3 4 … … 8 0 … （1）完成上表，并在图中画出该抛物线； （2）观察图像，直接写出抛物线的对称轴、顶点坐标和方程的根． 19. 根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式． （1）抛物线的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是； （2）抛物线过，两点，与轴的交点为． 20. 如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． （1）求和的值； （2）结合图像写出关于的不等式的解集； （3）已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 22. 如图，为半圆O的直径，C为的中点，F为上一点，，直线与的延长线交于点E． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若与半圆O相切，，，求阴影部分的面积． 23. 某公司购进一种商品进行销售，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表所示，且得到在第天的日销售利润（元）与的关系为．已知这种商品的进价为20元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 日销售量/千克 （1）求时，日销售利润与的函数关系式； （2）在时，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）公司在销售的前28天中，每销售1千克这种商品就捐赠元给“希望工程”，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，直接写出的整数值． 24. 如图，已知二次函数的图像与轴的交点为点和点，与轴交于点，连接． （1）求这个二次函数的表达式； （2）是位于第一象限内的抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）取抛物线的一部分记为，将沿轴向下移动个单位长度得到，若与直线只有一个交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $