专题03 二次函数与方程、不等式关系【八大考点+知识串讲】-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题03 二次函数与方程、不等式关系 考点类型 知识一遍过 （一）二次函数与方程关系 a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况 b2-4ac>0     有两个不相等的实数根 b2-4ac=0     有两个相等的实数根 b2-4ac<0     无实数根 （二）利用函数图像解不等式 考点一遍过 考点1：求函数与x轴的交点 典例1：已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2】若抛物线与轴分别交于、两点，、两点间的距离是 ． 【变式3】抛物线与直线的交点坐标是 ． 考点2：求函数与y轴的交点 典例2：抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】抛物线与y轴交点的纵坐标是 ． 【变式3】抛物线与轴交点的坐标为 ，将抛物线向下平移 个单位长度，该抛物线与坐标轴有且只有两个交点． 考点3：由函数值求x的值 典例3：抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 【变式1】初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2】抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； （3）方程的根为 ； 【变式3】关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 考点4：图像法确定方程的近似根 典例4：方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】二次函数（，为常数）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则方程的一个解的范围是（    ） 3. 17 3.18 3.19 0.02 A． B． C． D． 【变式2】在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是自变量与函数的几组对应值． … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位小数）． 【变式3】下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是 ； 考点5：二次函数与x轴交点综合 典例5：二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 【变式1】已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值． 【变式2】将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C．如果是等腰直角三角形，求顶点C的坐标． 【变式3】下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题 SHEJITI由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图．若取x的值为，，，使得函数值，满足，那么抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 【任务】 （1）．在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） 例5  利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解  设，则方程的解就是该函数图像与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象（图1-20），得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标，就是方程的解．观察图1-20，得到点A的横坐标，点B的横坐标．所以方程的近似解为，． A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 （2）．先完成下表，并判断： 方程的解，（）分别在哪两个相邻的整数之间． x的值 0 1 的值 ______ ______ ______ ______ （3）．若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 考点6：图像法解不等式 典例6：如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式1】如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】如图所示，二次函数的图象与x轴交于坐标原点和．      （1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ． 【变式3】如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为 ． 考点7：利用不等式求x、y的值 典例7：已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 …    (2)写出该函数顶点坐标______． (3)根据图象回答：当时，y的取值范围是______． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 【变式1】已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … －3 －2 －1 0 1 … y … 0 －3 －4 －3 0 …      (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)该二次函数的对称轴是______；顶点坐标是______； (3)当时，直接写出y的取值范围．______． 【变式2】已知二次函数的图象顶点为．      (1)请直接写出点的坐标______； (2)请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象； (3)当时，则的取值范围是______．（直接写出结果） 【变式3】已知二次函数 (1)画出函数图象， 根据图象写出顶点坐标______； 图象与轴的交点坐标______； 图象与轴的交点坐标______；    (2)当时，的取值范围是______． …… …… …… ……    考点8：二次函数图像性质综合 典例8：定义；若当点在某一函数图象上时，点也在该函数图象上，则称该函数为“知返函数”，点称为“知返点”． (1)已知一次函数为“知返函数”，求该一次函数的解析式； (2)若反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”，求的最大值； (3)函数的图象是由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若函数的图象与“知返函数”的图象有四个交点，求m的取值范围． 【变式1】已知抛物线． (1)把该抛物线写成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小？ (4)抛物线经过第几象限？ 【变式2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，按如图所示建立平面直角坐标系，抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)点的坐标为：______； (3)图中阴影部分图形的面积为______． 【变式3】已知二次函数． (1)用配方法求函数的顶点坐标； (2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． x …… 0 1 …… y …… 0 5 9 …… (3)根据图象回答下列问题： ①当x________时，y随x的增大而减小； ②当x________时，函数y有最________值，是________； ③当时，x的取值范围是________； ④当时，y的取值范围是________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与方程、不等式关系 考点类型 知识一遍过 （一）二次函数与方程关系 a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况 b2-4ac>0     有两个不相等的实数根 b2-4ac=0     有两个相等的实数根 b2-4ac<0     无实数根 （二）利用函数图像解不等式 考点一遍过 考点1：求函数与x轴的交点 典例1：已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标； 先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案． 【详解】解： 的对称轴为， 与关于直线对称．A点的坐标是∶， 线段的长度； 故选：B． 【变式1】抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的交点问题，根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标，解出两根即可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标， 解方程得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 故选：A． 【变式2】若抛物线与轴分别交于、两点，、两点间的距离是 ． 【答案】2 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键． 代入求出两个交点后，即可得到两点间的距离． 【详解】解：、把代入得： 解得：或， ∴， 故答案为：． 【变式3】抛物线与直线的交点坐标是 ． 【答案】， 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查的是函数图象交点的求法，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标． 【详解】解：：联立两函数的解析式， 可得：， 解得：，， 故抛物线与直线的交点坐标是，， 故答案为：，． 考点2：求函数与y轴的交点 典例2：抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程得抛物线与x轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， ∵， ∴方程没有实数解， ∴抛物线与x轴没有交点， ∴抛物线与坐标轴有1个交点． 故选：B． 【变式1】二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；由函数解析式确定出抛物线的开口方向与顶点坐标，由题意知，抛物线与y轴交点位于y轴负半轴上时，即可满足题意，则可得a的范围． 【详解】解：， 顶点坐标为，抛物线开口向上， 二次函数的图象经过平面内的四个象限， 抛物线与y轴交点位于y轴负半轴上，且顶点位于第四象限， 即当时，，且， ，且， ； 故选：A． 【变式2】抛物线与y轴交点的纵坐标是 ． 【答案】0 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．将代入计算，即可求得抛物线与y轴的交点的纵坐标． 【详解】解：将代入，得， 所以抛物线与y轴的交点坐标是，纵坐标是0． 故答案为：0． 【变式3】抛物线与轴交点的坐标为 ，将抛物线向下平移 个单位长度，该抛物线与坐标轴有且只有两个交点． 【答案】 2或11/11或2 【知识点】二次函数图象的平移、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数的平移．计算对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标为，根据二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为，然后分抛物线顶点在x轴上和抛物线经过原点时，抛物线与坐标轴有2个交点求解即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当抛物线顶点在x轴上时，抛物线与坐标轴有2个交点， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当抛物线向下平移2个单位时，平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为，顶点在x轴上，与y轴的交点坐标为； 当抛物线经过原点时，抛物线与坐标轴有2个交点， 此时当抛物线向下平移11个单位，平移后的抛物线解析式为，即，抛物线与坐标轴的交点为，． 综上所述，抛物线向下平移2或11个单位长度，该抛物线与坐标轴有且只有两个交点． 故答案为：，2或11． 考点3：由函数值求x的值 典例3：抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 【答案】D 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】此题考查了直线与抛物线的交点问题，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解答此题的关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标为， 故选：D． 【变式1】初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程中各项的系数已知，再解方程即可． 【详解】解：由题意可知点，，在二次函数的图象上， 则， 解得：， 所以一元二次方程可化为：， 解得：，， 故选：C． 【变式2】抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； （3）方程的根为 ； 【答案】 ， ， 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可； （2）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可； （3）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （2）解：由图象可得：抛物线与直线的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （3）解：由图象可得：抛物线与直线的一个交点为， ∴方程的根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程的根为抛物线与x轴交点的横坐标，方程的根为抛物线与直线交点的横坐标是解题的关键． 【变式3】关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 【答案】 3 0或6 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵当的函数值为0， ∴， 解得， 当的函数值为9， ∴， 解得，， 故答案为：3；0或6． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键． 考点4：图像法确定方程的近似根 典例4：方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】两边都除以x可转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数图象即可得到实根x0所在的范围． 【详解】解：方程x3+x﹣1＝0， ∴x2+1＝， ∴它的根可视为y＝x2+1和y＝的交点的横坐标， 当x＝1时，前者为2，后者为1，当x＝时，前者为，后者为2， ∴交点在第一象限． ∴＜x0＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标． 【变式1】二次函数（，为常数）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则方程的一个解的范围是（    ） 3. 17 3.18 3.19 0.02 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围． 【详解】解：由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0， 故x应取对应的范围为：3.18＜x＜3.19， 故选：B． 【点睛】此题考查图象法求一元二次方程的根，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解题的关键所在． 【变式2】在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是自变量与函数的几组对应值． … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位小数）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查抛物线与一元二次方程之间的关系，根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知， 当时，，当时，， 则关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是 ； 【答案】1.2 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2． 故答案为：1.2． 【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 考点5：二次函数与x轴交点综合 典例5：二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 【答案】(1) (2)2，两 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，则，得出二次函数与轴的另一个交点为，故方程的解是， （2）作图，得出直线与有两个交点，运用数形结合，即可作答． （3）运用图象性质以及二次函数与轴的交点，开口方向，即可作答． 【详解】（1）解：结合图象，设二次函数与轴的另一个交点为， ∵对称轴为直线，二次函数与轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴二次函数与轴的一个交点为， ∴方程的解是； 故答案为：； （2）解：如图所示： 直线与有两个交点， ∴方程的解有2个； ∴抛物线与直线有两个公共点； 故答案为：2，两； （3）解：由（1）得二次函数与轴的交点坐标为和 ∵二次函数的开口方向向下， ∴结合图象，得不等式的解集是. 【变式1】已知二次函数在和时的函数值相等． (1)求二次函数图像的对称轴； (2)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值． 【答案】(1) (2)4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的应用． （1）依题意结合二次函数对称性可直接求出其对称轴； （2）由函数与x轴只有一个交点，进而转化为一元二次方程判别式为0建立等量关系求出b． 【详解】（1）解：∵二次函数在和函数值相等， ∴对称轴为直线． （2）解：由（1）得， 又∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴ 解得， 【变式2】将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C．如果是等腰直角三角形，求顶点C的坐标． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，根据题意二次函数的图像与几何变换的关键． 设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为，设对称轴与轴交于点，可得，，然后根据题意得到，即，进而求解即可． 【详解】∵， 设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为， 则，，， 设对称轴与轴交于点，则，可得，， ∵抛物线顶点为，由抛物线对称性可知， ∴， ∴，即， 解得，（舍）， ∴顶点的坐标为． 【变式3】下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题 SHEJITI由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图．若取x的值为，，，使得函数值，满足，那么抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 【任务】 （1）．在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） 例5  利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解  设，则方程的解就是该函数图像与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象（图1-20），得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标，就是方程的解．观察图1-20，得到点A的横坐标，点B的横坐标．所以方程的近似解为，． A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 （2）．先完成下表，并判断： 方程的解，（）分别在哪两个相邻的整数之间． x的值 0 1 的值 ______ ______ ______ ______ （3）．若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 【答案】（1）A，D （2）填表见解析，， （3）方程有两个不相等的实数根，且， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了数学思想和二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合数学思想可得答案； （2）分别把x的值代入即可填表，根据表格可得答案； （3）根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】（1）根据例5求解过程，可知求解过程中，主要运用的数学思想是数形结合，转化思想 故答案为：A，D； （2）填表如下： x的值 0 1 的值 13 3 1 根据上表可得，； （3）， 当时，， 又， 方程有两个不相等的实数根，且，． 考点6：图像法解不等式 典例6：如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式1】如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 【变式2】如图所示，二次函数的图象与x轴交于坐标原点和．      （1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ． 【答案】 或 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． （1）根据函数图象写出答案即可； （2）根据函数图象写出答案即可． 【详解】解：（1）不等式的解集为． 故答案为：； （2）不等式的解集为或． 故答案为：或． 【变式3】如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为 ． 【答案】或/或 【知识点】图象法解一元二次不等式、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与轴的另一个交点，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：不等式的解集为或； 故答案为：或． 考点7：利用不等式求x、y的值 典例7：已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 …    (2)写出该函数顶点坐标______． (3)根据图象回答：当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质、用描点法画函数图象 【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可； （2）根据（1）中的函数图象作答即可； （3）根据函数图象写出y的取值范围即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， 补全表格如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 画图 （2）由（1）中的函数图象可知：该函数顶点坐标， 故答案为：； （3）由（1）中的函数图象可知：当时，y的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法，数形结合是解题的关键． 【变式1】已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … －3 －2 －1 0 1 … y … 0 －3 －4 －3 0 …      (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)该二次函数的对称轴是______；顶点坐标是______； (3)当时，直接写出y的取值范围．______． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】（1）根据描点，连线得出图象； （2）观察图象得出对称轴和顶点坐标即可； （3）根据图象可知在自变量取值范围内的函数图像都在x轴下方，进而得出答案． 【详解】（1）描点，连线，如图所示．    （2）观察图象可知对称轴是，顶点坐标是； 故答案为：；； （3）观察图象可知时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了画二次函数图像，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，确定函数值的取值范围等，从图像中获取信息是解题的关键． 【变式2】已知二次函数的图象顶点为．      (1)请直接写出点的坐标______； (2)请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象； (3)当时，则的取值范围是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标以及描点法画二次函数图象以及二次函数的性质等知识． （1）用配方法求出二次函数的顶点坐标即可； （2）列出表格，通过顶点坐标与对称轴向左右两方取值，再描点即可得出； （3）结合二次函数图象，当时，则的取值范围． 【详解】（1）； 点的坐标为：． 故答案为：； （2）列表得： 0 1 0 0 描点、连线画出函数图象如图：      （3）时，；时，， 当时，则的取值范围是， 故答案为：． 【变式3】已知二次函数 (1)画出函数图象， 根据图象写出顶点坐标______； 图象与轴的交点坐标______； 图象与轴的交点坐标______；    (2)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)；和； (2) 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）利用五点法描点画图，根据函数图象即可得出顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标； （2）结合所画函数图象即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：列表画图如下： …… …… …… ……    根据图象可得顶点坐标为； 抛物线与x轴的交点坐标为与； 抛物线与y轴的交点坐标为； 故答案为： ，与，； （2）解：观察图象知，当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，根据二次函数的图象确定函数值的取值范围等知识，注意数形结合． 考点8：二次函数图像性质综合 典例8：定义；若当点在某一函数图象上时，点也在该函数图象上，则称该函数为“知返函数”，点称为“知返点”． (1)已知一次函数为“知返函数”，求该一次函数的解析式； (2)若反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”，求的最大值； (3)函数的图象是由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若函数的图象与“知返函数”的图象有四个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或； 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将点、代入即可求解； （2）由题意得：，整理得；根据即可求解； （3）令，整理得：，可得或；结合函数经过点时，此时函数与有三个交点即可求解； 【详解】（1）解：将点、代入得： ， 解得： ∴ （2）解：由题意得：， 即：， ∵反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”， ∴ 解得： ∵ ∴整数的最大值为 （3）解：函数的图象中，由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方部分对应的函数解析式为： 由（1）得：“知返函数”为， 令，整理得： 令 解得：或； 当函数经过点时，此时函数与有三个交点 有：，解得： ∴ 综上所述：或； 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一次函数的解析式、反比例函数、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础. 【变式1】已知抛物线． (1)把该抛物线写成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小？ (4)抛物线经过第几象限？ 【答案】(1)； (2)开口向下，顶点坐标，对称轴：直线； (3)当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (4)经过第一、二、三、四象限． 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（）通过配方配成顶点式即可； （）根据二次函数的性质即可求解； （）根据二次函数的性质即可求解； （）根据二次函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线， ∴； （2）由， ∴顶点坐标，对称轴为直线， ∵， ∴开口方向向下； （3）当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小； （4）如图， 根据图象可知，抛物线经过第一、二、三、四象限． 【变式2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，按如图所示建立平面直角坐标系，抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)点的坐标为：______； (3)图中阴影部分图形的面积为______． 【答案】(1) (2) (3)6 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了二次函数的平移、二次函数的图象和性质， （1）根据平移规律得到函数解析式，再化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）根据平移规律写出坐标即可； （3）根据平移和二次函数的图象可知图中阴影部分图形是一个边长为2的正方形和一个底为2高为1的平行四边形，据此求出面积即可. 【详解】（1）解：∵抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为： （2）∵点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为： （3）根据平移规律和二次函数的图象可知， 图中阴影部分图形是一个边长为2的正方形和一个底为2高为1的平行四边形，故阴影部分图形的面积为：. 故答案为： 【变式3】已知二次函数． (1)用配方法求函数的顶点坐标； (2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． x …… 0 1 …… y …… 0 5 9 …… (3)根据图象回答下列问题： ①当x________时，y随x的增大而减小； ②当x________时，函数y有最________值，是________； ③当时，x的取值范围是________； ④当时，y的取值范围是________． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；②，大，9；③；④ 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了作二次函数的图象以及图象性质，运用数形结合思想是解题的关键． （1）依题意，，即可作答； （2）运用二次函数的对称性，并补齐表格以及作图，进行作答即可； （3）结合（2）的图象，运用数形结合思想进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意， ∴函数的顶点坐标 （2）解：依题意， ∵ ∴函数的对称轴是 和关于对称轴直线对称 以及和关于对称轴直线对称 ∴当，则；当，则 补全表格， x …… 0 1 …… y …… 0 5 9 5 0 …… 并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．如图所示： （3）解：根据图象回答下列问题： ①当时，y随x的增大而减小； ②当时，函数y有最大值，是9； ③当时，x的取值范围是 ④当时，， 当，则；当，则； 当时，y的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$