专题01 二次函数与y=ax²图像性质【九大考点+知识串讲】-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题01 二次函数与y=ax²图像性质 考点类型 知识一遍过 （一）二次函数的相关概念 （1）概念：一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 注意：二次项系数a≠0，而b,c可以为零． （2）二次函数一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0） ①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ②a,b,c是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． （二）自变量x的取值范围 （1）使函数表示有意义。 ①分母不能为0。 ②被开方数大于等于0。 ③幂的底数和指数不能同时为0。 （2）满足实际问题的实际意义。 （三）画函数图像 (1)列表:先取原点(0,0),然后在原点两侧对称取点; (2)描点:先把y轴右侧的点描出来,然后根据对称性描出左侧的点; (3)连线:按照从左到右的顺序,用平滑的曲线连接 （四）二次函数y=ax²图像性质 （五）二次函数y=ax²+k图像性质 考点一遍过 考点1：二次函数识别 典例1：下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 【变式1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数的定义，逐项判断可得答案． 【详解】解： A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④． 故答案为：②③④． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【变式3】观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义可得答案． 【详解】解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 考点2：由函数定义求字母 典例2：如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解得或． ， ， 当时，这个函数是二次函数． 故选：A． 【变式1】如果函数是二次函数，则m的值是(   ) A． B． C．2 D．1 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据题意可知，函数中含x的项的最高次为2次，且其项系数不为零，据此即可作答． 【详解】根据题意有：， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．掌握这个定义是解题的关键． 【变式2】若函数是二次函数，则m的值为 ． 【答案】9或0/0或9 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：9或0． 【变式3】当 时，函数是关于x的二次函数． 【答案】3 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解方程即可得到答案；一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：3． 考点3：列二次函数关系式 典例3：如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、列二次函数关系式 【分析】本题考查了一次函数，二次函数．熟练掌握一次函数、二次函数的定义是解题的关键． 根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 【变式1】如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列二次函数关系式、等腰三角形的性质和判定 【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式． 【详解】解：如图所示， ∵中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系． 【变式2】如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【知识点】识别一次函数、列二次函数关系式、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 【变式3】用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为 ． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为 ，整理为 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）由矩形的周长求解； （2）由矩形的面积公式求解． 【详解】解：宽， 面积，． 故答案为：，， 【点睛】本题考查矩形的性质，列函数解析式；由矩形的性质得到等量关系是解题的关键． 考点4：自变量x的取值范围 典例4：函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围 【分析】本题考查函数的自变量的取值范围，二次根式的性质，解不等式，正确记忆函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负是解题关键．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：且． 故选：D． 【变式1】函数 ，则自变量x的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D．且 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式求解即可 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故选：B． 【变式2】写出下列函数自变量的取值范围． （1）： ； （2） ﹔ （3）： ；（4） ﹔ （5）若某服装店准备购进甲、乙两种服装共100件（两种都需要有），总费用y（单位：元）与购进甲种服装的数量x（单位：件）之间的函数关系式为，则自变量x的取值范围为 ． 【答案】 x可取任意实数 且x为整数 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、求自变量的取值范围 【分析】（1）根据含自变量的代数式为整式可得答案； （2）根据分式有意义的条件可得答案； （3）根据二次根式有意义的条件可得答案； （4）根据分式，二次根式有意义的条件可得答案； （5）根据自变量的实际意义可得答案； 【详解】解：（1）的自变量的取值范围为x可取任意实数； 故答案为： x可取任意实数； （2）∵， ∴， ∴的自变量的取值范围为﹔ 故答案为： （3）∵， ∴， ∴的自变量的取值范围为； 故答案为： （4）∵， ∴， ∴的自变量的取值范围为﹔ 故答案为： （5）由题意可得：， 解得：， ∴的自变量x的取值范围为且x为整数； 故答案为：且x为整数 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，不等式与不等式组的应用，二次根式有意义的条件；掌握基础知识是解本题的关键． 【变式3】函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，注意分母不为零；根据二次根式被开方数非负及分母不为零，也即此时被开方数为正即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得； 故答案为：． 考点5：二次函数一般式与系数 典例5：关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 【变式1】二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可． 【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ， 故选∶C． 【变式2】把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 －16 12 【知识点】二次函数的识别 【解析】略 【变式3】二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 考点6：画函数图像 典例6：在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 【答案】见解析 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查画二次函数的图象，根据列表、描点、连线的步骤画图即可． 【详解】解：列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图所示： 【变式1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 【答案】作图见解析，的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小 【知识点】y=ax²的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是正确的作图．根据描点法，可得函数图象，观察图象即可得出二次项系数对抛物线的形状有什么影响． 【详解】解：列表如下： 0 1 2 4 1 0 1 4 8 2 0 2 8 0 0 描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出， 连线：用平滑的线连接，如图所示： 由图象可知：的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小． 【变式2】已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； … 0 1 2 3 4 … … ___ 0 ___ ___ 3 …    (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质， （1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可； （2）根据函数图象写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 描点、连线画出函数图象如图：    （2）解：由图象可知：当时，的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； … 0 1 2 3 … … …    (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【答案】(1)0，，0，图象见解析 (2)①增大，② 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、利用不等式求自变量或函数值的范围、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）分别计算出时，时，时的函数值，再在平面直角坐标系中描点，最后用平滑的曲线连接起来即可； （2）①根据图象即可解答； ②根据图象，找出抛物线位于x轴下方的图象对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：0，，0， 画出函数图形如图所示：    （2）解：①由图可知，当时，随的增大而增大； 故答案为：增大； ②由表可知，抛物线与x轴相交于， 由图可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 考点7：二次函数y=ax²的图像性质 典例7：对于抛物线，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意； 故选：B． 【变式1】关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：、由，，则它的开口向上，且关于轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、它与的图象关于x轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、由，，则它的开口向上，它的顶点是抛物线的最低点，原选项说法错误，符合题意； 、它与轴只有一个交点，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】如图，连接，作轴于，则，由题意知，，，可得，由正方形的性质、勾股定理可得，由，可得，，即，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于，则， 由题意知，，， ∴， 由正方形的性质、勾股定理可得， ∵， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式等知识．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式是解题的关键． 【变式3】如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 【答案】或 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质， 根据二次函数的性质可得：越大，开口越小，越小，开口越大进行求解， 【详解】解：当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 综上，a的取值范围是或， 故答案为：或． 考点8：二次函数y=ax²+k的图像性质 典例8：关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数中， ， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 函数对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意； 把代入中，得， ∴图象的顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； ∵图象开口向上，对称轴是y轴， ∴时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】已知抛物线．下列结论： ①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小． 其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故①正确； 对称轴是轴，故②正确； 顶点坐标是，故③错误； 函数有最大值，故④错误； 当时，随的增大而减小，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式2】如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ．    【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，连接AC，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接AC，交y轴于点D，    当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】画出图象，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， ①图形关于y轴成轴对称，故正确； ②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确； ③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误； ④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 考点9：函数值的大小比较 典例9：抛物线上有两点，．嘉嘉说：“若，则”；琪琪说：“若，则”．对于他们的说法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．琪琪正确，嘉嘉错误 C．他们说的都正确 D．他们说的都不正确 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】先根据题意确定抛物线的开口和对称轴，然后根据横坐标的取值范围确定点，相对于对称轴的位置，最后利用函数的增减性得解． 【详解】解：的对称轴， 的对称轴为轴，且开口向上， ， ，在对称轴的右侧，随的增大而增大， ； ，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，包括抛物线的开口、对称轴以及函数的增减性，根据函数解析式确定对称轴是解题的关键． 【变式1】已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到． 【详解】解：∵， 函数图象的对称轴是轴，图象的开口向下， 当时，随的增大而增大， 点关于对称轴的对称点的坐标是，且， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函数的性质． 【变式2】已知点A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函数yx2的图象上，那么m、n的大小关系是：m n．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】> 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线的对称轴是y轴，根据二次函数的性质即可的答案. 【详解】∵二次函数的解析式为yx2 ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵>0， ∴抛物线开口向上， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， ∵-5<-3， ∴m＞n． 故答案为：＞ 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 【变式3】抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和抛物线解析式，可以判断和的大小关系． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点，在抛物线上，在对称轴的右侧y随着x的增大而增大． ∵， ， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数与y=ax²图像性质 考点类型 知识一遍过 （一）二次函数的相关概念 （1）概念：一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 注意：二次项系数a≠0，而b,c可以为零． （2）二次函数一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0） ①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ②a,b,c是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． （二）自变量x的取值范围 （1）使函数表示有意义。 ①分母不能为0。 ②被开方数大于等于0。 ③幂的底数和指数不能同时为0。 （2）满足实际问题的实际意义。 （三）画函数图像 (1)列表:先取原点(0,0),然后在原点两侧对称取点; (2)描点:先把y轴右侧的点描出来,然后根据对称性描出左侧的点; (3)连线:按照从左到右的顺序,用平滑的曲线连接 （四）二次函数y=ax²图像性质 （五）二次函数y=ax²+k图像性质 考点一遍过 考点1：二次函数识别 典例1：下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 【变式3】观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有 ．（只填序号） 考点2：由函数定义求字母 典例2：如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】如果函数是二次函数，则m的值是(   ) A． B． C．2 D．1 【变式2】若函数是二次函数，则m的值为 ． 【变式3】当 时，函数是关于x的二次函数． 考点3：列二次函数关系式 典例3：如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【变式1】如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【变式3】用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为 ． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为 ，整理为 ． 考点4：自变量x的取值范围 典例4：函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式1】函数 ，则自变量x的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D．且 【变式2】写出下列函数自变量的取值范围． （1）： ； （2） ﹔ （3）： ；（4） ﹔ （5）若某服装店准备购进甲、乙两种服装共100件（两种都需要有），总费用y（单位：元）与购进甲种服装的数量x（单位：件）之间的函数关系式为，则自变量x的取值范围为 ． 【变式3】函数中，自变量的取值范围是 ． 考点5：二次函数一般式与系数 典例5：关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【变式1】二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 【变式2】把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【变式3】二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 考点6：画函数图像 典例6：在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 【变式2】已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； … 0 1 2 3 4 … … ___ 0 ___ ___ 3 …    (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 【变式3】已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； … 0 1 2 3 … … …    (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 考点7：二次函数y=ax²的图像性质 典例7：对于抛物线，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【变式1】关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ． 【变式3】如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 考点8：二次函数y=ax²+k的图像性质 典例8：关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【变式1】已知抛物线．下列结论： ①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小． 其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ．    【变式3】如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 考点9：函数值的大小比较 典例9：抛物线上有两点，．嘉嘉说：“若，则”；琪琪说：“若，则”．对于他们的说法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．琪琪正确，嘉嘉错误 C．他们说的都正确 D．他们说的都不正确 【变式1】已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函数yx2的图象上，那么m、n的大小关系是：m n．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【变式3】抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则 （填“＞”“＜”或“＝”）． 学科网（北京）股份有限公司 $$