预习06 向量数量积的概念及运算律（七大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习06 向量数量积的概念及运算律 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握空间向量的夹角的概念； 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律； 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义； 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题 知识点一、向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点二、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点三、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 知识点四、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 知识点五、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 考点一：向量数量积的相关概念 例1．（多选）下列结论正确的是（    ） A．对于任意向量，都有 B．且是的充要条件 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 变式1-1．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 变式1-2．以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 变式1-3．下列说法正确的是（    ）． A．单位向量均相等 B．向量，满足，则，中至少有一个为零向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 考点二：向量数量积的简单计算 例2．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 变式2-1．设向量，的长度分别为4和3，夹角为，则的值为 ． 变式2-2．已知向量与的夹角为，，，则 ． 变式2-3．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 考点三：几何图形中的数量积计算 例3．（多选）如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 变式3-2．在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 变式3-3．如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 考点四：求向量的投影向量 例4．在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示） 变式4-1．在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．在三角形中，在上的投影向量为，则 ． 变式4-3．已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为 . 考点五：求向量的夹角 例5．已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 考点六：求向量的模长 例6．已知，且，则 . 变式6-1．已知，且，则 . 变式6-2．已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 变式6-3．已知向量，的夹角为，且，，则 . 考点七：向量的垂直问题 例7．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 变式7-1．已知.若，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 变式7-3．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知向量是单位向量，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（   ） A． B． C．2 D． 4．若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 6．在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．设，均为单位向量，则“”是“”的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 8．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．设都是非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若的夹角为钝角，则 B．若，则 C．若，则的夹角为锐角 D．若，则与同向 10．有下列说法其中正确的说法为（    ） A．若，则 B．设点在所在平面内，若，且，则 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若分别表示的面积，则 三、填空题 11．已知向量，为单位向量，且，则 . 12．已知向量，为单位向量，且，则 ． 四、解答题 13．已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 14．已知向量，且与的夹角为， (1)求证： (2)若，求的值； 15．如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习06 向量数量积的概念及运算律 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握空间向量的夹角的概念； 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律； 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义； 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题 知识点一、向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点二、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点三、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 知识点四、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 知识点五、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 考点一：向量数量积的相关概念 例1．（多选）下列结论正确的是（    ） A．对于任意向量，都有 B．且是的充要条件 C．若，则与中至少有一个为 D．两个非零向量与夹角的范围是 【答案】AD 【详解】对于A，零向量与任意向量共线，A正确； 对于B，且，当方向相反时，，即且不是的充要条件，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，两个非零向量与夹角的范围是，D正确. 故选：AD 变式1-1．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 变式1-2．以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（    ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【答案】C 【详解】对于任意得两个非零向量，，其中. 若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确； 若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确； 若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误； 若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确. 故选: C. 变式1-3．下列说法正确的是（    ）． A．单位向量均相等 B．向量，满足，则，中至少有一个为零向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同．故A错误； 对于B：向量，满足，则或或夹角为，故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行，故C正确； 对于D，若向量，满足，，的方向可以是任意的，故D错误． 故选：C． 考点二：向量数量积的简单计算 例2．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 变式2-1．设向量，的长度分别为4和3，夹角为，则的值为 ． 【答案】6 【详解】由向量数量积的定义可知，. 故答案为：6 变式2-2．已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 变式2-3．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 【答案】 2 -2 【详解】由题意得，. 故答案为：2；-2. 考点三：几何图形中的数量积计算 例3．（多选）如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由正五边形的对称性可得，每个正五边形的内角为， 对于A，在中，， 则，进而， 所以，同理可得，故四边形是平行四边形， 所以，故A正确； 对于B，由对称性可得，且， 所以，故B正确； 对于C，假设，因为，所以， 由对称性可得，所以，得是等边三角形， 则，所以，故C不正确. 对于D，要证，即证四边形是平行四边形， 因为五边形为正五边形，所以， 因为在中，，所以， ，进而， 所以，同理可得，故四边形是平行四边形， 故D正确. 故选：ABD. 变式3-1．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【答案】1 【详解】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 变式3-2．在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点O作于D，可知， 则 故选: 变式3-3．如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【详解】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C.    考点四：求向量的投影向量 例4．在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示） 【答案】 【详解】 由，则， 又，则， 又，则，即， 故， 又向量在方向上的投影向量是， 故答案为：. 变式4-1．在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在直角梯形中，且，过作于， 则，故，从而. 因此， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 变式4-2．在三角形中，在上的投影向量为，则 ． 【答案】 【详解】由题意，，为中点， 由在上的投影向量为， 即，又， 所以， 所以. 故答案为： 变式4-3．已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为 . 【答案】/ 【详解】依题意，向量在向量方向上投影的数量为. 故答案为： 考点五：求向量的夹角 例5．已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 变式5-1．已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 如图所示，结合向量加法的平行四边形法则可得四边形为平行四边形， 又因为为外接圆圆心，所以， 所以平行四边形为菱形，和为等边三角形， 所以向量的夹角为． 故答案为：. 变式5-2．已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两边平方可得，即. 因为，所以；，所以. 那么. 又因为，所以，解得. 根据公式，可得，解得. 故选：A. 变式5-3．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 考点六：求向量的模长 例6．已知，且，则 . 【答案】 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 变式6-1．已知，且，则 . 【答案】 【详解】, 故答案为： 变式6-2．已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 【答案】 【详解】由，得，所以，所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 变式6-3．已知向量，的夹角为，且，，则 . 【答案】 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 则 . 故答案为： 考点七：向量的垂直问题 例7．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为向量在向量上的投影向量是， 所以，化简得， 因为，所以， 解得. 故选：C, 变式7-1．已知.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且， 则，可得， 所以. 故选：A. 变式7-2．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 变式7-3．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 一、单选题 1．已知向量是单位向量，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为单位向量，所以， 又因为， 所以， 则， 所以. 故选：C. 2．已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 故选：B. 3．中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图： 可知， 故. 故选：A. 4．若是两个相互垂直的单位向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 即在上的投影向量为. 故选：C. 5．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意可知：， ∴，故①不成立； ∵， ∴，故②成立； ∵在上的投影： ∴在上的投影向量为，成立；故③成立； 如图：    当点在线段上时，此时在上的投影最大， 在中，，∴ ∴ ，故④不正确. 故选：C. 6．在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 7．设，均为单位向量，则“”是“”的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】向量，均为单位向量，若，则， ， ，因此； 若，则， 即，整理得，因此， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 8．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．设都是非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若的夹角为钝角，则 B．若，则 C．若，则的夹角为锐角 D．若，则与同向 【答案】AB 【详解】对的夹角为钝角，则， 所以，正确； 对，当时，易知：以为邻边的平行四边形是矩形，所以正确； 对，当同向共线时，有，所以错误； 对，所以与反向，错误. 故选： 10．有下列说法其中正确的说法为（    ） A．若，则 B．设点在所在平面内，若，且，则 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若分别表示的面积，则 【答案】CD 【详解】对于A，当时，不一定能得到，故A错误， 对于B，分别取的同方向的单位向量为，则,又，故三点共线，故平分，且在边上，只有当时，才有，因此无法确定，故B错误， 对于C，由可得， 由于为非零向量，所以，故C正确， 对于D，由于，所以， ， 在上取,使得 如图，故 设,则, 故， D正确 , 故选：CD 三、填空题 11．已知向量，为单位向量，且，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 因为向量，为单位向量， 所以， 故答案为：. 12．已知向量，为单位向量，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又向量，为单位向量，则． 故答案为：． 四、解答题 13．已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 14．已知向量，且与的夹角为， (1)求证： (2)若，求的值； 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【详解】（1）因为与的夹角为， 所以， 所以， 所以. （2）由（1）知，，因为，， 所以，即， 于是有， 即，解得或，所以的值为或. 15．如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）依题意， ． （2）因为， 所以， 所以． 因为，所以， 所以，即，解得或． 连接交于，因为，所以，所以， 则． 因为在线段上，所以，故．    ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$