24.3 圆周角（第1课时 圆周角定理及推论）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及推论 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2. 理解圆周角与圆心角的关系，并能运用圆周角定 理解决简单的几何问题.（重点、难点） 3. 理解并掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运 用. （难点） 情景导入 一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系．如图， ABC内接于⊙O，这时∠A的顶点在圆上，∠A的两边AB，AC分别与圆还有另一个公共点． 像这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角. 新知探究 如图， △ABC是等边三角形，⊙O是其外接圆． 由∠BAC＝60°，∠BOC ＝120°，得出∠BAC＝ ∠BOC（∠BAC对着BC，∠BOC 也对着BC） ⌒ ⌒ 观察这个特例，然后再任意画一个⊙O及其内接ABC，用量角器量一量∠BAC及∠BOC之后，引发你对圆周角性质有怎样的猜想？ 新知探究 一个圆周角的大小与它所对弧上的圆心角有关；前者是后者的二分之一． 下面给出猜想的证明． 以⊙O上任一点A为顶点的圆周角有无数多个， 按圆心与圆周角的位置关系，存在下面三种情况，如下图（自己画图试试）. 新知探究 (1) 圆心在角的一边上 首先，我们从特殊情况着手：在图（１）中， 连接OC，则△AOC是等腰三角形，∠A＝∠OCA． 所以， ∠BOC＝∠A＋∠OCA ＝2∠A， 即∠A＝ ∠BOC． 新知探究 (2) 圆心在角的内部 在图(2)中，连接AO并延长，交⊙O于点D， 再连接OB，OC，则在图(2)中，有 ∠BAC＝ ∠DAC＋ ∠DAB ＝ ∠DOC ＋ ∠DOB＝ ∠COB． 新知探究 (3) 圆心在角的外部 在图(3)中，连接AO并延长，交⊙O于点D， 再连接OB，OC，则在图(3)中，有 ∠BAC＝ ∠DAC - ∠DAB ＝ ∠DOC - ∠DOB＝ ∠COB． 概念归纳 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． 由定理可得： 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等（图①）． O A C1 C2 C3 B 图① 概念归纳 推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径（图②）． O A C1 C2 C3 B 图② 课本例题 例1 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD= 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数. . O A D C P B 解：连接BC，如图，则 ∠ACB=90°， ∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60°=30°. 又∵ ∠BAD=∠DCB=30°， ∴ ∠APC =∠BAD +∠ADC =30°+70°=100°. 分析：∠APC等于圆周角∠BAD与∠ADC 之和． 课堂练习 １． 如图，四边形A B C D的四个顶点在⊙O上，找出图中分别与∠1、∠2、∠3、∠4 相等的角． 解：∠1=∠CBD，∠2=∠ACB， ∠3=∠CAB，∠4= ∠ABD. ２． 如图，在⊙O中，∠BOC ＝50°，求∠A 的大小． 解：∠A 与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角， 所以2∠A = ∠ BOC.故∠A=25°. ３． 已知：如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径， ∠AOB＝2∠BOC． 求证：∠ACB＝2∠BAC． 证明：因为 ∠ AOB =2∠ACB，∠COB =2∠BAC， 又因为 ∠AOB =2∠COB， 所以 ∠ACB =2∠BAC. ４． 已知等腰直角三角形 A B C 的一条直角边为， 求它的外接圆的半径． 解：在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC = ， 由勾股定理，可知 BC=2. 设它的外接圆的半径是 r，则 r=BC÷2=1. ５． 证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形 解：已知△ADC，AC边的中线BD等于ACD的一半， 求证： △ADC是直角三角形. 证明：如图所示，因为AC边的中线BD等于AC的一半， 所以BD=BC=BA，所以C，D，A三点共圆， 故△ADC在以点B为圆心，以CA为直径的圆上， 所以△ADC是直角三角形. 分层练习-基础 1．下列各图中，∠BAC为圆周角的是(　　) D 2．[2024·湖南]如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　) A．60° B．75° C．90° D．135° C D 3．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝(　　) A．80° B．100° C．120° D．110° 4．[2024·温州模拟]如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠B＝70°，则∠OCB＝(　　) A．40° B．50° C．60° D．65° 【答案】 B 5．[2023·枣庄]如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为(　　) A．32° B．42° C．52° D．62° A 6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠B＝20°，则∠CAD的度数是(　　) A．60° B．65° C．70° D．75° C 7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝________． 100° 【点拨】∵∠ABD＝50°， ∴∠ACD＝∠ABD＝50°. 又∵∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝180°－∠CAD－∠ACD＝180°－30°－50°＝100°. 【点拨】如图，延长AO交⊙O于点E，连接DE， ∵AE是直径，∴∠ADE＝90°. ∵OA与OB互相垂直， ∴∠AOC＝90°＝∠ADE. 9．有一题目：“已知点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC.如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(　　) A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说的不对，∠A就是65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同的值 A 分层练习-巩固 10．[2024·金华义乌模拟]如图，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E.若∠CDB＝30°，OA＝2，则AB的长为________． 11．[2024·北京房山区一模]如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为点D，若AB＝4，∠A＝22.5°，则BD的长为________． 12．[2024·泰州靖江期末]如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上异于A，B的一点，连接AE，BE，直径DC⊥AE交AE于点P，且D在优弧ABE上，若AB＝25，AE＝24，则PC的长为________． 9 【解】如图，连接BD交CO于点E， ∵OB＝OD，∠COB＝∠COD， ∴半径OC⊥BD于点E. ∴∠CED＝∠OED＝90°，BE＝DE. 又∵OB＝OA，∴OE为△ABD的中位线. ∴AD＝2OE. 分层练习-拓展 (2)如图②，⊙O的两条弦BA，DC的延长线相交于圆外一点P.问题(1)中的结论是否成立？如果成立，给予证明；如果不成立，直接写出一个类似的结论，不用证明． 课堂小结 圆周角 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. 圆周角定理及其推论： 定理: 推论 一条弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半． ①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【点拨】连接OB，∵AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°. ∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝40°. ∴∠BOC＝2∠A＝80°. 又∵OB＝OC，∴∠OCB＝＝50°. 8． 如图，⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，垂足为点O，点C为OB上一点，连接AC并延长交⊙O于点D.若＝，则cos∠OAC的值为________． 又∵∠OAC＝∠DAE，∴△OAC∽△DAE. ∴＝.∵＝， ∴设OA＝r，AC＝4a，则CD＝3a. ∴＝.∴＝. ∴cos∠OAC＝＝＝×＝. 2 【点拨】连接OC.∵AB＝4，∴OC＝OB＝2. ∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°.∵CD⊥AB，∴DO＝OC·cos∠COD＝2×＝.∴BD＝OB－DO＝2－. 2－ 【点拨】如图，连接AC，DE， ∵DC⊥AE，∴∠DPE＝∠APC＝90°. 又∵∠PDE＝∠PAC，∴△DPE∽△APC.∴＝. ∵DC⊥AE，CD为直径，AE＝24，∴AP＝PE＝AE＝12. 设PC＝x，∵DC＝AB＝25，∴DP＝25－x.∴＝.∴x＝9或x＝16(不符合题意，舍去).∴PC＝9. 13．[2024·武汉期中]如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接BC，CD，DA，OC. (1)证明：OC∥AD； 【证明】如图，连接OD. 由圆周角定理可得，∠BAD＝∠BOD. ∵点C是的中点，∴＝. ∴∠COB＝∠COD＝∠BOD.∴∠COB＝∠BAD，∴OC∥AD. (2)若AB＝10，CD＝2，求AD的长． ∵AB＝10，∴OD＝OC＝5. 设OE＝x，则CE＝5－x. ∵在Rt△OED中，DE2＝OD2－OE2， 在Rt△DEC中，DE2＝CD2－CE2， ∴52－x2＝(2)2－(5－x)2， 解得x＝3，即OE＝3.∴AD＝6. 14．我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半”是真命题．已知，的度数为α，的度数为β. (1) 如图①，⊙O的两条弦AB，CD相交于圆内一点P， 求证：∠APC＝(α＋β)； 【证明】连接BC， ∵∠PCB的度数等于的度数的一半，∠PBC的度数等于的度数的一半，的度数为α，的度数为β， ∴∠PCB＝β，∠PBC＝α. ∵∠APC＝∠PBC＋∠PCB， ∴∠APC＝α＋β＝(α＋β). 【解】问题(1)中的结论不成立，类似的结论为：∠BPC＝(β－α). $$