2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（15）直线与圆（新高考地区专用）

2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（15） 直线与圆 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 2．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．“直线与圆相交”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 5．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．已知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形，为坐标原点，则最大值为（ ） A. B. C. D. 8．设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若实数、满足条件，则下列判断正确的是（ ） A．的范围是 B．的范围是 C．的最大值为1 D．的范围是 10．已知圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 11．已知点是圆上的动点，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 和两点之间距离的最小值小于 B. 当最大时，的面积是 C. 直线过定点 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______. 13.已知直线与圆相交于两点，则的最小值为_____． 14.已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（15） 直线与圆 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设（），圆的半径为， ，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为. 故选：D. 2．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，即圆，则，解得． 过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得． 故． 故选：C 3．“直线与圆相交”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与圆相交，则圆心到直线的距离满足，故， 由于能推出， 当不能得到， 故“直线与圆相交”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4．点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点的坐标为，因为点是线段的中点， 可得，点在圆上， 则，即. 故选：A 5．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切， ，即， 设，则，， 即，，解得：， 的取值范围为. 故选：D. 6．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由知直线l过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线l与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数k的取值范围为. 故选：B. 7．已知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形，为坐标原点，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题可知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形， 不妨设，即， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为． 故选：C． 8．设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，两边平方得：，即点P在以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），如图所示： 因为Q的坐标为，则在直线，过点A作⊥l于点，与半圆交于点，此时长为的最小值，则，所以直线：，与联立得：，所以，解得：，则圆C：，则，圆心到直线的距离为，要想圆C上恰有2个点到直线的距离为1，则. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若实数、满足条件，则下列判断正确的是（ ） A．的范围是 B．的范围是 C．的最大值为1 D．的范围是 【答案】BD 【解析】对于选项A、B、C利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求解对于A，，故，化简得， ，所以，，A错 对于B，，又因为实数、满足条件，故，所以，，B对 对于C，由于，所以，， 故，化简得，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，C错 对于D， 即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时， 即时，直线与圆相切， 当过定点的直线的斜率存在时，令， 则可看作圆上的动点到定点的连线的斜率， 可设过定点的直线为：， 该直线与圆相切，圆心到直线的距离设为， 可求得，化简得，故，故D对 故选：BD 10．已知圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D. 若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为， 所以点在圆外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 设，则，又点在圆上， 所以直线与圆有交点， 即，解得， 所以的最大值为，故B正确； 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C正确； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立， 则的最小值为. 故选：BCD. 11．已知点是圆上的动点，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 和两点之间距离的最小值小于 B. 当最大时，的面积是 C. 直线过定点 D. 的最小值是 【答案】AD 【解析】对于A，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以和两点之间距离的最小值为，故A正确； 对于B，当与圆相切时取得最大值或者最小值，因为， 所以，，故B错误； 对于C，，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 所以直线的方程为， 将代入并整理得， 所以直线过定点，故C错误； 对于D，设，则， 所以， 所以当取最小值时最小，最小值为，故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______. 【答案】 【解析】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上， 所以可设圆心为，半径为， 由题意知，， 又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得， ， 所以， 解得，， 所以所求圆C的方程为. 故答案为： 13.已知直线与圆相交于两点，则的最小值为_____． 【答案】4 【解析】圆的圆心为，半径， 直线，即，令，解得， 所以直线恒过点，又， 所以当时，弦的长度取得最小值，即， 设的中点为，则， 所以. 故答案为：4. 14.已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】不妨设x轴上定点使得满足，， 则，整理得，， 又，所以，则， 解得，所以，使得， 要使最小，则最小， 所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示. 故的最小值为点B到直线的距离. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$