第4讲 因数和倍数（3）-2024-2025学年五年级数学寒假自学课（人教版）

第4讲 因数和倍数（3） 课前导入 【思考】同学们，你们知道什么是质数吗？ 知识点精讲 知识点一 质数和合数 内容 质数 一个数，如果只有1和它本身这2个因数，这样的数叫作质数（或素数）。 合数 一个数，如果出了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫作合数。 【注意】 1既不是质数，也不是合数。 在42的因数中，有（    ）个质数。例1 A．1 B．2 C．3 D．4 任何一个合数的因数至少有（    ）个。例2 A．1 B．2 C．3 D．4 在1～10这10个自然数中，既是合数又是奇数的数有（    ）个。练1 A．1 B．2 C．3 D．9 在0、1.4、2、27、130、201中，( )是合数，( )是质数。练2 知识点精讲 知识点二 数的奇偶性 内容 数的奇偶性 奇数 + 奇数 = 偶数； 偶数 + 偶数 = 偶数； 奇数 + 偶数 = 奇数。 【注意】 实际运用中，可以用设数法解决连续奇数（或偶数）的问题。 2x＋9（x是自然数）一定是一个（    ）数。例1 A．质 B．合 C．奇 D．偶 一袋苹果刚好分成两盘，第一盘苹果有9个，第二盘苹果的个数为偶数，这袋苹果的总个数一定为（    ）。例2 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 a＋3的和是奇数（a是大于0的自然数），a一定是（    ）。练1 A．质数 B．合数 C．偶数 D．奇数 50名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，则乙队人数为( )数；如果甲队人数为偶数，则乙队人数为( )数。练2 一、选择题 1．50以内最小的质数与最大的奇数的和是（    ）。 A．51 B．50 C．49 D．48 2．小朋友玩成语游戏，每人说出一个含有数字的成语，下面的成语中所含的数字都是合数的是（    ）。 A．九牛一毛 B．三心二意 C．七上八下 D．十拿九稳 3．奇数与偶数的和一定是（    ）数。 A．奇 B．偶 C．质 D．合 二、填空题 4．48名同学分成两组，如果第一组是偶数，第二组是( )。 5．乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 6．“第33届奥运会于7月26日在法国巴黎开幕，8月11日闭幕。”这句话出现的数中，质数有( )，合数有( )；其中( )是( )的因数。 三、判断题 7．两个不同质数的和是偶数。( ) 8．一个数是合数但未必是偶数。( ) 9．在1、2、3、4、5、6…中，除了奇数就是偶数，不是质数就是合数。( ) 四、解答题 10．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 11．在下表中圈出所有的质数，回答下列问题。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 ①除了2，3两个质数外，其余的质数都在哪几列？ ②把这个表扩大到90，圈出全部质数。它们都在哪几列？ ③笑笑发现了一个有趣的结论：最小的两个质数相乘得到6（），用6去除其他的质数，余数一定是1或5。这个结论对吗？试一试。 12．水墨画近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨画，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨画的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？ 13．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 14． “孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一。在1849年，数学家阿尔方·德·波利尼亚克（AlphonsedePolignac）提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p，p＋2k）。k＝1的情况就是孪生质数猜想。 “孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数，如3和5都是质数，且5－3＝2，所以3和5就是一对孪生质数；5和7也是一对孪生质数。 （1）在下面的横线上写出50以内除了3和5，5和7以外的所有孪生质数。 _____________________________________________________ （2）如果用和表示任意一对孪生质数，那么的和一定是（    ）。（括号里填“奇数”或“偶数”）在下面写出你的想法。 15．小芳要把20本作业本分成两份，并且每份作业本的本数都是质数，两份作业本可能各有多少本？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： C例1 【分析】先列举出42的所有因数，再从这些因数中找出哪些是质数，数出个数即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【详解】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42； 其中质数是：2，3，7； 在42的因数中，一共有3个质数。 故答案为：C C例2 【分析】除了1和它本身两个因数，还有别的因数的数叫作合数，据此解答。 【详解】合数4的因数：1、2、4，共有3个因数。 合数6的因数：1、2、3、6，共有4个因数。 合数9的因数：1、3、9，共有3个因数。 合数12的因数：1、2、3、4、6、12，共有6个因数。 因此任何一个合数的因数至少有3个。 故答案为：C A练1 【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。“0”“1”既不是质数也不是合数。奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，又叫作单数，如：1、3、5、7等。据此解答即可。 【详解】在1～10这10个自然数中，既是合数又是奇数的数只有9这一个数。 故答案为：A 【点睛】本题考查了奇数与偶数、合数与质数的初步认识。 27、130、201 2练2 【分析】合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数；质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；1既不是质数也不是合数；讨论质数和合数的时候，不讨论0和小数。据此即可填空。 【详解】有分析可知： 合数有：27、130、201；质数有：2 知识点二： C例1 【分析】2x表示的是一个能被2整除的数，即是偶数，9不能被2整除为奇数，根据和的奇偶性：偶数＋奇数＝奇数。 【详解】2x表示一个偶数，9是个奇数，偶数＋奇数＝奇数。 故答案为：C A例2 【分析】苹果刚好分成两盘，第一盘苹果有9个，第二盘苹果的个数为偶数，根据奇数和偶数的运算性质中“奇数＋偶数＝奇数”，据此解答。 【详解】由分析得知： 第一盘苹果有9个，9是奇数，第二盘苹果的个数为偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以这袋苹果的总个数一定为奇数。 故答案为：A 【点睛】本题考查奇数和偶数，要求学生熟练掌握奇数和偶数的运算性质。 C练1 【分析】根据偶数、奇数的性质：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，据此解答； 质数指的是只有1和它本身两个因数的数是质数，合数指的是除了1和它本之外还有其他的因数，质数与合数加上一个数和可能是偶数也可能是奇数。 例如：3＋3＝6，2＋3＝5，因此质数加3，可能等于奇数也可能等于偶数； 4＋3＝7，15＋3＝18，因此合数加3，可能等于奇数也可能等于偶数。 【详解】a＋3的和是奇数，根据奇＋偶＝奇，因为3是奇数，和是奇数，所以a一定偶数。 故答案为：C。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握偶数与奇数的性质及应用。 奇 偶练2 【分析】奇数是指不能被2整除的数，偶数是指能被2整除的数。根据奇数、偶数的运算定理，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。据此可得出答案。 【详解】50名学生分为甲、乙两队，50为偶数。如果甲队人数为奇数，则奇数＋奇数＝偶数，则乙队人数为奇数；如果甲队人数为偶数，则偶数＋偶数＝偶数，乙队人数为偶数。 1．A 【分析】先找出50以内的最小质数与最大奇数，再相加即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，不是2的倍数的数叫做奇数，个位上是1、3、5、7、9的数。 【详解】最小的质数是2，50以内最大的奇数是49； 2＋49＝51 50以内最小的质数与最大的奇数的和是51。 故答案为：A 2．D 【分析】一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数；1既不是质数也不是合数；据此逐一分析各项即可。 【详解】A．九牛一毛中的一既不是质数也不是合数，不符合题意； B．三心二意中的三和二都是质数，不符合题意； C．七上八下中的七是质数，不符合题意； D．十拿九稳中的十和九都是合数，符合题意。 故答案为：D 3．A 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 根据奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，据此解答。 【详解】如：3＋2＝5，5是奇数，也是质数； 5＋4＝9，9是奇数，也是合数； 所以，奇数与偶数的和一定是奇数。 故答案为：A 【点睛】本题考查奇数与偶数、质数与合数的意义及应用，掌握奇数与偶数的运算性质是解题的关键。 4．偶数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【详解】第一组是偶数，总人数48是偶数； 第一组人数＋第二组人数＝总人数 因为偶数＋偶数＝偶数，所以第二组是偶数。 5． 2 5 【分析】因为a、b均为质数，且3a＋7b＝41，所以3a和7b一定是一奇数一偶数，又因为和＝41，则b小于7，小于7的只数只有2、3、5，因为奇数乘偶数等于偶数，所以a或b一定有一个2。即可把2代入等式推算出另一个数，符合“a、b均为质数”即可得解。 【详解】当a＝2时 解： 2、5均为质数，推算成立； 当b＝2时 解： 9不是质数，故推算不成立。 根据以上思考，乐乐推算出a是2，b是5。 6． 7、11 33、26、8 11 33 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断每个数即可。 【详解】根据分析可知，质数有7、11；合数有33、26、8；因为33能被11整除，所以11是33的因数。 7．× 【分析】奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。自然数中，1既不是质数也不是合数，即除了1和2，其他的质数都是奇数。例如2是偶数，加上一个奇数是奇数。 【详解】5＋3＝5，8是偶数， 2＋3＝5，5是奇数。 则两个质数的和有可能是偶数，有可能是奇数。 故答案为：× 8．√ 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】如：合数9、15、21都是奇数。 所以，一个数是合数但未必是偶数。 原题说法正确。 故答案为：√ 9．× 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】在1、2、3、4、5、6…中，除了奇数就是偶数，除了1以外，不是质数就是合数。 原题说法错误。 故答案为：× 10．256199 【分析】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【详解】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 11．①除了2，3两个质数外，其余的质数在第一列和第五列。 ②见详解 ③结论成立 【分析】①②根据质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，据此选择即可。 ③根据圈出的质数可知，用6去除其他的质数，余数一定是1或5. 【详解】①除了2，3两个质数外，其余的质数在第一列和第五列。 ②如图： 质数在第一列和第五列。 ③7÷6＝1……1 13÷6＝2……1 答：用6去除其他的质数，余数一定是1或5，这个结论成立。 12．可能长13分米、宽5分米，也可能长11分米、宽7分米；77平方分米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长方形周长÷2＝长＋宽，用36÷2＝18分米，求出了长与宽之和；根据除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽之和拆成两个质数相加的形式，即18＝5＋13＝7＋11，确定长和宽。根据长方形面积＝长×宽，求出面积，通过比较，确定最大面积即可。 【详解】36÷2＝18分米 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方分米） 11×7＝77（平方分米） 77＞65 答：这幅水墨画的有可能长是13分米、宽是5分米，也可能长是11分米、宽是7分米；面积最大是77平方分米。 13．不对，理由见详解 【分析】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。 【详解】答：不对。理由：各种商品的单价都是偶数。根据偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以不管每种文具买多少，它们各自的花费都是偶数，那么商品的总价就是这些偶数的和，根据偶数＋偶数＝偶数，可知商品总价一定是偶数。100是偶数，那么找零应该是偶数减偶数，结果也一定是偶数， 而35是奇数，所以找的钱数不对。 14．（1）11和13；17和19；29和31；41和43 （2）奇数；想法见详解 【分析】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此找出50以内的所有质数，再找到所有相差为2的两个质数即可。 （2）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。如果和表示任意一对孪生质数，相邻两个奇数和相邻两个偶数之间都相差2，2是质数中唯一的偶数，因此它们就都是奇数，2a是偶数，根据奇数和偶数的运算性质，偶数＋奇数＝奇数，即可得出的和是奇数还是偶数。 【详解】（1）50以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。 除了3和5，5和7以外的所有孪生质数：11和13；17和19；29和31；41和43。 （2）如果用和表示任意一对孪生质数，那么的和一定是奇数。 想法：a和b是一对孪生质数，那么它们就都是奇数，2a就是偶数，偶数＋奇数＝奇数，所以2a＋b一定是奇数。 15．3本和17本或者7本和13本 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，找出相加等于20的两个数即可。 【详解】20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19 其中有3＋17＝20，或者7＋13＝20 即，两份作业本可能有两种情况：3本和17本或者7本和13本。 答：两份作业本可能是3本和17本，或者7本和13本。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$