第8讲 长方体和正方体（4）-2024-2025学年五年级数学寒假自学课（人教版）

第8讲 长方体和正方体（4） 课前导入 【思考】同学们，你们会求它们的体积吗？ 知识点精讲 知识点一 容积和容积单位 内容 容积 1. 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫作它们的容积； 2. 长方体和正方体容积的计算方法与体积计算方法相同。 容积单位 常用的容积单位有升（L）和毫升（mL）。 【注意】容积单位的进率为1000。 一个玻璃瓶可装450mL的饮料，这个瓶子的(    )是450mL；瓶子占地32cm2，是指瓶子的(    )。例1 ①容积   ②表面积   ③体积   ④底面积 A．①；③ B．①；④ C．③；② D．③；④ 一块橡皮的体积约是8（    ），一个热水瓶的容积约是2（    ）。例2 A．cm3；mL B．dm3；mL C．cm3；L D．dm3；L 一个有上盖的长方体塑料储物箱，从内部量得长6分米，宽和高都是4分米。这个储物箱的容积是（    ）升。练1 A．24 B．96 C．104 D．128 如图，一个无盖的正方体木箱，从外面量，木箱的棱长是50厘米，制作这个木箱的木板厚度是5厘米。这个木箱的容积是（    ）立方厘米。练2 A．64000 B．72000 C．91125 D．125000 知识点精讲 知识点二 测量不规则物体的体积 内容 排水法 将物体放入水中后（物体完全浸在水中），明确水上升的高度才是解题关键。 【注意】 一定要将物体完全浸入水中！ 如下图，一个小球的体积是（    ）cm3。例1 A．15 B．20 C．35 D．50 如图是测量一颗铁球体积的过程：①将300毫升的水倒进一个容积为500毫升的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约是（    ）cm3。例2 A．30~40 B．40~50 C．50~60 D．60~70 如图是乐乐比较鸡蛋和鹅卵石的体积时做的实验（单位：厘米），求鸡蛋比鹅卵石小多少立方厘米，所列算式正确的是（    ）。练1 A．12×8×10－12×8×8.5 B．12×8×8.5－12×8×8 C．12×8×（10－8.5）－12×8×（8.5－8） D．12×8×（10－8）－12×8×（8.5－8） 将2个苹果放入盛有240mL。水的量杯后，水位上升至600mL处，平均每个苹果的体积是( )cm3。练2 一、选择题 1．一个油桶，最多可以装油340升。340升是指这个油桶的（    ）。 A．侧面积 B．表面积 C．体积 D．容积 2．把一粒花生米放入装满水的杯子里，溢出来的水的体积大约是（    ）。 A．1毫升 B．10毫升 C．100毫升 D．1升 3．一种牛奶的外包装是长方体，量得外包装盒的尺寸如图（单位：厘米）。根据图中数据判断，牛奶的实际含量可能是（    ）毫升。    A．520 B．540 C．500 D．600 二、填空题 4．3.5立方分米＝( )立方厘米    630立方厘米＝( )立方米 250升＝( )立方厘米   12升50毫升＝( )升 4.07立方米＝( )立方米( )立方分米 5．某海岛上的战士为当地居民修建了一个长24米、宽13米、深1.7米的淡水蓄水池。这个蓄水池最多可蓄水( )升。 6．用铁丝做一个棱长5dm的正方体框架，至少需要( )dm的铁丝，至少需要( )dm²的铁皮才能把它围起来，它最多能装( )L水。 三、判断题 7．若一个水箱的体积是25立方分米，那么它一定能装25升的水。( ) 8．两个体积相等的盒子，它们的容积也一定相等。( ) 9．物体的容积与体积没有区别。( ) 四、解答题 10．仓库里有如图四种规格的长方形、正方形木板若干块。 李师傅要从中选5块木板制作成一个无盖木箱，要使木箱容积最大，应该怎么选？（先填表，再计算出箱子容积） A型号 B型号 C型号 D型号 （    ）张 （    ）张 （    ）张 （    ）张 11．一辆小汽车的油箱从里面量是一个棱长为5分米的正方体，这个油箱最多可以装多少千克汽油？（每升汽油重0.75千克） 12．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从正面、上面看到的形状如下图，做这个长方体鱼缸至少用玻璃多少平方厘米？它的容积是多少？（玻璃厚度忽略不计） 13．在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如下图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该土豆的体积是多少立方分米？ 14．一个长方体的玻璃缸，长9分米，宽8分米，高6分米，水深4.5分米，如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出吗？如果溢出，会溢出多少升？ 15．如图，把一块长方形铁皮的四角分别切掉一个边长为5cm的正方形，再做成一个高5cm的无盖铁盒。 （1）这块铁盒的表面积是多少？ （2）这个无盖铁盒的容积是多少升？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： B例1 【分析】体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积。而占地面积指的是底面积。据此解答。 【详解】根据分析可得： 一个玻璃瓶可装450mL的饮料，这个瓶子的容积是450mL；瓶子占地32cm2，是指瓶子的底面积。 故答案为：B C例2 【分析】1cm3大约是电脑键盘按键体积的大小，4瓶矿泉水瓶的容积大约有1L，再结合生活经验可知，计量一块橡皮的体积应用“cm3”作单位；计量一个热水瓶的容积应用“L”作单位。据此解答即可。 【详解】一块橡皮的体积约是8cm3，一个热水瓶的容积约是2L。 故答案为：C B练1 【分析】箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数据，求出这个储物箱的容积，再根据1立方分米＝1升，换算单位即可。 【详解】6×4×4 ＝24×4 ＝96（立方分米） ＝96（升） 即这个储物箱的容积是96升。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查长方体容积的计算方法，求容积从里面测量，注意体积单位和容积单位的换算。 B练2 【分析】容积表示所能容纳物体的体积；依据题意结合图示可知，木箱内部长方体的长、宽均为（50－5－5）厘米、高是（50－5）厘米，利用长方体的体积＝长×宽×高，结合题中数据计算即可。 【详解】50－5－5＝40（厘米） 50－5＝45（厘米） 40×40×45＝72000（立方厘米） 木箱的容积是72000立方厘米。 故答案为：B 知识点二： B例1 【分析】看图可知，1个小球的体积等于15mL水的体积，2个小球的体积等于35mL水的体积。多了1个小球，多排出水（35－15）mL，1个小球的体积等于（35－15）mL水的体积。根据1mL＝1 cm3，把（35－15）mL换算成用cm3作单位即可。 【详解】35－15＝20（mL） 20mL＝20cm3 故答案为：B 【点睛】关键是看懂图意，小球的体积就是第二次和第一次排出的水的体积差。 B例2 【分析】先根据进率1mL＝1cm，将300mL换算成300 cm3，500mL换算成500 cm3； 根据题意，将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满，可知四颗铁球的体积要小于500－300＝200（cm3），那么一颗铁球的体积就小于（200÷4）cm3；再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出，可知五颗铁球的体积要大于500－300＝200（cm3），那么一颗铁球的体积就大于（200÷5）cm3。据此推测出一颗铁球体积的范围。 【详解】300mL＝300 cm3 500mL＝500 cm3 500－300＝200（cm3） 200÷4＝50（cm3） 200÷5＝40（cm3） 40 cm3＜一颗铁球的体积＜50 cm3 所以，一颗铁球的体积大约在40 cm3~50 cm3。 故答案为：B C练1 【分析】鸡蛋和鹅卵石的体积就是排开水的体积，放入鸡蛋水面从8厘米的高度上升到8.5厘米，也就是上升了0.5厘米，则鸡蛋的体积是一个长为12厘米，宽为8厘米，高为0.5厘米的长方体的体积； 放入鹅卵石水面从8.5厘米的高度上升到10厘米，也就是上升了1.5厘米，则鹅卵石的体积是一个长为12厘米，宽为8厘米，高为1.5厘米的长方体的体积； 鸡蛋比鹅卵石小的立方厘米＝鹅卵石的体积－鸡蛋的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】12×8×（10－8.5）－12×8×（8.5－8） ＝12×8×1.5－12×8×0.5 ＝96×（1.5－0.5） ＝96×1 ＝96（立方厘米） 则鸡蛋比鹅卵石小96立方厘米。 故答案为：C 180练2 【分析】有题意可知，2个苹果的体积是600－240＝360mL＝360 cm3，再用360除以2即可求出平均每个苹果的体积。 【详解】（600－240）÷2 ＝360÷2 ＝180（cm3） 则平均每个苹果的体积是180cm3。 1．D 【分析】 表面积是指物体表面面积的总和；体积是指物体所占空间的大小；容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做容积；一个油桶，最多可以装油340升，就是这个油桶所能容纳的油的体积最多是150升，是指油桶的容积，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个油桶，最多可以装油340升。340升是指这个油桶的容积。 故答案为：D 2．A 【分析】由题可知，溢出来的水的体积等于一粒花生米的体积。一粒花生米的体积大约是1立方厘米，根据1立方厘米＝1毫升，可得溢出来的水的体积大约是1毫升，据此解答。 【详解】由分析可得： 溢出来的水的体积大约是1毫升。 故答案为：A 3．C 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，把长8厘米、宽5厘米、高13厘米代入公式即可计算出包装盒的体积。长方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高，所以牛奶的实际含量小于包装盒的体积。据此选择即可。 【详解】8×5×13 ＝40×13 ＝520（立方厘米） 520立方厘米＝520毫升 500＜520＜540＜600 因为牛奶的实际含量小于包装盒的体积，所以牛奶的实际含量可能是500毫升。 故答案为：C 【点睛】计算长方体容器的体积要从外面量长、宽、高，而计算它的容积则要从里面量长、宽、高。同一个长方体容器，体积比容积大。 4． 3500 0.00063 250000 12.05 4 70 【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，1升＝1000毫升＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米。大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率，据此解题。 【详解】3.5×1000＝3500（立方厘米） 630÷1000000＝0.00063（立方米） 250×1000＝250000（立方厘米） 50÷1000＝0.05（升），12＋0.05＝12.05（升） 0.07×1000＝70（立方分米），4.07立方米＝4立方米70立方分米。 5．530400 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出容积，根据1立方米＝1000升，进行换算即可。 【详解】24×13×1.7＝530.4（立方米）＝530400（升） 这个蓄水池最多可蓄水530400升。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 6． 60 150 125 【分析】根据正方体棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可。 【详解】5×12＝60（分米） 5×5×6＝150（平方分米） 5×5×5＝125（立方分米）＝125（升） 【点睛】关键是掌握正方体棱长总和、表面积和体积公式。 7．× 【分析】体积和容积是两个不同的概念，意义不同：容积是指容器所能容纳物体的体积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量；物体所占的空间的大小叫做体积，据此判断即可。 【详解】若一个水箱的体积是25立方分米，那么它一定能装25升的水。说法错误。 故答案为：×。 8．× 【分析】容积‌是指容器所能容纳物体的体积。它与体积不同，体积指的是物体本身所占空间的大小。根据盒子的特征，结合实际可知盒子壁的厚不一定相同，所以两个体积相等的盒子，它们的容积不一定相等。 【详解】两个体积相等的盒子，它们的容积也一定相等。原题的说法是错误的。 故答案为：× 9．× 【分析】物体的容积与体积： 1、意义不同：体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，一个物体有体积，但它不一定有容积。 2、测量方法不同：求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。因此，对于同一个物体，一般地说，它的容积要比体积小。 3、单位名称不完全相同：体积单位一般用：立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3）。固体、气体的容积单位与体积单位相同，而盛液体的容积单位一般用升（L）、毫升（mL）。 【详解】根据分析可得： 物体的容积与体积意义不同，测量方法不同，单位名称不完全相同。原说法错误 故答案为：× 10．0；1；4；0； 150000立方厘米 【分析】选A型木板2张、C型木板1张、D型木板2张，能围成长60厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体木箱。选B型号木板1张、C型号木板4张，能围成长50厘米、宽50厘米、高60厘米的长方体木箱。分别计算出这两种木箱子的容积，再比较即可。 【详解】60×50×40＝120000（平方厘米） 50×50×60＝150000（平方厘米） 1500000＞1200000 要使木箱的容积最大，应选择1张B型号木板、4张C型号木板。木箱子容积为150000平方厘米。 11．93.75千克 【分析】根据正方体容积公式：容积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出小汽车的油箱的容积，再用油箱的容积×0.75，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 125立方分米＝125升 125×0.75＝93.75（千克） 答：这个油箱最多可以装93.75千克汽油。 12．2800平方厘米；12000毫升 【分析】看图可知，这个鱼缸的长40厘米、宽15厘米，高20厘米，鱼缸有前、后、左、右、下面5个面，需要的玻璃面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，根据长方体体积＝长×宽×高，求出容积。 【详解】 （平方厘米） （立方厘米） （毫升） 答：做这个长方体鱼缸至少用玻璃2800平方厘米，它的容积是12000毫升。 13．（1）0.9升 （2）0.5立方分米 【分析】（1）观察左图，根据长方体体积公式，长方体玻璃容器的长×宽×水面高度＝水的体积，据此列式解答，注意统一单位； （2）观察右图，用竖起来的长方体玻璃容器底面积×现在水的高度，求出水和土豆的体积，再减去原来水的体积就是土豆的体积。 【详解】（1）30×10×3＝900（立方厘米）＝0.9（立方分米）＝0.9（升） 答：玻璃容器原来盛了0.9升水。 （2）10×10×14－900 ＝1400－900 ＝500（立方厘米） ＝0.5（立方分米） 答：该土豆的体积是0.5立方分米。 14．会溢出；17升 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；先求出高是（6－4.5）分米空白体积，再根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积，再用高是（6－4.5）分米空白部分体积与正方体铁块的体积比较，如果高是（6－4.5）分米空白部分的体积大于正方体铁块的体积，水不会溢出；如果高是（6－4.5）分米空白部分的体积小于正方体铁块的体积，水会溢出，再用正方体铁块的体积－高是（6－4.5）分米空白部分的体积，即可求出溢出的水的体积，注意单位名数的换算。据此解答。 【详解】9×8×（6－4.5） ＝72×1.5 ＝108（立方分米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 125＞108 125－108＝17（立方分米） 17立方分米＝17升 答：缸里的水会溢出，溢出17升。 15．（1）1300平方厘米 （2）3.75升 【分析】（1）求这块铁盒的表面积，用长方形面积－4个小正方形的面积和，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，即可解答。 （2）这个无盖的长方体的长是（40－5×2）厘米，宽是（35－5×2）厘米，高是5厘米，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体容积，注意单位名数的换算。 【详解】（1）40×35－5×5×4 ＝1400－25×4 ＝1400－100 ＝1300（平方厘米） 答：这块铁盒的表面积是1300平方厘米。 （2）长方体铁盒的长： 40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 宽：35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 高：5厘米 30×25×5 ＝750×5 ＝3750（立方厘米） 3750立方厘米＝3.75升 答：这个无盖铁盒的容积是3.75升。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$