第08讲 数学归纳法（2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第08讲 数学归纳法 课程标准 学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 1．数学归纳法的理解及其应用. 2．通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展逻辑推理素养和数学运算素养. 知识点01 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立； （2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.【解读】（1）第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3. （2）对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1时式子的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的关键. （3）“假设n＝k时命题成立.利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范. 【即学即练1】（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 知识点02 　数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P（n）是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P（k＋1）也为真. 结论：P（n）为真. 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n＝n0时结论成立，即命题P（n0）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P（k）为真，则P（k＋1）也为真. 完成这两步，就有P（n0）真，P（n0＋1）真……P（k）真，P（k＋1）真…….从而完成证明. 【即学即练2】 （24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 题型01 对数学归纳法的理解 【典例1】（24-25高二上·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立． （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（    ） A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 【变式2】（24-25高二下·河南·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【变式4】（2024·高二·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 题型02 数学归纳法中的增项问题 【典例2】（2024·高二·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·高二·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【变式2】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【变式3】（2024·高二·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式4】（2024·高二·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 题型03 证明恒等式 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式3】（2024·高二·江苏·专题练习）有下列命题：；使用数学归纳法证明 题型04 证明不等式 【典例4】（2024高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 【变式1】（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【变式2】（2024高二上·浙江绍兴·阶段练习）用数学归纳法证明：. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明： 题型05 归纳—猜想—证明 【典例5】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【变式1】（2024·高二·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 【变式2】（2024·高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【变式3】（2024·高二·上海·期末）已知点， 满足，，且点的坐标为． (1)求过点、的直线的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于任意，，点都在（1）中的直线上； (3)试求数列、的通项公式． 题型06 用数学归纳法证明整除性问题 【典例6】（2024·高二·上海闵行·期中）证明：当时，能被64整除． 【变式1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）用数学归纳法证明：能被整除． 【变式2】（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【变式3】（2024·高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（） 题型07 用数学归纳法证明几何问题 【典例7】（2024·高二·全国·课后作业）平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论． 【变式1】（2024·高二·吉林·期末）已知点满足，，且点的坐标为. （1）求过点的直线的方程； （2）试用数学归纳法证明：对于，点都在（1）中的直线上. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则 ． 【变式3】（2024·高二·全国·课后作业）已知个半径相等的半圆的圆心在同一直线上，这个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，试用数学归纳法求这个半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧． 1．（2024高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·河南·期中）某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 3．（2024·高二·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 4．（2024高二上·上海静安·阶段练习）()，那么共有（    ）项. A． B． C． D．以上都不对 5．（2024高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·上海·专题练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 7．（江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末数学（理科）试题）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 8．（2024高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 9．（2024·高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 10．（2024高二上·上海普陀·阶段练习）用数学归纳法证明. 11．（2024高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 12．在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 13．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 数学归纳法 课程标准 学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 1．数学归纳法的理解及其应用. 2．通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展逻辑推理素养和数学运算素养. 知识点01 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立； （2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.【解读】（1）第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3. （2）对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1时式子的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的关键. （3）“假设n＝k时命题成立.利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范. 【即学即练1】（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【答案】 【分析】将代入计算可得结果. 【详解】当时，. 故答案为： 知识点02 　数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P（n）是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P（k＋1）也为真. 结论：P（n）为真. 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n＝n0时结论成立，即命题P（n0）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P（k）为真，则P（k＋1）也为真. 完成这两步，就有P（n0）真，P（n0＋1）真……P（k）真，P（k＋1）真…….从而完成证明. 【即学即练2】 （24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 【答案】 【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案. 【详解】设当时，能被整除， 所以时， ， 因此必须有代数式． 故答案为： 题型01 对数学归纳法的理解 【典例1】（24-25高二上·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 【详解】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立． （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（    ） A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 【答案】B 【分析】由数学归纳法、等比数列求和公式即可求解. 【详解】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论． 由等比数列求和公式知,命题正确. 故选：B． 【变式2】（24-25高二下·河南·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【分析】直接利用数学归纳法的证明方法分析判断即可. 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即时等式成立. 故选：B 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【分析】直接用数学归纳法证明可得答案． 【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 【变式4】（2024·高二·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 题型02 数学归纳法中的增项问题 【典例2】（2024·高二·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 【变式1】（2024·高二·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 【变式2】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 【变式3】（2024·高二·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 【变式4】（2024·高二·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 . 故选：D. 题型03 证明恒等式 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【分析】应用数学归纳法证明即可. 【详解】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当时成立，进而假设时等式成立，证明时，等式也成立；即可得证． 【详解】设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 【变式3】（2024·高二·江苏·专题练习）有下列命题：；使用数学归纳法证明 【解析】当时，左边，右边，则原等式成立； 假设当时，原不等式成立，即成立， 则当时，，即当时原等式成立， 所以对于任意成立. 题型04 证明不等式 【典例4】（2024高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明即可. 【详解】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 【变式1】（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系. 【详解】当，则成立， 若且时，成立， 令，则， 所以时不等式也成立， 综上，恒成立. 【变式2】（2024高二上·浙江绍兴·阶段练习）用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析 【分析】构造函数，利用导数分析该函数的单调性，推导出对任意的，，然后利用数学归纳法即可证明出原不等式成立. 【详解】先证明出，，即， 构造函数， 当时，则， 所以，函数在上单调递增，则， 则，即， 即， 对任意的，当时，. 当时，左边，右边，左边右边； 假设当时，不等式成立，即. 则当时，则. 这说明，当时，原不等式也成立. 综上所述，对任意的，. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【分析】 由数学归纳法证明不等式的一般步骤可知：第一步验证初值时不等式成立；第二步进行归纳假设：假设当时所证不等式成立，在此基础上来证明当时所证不等式也成立；特别注意证时一定要用到时的结论；第三步下结论：在第一步及第二步的基础上就可得出所证不等式对一切都成立. 【详解】 证明：（1）当时，，命题成立. （2）假设当时，成立， 当时， ， ⸪， ⸫， 当时命题成立. 所以对于任意都成立. 题型05 归纳—猜想—证明 【典例5】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【解析】，，，，…， 猜想：． 证明如下： （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立， 即， 则当时，， 所以当时，猜想也成立． 综合（1）（2），可知猜想对于任意都成立． 【变式1】（2024·高二·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 【解析】（1），， ； （2）猜想数列的通项公式为， 下面用数学归纳法证明此结论正确． 证明：①当时，左边，右边，结论成立， ②假设当时，结论成立，即， 那么， 也就是说，当时结论成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数都成立，即. 【变式2】（2024·高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【解析】（1），，令，则； 令，； 令，； （2）猜想， ①当时，满足上式； ②假设时，上式成立，即， 则当时，， 显然，猜想成立，所以． 【变式3】（2024·高二·上海·期末）已知点， 满足，，且点的坐标为． (1)求过点、的直线的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于任意，，点都在（1）中的直线上； (3)试求数列、的通项公式． 【解析】（1）由的坐标为知，，． 所以，． 所以点的坐标为，， 所以直线的斜率为， 直线方程为，即． （2）证明：①当时， 成立． ②假设，时，成立， 则 ， 当时，命题也成立． 由①②知，对，都有， 即点在直线上． （3）由（2）知，，所以， 所以， 因为，，，，，猜想，； 用数学归纳法证明如下：因为时，，假设时成立，即， 则时，， 所以时也成立， 所以对于任意都成立，即． 所以． 题型06 用数学归纳法证明整除性问题 【典例6】（2024·高二·上海闵行·期中）证明：当时，能被64整除． 【解析】（1）当时，能被64整除． （2）假设当时，能被64整除， 则当时，． 故也能被64整除． 综合（1）（2）可知当时，能被64整除． 【变式1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）用数学归纳法证明：能被整除． 【解析】当时，，又，能被整除； 假设当时，能被整除，即， 那么当时，能被整除； 综上所述：能被整除. 【变式2】（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【解析】证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立； （2）假设当时结论成立，即能被整除． 则当时， ， 因为能被整除，能被整除， 所以，能被整除，即即时结论也成立． 由（1）（2）知命题对一切都成立． 【变式3】（2024·高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（） 【解析】当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 题型07 用数学归纳法证明几何问题 【典例7】（2024·高二·全国·课后作业）平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论． 【解析】当时，过任意两个点作直线，共有3条； 当时，设四个点为，过三点中的任意2点的直线有三条，过三点中的任意1点与D点相连的直线有3条，即共有条； 当时，设五个点为，同上，过中的任意2点的直线有6条，过中的任意1点与的连线共有4条，即共有条； 假设当，过k个点（任意三点不共线）中任意2点作直线，共有条； 当时，共有k+1个点（任意三点不共线），过k个点中任意2个作直线，共有条；过这k个点中的任一个点与相连的直线共有k条，因此，过这k+1个点中的任意2个点作直线，共有， 所以当时，假设成立； 综上，有个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有条. 【变式1】（2024·高二·吉林·期末）已知点满足，，且点的坐标为. （1）求过点的直线的方程； （2）试用数学归纳法证明：对于，点都在（1）中的直线上. 【解析】(1)由P1的坐标为(1,−1)知：a1=1，b1=−1. ∴,a2=a1⋅b2=. ∴点P2的坐标为. ∴直线l的方程为2x+y-1=0. (2)要证明原问题成立只需证明点都满足即可. ①当n=1时，2a1+b1=2×1+(−1)=1，成立. ②假设n=k(,k⩾1)时，2ak+bk=1成立，即成立， 则2ak+1+bk+1=2ak⋅bk+1+bk+1 ， ∴当n=k+1时，命题也成立. 由①②知，对n∈N∗，都有2an+ an =1， 即点在直线l上. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意，由数列的通项公式列出方程，代入计算，即可求解. 【详解】由题得，又，所以， 解得（舍去）或． 故答案为： 【变式3】（2024·高二·全国·课后作业）已知个半径相等的半圆的圆心在同一直线上，这个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，试用数学归纳法求这个半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧． 【解析】设这个半圆被所有的交点最多分成段圆弧， 如图分别是，的情形． 由图可知，，，由此猜想． 现用数学归纳法证明该猜想． ①当时，猜想显然正确． ②假设时，猜想正确，即， 则当时，作出第个半圆，它与前个半圆均相交，最多新增个交点， 第个半圆自身被分成了段弧，同时前个半圆又各多分出1段弧， 故有， 即当时，猜想正确． 综上，对于，，都成立． 故这个半圆被所有的交点最多分成段圆弧． 1．（2024高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的知识确定正确答案. 【详解】在等式中， 当时，， 故等式的左边为，右边为. 所以第一步应该验证的等式是. 故选：D 2．（2024高二下·河南·期中）某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 【答案】C 【分析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论. 【详解】可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立． 所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立. 故选：C. 3．（2024·高二·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 4．（2024高二上·上海静安·阶段练习）()，那么共有（    ）项. A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解析】写出，然后计算项数． 【详解】，共有项． 故选：B． 5．（2024高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 计算和时左边式子，再作差即可判断. 【详解】依题意当时左边， 当时左边， 所以 ， 故从递推到时，不等式左边需添加的项为. 故选：C 6．（2024·高二·上海·专题练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 当时，左边，故C正确. 故选：C. 7．（江西省赣州市2023-2024学年高二下学期期末数学（理科）试题）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 【答案】D 【解析】直接利用数学归纳法和关系式的变换的应用求出结果. 【详解】用数学归纳法证明不等式的过程中 由时，，① 当时，左边， ，②， ②①得：左边. 故选：D. 8．（2024高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可. 【详解】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 9．（2024·高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【解析】，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 10．（2024高二上·上海普陀·阶段练习）用数学归纳法证明. 【答案】见解析 【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可. 【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立； ②假 设 当 时等式成立， 即. 那么， 即当时等式也成立. 由①②知，等式对任何都成立. 【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题. 11．（2024高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【分析】 根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】当时，左侧，右侧，显然成立， 假设时， 当时， ， 即当时，等式也成立， 综上可得，． 12．在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【解析】记n条直线把平面分成个部分，我们通过，2，3，4，5，画出图形观察的情况（如图） 从图中可以看出， ， ， ， ， . 由此猜想. 接下来用数学归纳法证明这个猜想. （1）当，2时，结论均成立. （2）假设当时结论成立，即. 那么，当时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点， 这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分， 所以，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对，都有， 即. 13．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【解析】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$